Matemática Aplicada

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Manuel Meireles 
 
 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA 
para Administradores 
 
- 
 
 
1a. edição 
 
 
 
 
 
 
Texto básico. Este texto está disponibilizado no 
site http://www.profmeireles.com.br/novo/ > 
DIDÁTICOS > Métodos Quantitativos> 
Matemática Aplicada 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2013 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 2 
 
 
Caderno 1 
Introdução à Matemática Aplicada 
 
 
 
 
 
 
1.- INTRODUÇÃO 
Este curso de Matemática Aplicada é destinado a estudantes de Administração de Empresas. 
Neste curso parte-se do exemplo de aplicação da Matemática, no campo da Administração, para 
a teoria. Os exemplos são extraídos de diversas áreas da Administração e reportam-se a casos 
tais como: curva de aprendizagem, curva de falhas, estudo dos tempos e movimentos, lote 
econômico, localização, previsão de demanda, cálculos trabalhistas, impostos, etc. 
Para contextualizar o problema é feita uma síntese da teoria pertinente à aplicação. 
O curso parte da prática para a teoria. O primeiro tópico a observar é a curva da aprendizagem. 
Este Caderno é acompanhado de dois trabalhos cuja leitura recomendamos: 
MatApli-Caderno 01b: artigo de Anzanello e Sanson Fogliatto intitulado Curvas de 
aprendizado: estado da arte e perspectivas de pesquisa. Este artigo apresenta o estado da arte da 
literatura em torno do tema, abordando os modelos existentes, aplicações em contextos práticos 
e limitações da ferramenta. 
MatApli-Caderno 01c: trabalho de Rui Assis intitulado Tempos de Fabricação Degressivos 
resultantes da Experiência apresenta metodologia com o objetivo de apurar expressões válidas 
para cálculo do tempo médio de operações (de fabricação e de montagem) que sirvam de base ao 
cálculo do custo previsional da hora para efeitos de orçamentação e de negociação de contratos. 
 
Estes trabalhos mostram a importância do conhecimento da Matemática. 
 
1.1- HP-12C E ALGUMAS DAS SUAS FUNÇÕES 
Um Administrador deve saber realizar cálculos simples por meio de uma calculadora. O 
cálculo do valor b, mostrado acima, requer pelo menos uma calculadora com um nível razoável 
de funções. No nosso curso damos ênfase ao uso da calculadora HP-12C (aqui simplesmente 
designada HP). Damos agora informações mínimas sobre a HP. Ao longo do curso serão 
apresentadas as funções desta calculadora conforme sejam necessárias. 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 3 
 
Por comodidade didática, a calculadora financeira programável considerada como 
ilustrativa, é a HP-12C ou semelhante. A escolha desta calculadora justifica-se por ela ser modal, 
seja referente a publicações especializadas seja na aplicação prática. 
Recomendamos que os graduandos dos cursos de Administração, Contabilidade e 
Economia adquiram calculadoras HP-12C ou semelhantes. A recomendação de compra segue a 
seguinte ordem, sem levar em conta o preço: 
I-Calculadora financeira HP 12C (Gold, Platinum, Prestige) 
II-Calculadora financeira ProcalcFn 1200c (possui as mesmas funções da HP 12C) 
III-Calculadora financeira Aurora (possui as mesmas funções da HP 12 C) 
IV-Calculadora financeira BrtC FC-12 (possui as mesmas funções da HP 12C) 
 
