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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CAMPUS UNIVERSITÁRIO DA REGIÃO DOS VINHEDOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, DA NATUREZA E DE TECNOLOGIA CCáállccuulloo DDiiffeerreenncciiaall ee IInntteeggrraall II Notas de Aula Professora: Regine Marie Pascale Langon Lorenzi 1 1. LIMITES 1.1. Noção intuitiva Exemplo 1: Duplicando sucessivamente o número de lados de um polígono regular inscrito numa circunferência observa-se que o perímetro de cada polígono é maior que o do anterior. Quando o número de lados aumenta indefinidamente (n→∞) o polígono “tende” a se confundir com a circunferência e o seu perímetro “tende” ao comprimento da circunferência. Exemplo 2: Sejam P e Q dois pontos de uma circunferência e tracemos a secante PQ. Girando o ponto Q em direção ao ponto P, a reta secante irá girar em direção a uma posição limite. Quando a distância entre P e Q “tender” a zero, a secante “tenderá” à posição da tangente à circunferência no ponto P. A tangente é a posição limite da secante. Exemplo 3: Considerando a sucessão de números , n ,,,,, 1 4 1 3 1 2 1 1 com n N*. Escrevendo alguns destes termos na forma decimal: 2 1 ............. 3 1 ............. 4 1 ............. 20 1 ............. 50 1 ............. 00010 1 . ............., notamos que quanto maior for o valor de n, menor o valor de n 1 , tendendo este valor para ........ Mas por mais que aumentemos o valor de n, o valor de n 1 nunca será exatamente igual a zero. Na realidade dizemos que quando n “tende” ao infinito, n 1 “tende” a zero. Para anotar esta conclusão escrevemos: 1.2. Interpretação geométrica de limite O uso mais básico de limites é descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor. 2 Exemplo 4: Como a função 12 xxxf se comporta próximo de 2x ? Quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2, f(x) se aproxima de ................. Simbolicamente ……………................ Quando x se aproxima de 2 por valores maiores do que 2, f(x) se aproxima de ................. Simbolicamente ……………................ Como os limites laterais são iguais, escreve-se..........…………… OBS: A existência de )x(flim ax exige que )x(flim)x(flim axax . Exemplo 5: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. Através de exame do gráfico, encontre os limites: )x(flim x 1 ............ )x(flim x 1 .............. )x(flim x 1 ............. Exemplo 6: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. Através de exame do gráfico, encontre os limites: )x(flim x 1 ............ )x(flim x 1 .............. )x(flim x 1 ............. Embora )(f 1 .............. x y x y x y 3 Exemplo 7: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. Através de exame do gráfico, encontre os limites: )x(flim x 1 ............ )x(flim x 1 .............. Nesse caso, como )x(flim)x(flim xx 11 , dizemos que o )x(flim x 1 não existe. Exemplo 8: Construa o gráfico de x |x| xf e determine: )(f 0 , )x(flim x 0 , )x(flim x 0 e )x(flim x 0 . Exemplo 9: Construa o gráfico de 32 32 xsex xsex xf e determine: )(f 3 , )x(flim x 3 , )x(flim x 3 e )x(flim x 3 . x y x y x y 4 x y Exemplo 10: Construa o gráfico de 37 32 xse xsex xf e determine: )(f 3 , )x(flim x 3 , )x(flim x 3 e )x(flim x 3 . 1.3. Limites Infinitos Vamos determinar estes limites intuitivamente por observação do gráfico. Exemplo 11: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. Através de exame do gráfico, encontre os limites: )x(flim x 0 ............ )x(flim x 0 .............. )x(flim x 0 ............. x y 5 Exemplo 12: Construa o gráfico da função definida por 3 5 x xf e determine: )(f 3 , )x(flim x 3 , )x(flim x 3 e )x(flim x 3 . Exemplo 13: Construa o gráfico da função definida por 2 1 x xf e determine: )(f 0 , )x(flim x 0 , )x(flim x 0 e )x(flim x 0 . 1.4. Cálculo de Limites – Propriedades dos Limites 1) kklim ax Exemplo 14: 3 2x lim x y x y 6 2) axlim ax Exemplo 15: xlim x 1 3) )x(glim)x(flim)x(g)x(flim axaxax Exemplo 16: 2 1 xlim x 4) )x(glim.)x(flim)x(g).x(flim axaxax Exemplo 17: xlim x 7 2 5) )x(glim )x(flim )x(g )x(f lim ax ax ax Exemplo 18: x lim x 5 1 6) p ax p ax )x(flim)x(flim Exemplo 19: 2 3 xlim x 7) n ax n ax )x(flim)x(flim Exemplo 20: 3 3 xlim x Exemplo 21: 342 5 xxlim x OBS: Em geral, o limite de um polinômio quando x → a é o próprio valor de )a(p . Exemplo 22: 12 57 1 xxlim x 7 x y Exemplo 23: 3 45 3 2 x x lim x Exemplo 24: x xx lim x 72 0 Exemplo 25: 2 42 2 x x lim x Exemplo 26: 3 962 3 x xx lim x Exemplo 27: 12 82 24 xx x lim x Exemplo 28: 32 23 2 2 1 xx xx lim x Exemplo 29: 1 22 23 1 x xxx lim x 1.5. Limites no Infinito Exemplo 30: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. Através de exame do gráfico, encontre os limites: )x(flim x ............. )x(flim x ..............Exemplo 31: Construa o gráfico da função definida por 3xxf e determine )x(flim x e )x(flim x . x y 8 Exemplo 32: Construa o gráfico da função definida por x xf 31 10 e determine )x(flim x e )x(flim x . 1.6. Limite de polinômios quando x → ∞ O comportamento final de um polinômio coincide com o comportamento final de seu termo de maior grau. Exemplo 33: 9247 35 xxxlim x Exemplo 34: 15174 38 xxxlim x 1.7. Limite de funções racionais quando x → ∞ O comportamento final de uma função racional coincide com o comportamento final do quociente dos termos de maior grau do numerador e do denominador. Exemplo 35: 86 53 x x lim x Exemplo 36: 52 4 3 2 x xx lim x Exemplo 37: x xx lim x 31 125 23 x y 9 1.8. Continuidade Uma função f é contínua no ponto c se as seguintes condições forem satisfeitas: (a) f é definida no ponto c; (b) )x(flim cx existe; (c) )c(f)x(flim cx . Se f for contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é “função contínua”. Geometricamente, uma função contínua é uma função cujo gráfico não apresenta quebra ou buraco. Exemplo 38: Através do exame dos esboços dos gráficos analise a continuidade das funções (justifique): 10 Exercícios Através de exame dos gráficos das funções responda: 1) a) )x(flim x 1 b) )(f 1 c) )x(flim x 1 d) )(f 1 e) f é contínua? 