Funções Trigonométricas e suas Inversas

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MATEMÁTICA I
FUNÇÕES TRANSCENDENTES
SETEMBRO DE 2006
Conteúdo
1 Funções transcendentes 1
1.1 Funções circulares directas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Função Seno e função Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Função Co-seno e função Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Função Tangente e Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Função Co-tangente e Arco co-tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Função Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 Função Cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Função exponencial e função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Funções hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Seno hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Cosseno hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bibliografia 26
Capítulo 1
Funções transcendentes
1.1 Funções circulares directas e inversas
1.1.1 Função Seno e função Arco seno
Consideremos a função
f : R→ [−1, 1]
x 7−→ f(x) = sin x.
A sua representação gráfica é:
1050-5-10
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
Verifica-se que:
• É uma função contínua em R.
• É uma função limitada.
1
2 Funções transcendentes
• É uma função ímpar.
• É periódica de período 2π.
• Não existe lim
x→±∞ sin x.
• Não é injectiva.
Não sendo injectiva não admite inversa. Considere-se uma restrição g de f que seja
injectiva (restrição principal):
g :
h
−π
2
,
π
2
i
→ [−1, 1]
x 7−→ g(x) = sin x.
A função inversa de g é:
g−1 : [−1, 1] →
h
−π
2
,
π
2
i
x 7−→ g−1(x) = arcsinx.
Nestas condições verifica-se:
y = arcsinx⇔ sin y = x.
A representação gráfica da função y = arcsin x é:
10-1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
x
y
x
y
1.1 Funções circulares directas e inversas 3
Exemplo 1.1.1 Dada a função h(x) = 2 + arcsin (3x+ 1). Determine:
1) O domínio de h. 2) h(0) e h
µ
−1
6
¶
.
3) O contradomínio da função. 4) As soluções da equação h(x) = 2 +
π
3
.
5) Caracterize a função inversa de h.
Resolução:
1) Atendendo a que o domínio da função arco seno é [−1, 1], tem-se:
−1 ≤ 3x+ 1 ≤ 1⇔ −2 ≤ 3x ≤ 0⇔ −2
3
≤ x ≤ 0.
Dh =
∙
−2
3
, 0
¸
.
2)
h(0) = 2 + arcsin 1 = 2 +
π
2
=
4 + π
2
h
µ
−1
6
¶
= 2 + arcsin
1
2
= 2 +
π
6
=
12 + π
6
.
3) Atendendo a que
−π
2
≤ arcsin(3x+ 1) ≤ π
2
,
vem,
2− π
2
≤ 2 + arcsin(3x+ 1) ≤ 2 + π
2
.
Logo,
D0h =
h
2− π
2
, 2 +
π
2
i
.
4)
h(x) = 2 +
π
3
⇔ 2 + arcsin(3x+ 1) = 2 + π
3
⇔ arcsin(3x+ 1) = π
3
⇔ 3x+ 1 = sin π
3
⇔ x =
√
3− 2
6
.
4 Funções transcendentes
5) Vai resolver-se em ordem a x, a equação h(x) = y. Tem-se então:
2+arcsin(3x+1) = y ⇔ arcsin(3x+1) = y−2⇔ 3x+1 = sin(y−2)⇔ x = −1 + sin(y − 2)
3
.
Como já se conhece o domínio e o contradomínio de h, calculados em 1) e 3), vem:
h−1 :
h
2− π
2
, 2 +
π
2
i
−→
∙
−2
3
, 0
¸
x 7−→ y = −1 + sin(x− 2)
3
.
1.1.2 Função Co-seno e função Arco co-seno
Consideremos a função
f : R→ [−1, 1]
x 7−→ f(x) = cos x.
A sua representação gráfica é:
1050-5-10
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
Verifica-se que:
• É uma função contínua em R.
• É uma função limitada.
• É uma função par.
1.1 Funções circulares directas e inversas 5
• É periódica de período 2π.
• Não existe lim
x→±∞ cos x.
• Não é injectiva.
Não sendo injectiva não admite inversa. Considere-se uma restrição g de f que seja
injectiva (restrição principal):
g : [0, π] → [−1, 1]
x 7−→ g(x) = cos x.