Ligar/desligar a HP. A calculadora HP é financeira e programável. Possui o conjunto de 
teclas mostrado acima. A calculadora HP é ligada / desligada pela tecla ON. Esta tecla é 
ligeiramente mais baixa do que as demais para impedir seu acionamento involuntário. 
Quantidade de casas decimais. Embora trabalhe internamente com 15 casas decimais, a 
HP permite a exibição de um número de casas decimais pré-fixado. Para fixar um número de 
casas decimais, pressione a tecla [f] e depois o número de casas decimais desejado. Por exemplo, 
para trabalhar com 2 casas decimais, basta pressionar [f] 2. Para exibir 4 casas decimais, 
pressione [f] 4. Importante lembrar: embora exiba valores com um número de casas decimais 
predefinido, internamente a máquina processará um número com 15 casas decimais. 
Jamais se deve transcrever valores intermediários de cálculos para o papel: o correto é usar a 
pilha e as memórias da calculadora. 
Selecionar ponto ou vírgula. A HP permite usar o ponto ou a vírgula como separador de 
casas decimais. É recomendável que se use a notação brasileira. Digite o valor 23,456. 
O visor pode apresentar 23.456 ou 23,456. 
A primeira notação é inglesa e pode causar confusão e, frequentemente, causa. Para trocar a 
opção em vigor, desligue a máquina, pressione a tecla [.] e depois ligue a máquina, liberando 
primeiro a tecla [ON] e depois a tecla [.]. Automaticamente, a HP trocará o separador de casas 
decimais. 
Indicação de bateria fraca Caso a bateria da máquina esteja fraca, aparecerá um asterisco 
(*) piscando no canto inferior esquerdo. Para evitar um desgaste antecipado da bateria, deve-se 
evitar colocar a calculadora próxima a fontes de campos eletromagnéticos, como alto-falantes 
automotivos, aparelhos de som ou televisores. 
Sistema RPN. Ao ligar a calculadora aparece no visor o resultado do última cálculo efetuado. 
A calculadora possui um conjunto de registradores que constituem a Pilha de memória 
Automática. 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 4 
A Hewlet-Packard usa um sistema lógico denominado RPN (Reverse Polish Notation - 
Notação Polonesa Reversa). Em 1951 Jan Luukasiewics demonstrou que expressões matemáticas 
poderiam ser expressas sem o uso de parênteses, por intermédio de uma pilha operacional e dos 
operadores [enter, ,, ,  ] pós-fixados, isto é, introduzidos como separadores dos valores. 
Um separador é dito pós-fixado porque é introduzido após se ter especificado os números 
envolvidos. Este sistema permite que se veja no visor todos os resultados intermediários. 
A pilha operacional, composta de quatro registradores distintos (memórias), "empilhados" 
um sobre o outro, permite o armazenamento automático de resultados intermediários. Assim 
sendo, a calculadora simplifica mesmo os mais complicados problemas. Não é necessário um 
entendimento completo sobre a pilha de memória automática para executar cálculos envolvendo 
aritméticas simples e problemas financeiros. 
 
 
 
Visor. Você pode imaginar a pilha operacional como se ela fosse constituída por quatro 
prateleiras, uma sobre a outra. Estas prateleiras, ou registradores de memória, são rotulados 
como X, Y, Z e T. 
Cada registrador pode conter um e somente um número. O número em si, é claro, pode ser 
composto de até 10 dígitos, ou pode ser especificado em notação científica. 
O conteúdo do registrador X é sempre visível, pois ele é apresentado pelo visor: o 
registrador X é o visor da sua calculadora. 
 
Tecla Enter. Quando se introduz um número na calculadora, este número é armazenado 
pelo registrador X, apresentado no visor. Para que se possa introduzir um outro número, 
você deve indicar à calculadora que você completou a introdução do primeiro número e 
que quaisquer outros dígitos introduzidos serão parte de um outro número. 
Se usa a tecla Enter para separar o primeiro número do segundo. 
Quando se pressiona a tecla Enter, o número armazenado no registrador X é copiado no 
registrador Y. 
Introduza 2 e pressione a tecla Enter . O conteúdo dos registradores da pilha operacional 
muda . . . 
Imediatamente depois de pressionar a tecla Enter, o registrador X está preparado para um 
novo número, e este novo número será "escrito" sobre o número anterior em X. 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 5 
Introduza o número 3 e o conteúdo da pilha operacional mudará 
Agora a calculadora está pronta para executar uma operação aritmética como +, -, x ou  
com os dois números registrados na pilha. Toda operação 
aritmética envolvendo dois números é feita com os 
conteúdos dos registradores X e Y. 
 