2) a) )x(flim x 0 = b) )(f 0 c) )x(flim x 1 = d) )(f 1 e) f é contínua? 3) a) )x(flim x 1 = b) )x(flim x 1 = c) )x(flim x 1 = d) )(f 1 e) f é contínua? 4) a) )x(flim x 2 = b) )x(flim x 2 = c) )x(flim x 2 = d) )(f 2 e) f é contínua? x y -2 -1 1 2 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y -2 -1 1 2 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 x y 11 5) a) )x(flim x 0 = b) )x(flim x 0 = c) )x(flim x 0 = d) )(f 0 e) )x(flim x = f) )x(flim x = g) f é contínua? a) )x(flim x 2 = b) )x(flim x 2 = c) )x(flim x 2 = 6) d) )(f 2 e) )x(flim x 1 = f) )x(flim x 1 = g) )x(flim x 1 = h) )(f 1 i) )x(flim x j) )x(flim x = l) f é contínua? 7) a) )x(flim x 2 = b) )x(flim x 2 = c) )x(flim x 2 = d) )(f 2 e) )x(flim x f) )x(flim x = g) f é contínua? 8) a) )x(flim x 3 = b) )x(flim x 3 = c) )x(flim x 3 = d) )x(flim x 3 = e) )x(flim x 3 = f) )x(flim x 3 = g) )x(flim x h) )x(flim x = i) f é contínua? -2 -1 1 2 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 5 x y -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -1 1 x y 12 9) a) )x(flim x = b) )x(flim x = c) f é contínua? Calcule os limites indicados: 10) 2 0 573 xxlim x 14) 2 652 2 x xx lim x 11) 26 45 1 xxlim x 15) xxlim x 2 12) 13 4 2 x x lim x 16) x xx lim x 3 2 13) 1 12 1 x x lim x Respostas: 1) a) 1 b) 1 c) –1 d) –1 e) contínua 2) a) 2 b) 2 c) 1 d) 4 e) descontínua em x = 1 3) a) –1 b)3 c) ∄ d) 1 e) descontínua em x = 1 4) a) 3 b) 1 c) ∄ d) 1 e) descontínua em x = 2 5) a) 1 b)1 c)1 d) 1 e) 0 f) +∞ g) contínua 6) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 1 f) 1 g) 1 h) 3 i) –∞ j) +∞ l) descontínua em x = 1 7) a) +∞ b) +∞ c) +∞ d) ∄ e) 0 f) 0 g) descontínua em x = 2 8) a) –∞ b) +∞ c) ∄ d) –∞ e) +∞ f) ∄ g) 0 h) 0 i) descontínua em x = –3 e x = 3 9) a) 0 b) 2 c) contínua 10) 3 11) 9 12) 6/5 13) 2 14) –1 15) +∞ 16) –∞ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 1 2 x y Exercícios 2.1 – pág. 110: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Exercícios 2.2 – pág. 121: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 Exercícios 2.3 – pág. 131: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 13, 15, 25, 26 13 2. FUNÇÃO LINEAR 2.1. Definição As funções mais importantes e, ao mesmo tempo, as mais simples são as funções lineares. Uma função linear tem a forma bmx)x(f , onde m e b são constantes. Seu gráfico é uma reta tal que m é a inclinação da reta; b é o intercepto vertical, ou valor de y quando x é zero. Interpretações da Inclinação: A inclinação m da reta tem duas interpretações importantes: m é uma medida da declividade da reta. m é a taxa de variação de y com relação a x. Exemplo 1: A variação de temperatura de uma barra de ferro (em ºC) em função do tempo (em minutos) é dada por 306 t)t(T . a) Qual é a temperatura inicial da barra? b) Qual é a taxa de variação da temperatura da barra em relação ao tempo? c) Ao fim de quantos minutos a temperatura da barra será de 9ºC? d) Faça o gráfico dessa função. 2.2. A Equação da Reta Uma reta com inclinação m passando pelos pontos 11 y,xP e 22 y,xQ , tem 12 12 xx yy x y m e equação 11 xxmyy . 14 Exemplo 2: Considere os seguintes valores para a temperatura e o volume de um gás: temperatura (ºC) Volume (cm 3 ) 27 500 90 605 Com base nesses dados: a) Encontre a expressão da função linear para o volume (V) do gás em função da temperatura t. b) Qual a taxa de variação do volume do gás em relação à temperatura? c) Determine o volumede gás para uma temperatura de 45ºC. d) Determine a temperatura para um volume de 0 cm3. e) Faça o gráfico dessa função. 2.3. Retas Paralelas e Perpendiculares As inclinações podem ser usadas para mostrar se duas retas são paralelas ou perpendiculares: Duas retas não verticais são paralelas se e somente se tiverem a mesma inclinação: sr mm . Duas retas são perpendiculares se e somente se suas inclinações são recíprocas negativas: s r m m 1 . Exemplo 3: Determine as inclinações das retas: r que passa pelos pontos (1, 2) e (2, 4); s que passa pelos pontos (1, 1) e (0, 3); t que passa pelos pontos (0, 1) e (1, 2 1 ). 15 Com base nas inclinações determinadas, quais as posições relativas das retas r, s e t? Represente graficamente as retas r, s e t, num mesmo sistema de eixos cartesianos e, confirme as conclusões acima. Exercícios 1) Construa o gráfico da reta que passa por (4, 2) com inclinação m = 3. 2) Uma partícula inicialmente em (7, 5) move-se ao longo de uma reta com inclinação m = 2 para uma nova posição (x, y). a) Ache y se x = 9 b) Ache x se y = 12 3) Ache a inclinação e o intercepto y de: a) 23 xy b) xy 4 1 3 c) 853 yx 4) Escreva as equações das retas abaixo: a) Reta com inclinação 2 e intercepto y = 4; b) Reta paralela a 24 xy e intercepto y = 7; c) Reta perpendicular a 95 xy e que passa por (3, 4); d) Reta que passa por (3, 6) e (2, 1). 5) Em cada item, classifique as retas como paralela, perpendiculares ou nenhum dos dois: a) 74 xy e 94 xy c) 342 xy e 3 4 1 7 xy b) 32 xy e xy 2 1 7 d) xy 2 1 e yx 2 1 16 6) Considere a reta r, cuja equação é dada por 3 xy e que passa pelo ponto (1, 2): a) Encontre a equação da reta s que passa pelo ponto dado e é perpendicular à reta dada; b) Encontre a equação da reta t paralela à r e que passa pelo ponto (2, 1). c) Represente as retas r, s e t num mesmo gráfico. 7) A média de pontos obtidos num teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendo constantemente nos últimos anos. Em 2000 a média foi de 582 pontos, enquanto que, em 2005, foi de 552 pontos. a) Expresse a média do teste M como função do tempo t; b) Se a tendência atual se mantiver, qual será a média dos pontos obtidos em 2010? c) Em que ano, a média será 534 pontos, nestas condições? 