A função inversa de g é:
g−1 : [−1, 1] → [0, π]
x 7−→ g−1(x) = arccosx.
Nestas condições verifica-se:
y = arccosx⇔ cos y = x. (1.1)
A representação gráfica da função y = arccos x é:
10.50-0.5-1
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
x
y
x
y
6 Funções transcendentes
Exemplo 1.1.2 Calcule o número real designado por:
1) cos
"
arccos
Ã
−
√
2
2
!#
;
2) sin
∙
arccos
µ
− 5
13
¶¸
.
Resolução:
1) Por (1.1) temos que cos
"
arccos
Ã
−
√
2
2
!#
= −
√
2
2
.
2) Através da fórmula fundamental da trigonometria, temos que
sin2 x = 1− cos2 x⇔
sinx = ±
p
1− cos2 x.
Como a função arco co-seno só toma valores em [0, π], e neste intervalo a função seno é
positiva ou zero, logo
sinx =
p
1− cos2 x.
Assim,
sin
∙
arccos
µ
− 5
13
¶¸
=
s
1−
µ
cos
µ
arccos(− 5
13
)
¶¶2
=
r
1− 25
169
=
12
13
.
Exercício 1.1.3 Calcule o valor de sin
∙
arccos
µ
−1
2
¶
+ arccos
µ
3
7
¶¸
.
Exercício 1.1.4 Considere a função
f(x) = arccos
Ã
3
√
2
2
− 2x
!
.
1.1 Funções circulares directas e inversas 7
a) Determine o domínio e o contradomínio e indique a expressão de f−1(x).
b) Resolva a equação f(x) =
π
4
.
Soluções:
a) Df =
"
3
√
2− 2
4
,
3
√
2 + 2
4
#
; D0f = [0 , π] ; f
−1 (x) =
3
√
2
4
− 1
2
cos x;
b) S =
(√
2
2
)
.
1.1.3 Função Tangente e Arco tangente
Consideremos a função:
f : R\
nπ
2
+ kπ, k ∈ Z
o
−→ R
x 7−→ f(x) = tg x.
A sua representação gráfica é:
543210-1-2-3-4-5
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
x
y
x
y
A função não é injectiva, logo não admite inversa. Considere-se uma restrição g de f que
seja injectiva (restrição principal).
g :
i
−π
2
,
π
2
h
−→ R
x 7−→ g(x) = tg x.
8 Funções transcendentes
A função inversa de g é:
g−1 : R −→
i
−π
2
,
π
2
h
x 7−→ g−1(x) = arctg x.
Tem-se assim,
y = arctg x⇔ tg y = x.
A representação gráfica de g−1 é:
86420-2-4-6-8
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
x
y
x
y
Exercício 1.1.5 Calcule o valor de tg
µ
arcsin
µ
1
3
¶
+ arccos
µ
1
2
¶¶
.
Exercício 1.1.6 Resolva a equação 1− 3 arctg (3x) = π
µ
1 +
1
π
¶
.
Exercício 1.1.7 Caracterize a função inversa da função definida por:
t(x) =
π
2
− 2 arctg (1− x)
3
.
1.1.4 Função Co-tangente e Arco co-tangente
Consideremos a função:
f : R\ {kπ, k ∈ Z} −→ R
x 7−→ f(x) = cotg x
1.1 Funções circulares directas e inversas 9
A sua representação gráfica é:
543210-1-2-3-4-5
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
x
y
x
y
A função não é injectiva, logo não admite inversa. Considere-se uma restrição g de f que
seja injectiva (restrição principal).
g : ]0, π[ −→ R
x 7−→ g(x) = cotg x.
A função inversa de g é:
g−1 : R −→ ]0, π[
x 7−→ g−1(x) = arccotg x.
Tem-se assim,
y = arccotg x⇔ cotg y = x.