Como Apagar Valores. A tecla CLx apenas apaga 
qualquer número contido no visor (registrador X), 
reduzindo o conteúdo deste registrador para 0 (zero). Se um 
novo número for introduzido, ele será"escrito" sobre o zero contido em X. 
As funções que zeram os conteúdos dos registradores estão marcadas em amarelo, o que 
implica o uso da tecla f [em amarelo]. Se você pressionar as teclas f CLx apagará os 
registradores. Note que f CLx envolve o prefixo f, que é tecla amarela e a tecla CLx, mas neste 
caso a calculadora executa a função CLEAR REG = apagar registradores. Desta forma os 
registradores da pilha operacional serão reduzidos a zero. 
f REG limpa todas as memórias da calculadora. 
f FIN limpa os registradores financeiros (n i PV PMT FV) 
f PROG limpa as memórias referentes a programas. 
f  limpa os registradores estatísticos e da pilha operacional. f PREFIX limpa os prefixos 
f g STO RCL e R 
 
A tacla R denomina-se (Roll down = rotacionar para baixo) e a outra é chamada 
de exchange ou de intercâmbio [ou, mais popularmente, troca-troca]. Estas teclas permitem que 
se revise ou mude o conteúdo da pilha operacional para executar cálculos a qualquer momento. 
Cada vez que se pressionar a tecla R, os conteúdos dos registradores são deslocados para 
baixo uma vez. O último número introduzido será rotacionado para o registrador T quando você 
pressionar a tecla R . 
Notação de números muito grandes ou muito pequenos. A HP permite a realização de 
cálculos com números que sejam maiores que 10-100 e menores que 10100. Já que o visor só 
permite a exibição de números com até 10 dígitos, números muito grandes ou muito pequenos 
são exibidos sob a forma de notação científica, onde a mantissa é apresentada primeiramente e, 
depois, o expoente de 10 que 
multiplica a mantissa. 
 
Por exemplo 7000000 
multiplicado por 12000000 
milhões será exibido na HP como 
sendo 6,400000 13. Observar a 
existência de espaço entre 
6,400000 e 13. O primeiro número 
6,400000 é a mantissa e o segundo 
13 é o expoente de 10 que está 
multiplicando a mantissa. De outra 
forma: 7.000.000 x 12.000.000 = 
8,4 x 1013 = 8,4 x 
10000000000000= 8 4 000 000 
000 000 [treze casas depois da 
vírgula]. Para introduzir números 
muito grandes na HP utiliza-se a 
tecla EEX (Enter EXpoent Por 
exemplo, para digitar 7.000.000, 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 6 
basta teclar 7 [EEX] 6. . De forma similar, para digitar 0,000005 na HP bastaria teclar 5 EEX 6 
CHS. 
 
STO - do inglês STORE, armazene tem a função de armazenar valores em um registrador 
que pode variar de 0 a 9 ou de .0 a .9. [ponto zero a ponto 9]. 
Um bom procedimento inicial é verificar se sua calculadora tem todas as memórias 
disponíveis, pois algumas versões apresentam erro, especialmente nos registradores .8 e .9 
(ponto 8 e ponto 9) 
Proceda da seguinte sorma: 
3 STO 3 3 
30 STO .3 30 
8 STO 8 8 
80 STO .8 80 ou ERROR 6 (o registrador não existe ou foi convertido em 
memória de programa) 
9 STO 9 9 
90 STO .9 90 ou ERROR 6 (o registrador não existe ou foi convertido em 
memória de programa) 
 
Caso não disponha de registradores .8 e .9 saiba que não pode proceder a armazenagem de 
valores nesses registradores. 
 
RCL - do inglês RECALL, recupere tem a função 
de recuperar valores armazenados pela função 
STO. 
RCL 3 3 
RCL .3 30 
RCL 8 8 
RCL .8 80 ou ERROR 6 (o 
registrador não existe ou foi convertido em 
memória de programa) 
RCL 9 9 
RCL .9 90 ou ERROR 6 (o registrador 
não existe ou foi convertido em memória de programa). 
Observe que mesmo que desligue a HP os valores ficam nela gravados e estão disponíveis 
para uso futuro. 
 