8) À medida que o ar seco move-se para cima ele se expande e esfria. Se a temperatura do solo for de 20 o C e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10 o C; a) Expresse a temperatura T (em o C) como uma função da altura h (em km); b) Faça um gráfico da função; c) O que representa a inclinação? d) Qual é a temperatura a 2,5 km de altura? 9) Sabe-se que a pressão da água ao nível do mar é de 1 atm e que a cada metro em que você se aprofunda, a pressão se eleva de 0,1 atm. a) Expresse a pressão da água (p) em função da profundidade (h); b) Faça o gráfico da função; c) Determine a pressão a que estamos submetidos numa profundidade de 10 metros; d) Determine a profundidade em que estamos quando a pressão é de 3 atm; e) Qual é a taxa de variação média entre dois “pontos” quaisquer do domínio de p(h)? Respostas: 2) a) 1 b) 7/2 3) a) 3 e 2 b) -1/4 e 3 c) -3/5 e 8/5 4) a) 42 xy b) 74 xy c) 5 17 5 1 xy d) 95 xy 5) a) paralelas b) perpendiculares c) nenhum dos dois d) nenhum dos dois 6) a) 1 xy b) 1 xy 7) a) 5826 t)t(M b) 522 pontos c) 2008 8) a) 2010 h)h(T c) representa a taxa de variação da temperatura do ar em relação à altura (-10ºC/km) d) -5ºC 9) a) 110 h,)h(p c) 2 atm d) 20 m e) 0,1 atm/m 17 3. DERIVADA 3.1. Velocidade Instantânea no Movimento Retilíneo Se você observar o velocímetro de um carro no tráfego urbano, verá que o ponteiro não fica parado por muito tempo; isto é, a velocidade do carro não é constante. Podemos supor da observação do velocímetro que o carro tenha uma velocidade definida em cada momento. Mas como está definida essa velocidade “instantânea”? Exemplo 1: A equação horária de uma partícula em movimento é 294 t,ts (t em segundos e s em metros). a) Sabendo que t s decorridotempo todeslocamen vméd , encontre a velocidade média para os intervalos de tempo entre: st 5 e st 6 st 5 e s,t 15 st 5 e s,t 015 st 5 e s,t 0015 b) A velocidade instantânea quando st 5 é definida como o valor limite dessas velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores começando em st 5 . Assim sendo, qual a velocidade instantânea da partícula quando st 5 ? Considerando-se uma partícula em movimento retilíneo com função posição )t(fs , onde s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. No intervalo de tempo entre 0t e ht 0 o deslocamento será de )t(f)ht(f 00 . A velocidade média nesse intervalo é h )t(f)ht(f decorridotempo todeslocamen vméd 00 18 Define-se a velocidade instantânea da partícula instante 0t como o limite, quando 0h , das velocidades médias nos intervalos de tempo entre 0tt e htt 0 , isto é: Exemplo 2: Seja tts 103 2 a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica. Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule: a) a velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2,4]; b) a velocidade instantânea no instante t = 2. 3.2. A Reta Tangente Sejam )x(f,x(P 00 e )hx(f,hx(Q 00 dois pontos distintos da curva )x(fy . A inclinação PQm da reta secante que passa pelos pontos P e Q é: Se fizermos h tender a zero, o ponto Q se moverá sobre a curva )x(fy e tenderá ao ponto P; além disso, a reta secante irá girar em torno do ponto P e tenderá para a reta tangente. Assim, enquanto 0h , a inclinação PQm da reta secante tende para a inclinação m da reta tangente; ou seja h )t(f)ht(f limv h i 00 0 h )x(f)hx(f mPQ 00 h )x(f)hx(f limm h 00 0 19 Exemplo 3: Dada a função 2x)x(f ; a) Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto genérico 0x ; b) Determine a inclinação da reta que é tangente ao gráfico da função 2x)x(f nos pontos (1, 1), (2, 4) e (4, 16); c) Escreva a equação da reta tangente à parábola no ponto (3, 9); d) Construa o gráfico da função 2x)x(f e da reta tangente ao gráfico da função no ponto (3, 9). 3.3. Outras Taxas de Variação A velocidade pode ser vista como uma taxa de variação da posição em relação ao tempo. As taxas de variação também ocorrem em outrasaplicações: Taxa com que a quantidade de bactérias de uma colônia muda com o tempo. Taxa com que o comprimento de um cano de metal muda com a temperatura. Taxa com que os custos de produção mudam com a quantidade de produto que está sendo produzido. Taxa com que o raio de uma artéria muda com a concentração de álcool na corrente sanguínea. Se )x(fy , então definimos a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo de 0x a hx 0 como E dizemos que a taxa de variação instantânea de y em relação a x é h )x(f)hx(f x y rm 00 h )x(f)hx(f limr h i 00 0 20 Exemplo 4: Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente como conseqüência de ter sido aquecido. Calcule: a) A taxa de variação média de seu volume em relação à aresta quando x aumenta de 2 para 2,01 centímetros. b) A taxa de variação instantânea de seu volume em relação à aresta no instante em que 2x cm. 3.4. A Derivada de uma Função O problema de encontrarmos a taxa de variação de uma variável em relação a outra e o problema de encontrarmos coeficiente angular da reta tangente a um gráfico são resolvidos pelo cálculo do mesmo limite. Esse limite é tão importante que possui notação especial: Como a função 'f é derivada da função original f, é chamada de derivada de f. Assim, substituindo 0x por x estabelecemos a fórmula que define a derivada de f em relação a x: h )x(f)hx(f lim)x('f h 0 O domínio de 'f consiste de todo x para o qual o limite existe. Exemplo 5: Ache a derivada em relação a x de xx)x(f 2 . h )x(f)hx(f lim)x('f h 00 0 21 3.5. Diferenciabilidade Uma função f é diferenciável ou derivável em x0 se existe o limite h xfhxf limx'f h 00 0 0 Geometricamente, uma função f é diferenciável em x0 se o gráfico de f possuir uma reta tangente em x0. Ela não terá derivada nos pontos em que o gráfico apresentar, por exemplo: 1) Picos ou pontos de quina 2) Pontos de tangência vertical 3) Pontos de descontinuidade Outras Notações Se usarmos a notação tradicional )x(fy para indicar que a variável independente é x enquanto y é a variável dependente, então algumas notações alternativas para a derivada são como se segue: )x(fD)x(Df)x(f dx d dx df dx dy 'y)x('f x Os símbolos D e dx d são chamados operadores diferenciais, pois indicam a operação de diferenciação, que é o processo de cálculo de uma derivada. O símbolo dx dy , introduzido por Leibniz, não deve ser encarado como um quociente (por ora); trata-se simplesmente de um sinônimo para )x('f . Exercícios 1) a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola xxy 22 no ponto ( 3, 3); b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a); c) Faça os gráficos da parábola e da reta tangente num mesmo sistema de eixos cartesianos. 