A representação gráfica de g−1 é:
6543210-1-2-3-4-5-6
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
x
y
x
y
10 Funções transcendentes
Exercício 1.1.8 Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções:
1) f(x) = cos
³
2x+
π
3
´
+ 3 2) g(x) = 2 sin
³
3x− π
5
´
3) m(x) = 1− 1
2
arccos (2x+ 1) 4) q(x) =
π
2
− 2 arctg (x
2
− 1)
Exercício 1.1.9 Verifique que arcsin
µ
x− 1
x+ 1
¶
= arccotg
µ
2
√
x
x− 1
¶
.
Exercício 1.1.10 Calcule
∙
sin
µ
arcsin
1
2
− arcsin 3
5
¶¸2
.
1.1.5 Função Secante
A função secante é definida da seguinte forma:
sec : R\
nπ
2
+ kπ, k ∈ Z
o
→ ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[
x 7−→ sec x = 1
cos x
.
O seu gráfico é:
6543210-1-2-3
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
Uma vez que
1 + tg2 x =
1
cos2 x
,
escreve-se agora,
1 + tg2 x = sec2 x.
1.1 Funções circulares directas e inversas 11
1.1.6 Função Cossecante
A função cossecante é definida da seguinte forma:
cosec : R\ {kπ, k ∈ Z} → ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[
x 7−→ cosec x = 1
sin x
O seu gráfico é:
543210-1-2-3
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
Uma vez que
1 + cotg2 x =
1
sin2 x
,
escreve-se agora,
1 + cotg2 x = cosec2 x.
12 Funções transcendentes
1.2 Função exponencial e função logarítmica
1.2.1 Função exponencial
Definição 1.2.1 Chama-se função exponencial de base a à função real de va-riável real,
expa : R → R+
x 7→ y = ax, a ∈ R+\{1}.
Propriedades:
• O seu domínio é R.
• O seu contradomínio é R+.
• É uma função injectiva, isto é, ax1 = ax2 =⇒ x1 = x2, ∀x1, x2 ∈ R.
No estudo da variação da função exponencial de base a consideram-se dois casos:
1. a > 1• x > 0 =⇒ ax > 1
• x = 0 =⇒ ax = 1
• x < 0 =⇒ ax < 1
• x1 < x2 ⇔ ax1 < ax2 , ∀x1, x2 ∈ R (função estritamente crescente)
• lim
x→+∞
ax = +∞ ; lim
x→−∞
ax = 0.
• é contínua em todo o seu domínio
1.2 Função exponencial e função logarítmica 13
O gráfico da função exponencial quando a > 1 é:
43210-1-2-3-4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
y
x
y
2. 0 < a < 1
• x > 0 =⇒ ax < 1
• x = 0 =⇒ ax = 1
• x < 0 =⇒ ax > 1
• x1 < x2 ⇔ ax1 > ax2 , ∀x1, x2 ∈ R (função estritamente decrescente)
• lim
x→+∞
ax = 0 ; lim
x→−∞
ax = +∞.
• é contínua em todo o seu domínio
O gráfico da função exponencial quando 0 < a < 1 é:
52.50-2.5-5
30
25
20
15
10
5
0
x
y
x
y
14 Funções transcendentes
Exemplo 1.2.2 Determine, em R, o conjunto solução de cada uma das seguintes condições:
a) x2 × 3−x − 2× 3−x = 0;
b) (0, 5)x
2 > (0, 125)2x ;
c) 10x
2−3x > 0, 01.
Resolução:
a) x2 × 3−x − 2× 3−x = 0 ⇔ 3−x ¡x2 − 2¢ = 0
⇔ 3−x = 0| {z }
cond. impossı´vel
∨ x2 − 2 = 0
⇔ x2 − 2 = 0
⇔ x = −
√
2 ∨ x =
√
2
O conjunto solução é
©
−
√
2,
√
2
ª
b) (0, 5)x
2 > (0, 125)2x ⇔
µ
1
2
¶x2
>
µ
1
8
¶2x
⇔
µ
1
2
¶x2
>
µ
1
2
¶6x
,
atendendo a que a função exponencial de base menor que a unidade é decrescente, vem:
⇔ x2 ≤ 6x
⇔ x2 − 6x ≤ 0
⇔ x (x− 6) ≤ 0
⇔ x ∈ [0, 6] .