A função Yx eleva o valor y a uma dada potência x. Observar que x é o 
valor que está no visor. Desta forma para calcular 23 o valor 3 é o valor 
x no visor e, portanto, deve ser o íltimo valor a ser inserido: 
2 enter 2 
3 Yx 8 
 
A função 1/x mostra o inverso do número que está no visor. Por 
exemplo: 
 2 enter 2 
 1/x 0,50 
A função g ex mostra o valor de e elevado ao número que está no visor: 2,718281828x 
A função g LN é inversa da anterior: dá o logaritmo natural do número que está no visor. 
 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 7 
 Sempre que se utilizar a HP em cálculos aparecerá este símbolo: O símbolo 
indica o que aparece no visor. 
 
 
1.2- Curva de Aprendizagem 
O objetivo deste caderno não é falar sobre “curva de aprendizagem”, mas apenas discutir os 
conceitos matemáticos associados a este conceito. 
O efeito de aprendizagem (Learning effect) foi notado primeiramente por T.P. Wright 
(1936) que criou um modelo matemático da curva de aprendizagem (learning curve) que foi 
usado para estimar os custos de 
Usado para estimar os custos de produção de aviões na II Guerra Mundial. A ideia básica da 
curva de aprendizagem é que, à medida em que as pessoas repetem uma tarefa, o tempo que elas 
levam para faze-la gradualmente se reduz devido à aprendizagem (learning). 
Edilson Paulo e Pedreira Junior (2003)1 afirmam que a curva de aprendizagem é uma 
demonstração gráfica de um efeito de aumento na produtividade do trabalhador, de modo que o 
custo de produção de uma empresa pode apresentar declínio no decorrer do tempo, quando os 
administradores e funcionários tornam-se mais experimentados e eficazes na utilização da 
fábrica e dos equipamentos. 
O efeito da curva de aprendizagem pode ocorrer em processos novos, principalmente, 
produtos de grande porte, como seria a fabricação de aviões com menciona Iudícibus (1993). 
Este efeito ocorre quando tratarmos de processos imaturos e não estabilizados, caracterizando-se 
pela diminuição do número médio de horas de mão de obra direta necessário para a fabricação 
do produto, à medida que a empresa vai aumentando a produção cumulativa do mesmo, cessando 
em algum ponto da evolução da curva, podendo-se notar diminuições no custo médio de tal mão 
de obra e nos custos de conversão médios. 
Usos da Curva de Aprendizagem 2 
Alguns dos principais usos da curva de aprendizagem são os seguintes. 
a) No planejamento da necessidade de mão de obra 
Conhecendo-se a demanda para uma dada operação e a curva de aprendizagem aplicável, é 
possível determinar a quantidade de mão de obra para atender esta demanda. 
b) No planejamento de custos 
Sabemos que quanto menos tempo levamos para executar uma operação ou conjunto de 
operações, menor será quantidade de mão de obra, energia, ou até mesmo material necessários 
para a produção. Consequentemente, na medida em que sabemos a curva de aprendizagem para 
a produção de um determinado produto podemos também determinar qual será o custo incorrido 
nas unidades futuras. 
c) Em negociações 
Esta aplicação é quase um caso especial do planejamento de custos. A curva de 
aprendizagem pode fazer parte dos contratos sob encomenda para a fabricação de produtos 
complexos tais como: aviões, grandes equipamentos, máquinas especiais, etc. Como o custo da 
mão de obra cai à medida que aumenta o tamanho do pedido, uma vez fixado o número de 
unidades e o custo de se fazer a primeira unidade, pode-se calcular o custo associado a todas as 
unidades. Esta previsão de custos pode também oferecer um diferencial competitivo durante as 
negociações. 
 