22 2) a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva 3xy no ponto ( 1, 1 ); b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a); c) Faça os gráficos da curva e da reta tangente num mesmo sistema de eixos cartesianos. 3) O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo da reta é dado pela equação 1882 tts , onde t é medido em segundos. a) Encontre a velocidade média no intervalo [3, 4]; b) Encontre a velocidade instantânea quando t = 4. 4) Seja 2 2 1 xy . a) Ache a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [3, 4]; b) Ache a taxa de variação instantânea de y em relação a x num ponto genérico x = x0; c) Ache a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto x = 3. 5) Um triângulo equilátero feito de uma folha de metal é expandido pois foi aquecido. Sua área A é dada por 2 4 3 xA cm 2 , onde x é o comprimento de um lado em cm. Calcule a taxa de variação instantânea de A em relação a x no instante em que 10x cm. 6) Se xx)x(f 53 2 , encontre )('f 2 . 7) Se 2423 xx)x(f , encontre )a('f . 8) Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa, e o custo da produção, em reais, de x metros desse material é )x(fC . a) Qual o significado da derivada )x('f ? Quais suas unidades? b) Em termos práticos, o que significa dizer que 91000 )('f ? Respostas: 1) a) 4m b) 94 xy 2) a) 3m b) 23 xy 3) a) s/mvméd 1 b) 0iv 4) a) 2 7 mr b) 0xri c) 3ir 5) cm/cm235 6) 72 )('f 7) a)a('f 82 8) a) A derivada )x('f é a taxa de variação instantânea de C em relação a x; isto é, )x('f significa a taxa de variação do custo de produção em relação ao número de metros produzidos. A unidade para )x('f é reais por metro. b) Significa que, depois de 1.000 metros da peça terem sido fabricados, a taxa segundo a qual o custo de produção está aumentando é R$ 9,00 por metro. 23 4. TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO O uso da definição para o cálculo de x'f é muitas vezes um processo longo e trabalhoso. Para facilitar o cálculo de derivadas usaremos as regras de derivação. 4.1. Derivada de uma constante 1. 0c dx d Exemplo 1: 5xf → x'f Exemplo 2: 2 dx d 4.2. Derivadas de potências de x 2. 1x dx d 3. 1 nn xnx dx d Exemplo 3: Derive: a) 5xxf b) 4ty c) 9 1 x xf d) xy e) 3 2 1 x y 4.3. Derivada de uma constante vezes uma função 4. )x(f dx d c)x(fc dx d Exemplo 4: Encontre x'f : a) 84xxf b) 12xxf c) x xf d) x xf 2 4.4. Derivadas de somas e de diferenças 5. )x(g dx d )x(f dx d )x(g)x(f dx d 6. )x(g dx d )x(f dx d )x(g)x(f dx d 24 Exemplo 5: Encontre dx dy : a) xxy 53 b) 9 6 12 x xy c) xy 21 d) 12623 58 xxxy Exemplo 6: Em quais pontos, se em algum, o gráfico de 433 xxy tem uma reta tangente horizontal? (Construa o gráfico indicando as tangentes) 4.5. Derivadas de Ordens Superiores Se f é uma função diferenciável, então sua derivada 'f é também uma função, logo 'f pode ter sua própria derivada. Essa nova função ''f é chamada derivada segunda de f. Enquanto tivermos diferenciabilidade, podemos continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta,quinta, etc. Essas derivadas em sucessão são denotadas por: xf dx d dx yd x''f''y 2 2 2 2 xf dx d dx yd x'''f'''y 3 3 3 3 xf dx d dx yd xfy 4 4 4 4 44 Exemplo 7: Se 2423 234 xxxxxf encontre xf 5 . Exemplo 8: Se 3xy encontre ''y . Exemplo 9: Um objeto move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação de movimento ttts 96 23 onde t é medido em segundos e s em metros. a) Encontre a velocidade no instante t. Qual é a velocidade após 2 segundos? Quando o objeto está em repouso? b) Encontre a aceleração no instante t. Qual é a aceleração depois de 4 segundos? Exercícios de compreensão 3.3 – pág. 196: 2 Exercícios 3.3 – pág. 196: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 29, 31, 33 25 4.6. Derivadas de produtos e de quocientes 7. )x(f dx d )x(g)x(g dx d )x(f)x(g)x(f dx d Exemplo 10: Encontre 'y para: a) xxxy 32 714 b) 3432 23 xxxxy c) xxxy 35 23 Exemplo 11: Encontre dt ds se tts 1 . 8. 2)x(g )x(g dx d )x(f)x(f dx d )x(g )x(g )x(f dx d Exemplo 12: Encontre x'y para: a) 5 12 23 x xx y b) 1 1 4 2 x x y Exemplo 13: Encontre uma equação da reta tangente à curva 4 8 2 x y no ponto 12, . Exercício: A função 44 24 ttts descreve a posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t em segundos. a) Encontre as funções velocidade e aceleração. Resposta: tttv 84 3 812 2 tta b) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t = 1. Resposta: s/mv 41 241 s/ma Exercícios 3.3 – pág. 196: 37(a), 37(b), 39, 41 Exercício: A função 42 t t ts descreve a posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t em segundos. a) Encontre as funções velocidade e aceleração. Resposta: 168 4 24 2 tt t tv 224 35 168 96162 tt ttt ta b) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t = 1. Resposta: s/mv 25 3 1 2 125 22 1 s/ma Exercícios de compreensão 3.4 – pág. 202: 1 e 3 Exercícios 3.4 – pág. 203: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 23, 25 26 4.7. Derivadas de Funções Trigonométricas 1. xx dx d cossen 3. xx dx d 2sectg 5. xxx dx d tgsecsec 2. xx dx d sencos 4. xx dx d 2cosseccotg 6. xxx dx d cotgcosseccossec Exemplo 14: Encontre dx dy se: a) xxy sen b) x x y cos1 sen Exemplo 15: Encontre 4''f se xxf sec . Exemplo 16: Suponha que uma massa presa na ponta de uma mola seja espichada 3 cm além de seu ponto de repouso e largada no instante t = 0. Supondo que a função posição do topo da massa presa à mola seja ts cos3 onde s está em centímetros e t em segundos. a) Encontre a função velocidade. b) Encontre a posição do topo da massa e a velocidade no instante 2t . 