O conjunto solução é [0, 6]
1.3) 10x
2−3x > 0, 01 ⇔ 10x2−3x > 10−2.
Atendendo a que a função exponencial de base maior que a unidade é crescente, vem:
1.2 Função exponencial e função logarítmica 15
⇔ x2 − 3x > −2
⇔ x2 − 3x+ 2 > 0
⇔ x ∈ ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[ .
O conjunto solução é ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[
Exemplo 1.2.3 Considere a função real, de variável real, definida por:
f(x) = 1− 72−x.
1) Determine o domínio e o contradomínio da função.
2) Resolva cada uma das condições:
2.1) f(x) = f(2). 2.2) f(x) > 0.
Resolução:
1) O domínio da função f é R, pois a função f é dada por uma subtracção entre uma
constante e uma exponencial composta com uma função polinomial. Para determinar o
contradomínio, consideremos os seguintes limites:
lim
x→−∞
1− 72−x = −∞.
lim
x→+∞
1− 72−x = 1.
Sabendo que a função f é contínua e estritamente crescente, temos então que o seu con-
tradomínio é ]−∞, 1[.
2)
2.1) Para que f(x) = f(2) é só considerar x = 2.
16 Funções transcendentes
2.2)
1− 72−x > 0 ⇔ 72−x < 1
⇔ 2− x < 0
⇔ x > 2
CS =]2,+∞[.
Exercício 1.2.4 Determine, em R, o conjunto solução das inequações:
1) 5x−1 > 55−4x; 2) 0.5x
2 ≥ (1
8
)3x.
Soluções: 1) CS =
¸
6
5
,+∞
∙
; 2) CS = [0, 9].
Exercício 1.2.5 Considere as funções g e m, reais de variável real, definidas por:
g (x) = 42x+x
2 − 1 e m (x) =
µ
1
3
¶x−4
+ 2.
1.1) Indique o domínio e o contradomínio de cada uma delas.
1.2) Calcule os zeros de g e os de m.
1.3) Determine os valores de x tais que :
1.3.1) g(x) = g(1); 1.3.2) g(x) > 15; 1.3.3) m(2x+ 1) ≤ m(x).
Soluções:
1.1) Dg = R ; D0g =
∙
−3
4
,+∞
∙
; Dm = R ; D0m = ]2,+∞[.
1.2) Zerosg = {−2, 0} ; Zerosm = ∅.
1.3.1) CS = {−3, 1};
1.3.2) CS =
¤
−∞,−1−
√
3
£
∪
¤
−1 +
√
3,+∞
£
;
1.3.3) CS = [−1,+∞[.
1.2 Função exponencial e função logarítmica 17
A função exponencial de base e (número de Neper)
Como caso particular das funções exponenciais, tem-se a função exponencial de base
e (exp x),
f(x) = ex.
Note-se que esta função tem todas as propriedades da função f(x) = ax, com a > 1 e
ainda,
lim
x→0
ex − 1
x
= 1
lim
x→+∞
ex
xp
= +∞, p ∈ R .
Exemplo 1.2.6 Calcule lim
x−→0
5x
e3x − 1 .
Resolução:
lim
x−→0
5x
e3x − 1 =
5
3
lim
x−→0
3x
e3x − 1 =
5
3
lim
x−→0
µ
e3x − 1
3x
¶−1
=
5
3
Exercício 1.2.7 Calcule: 1) lim
x→0−
ex+1 − e
x2
; 2) lim
u−→0
ln (1 + u)
u
.
Soluções: 1) +∞; 2) 1.
Conceito de logaritmo de um número
Antes de apresentar a função logarítmica, dá-se a definição de logaritmo de um número,
seguida das propriedades operatórias dos logaritmos.
18 Funções transcendentes
Definição 1.2.8 Logaritmo de um número positivo x na base a, positiva e diferente de
um, é o número a que se deve elevar a base para obter x.
loga x = y ⇔ x = ay.
Desta equivalência resulta que
x = aloga x
e que,
loga a
y = y.