1 O Fenômeno da Aprendizagem: considerações teóricas, aplicações e limitações. Salvador: Fundação Visconde de 
Cairu, 2003. 
2 Extraído de: Marcio Cardoso Machado. Gestão de Operações IV (Módulo 2) PUC, 2012 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 8 
 
1.2.1. O modelo de curva t aprendizagem 
 
Segue um exemplo da construção teórica do fenômeno da aprendizagem: 
Um exemplo clássico: 
Esse exemplo é o resultado de um estudo, acerca de tempos e movimentos, feito uma 
determinada fábrica. Os resultados foram resumidos na tabela 1. 
 
Tabela 1 - Horas de MOD por Unidade ou.lote de Produto 
Unidades
Horas de 
MOD por 
Unidade
Horas Estimadas 
Necessárias para 
Produzir as Unidades
1 10 10
2 16 8
4 25.6 6.4
8 40.8 5.1
16 65.6 4.1
32 105.6 3.3
64 166.4 2.6 
Fonte:Leone (1997) 
 
Observe que toda vez que se dobra a produção, há uma redução de 20% no tempo gasto 
(MOD) para produzir a unidade ou lote adicional. De outra forma: a unidade: adicional, depois 
que a produção dobra, precisa dispor de 80% do tempo gasto (MOD) para produzir a unidade ou 
lote antes da duplicação da produção. Esse resultado, 20% - 80%, foi observado em uma fábrica 
específica, o que não implica que observaremos esse resultado em todas as empresas. 
 
 
1.2.2. A Expressão Matemática 
 
A expressão matemática da curva de aprendizagem é a seguinte: 
2LN
pLNb
ny b


 
 
Na qual: 
y = tempo para fazer a enésima unidade; 
α = tempo para fazer a primeira unidade; 
p = fator de aprendizagem ; 
n = unidade número n. 
b = coeficiente de degressividade 
 
Relembrando, LN representa o logaritmo neperiano, ou seja, o logaritmo de base 2,718... . 
 
Assim, por exemplo, para uma curva de aprendizagem de 80%, o valor de p é 0,8 e o de b 
(coeficiente de degressividade) será: 
322,0
693,0
223,0
2
8,0
2

LN
LN
LN
pLNb 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 9 
O tempo médio de cada atividade leva em conta um valor mínimo min para a realização da 
atividade e é dado por: 
 
)1)(1(
)1)(( 1min
min 


bn
nt
b 
O valor total para n atividades é dado pelo produto n pelo tempo médio. 
 
Exemplo: 
Suponhamos que se vai lançar em fabricação um lote de 20 unidades de um certo produto para o 
qual a Engenharia estima 50 horas como tempo da 1ª unidade, 30 horas como tempo mínimo 
possível atingir e 80% como taxa de experiência. Qual o tempo médio unitário das 20 unidades? 
E qual o tempo necessário para a sua fabricação? 
 =50 horas 
min= 30 horas 
p=0,80 
Valor do coeficiente de degressividade b= (log.0,8)/(log.2) = -0,3219 
Tempo médio unitário: t = 30 + (50 - 30) x (20-0,3219+1 
-1)/[(20 - 1) x (-0,3219 +1)] = 40,28 horas 
 )1322,0)(120(
)120)(3050(30
)1)(1(
)1)(( 1322,01min
min 




bn
nt
b 
28,40282,1030
882,12
45,13230
882,12
)1623,7(2030
)678,0(19
)120(2030
)1322,0)(120(
)120)(3050(30
678,01322,0





t
 
Tempo total: T = t x n = 40,28 x 20 = 805,66 horas 
 
1.2.3. História dos Logaritmos3 
Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez 
que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração. 
Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do início do 
século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da 
época também tenham trabalhado com ele. 
Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas 
relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. Esse processo de 
simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como prostaférese4, sendo 
largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia 
estavam no centro das atenções. De fato, efetuar multiplicações ou divisões entre números muito 
grandes era um processo bastante dispendioso em termos de tempo. A simplificação, provocada 
pela prostaférese, era relativa e, sendo assim, o problema ainda permanecia. 
 