4.8. Regra da Cadeia Se uf é derivável no ponto xgu e xg é derivável em x, então a função composta xgfgf é derivável em x e x'gxg'fx'gf . Na notação de Leibniz, se ufy e xgu , então dx du du dy dx dy onde du dy é calculada em xgu . Obs: Ao usarmos a Regra da Cadeia trabalhamos de fora para dentro. Exemplo 17: Encontre dx dy se 72 25 xxy . Exercícios de compreensão 3.5 – pág. 207: 2 Exercícios 3.5 – pág. 207: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21, 23, 25(a) 27 4.9. Regra Geral para Potências dx du unu dx d nn 1 Exemplo 18: Derive: a) 523 3 xxxy b) 32 xy c) 9 12 2 t t tf d) 435 112 xxxy 4.10. Regras Gerais para Funções Trigonométricas 1. dx du uu dx d cossen 4. dx du uu dx d 2cosseccotg 2. dx du uu dx d sencos 5. dx du uuu dx d tgsecsec 3. dx du uu dx d 2sectg 6. dx du uuu dx d cotgcosseccossec Exemplo 19: Encontre dx dy se: a) 3cos xy b) xxy 34tg c) xy 3cos2 d) xtgcosseny Exercício: A função 3 cos99 t ts descreve a posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t em segundos. a) Encontre as funções velocidade e aceleração. Resposta: ttv 3 sen3 tta 3 cos2 b) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t = 1. Resposta: s/mv 2 33 1 2 2 2 1 s/ma Resolva o exemplo 5 – pág. 212 Exercícios de compreensão 3.6 – pág. 214: 3 e 4 Exercícios 3.6 – pág. 214: 7, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25,31, 35, 37, 43, 51 Exercícios 4.1 – pág. 241: 1 e 3 28 Os exercícios abaixo envolvem as aplicações das derivadas; Para o cálculo das derivadas use as regras de derivação. 1) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 209)( 2 xxxf no ponto (2, 1). 2) Suponha que o gráfico da função cbxxxf 2)( tem uma tangente no ponto (0, 1) cujo coeficiente angular é 2. Determine b e c. 3) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 2)(3)( xxsenxf no ponto de abscissa x . 4) (a) Determine a equação da reta t tangente ao gráfico da função 4)( 2 xxf e que seja paralela à reta s: 12 xy . (b) Faça o gráfico da curva, da reta tangente t e da reta s no mesmo sistema de eixos cartesianos. 5) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de )cos(3)( xxf no ponto em que 2 x . 6) (a) Determine a equação da reta t tangente ao gráfico de 14)( 2 xxxf , que é perpendicular à reta r: 052 xy . (b) Faça o gráfico da curva, da reta tangente t e da reta r no mesmo sistema de eixos cartesianos. 7) (a) Encontre uma equação para a reta perpendicular à tangente à curva 143 xxy no ponto (2, 1). (b) Faça o gráfico da curva e da reta perpendicular à tangente no mesmo sistema de eixos cartesianos. 8) (a) Encontre uma equação da reta tangente à curva 21 1 x y no ponto 2 1 ,1 . (b) Faça o gráfico da curva e da reta tangente no mesmo sistema de eixos cartesianos. 9) Uma partícula move-se de acordo com uma lei do movimento tttts 3612)( 23 , onde s está em metros e t, em segundos.Encontre: (a) A velocidade e a aceleração como funções em t; (b) A aceleração depois de 3 s. 10) Uma partícula move-se de acordo com uma lei do movimento ttsents 6 cos 6 )( , onde s está em metros e t, em segundos. Encontre: (a) A velocidade e a aceleração como funções em t; (b) A aceleração depois de 1 s; 29 11) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal de forma que sua coordenada no instante t seja 222 tcbx , 0t , onde b e c são constantes positivas. Encontre as funções velocidade e aceleração. 12) Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo onde bactérias estavam crescendo, a população de bactérias continuou a crescer por um tempo, mas depois parou de crescer e começou a diminuir. O tamanho da população no instante t (em horas) era dado por 2346 101010)( tttb . Determine as taxas de crescimento para: (a) 0 horas; (b) 5 horas; (c) 10 horas. 13) Depois de aberta a válvula inferior de um tanque de armazenamento, é necessário esperar 12 horas para esvaziá-lo. A profundidade y (em metros) do líquido no tanque, t horas depois que a válvula foi aberta, é dada por 2 12 16 t y . Encontre a taxa de esvaziamento do tanque no instante t. 14) De acordo com a fórmula de Debye em físico-química, a polarização de orientação P de um gás satisfaz kT NP 33 4 2 onde μ, k e N são constantes positivas e T é a temperatura do gás. Ache a taxa de variação de P em relação a T. Respostas: 1) 5m 2) 12 cb 3) 323 2xy 4) a) 52 xy 4) b) 5) 2 3 xy 6) a) 82 xy 6) b) 7) a) 4 5 8 x y 7) b) 8) a) 1 2 1 xy 8) b) 9) 36243 2 tt)t(v ; 246 t)t(a ; 263 s/m)(a 10) tsentcos)t(v 666 ; tcostsen)t(a 6636 2 ; 2 2 31 72 1 s/m)(a 11) 222 2 tcb tc 'x 3222 22 tcb bc ''x 12) h/bactérias410 ; h/bactérias0 ; h/bactérias410 13) 1 12 t dt dy 14) 2 2 33 4 kT N dT dP 30 5. TAXAS RELACIONADAS Em problemas de taxas relacionadas, procura-se encontrar a taxa de variação de uma grandeza em relação a outras, cujas taxas de variação são conhecidas. O procedimento é escrever uma equação com as variáveis envolvidas e então usar a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados em relação ao tempo, obtendo assim uma equação que relaciona a taxa procurada às taxas conhecidas. Exemplo 1: Suponha que x e y sejam funções diferenciáveis de t relacionadas pela equação 3xy . Encontre dt dy quando 2x e 4 dt dx . Exemplo 2: Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular, cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 60 pés? Exemplo 3: Uma bola de neve está derretendo de modo que seu volume