Quando a base é e omite-se o e e escreve-se lnx. A estes logaritmos chamam-se
neperianos, em homenagem ao matemático inglês Neper.
Propriedades operatórias dos logaritmos
Sendo x e y números positivos e a e b números positivos diferentes de 1, tem-se:
P1. loga (x.y) = loga x+ loga y
P2. loga (
x
y ) = loga x− loga y
P3. loga x
p = p loga x, ∀p ∈ R
P4. loga
n
√
x = 1n loga x , ∀n ∈ N. (Caso particular de P3.)
P5. logb x = loga x. logb a
1.2 Função exponencial e função logarítmica 19
1.2.2 Função logarítmica
Definição 1.2.9 Sendo a função exponencial uma função injectiva, admite inversa. Chama-
se função logarítmica à sua inversa.
loga : R + → R
x 7→ y = loga x ⇔ x = ay, a ∈ R +\{1}.
Propriedades:
• O seu domínio é R+.
• O seu contradomínio é R.
• Tem um zero para x = 1, pois
loga x = 0⇔ x = a0 ⇔ x = 1.
• É injectiva, pois loga x1 = loga x2 =⇒ x1 = x2 ,∀x1, x2 ∈ R+.
No estudo da variação da função logarítmica consideram-se dois casos:
1. a > 1
• x > 1 =⇒ loga x > 0
• x = 1 =⇒ loga x = 0
• x < 1 =⇒ loga x < 0
• x1 < x2 =⇒ loga x1 < loga x2, ∀x1, x2 ∈ R+ (função estritamente crescente)
• lim
x→+∞
(loga x) = +∞ ; lim
x→0+
(loga x) = −∞
• é contínua em todo o seu domínio
20 Funções transcendentes
O gráfico da função quando a > 1 é:
43210
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
x
y
x
y
2. 0 < a < 1
• x > 1 =⇒ loga x < 0
• x = 1 =⇒ loga x = 0
• x < 1 =⇒ loga x > 0
• x1 < x2 =⇒ loga x1 > loga x2, ∀x1, x2 ∈ R+ (função estritamente decrescente)
• lim
x→+∞
(loga x) = −∞ ; lim
x→0+
(loga x) = +∞.
• é contínua em todo o seu domínio
O gráfico da função quando é 0 < a < 1:
543210
20
15
10
5
0
x
y
x
y
Observação 1.2.10 No caso de a = e, obtém-se a função logaritmo natural que se rep-
resenta por ln .
1.2 Função exponencial e função logarítmica 21
Exemplo 1.2.11
1) Seja f a função real, de variável real, definida por f(x) = 5− log3 (2 + 3x).
1.1) Determinar o domínio e o contradomínio de f .
1.2) Definir, em R, o conjunto solução de cada uma das condições:
f(x) = f(0) e f(x) > 6.
Resolução:
1.1. Df = {x ∈ R : 2 + 3x > 0} =
¸
−2
3
,+∞
∙
; D0f = R.
1.2. f(x) = f(0) ⇔ 5− log3 (2 + 3x) = 5− log3 2
⇔ log3 (2 + 3x)− log3 2 = 0
⇔ log3
2 + 3x
2
= log3 1
⇔ 2 + 3x
2
= 1
⇔ x = 0.
Atendendo a que 0 ∈ Df , então o conjunto solução da condição é {0} .
f(x) > 6 ⇔ 5− log3 (2 + 3x) > 6
⇔ log3 (2 + 3x) < −1
⇔ log3 (2 + 3x) < log3
1
3
.
Como a base é maior que a unidade, a função logarítmica é crescente e, portanto:
⇔ 2 + 3x < 1
3
∧ x ∈ Df
⇔ x < −5
9
∧ x ∈ Df
O conjunto solução é
¸
−2
3
,−5
9
∙
.
22 Funções transcendentes
2) Calcule o domínio, o contradomínio e defina a função inversa da função h definida por:
h (x) = 3 +
1
2
log7 (2x− 1) .
Resolução:
2. Dh = {x ∈ R : 2x− 1 > 0} =
¸
1
2
,+∞
∙
; D0h = R.