3 Extraído de http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/logaritmica/historia/hist_log.htm 
4 Fórmulas de prostaférese são fórmulas de transformação de soma em produto. 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 10 
O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão 
geométrica 
b, b2, b3, b4, b5, … , bN, … 
os termos da progressão aritmética 1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ... 
então ao produto de dois termos da primeira progressão, bm.bp, está associada a soma m+p 
dos termos correspondentes na segunda progressão. 
Considerando, por exemplo, 
PA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
PG 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 
Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que: 
256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira; 
32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira; 
como 8+5=13, 
13 na primeira linha correspondem a 8192 na segunda. Assim, 256x32=8192 resultado esse 
que foi encontrado através de uma simples operação de adição. 
A fim de que os números da progressão geométrica estivessem bem próximos, para ser 
possível usar interpolação e preencher as lacunas entre os termos na correspondência 
estabelecida, evitando erros muito grosseiros, Napier escolheu para razão o número 
9999999,0
10
11 7 b que é bem próximo de 1. Segundo Eves, para evitar decimais, ele 
multiplicava cada potência 
por 107. Então, se 
L
N 



  7
7
10
1110 , ele chamava L de "logaritmo" do número N. 
Assim, o logaritmo de Napier de 
L




  7
7
10
1110 é 1. 
Enquanto Napier trabalhava com uma progressão geométrica onde o primeiro termo era 
107.b e a razão b, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o problema 
dos logaritmos. 
Bürgi empregou uma razão um pouco maior do que 1, qual seja 1,0001=1+10-4. O primeiro 
termo de sua PG era 108 e ele desenvolveu uma tabela com 23027 termos. 
Como Napier, Bürgi considerou uma PG cuja razão era muito próxima de 1, a fim de que os 
termos da seqüência fossem muito próximos e os cálculos pudessem ser realizados com boas 
aproximações. 
Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis 
de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, 
nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje. 
Ainda segundo Eves, durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou 
no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo 
logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário. 
Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, 
ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins 
computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo 
das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua 
produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as 
tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu. 
 
 
1.2.4. Conceito de Logaritmo 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 11 
23=8 Observe que quando elevamos a base 2 ao expoente 3 obtemos como resultado o 
número 8. Dizemos que o logaritmo de 8 na base 2 vale 3.Em outras palavras, aqui neste 
exemplo, logaritmo é o expoente que utilizamos para conseguir o número 8 quando utilizamos a 
base 2. Vimos que logaritmo é o expoente que utilizamos para conseguir o número 8 quando 
utilizamos a base 2. Veja novamente o exemplo anterior: 23 = 8 
Pode-se afirmar que o logaritmo de 8 na base 2 vale 3 e representamos esta frase, 
matematicamente, da seguinte forma: log2 8 = 3 
Note que o logaritmo nada mais é que o número que serve de expoente.Calcular o logaritmo 
de um número consiste em descobrir qual é este número que servirá de expoente à base para 
obtermos o número dado. 
O logaritmo de x, cuja base é o número "e" é o logaritmo natural LN ou neperiano de x. 
Denota-se por: 
 
A base natural (número "e") vale, aproximadamente, 2,71 (é um número irracional) Tal 
constante, se definida usando a notação de limite fica assim: 
 
 
 Na HP as teclas ex e LN (funções em azul) fazem as operações com logaritmos 
naturais (de base e). 
Para conhecer o valor de e na HP proceda da seguinte forma: 
 
 
1 enter g ex Surge o valor 2,72. Para ver o valor com 9 casas decimais aperte f 9. 
 Na HP também é possível calcular o valor de e que é dado pela fórmulan
n n
e 



 

11lim Ou seja: o valor de e é igual a 
n
n




  11 quando n tende 
para um valor infinito, isto é, um valor muito alto. Se dermos a n o valor de 4000 temos 
717942121,2
4000
11
4000




 e Este é um valor aproximado. 
Para calcularmos 
4000
4000
11 



 e na HP, primeiro vamos resolver o que está dentro 
do parêntesis e a seguir elevamos esse valor a 4000. Procedemos da seguinte forma: 
4000 4000 
1/x 0,000250000 
1 + 1,000250000 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 12 
4000 4000 
yx 2,717942121 
 
Exercício proposto. Quando o valor de n se torna maior, mais perto do verdadeiro valor de 
e se obtém o resultado. 
Calcular 
1000000
1000000
11 



 e (n= 1000000). 
O resultado é 2,718280469 
 
1.3- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
Neste caderno se faz uma introdução à HP e ao uso de diversas funções especialmente as 
funções: Yx 1/x g ex e g LN . 
 