está decrescendo a uma razão de 0,17 m 3 /min. Ache a razão segundo a qual seu raio está decrescendo no instante em que o raio é de 0,46 m. Exemplo 4: Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede? 31 Exemplo 5: Na figura abaixo mostramos uma câmera montada em um ponto a 3.000 pés da base de uma plataforma de lançamento de um foguete. Se o foguete estiver subindo verticalmente a 880 pés/s quando estiver 4.000 pés acima da plataforma de lançamento, quão rápido deve mudar o ângulo de elevação da câmera naquele instante para que se mantenha apontada para o foguete? Exemplo 6: Suponha que um líquido deva ser purificado por decantação, através de um filtro cônico com 16 cm de altura e raio de 4 cm no topo. Suponha também que o líquido seja forçado a escoar para fora do cone a uma taxa constante de 2 cm 3 /min. Com que taxa está variando a profundidade do líquido no instante em que a profundidade for de 8 cm? Exemplo 7: Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio de 2 m e altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 m 3 /min, encontre a taxa na qual o nível de água estará se elevando quando a água estiver com profundidade de 3 m. Exercícios de compreensão 3.7 – pág. 221: 1 e 2 Exercícios 3.7 – pág. 221: 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 20, 25, 27 32 6. APROXIMAÇÕES LINEARES E DIFERENCIAIS 6.1. Aproximação linear local Quanto mais ampliamos o gráfico de uma função próximo a um ponto onde a função é derivável, mais “reto” o gráfico se torna e mais se assemelha à sua tangente. A tangente a xfy no ponto oxx , em que f é derivável, passa pelo ponto oo xf,x , então sua equação é: ))((' )( ooo xxxfxfy . Assim, para valores de x próximos de ox , podemos aproximar os valores de xf por: )xx)(x(f)x(f)x(f ooo ' A aproximação linear local é útil para substituir funções complicadas por funções mais simples em problemas de modelagem. Exemplo 1: (a) Encontre a aproximação linear local de xxf )( em 1ox . (b) Use a aproximação linear local obtida em (a) para aproximar 11, e compare sua aproximação com o resultado obtido com uma calculadora. (c) Faça o gráfico de f e de sua linearização em 1ox 33 Exemplo 2: (a) Encontre a aproximação linear local de xsen)x(f em 0ox . (b) Use a aproximação linear local obtida em (a) para aproximar osen 2 e compare sua aproximação com o resultado obtido com uma calculadora. 6.2. Diferenciais Seja x a variação ou acréscimo da variável independente x e xfxxfy a variação ou acréscimo da variável dependente de uma função )x(fy . Quando a variável independente varia de x para xx a variação exata da função é dada por y , no entanto para valores pequenos de x , esta variação pode ser aproximada pela diferencial dy que é dada por x)x(' fdy . Como dxx , temos dx)x(' fdy Interpretação Geométrica dy representa a distância que a reta tangente sobe ou desce enquanto y representa a distância que a curva )x(fy sobe ou desce quando x varia de uma quantidade dxx . Exemplo 3: Seja xy . Encontre dy e y em 4x com 3 xdx . Faça, então, um esboço de xy , mostrando dy e y na figura.34 Propagação do erro em aplicações Quando quantidades são medidas ocorrem pequenos erros. Quando essas quantidades forem usadas para cálculos, aqueles erros serão propagados para as quantidades calculadas. Esse erro propagado y pode ser estimado por: dxxfdyy )(' Exemplo 4: Suponha que com uma régua meçamos o lado de um quadrado como sendo de 10 cm, com um erro de medição de 20 1 cm. Estime o erro na área calculada no quadrado. 7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 7.1. Funções explícitas e implícitas Até aqui, estudamos funções que envolvem duas variáveis expressas na forma explícita xfy , isto é, uma das duas variáveis é dada explicitamente em termos da outra. Por exemplo, 53 xy ou xxy sen . Muitas funções, entretanto, são definidas na forma implícita por uma relação entre x e y, tal como 1xy ou 242 32 yyx . Em alguns casos, para obter a derivada de uma função na forma implícita, é possível resolver a equação dada em y, ou seja, “isolar” y no primeiro membro da equação e daí diferenciá-la. Exemplo 1: Se 1xy , encontre dx dy . O processo usado no exemplo 1 só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, o que não ocorre, por exemplo, com 242 32 yyx . Em vez disso, usamos o método da Exercícios 3.8 – pág. 229: 1a, 1c, 3a, 5, 6, 7, 8, 29, 31, 45a, 46a 35 derivação (ou diferenciação) implícita que nos permite derivar uma função sem a necessidade de explicitá-la. 7.2. Derivação implícita Esse método consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a equação resultante em relação à derivada dx dy 'y . Exemplo 2: Se 242 32 yyx , encontre dx dy . Exemplo 3: Encontre dx dy se 2566 32 yyyxx . Exemplo 4: Se 22 sen5 xyy , encontre dx dy . Exemplo 5: Encontre 2 2 dx yd se 924 22 yx . Exemplo 6: Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos 12 , e 12, da curva 012 xy . Exemplo 7: Encontre a equação da reta tangente ao fólio de Descartes xyyx 333 no ponto 2 3 2 3 , . Exercícios 4.1 – pág. 241: 9a, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 27→só por derivação implícita 36 8. FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS 8.1. Função exponencial de base a A função real definida por xaxf (com 1a e 0a ) é chamada de “função exponencial de base a”. Assim, são funções exponenciais: xxf 2 x xf 8 1 Gráfico da função exponencial xay : 1a 10 a 8.2. O número e O número e é um número irracional cujo valor aproximado com 5 dígitos é 718282,e . Este número é conhecido como número de Euler e é amplamente usado como base de potências. Exemplo 1: Com o uso da calculadora, determine as potências de e: 2e 2e 050,e e 31e e 8.3. Função exponencial natural A função exponencial mais importante para a modelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos é a função exponencial natural, cuja base é o número e. Essa base é importante no Cálculo porque o gráfico de xey tem coeficiente angular 1 quando cruza o eixo y. 1 1 37 Exemplo 2: Construa o gráfico das funções: a) xexf b) xexf 8.4. Logaritmos Dados dois números reais positivos a e b, com 1a , chamamos de logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a para obter b. Representa-se por: xbloga Exemplo 3: 382 log , pois ...................................... 