Vamos agora determinar a expressão que define a inversa. Tem-se:
y = 3 +
1
2
log7 (2x− 1) ⇔ y − 3 =
1
2
log7 (2x− 1)
⇔ 2 (y − 3) = log7 (2x− 1)
⇔ 2x− 1 = 72y−6
⇔ x = 1
2
+
1
2
× 72y−6.
Podemos agora definir a inversa, tendo-se:
h−1 : R→
¸
1
2
,+∞
∙
x 7−→ 1
2
+
1
2
× 72x−6.
Exercício 1.2.12
1. Considere a função real, de variável real, f definida por f(x) = 1+ln(2−3x).Determine:
1.1) O seu domínio; 1.2) Uma expressão designatória da sua inversa; 1.3) f
µ
2− e
3
¶
.
2. Caracterize a função inversa de cada uma das seguintes f.r.v.r. :
2.1) t(x) = 1 + 3x−1; 2.2) s(x) = log 1
2
(1− 3x); 2.3) p(x) = 5− log10 (x+ 5).
3. Determine o conjunto solução das condições:
3.1) 4(lnx)2 − 3 lnx− 7 < 0; 3.2) ex + 7e−x = 8.
1.3 Funções hiperbólicas 23
4. Determine E, sabendo que:
ln E =
1
2
ln x+ 2ln y + 1.
Soluções:
1.1) Df =
¸
−∞, 2
3
∙
; 1.2) f−1(x) =
2− ex−1
3
; 1.3) 2.
2.1) Dt−1 =]1,+∞[; D0t−1 = R; t−1 (x) = 1 + log3 (x− 1).
2.2) Ds−1 = R; D0s−1 =
¸
−∞, 1
3
∙
; s−1 (x) =
1
3
− 1
3
µ
1
2
¶x
.
2.3) Dp−1 = R; D0p−1 =]− 5,+∞[; p−1 (x) = −5 + 105−x.
3.1)
¸
e−1, e
7
4
∙
3.2) {0, ln 7}4. E = e.y2.
√
x
1.3 Funções hiperbólicas
1.3.1 Seno hiperbólico
Chama-se seno hiperbólico à função definida por
sinh : R → R
x 7→ sinhx = e
x − e−x
2
.
Representa-se por sinhx ou shx.
O seu gráfico é:
24 Funções transcendentes
3210-1-2-3
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
x
y
x
y
A função sinh x é contínua e estritamente crescente em todo o R; é uma função ímpar.
1.3.2 Cosseno hiperbólico
Chama-se coseno hiperbólico à função definida por
cosh : R → [1,+∞[
x 7→ cosh x = e
x + e−x
2
.
Representa-se por cosh x ou ch x.
O seu gráfico é:
3210-1-2-3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
y
x
y
A função ch x é contínua em todo o R, é crescente em ]0,+∞[ e decrescente em ]−∞, 0[;
é uma função par.
Verifica-se facilmente que
cosh2 x− sinh2 x = 1.
1.3 Funções hiperbólicas 25
Ao designar-se a = cosh2 x e b = sinh2 x, vem a2 − b2 = 1, que é a equação de uma
hipérbole. Fica agora clara a razão do nome ”funções hiperbólicas”.
Por analogia com as funções trigonométricas, podem ser definidas as funções:
Tangente hiperbólica:
tgh x =
sinh x
cosh x
=
ex − e−x
ex + e−x
Co-tangente hiperbólica:
cotgh x =
cosh x
sinh x
=
ex + e−x
ex − e−x
Secante hiperbólica:
sech x =
1
cosh x
Cossecante hiperbólica:
csch x =
1
sinh x
Exercício 1.3.1 Prove que:
1) sinh (x+ y) = sinhx. cosh y + coshx. sinh y;
2) cosh(2x) = cosh2 x+ sinh2 x;
3) 1− tgh2 x = sech2 x;
4) 1− cotgh2 x = − csch2 x.
26 Bibliografia
Bibliografia
[1] Pedro Matos, Alexandra Seco, Luís Cotrim, Apontamentos teóricos de Matemática I,
Departamento de Matemática, ESTG.
27