Exercício 1.3.1: [Exercício referente a fator de aprendizagem] Uma atividade leva 20 horas para 
ser completada na primeira vez que é realizada. Assumindo que o fator de aprendizagem é de 
0,80 determinar o tempo para fazer a 8ª unidade. 
 
Resolução: 
A fórmula a adotar é 
bny  onde y = tempo para fazer a enésima unidade; α = tempo 
para fazer a primeira unidade; p = fator de aprendizagem; n = unidade número n. 
Substituindo: 
bbny 820.  
 
Onde 2
8,0
2 LN
LN
LN
pLNb  
Para calcular o valor b na HP-12C proceda da seguinte forma: 
 (Lembre-se que para ver o resultado com 9 casas decimais aperte f 9) 
 0,8 g LN  -0,223143551 
 2 g LN  0,693147181 
 ÷  -0,321928095 
 Salve o resultado numa memória qualquer, por exemplo a memória 1: 
 STO 1  -0,321928095 
 O valor de b foi armazenado na memória 1. 
 Observe duas coisas: primeiro, o valor de b é um valor negativo; segundo: é um número 
infinito. No visor da HP-12C vemos apenas as 9 primeiras casas decimais.... Entretanto, quando 
se armazenou o valor b na memória 1, a calculadora armazenou com 15 casas decimais. 
Agora, com b conhecido, pode-se calcular a expressão: 
 
...321928095,0820820.  bbny  
Quando se tem uma valor que é potência, no exemplo, 8b devemos usar a função da HP-12C que 
é yx. 
 Desta forma, para calcular 8-0,321928095... se procede da seguinte forma, lembrando que o 
valor -0,321928095... está na memória 1: 
 8 RCL 1 yx 0,512000000 
 Falta agora multiplicar por 20: 
 20 × 10,24 
24,10820820. ...321928095,0  bbny  
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 13 
 Isto é: uma atividade que levou 20 horas para ser completada na primeira vez que foi 
realizada, se o fator de aprendizagem for de 0,8 para fazer a 8ª unidade se levará apenas 10,24 
horas. 
 
Exercício 1.3.2: [Continuação do exercício anterior] =20 p=0,8. Estima-se que a atividade 
pode ser feita num tempo mínimo de 8 horas. Qual o tempo total para se fazer 40 atividades? 
 
Resolução: 
A fórmula para obter o tempo total requer que se saiba o tempo médio que é dado por: 
 






)1322,0)(140(
)140)(820(8
)1)(1(
)1)(( 1322,01min
min bn
nt
b 
442,26
)1...1954,12(128
)678,0(39
)140(128
)1322,0)(140(
)140)(820(8
678,01322,0 



t 
 
53,13534,58
442,26
345,1468
442,26
)1...1954,12(128 t 
O tempo médio de cada atividade (numa série de 40 atividades) é de 13,53 horas. Fazer as 40 
atividades consome um tempo total: 
38,54140*53,13  ntT 
O tempo total estimado é de 541,328 horas. 
 
1.4- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1- Na produção de uma nova peça, pode-se assumir um fator de aprendizagem de 0,85. A 
unidade inicial exigiu 30 horas de trabalho para o término da tarefa. Determine o tempo para 
produzir a 10ª peça. Estima-se um tempo mínimo de 15 horas para fazer uma peça. Qual o 
tempo total que levará fazer 50 peças? 
 