2 16 1 4 log , pois ............................................. 8.5. Sistemas de logaritmos Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, os dois sistemas mais importantes são: o sistema de logaritmos decimais e o sistema de logaritmos naturais. Chama-se logaritmo decimal o logaritmo de base 10. Por convenção omitimos a base na sua representação. Exemplo 4: Com o uso da calculadora, determine os logaritmos decimais: 100log 12log 5 10log 50log O logaritmo natural de x é o logaritmo de base e, indicado por xln . Exemplo 5: Com o uso da calculadora, determine os logaritmos naturais: 5ln 2000ln 5 1 ln 38 8.6. Mudança de base Algumas calculadoras científicas permitem calcular apenas logaritmos decimais e logaritmos naturais. Pode-se obter, numa calculadora, um logaritmo com uma base qualquer utilizando a fórmula de mudança de base com uma das formas: alog xlog xloga ou aln xln xloga Exemplo 6: Com o uso da calculadora, determine os logaritmos: 52log 43log 8.7. Função logarítmica Função logarítmica é toda função real definida por xlogxf a com 0a e 1a . Assim, são funções logarítmicas: xlogxf xlogy 5 xlogxf 41 xlnxf Exemplo 7: Construa o gráfico das funções: a) xlny b) xlogxf 8.8. Propriedades algébricas dos logaritmos a) BlogAlogBAlog aaa b) BlogAlog B A log aaa c) AlogmAlog a m a 39 Exemplo 8: Aplicando as propriedades dos logaritmos, resolva as equações exponenciais: a) 32 x b) 827 5 x Exemplo 9: Com o uso da calculadora, determine: 2eln 4eln 3eln 2lne 4lne 2 1 ln e Observação: As funções xeln e xlne não modificam a variável x, isto é: xeln x e xe xln Exemplo 10: Resolva as equações: a) xe203 b) 12 xln c) 23 ex Exemplo 11: Um satélite que requer 7 watts de potência para operar em plena capacidade está equipado com uma fonte de potência de radioisótopo, cuja saída em watts é dada pela equação 12575 teP onde t é o tempo em dias que a fonte é usada. Por quanto tempo o satélite pode operar na capacidade máxima? Exercícios 1) Resolva as equações: a) x,e 0602 e) xe 4523 b) 14061 ,, x f) 237 xe c) xe 53 g) 5433 xln d) 20050 0350 x,e 2) Um medicamento é ministrado por via intravenosa para aliviar a dor. A função tlntf 15290 , 40 t dá o número de unidades do medicamento remanescentes no corpo depois de t horas. a) Qual foi a quantidade inicial ministrada em termos de unidades de medicamento?b) Quantas unidades estarão presentes depois de duas horas? 40 3) A equação 12 2 1 8 t tQ dá a massa Q em gramas de certa substância radioativa que irá restar de uma quantidade inicial após t horas de decaimento radioativo. a) Quantos gramas havia inicialmente? b) Em quanto tempo restará apenas 1 grama dessa substância? Respostas: 1) a) 11,5525 b) 24,2151 c) 0,5108 d) 39,6084 e) 0,4023 f) −0,5108 g) 4,3956 2) a) 90 unidades b) aproximadamente 33 unidades 3) a) 8 gramas b) 36 horas 8.9. Derivadas de Funções Logarítmicas dx du u uln dx d 1 dx du u uln dx d 1 dx du blnu ulog dx d b 1 Exemplo 12: Encontre dx dy se xlny . Exemplo 13: Encontre dx dy se 12 xlny . Exemplo 14: Encontre dx dy se xsenlogy 2 Exemplo 15: x senxx ln dx d 1 2 = Exemplo 16: Encontre )x('f se 2 1 x x ln)x(f . Exemplo 17: senxln dx d 41 8.10. Diferenciação Logarítmica É uma técnica para derivar funções compostas de produtos, quocientes e potências. 1º) Toma-se o ln em ambos os lados da equação xfy e usam-se as propriedades dos logaritmos para simplificar; 2º) Diferencia-se a equação resultante implicitamente em relação a x . 3º) Resolve-se a equação para 'y . Exemplo 18: Encontre dx dy usando diferenciação logarítmica: a) xxy b) xxy c) xsenxy 12 d) 42 32 1 147 x xx y 8.11. Derivadas das Funções Exponenciais dx du blnbb dx d uu dx du ee dx d uu Exemplo 19: Encontre dx dy se: a) xey x 2 d) xey 2 b) xxey e) 3xey c) xy 2 f) xcosey Exercícios 4.2- pág. 247: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 39 42 9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Um problema comum em trigonometria é encontrar um ângulo cujas funções trigonométricas são conhecidas. Exemplo 1: Qual é o ângulo , medido em radianos, tal que 2 1 sen ? Exemplo 2: Qual é a medida do arco cujo cosseno vale 0? Exemplo 3: Qual é a medida do arco cuja tangente vale 1? Obs: Para determinar funções trigonométricas inversas deve-se restringir o domínio das funções trigonométricas. 9.1. Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas dx du u usenarc dx d 21 1 dx du u ucosarc dx d 21 1 dx du u utgarc dx d 21 1 dx du u ugcotarc dx d 21 1 dx du uu usecarc dx d 1 1 2 dx du uu useccosarc dx d 1 1 2 Exemplo 4: Encontre dx dy se a) 3xsenarcy b) xesecarcy Exemplo 5: xtgarcx dx d Exercícios 4.3- pág. 254: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 33, 35, 37, 41, 43 43 10. ANÁLISE DE FUNÇÕES 10.1. Ponto crítico Um ponto crítico de uma função f é um número “c” no domínio de f onde 0)c(' f ou )c(' f não existe. A figura abaixo apresenta o gráfico de uma função que possui pontos críticos em edcba ,,,,x . Observe que 0)x(' f em cba ,,x e )c(' f não existe em ed,x . Exemplo 1: Encontre os pontos críticos das funções: a) xx5(x) f 42 b) 234 643 xxx(x) f c) xx(x) f 453 10.2. Funções crescentes e decrescentes Uma função f é crescente em um intervalo se, para qualquer x1 e x2 no intervalo, x1 < x2 implica f (x1) < f (x2) 44 Uma função f é decrescente em um intervalo se, para qualquer x1 e x2 no intervalo, x1 < x2 implica f (x1) > f (x2) 10.3. Sinal da derivada Pode-se