Cônicas: Parábola, Elipse e Hipérbole

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Escola de Engenharia de Lorena – EEL 
ALCV
CÔNICAS
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
Conceito
Parábola
Lugar Geométrico
Elementos
Translação
Rotação
Elipse
Hipérbole
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
Conceito
Parábola
Lugar Geométrico
Elementos
Translação
Rotação
Elipse
Hipérbole
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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CONCEITO
Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planas obtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte). 
Por isso, são conhecidas pelo nome de CÔNICAS.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
Conceito
Parábola
Lugar Geométrico
Elementos
Rotação
Translação
Elipse
Hipérbole
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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PARÁBOLA - ELEMENTOS
Parábola:
Lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de F e d
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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PARÁBOLA - EQUAÇÃO
Considere a figura abaixo. Os eixos são definidos pelas coordenadas x’0y’;
De acordo com a figura: F(0,p/2), P(x’,y’) e P’(x’, - p/2) ;
Da definição de parábola:
Logo:
x'
y’
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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EQUAÇÃO GERAL – 1 
PROBLEMA:
Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano. 
Determine: a equação representativa.
 
SOLUÇÃO: “Idéia”:
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem.
Estas operações colocarão a parábola na forma canônica!
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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EQUAÇÃO GERAL – 2 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem.
i.
y'
x'
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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EQUAÇÃO GERAL – 3 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem.
ii. Substituindo
em
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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EQUAÇÃO GERAL – 4 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem.
iii. Substituindo
em 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 1.1 
PROBLEMA:
Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano. 
Determine: a equação representativa.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 1.2 
SOLUÇÃO:
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos == Não necessário! Ok!!!
Transladar origem.
Observe que o problema poderia ser colocado de outra maneira:
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 1.3 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Transladar origem.
A partir da figura: p = 12
Logo, sendo 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 1.4 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Transladar origem.
A partir da figura: 
Logo, sendo 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 2.1 
PROBLEMA:
Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano. 
Determine: a equação representativa.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 2.2 
SOLUÇÃO:
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. == Não necessário! Ok!!!
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 2.3 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos.
A partir da figura: p = 8
Logo, sendo 
x'
y'
y'
x'
y'
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 2.4 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos.
A partir da figura:
Logo, sendo:
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.1 
PROBLEMA:
Dado: desenho de uma PARÁBOLA no plano cartesiano. 
Determine: a equação representativa.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.2 
SOLUÇÃO:
 Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
 Rotacionar eixos;
 Transladar origem.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.3 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem
A partir da figura: p = 2
Logo, sendo 
x’
y’
x’
x’
x’
y’
x’
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.4 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. 
A partir da figura:
Logo, sendo 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.5 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem.
A partir da figura:
Logo, sendo 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
Conceito
Parábola
Elipse
Lugar Geométrico
Elementos
Rotação
Translação
Hipérbole
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSE - ELEMENTOS
Elipse:
Lugar geométrico cuja soma das distâncias a F1 e F2 é CONSTANTE e vale 2a (sendo 2a>2c)
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSE - ELEMENTOS
EXCENTRICIDADE:
Quanto maior a excentricidade, mais achatada é a elipse, ou seja, maior a distância focal;
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ELIPSE - EQUAÇÃO
Considere a figura abaixo. Os eixos são definidos pelas coordenadas x’0y’;
De acordo com a figura:
Da definição de ELIPSE:
Logo:
y'
x'
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 1.1 
PROBLEMA:
Dado: desenho de uma ELIPSE no plano cartesiano. 
Determine: a equação representativa.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.2 
SOLUÇÃO:
Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. == Não necessário! Ok!!!
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.3 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos.
A partir da figura: a=4 e b=2
Logo, sendo 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.4 
Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos.
A partir da figura: 
Logo, sendo 
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 2.1 
PROBLEMA:
Dado: desenho de uma ELIPSE no plano cartesiano. 
Determine: a equação
representativa.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 2.2 
SOLUÇÃO:
Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 2.3 
Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. 
A partir da figura: a=3 e b=2
Logo, sendo 
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 2.4 
Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. 
A partir da figura: 
Logo, sendo 
y’’
y’’
y’’
y’’
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 2.5 
Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. 
A partir da figura: 
Logo, sendo 
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
Conceito
Parábola
Elipse
Hipérbole
Lugar Geométrico
Elementos
Rotação
Translação
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
HIPÉRBOLE - ELEMENTOS
Hipérbole:
Lugar geométrico cuja diferença em valor absoluto das distâncias a F1 e F2 é CONSTANTE e vale 2a
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
HIPÉRBOLE - ELEMENTOS
EXCENTRICIDADE:
Há uma proporcionalidade entre a excentricidade e a ABERTURA da hipérbole, ou seja, quanto maior a excentricidade, maior é a abertura da hipérbole.
(Aluno) Plotar uma hipérbole com diferentes excentricidades!
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
HIPÉRBOLE - EQUAÇÃO
Considere a figura abaixo. Os eixos são definidos pelas coordenadas x’0y’;
De acordo com a figura:
Da definição de ELIPSE:
Logo:
x'
y'
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.1 
PROBLEMA:
Dado: desenho de uma HIPÉRBOLE no plano cartesiano. 
Determine: a equação representativa.
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.2 
SOLUÇÃO:
Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. 
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.3 
Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. 
A partir da figura:
Logo, sendo 
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.4 
Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. 
A partir da figura: 
Logo, sendo 
x’’
y’’
y’’
y’’
x’’
y’’
x’’
y’’
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 1.5 
Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
Rotacionar eixos;
Transladar origem. 
A partir da figura: 
Logo, sendo 
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
Conceito
Parábola
Elipse
Hipérbole
Lugar Geométrico
Elementos
Rotação
Translação
Aplicações
Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 1 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 2.1 
O objetivo deste exercício é familiarizar o aluno com o tratamento de funções em DIFERENTES BASES. O raciocínio empregado aqui pode ser utilizado DE FORMA DIRETA no estudo de cônicas.
Considere a figura abaixo. Determine a equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 2.2 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
Note que a reta passa pelos pontos O’(0,0) e P(-2,2). Logo:
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 2.3 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
A base (xOy)’’ está relacionada com a base (xOy)’ conforme segue:
Sendo: , tem-se:
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 2.4 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
A base (xOy)’’ está relacionada com a base (xOy) conforme segue:
Sendo: , tem-se:
*
2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 2.5 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
Note que, na base (xOy): A(x=0,y=6), pois:
Desde que: , tem-se que, na base (xOy)’’: A(-1,1), pois:
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
*
APLICAÇÕES – 2.6 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
Analogamente, sabe-se que: , logo:
Na base (xOy)’: A(1,-1), desde que:
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 2.7 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
Sintetizando:
	Base (xOy)	: A(0,6)
	Base (xOy)’	: A(1,-1)
	Base (xOy)’’	: A(-1,1)
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.1 
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.2 
Inicialmente, temos que deduzir a equação canônica.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÕES – 3.3 
Sendo:
Tem-se que: a=3 e b=2. Sendo que o eixo maior se encontra em X, a elipse NÃO foi rotacionada.
A elipse foi transladada segundo as coordenadas do centro: O(1,2). Logo:
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