2- Em uma montadora de produtos eletrônicos houve o início da integração de um novo 
notebook. A Eng.ª Industrial sugeriu assumir um fator de aprendizagem de 0,95 para as 
estimativas de produção do PCP. A unidade inicial exigiu 4 horas de trabalho para o término da 
tarefa. Determine o tempo para completar a 7ª unidade. 
 
1.5- GABARITO 
1- Na produção de uma nova peça, pode-se assumir um fator de aprendizagem de 0,85. A 
unidade inicial exigiu 30 horas de trabalho para o término da tarefa. Determine o tempo para 
produzir a 10ª peça. Estima-se um tempo mínimo de 15 horas para fazer uma peça. Qual o 
tempo total que levará fazer 50 peças? 
 
48,17)10(30
...2345,0
2
85,0
2
10 

bbny
LN
LN
LN
pLNb

 
 
0,85 g LN STO 1 -0,162518930… 
2 g LN STO 2 0,693147181 
RCL 1 RCL 2 ÷ STO 3 -0,234465254 
Matemática Aplicada para Administradores  Manuel Meireles 14 
1+ STO 4 0,765534746 (aproveita-se o cálculo para calcular b+1 necessário no cálculo 
seguinte 
10 enter RCL 3 yx 30 x 17,48461207 
 






)1322,0)(150(
)150)(1530(15
)1)(1(
)1)(( 12345,01min
min bn
nt
b 
 
590,22
...)7655,0(49
)150(1515
)1322,0)(150(
)150)(1530(15
...7655,012345,0




t 
 
50 enter RCL 4 yx 1 - 15 ,000000x 284,7173130 (numerador da fração) 
STO 5  armazena o valor acima na memória 5 
49 RCL 4 x STO 6 37,,51120257 (denominador da fração) 
RCL 5 RCL 6 ÷ 15 + 22,59019422 (tempo médio de uma peça) 
50 x 1129,509711 tempo total 
 
Respostas: O tempo para produzir a 10ª peça é de 17,48 horas O tempo total que levará fazer 50 
peças é de 1129,51 horas 
 
2- Em uma montadora de produtos eletrônicos houve o início da integração de um novo 
notebook. A Eng.ª Industrial sugeriu assumir um fator de aprendizagem de 0,95 para as 
estimativas de produção do PCP. A unidade inicial exigiu 4 horas de trabalho para o término da 
tarefa. Determine o tempo para completar a 7ª unidade. 
493556248,3)7(4
...074000581,0
2
95,0
2
7 

bbny
LN
LN
LN
pLNb

 
O tempo para fazer a sétima unidade é de 3,49 horas. 
 
REFERÊNCIAS 
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HARTLEY, Ronald V. Cost and Managerial Accounting. Ed. Ally and Bacon: Massachusetts, 1986. 
HILL, R. Carter; GRlFFlTHS W.; JUDGE G. Econometria. Ed. Saraiva: São Paulo, 1999. 
HUGON, Paul. História das Doutrinas Econômicas. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1995. 
IUDÍCIBUS, Sérgio de. Análise de Custos. 2.ed. São Paulo: Atlas, 1993. 
LEONE, George S. Guerra.Contabilidade de Custos. São Paulo: Atlas, 1997. 
LIMA, Ricardo. Mercado de trabalho: o capital humano e a teoria da segmentação. Pesquisa e Planejamento 
Econômico, Rio de Janeiro, v. 1, p. 217-249, abr. 1980. 
MACHADO, Marcio C. Gestão do Processo de Desenvolvimento de Produtos: uma abordagem baseada na criação 
de valor. São Paulo: Atlas, 2008. 
MARTINS, P. G. LAUGENI, F. P. Administração da Produção. 2.ed. São Paulo: Saraiva, 2005. 
MOREIRA, Daniel. Administração da produção e operações. 2ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008. 
PINDYCK, Robert S., RUBINFELD, Daniel F. Microeconomia. São Paulo: Makron, Books, 1994. 
SACHS, Jefrey; LARRAIN, G. Macroeconomia. Ed. Makron Brooks: São Paulo: 1998. 
SLACK, Nigel, et. al. Administração da produção. São Paulo: Atlas, 2009. 
 
 
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