reconhecer quando uma função é crescente ou decrescente através do sinal da sua derivada, porque a derivada é o coeficiente angular da reta tangente. Quando a derivada é positiva, o coeficiente angular da tangente é positivo e a função é crescente. Caso contrário, quando a derivada é negativa, o coeficiente angular é negativo e a função é decrescente. Seja f uma função diferenciável num intervalo aberto I. Nestas condições: (a) Se 0(x)' f para todo Ix , então f é crescente em I. (b) Se 0(x)' f para todo Ix , então f é decrescente em I. (c) Se 0(x)' f para todo Ix , então f é constante em I. Exemplo 2: Determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento das funções: a) 342 xx(x) f b) 3x(x) f c) 21243 234 xxx(x) f 45 10.4. Extremos relativos Um máximo relativo de uma função é um “pico”, o ponto máximo do gráfico em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico. Um mínimo relativo é um “fundo de vale”, o ponto mínimo do gráfico em relação a qualquer outro ponto vizinho. A função representada na figura acima possui um máximo relativo em x = b, e mínimos relativos em x = a e x = c. O máximo relativo não precisa ser o ponto mais alto do gráfico, é máximo somente em relação aos pontos vizinhos. Da mesma forma, o mínimo relativo não é o ponto “mais baixo” do gráfico. Observe que os extremos relativos ocorrem em pontos críticos. Os pontos críticos de uma função constituem a coleção completa dos candidatos a extremos relativos do interior do domínio de uma função. 10.5. Teste da derivada primeira Suponha que “c” seja um ponto crítico de uma função contínua f. (a) Se o sinal de ' f mudar de positivo para negativo em “c”, o ponto é um máximo relativo. (b) Se o sinal de ' f mudar de negativo para positivo em “c”, o ponto é um mínimo relativo. (c) Se o sinal de ' f for o mesmo em ambos os lados de “c”, o ponto não é máximo nem mínimo relativo. Exemplo 3: Determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos relativos de: a) 35 53 xx(x) f c) 2 4 1 x x (x) f b) 133 23 xxx(x) f d) 322 4 x(x) f c b a 46 10.6. Concavidade Nos intervalos em que o gráfico de f tiver uma curvatura para cima, f é côncava para cima, e nos intervalos em que o gráfico tiver uma curvatura para baixo, f é côncava para baixo. A função representada na figura acima é côncava para baixo em ba, , e é côncava para cima em cb, . 10.7. Ponto de inflexão Umponto no gráfico de uma função diferenciável f no qual a concavidade muda é chamado um ponto de inflexão. A função representada na figura acima possui um ponto de inflexão em x = b. Os candidatos a pontos de inflexão são os pontos em que " f é zero ou não está definida. 10.8. Teste da concavidade Seja f duas vezes diferenciável num intervalo aberto I. Nestas condições: (a) Se 0(x)" f para todo Ix , então o gráfico de f é côncavo para cima em I. (b) Se 0(x)" f para todo Ix , então o gráfico de f é côncavo para baixo em I. Exemplo 4: Encontre os intervalos de concavidade das funções e os pontos de inflexão: a) 13 23 xx(x) f b) xxe(x) f c) 4x(x) f 47 Exemplo 5: Para as funções abaixo, pede-se: a) Os pontos críticos; b) Intervalos de crescimento e decrescimento; c) Extremos relativos; d) Intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo; e) Os pontos de inflexão; f) Esboço do gráfico. 1) 34 4xx(x) f 2) xx(x) f 32 3) 3235 xx(x) f 10.9. Máximos e Mínimos Absolutos O máximo absoluto de uma função f em um intervalo I é o maior valor possível de )x(f quando x varia em todo o intervalo I. Analogamente o mínimo absoluto de uma função f em um intervalo I é o menor valor de )x(f quando x varia em todo o intervalo I. A função representada na figura possui: máximo absoluto em x = c1 e mínimo absoluto em x = c4. Exercícios 5.1 – pág. 276: 7, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 23 Exercícios 5.2 – pág. 287: 31, 33, 35, 37, 39 48 Para encontrar os extremos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado ba; , deve-se: 1º) Encontrar os pontos críticos de f em (a; b). 2º) Encontrar o valor de f em todos os pontos críticos e nos extremos a e b. 3º) O maior valor encontrado é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto. Exemplo 6: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função xxxxf 36152)( 23 no intervalo 5;1 e determine onde esses valores ocorrem. Exemplo 7: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de 12 x)x(f no intervalo 4;1 . Exemplo 8: Encontre os extremos absolutos de 3134 36 xx)x(f no intervalo 1;1 e determine onde eles ocorrem. 10.10. Problemas de Máximos e Mínimos em Aplicações Exemplo 9: Devemos projetar um jardim de área retangular e protegido por uma cerca. Qual é a maior área possível de tal jardim se dispusermos de apenas 100 m lineares de cerca? Exemplo 10: Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 cm por 30 cm, destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume? Exemplo 11: Um fazendeiro tem 2.400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? Exemplo 12: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. Exercícios 5.4 – pág. 307: 1, 7, 8, 9, 10 49 Exemplo 13: Se 1.200 cm 2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa. Exemplo 14: A figura abaixo mostra um poço de petróleo no mar em um ponto W a 5 km do ponto A mais próximo, em uma praia reta. O petróleo é bombeado de W até um ponto B na praia a 8 km de A da seguinte forma: de W até P na praia entre A e B sob a água, e de P até B através de uma tubulação colocada ao longo da praia. Se o custo for $ 1.000.000,00/km, em dólares, sob a água e $ 500.000,00/km por terra, onde P deve estar localizado para minimizar o custo? BIBLIOGRAFIA ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. v.1, 8.ed . Porto Alegre: Bookman, 2007. Exercícios 5.5 – pág. 318: 3, 5, 11, 15 (a), 17, 19, 21, 22, 29
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