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Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Prof. André Tiba akot@cin.ufpe.br Baia 65, ramais: 4765 ou 4338 esta aula baseia-se nas notas de aula gentilmente cedidas pelo professor Carlos Mello1 Determinante e Matriz inversa 1. Determinante 2. Desenvolvimento de Laplace 3. Matriz Adjunta 4. Matriz Inversa 5. Procedimento para inversão de matrizes 1. Determinante 2. Desenvolvimento de Laplace 3. Matriz Adjunta 4. Matriz Inversa 5. Procedimento para inversão de matrizes 2 Determinante e Matriz Inversa: determinante • Considere o sistema ax = b, a 0. • A solução para este sistema é x = b/a • Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema. – Em um sistema 2x2 teríamos: • Considere o sistema ax = b, a 0. • A solução para este sistema é x = b/a • Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema. – Em um sistema 2x2 teríamos: 3 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 Denominadoresiguais b1a22 – b2a12 a11a22 – a12a21 b2a11 – b1a21 a11a22 – a12a21 x1 = x2 = observe ainda que: 2221 1211 21122211 det aa aaaaaa Determinante e Matriz Inversa: determinante • O determinante da matriz A é representado como: det A, |A| ou ainda det[aij]. |A| denota determinante de A, enquanto ||A|| denota módulo de A. • Então: Se A1x1A = a e det [A] = a Se A2x2: Se A3x3: • O determinante da matriz A é representado como: det A, |A| ou ainda det[aij]. |A| denota determinante de A, enquanto ||A|| denota módulo de A. • Então: Se A1x1A = a e det [A] = a Se A2x2: Se A3x3: 4 21122211 2221 1211det aaaaaa aaAA 2221 1211 aa aaA 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11det aa aaaaa aaaaa aaaAA 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A Determinante e Matriz Inversa: determinante • Cálculo do determinante de uma matriz 3x3: 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 32 22 12 31 21 11 333231 232221 131211 a a a a a a aaa aaa aaa expande A repetindo, as colunas 1 e 2 de A 5 32 22 12 31 21 11 333231 232221 131211 a a a a a a aaa aaa aaa ...) (det 322113 312312332211 aaa aaaaaaAA expande A repetindo, as colunas 1 e 2 de A Determinante e Matriz Inversa: determinante • Cálculo do determinante de uma matriz 3x3: 32 22 12 31 21 11 333231 232221 131211 a a a a a a aaa aaa aaa 6 )( )(det 332112322311312213 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaaAA 3331 2321 13 3331 2321 12 3332 2322 11det aa aaaaa aaaaa aaaAA equivalente a: Determinante e Matriz Inversa: determinante • Cálculo do determinante de uma matriz 4x4: 44434241 44333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A• Cálculo do determinante de uma matriz 4x4: 7 434241 333231 232221 14 444241 343231 242221 13 444341 343331 242321 12 444342 343332 242322 11det aaa aaa aaa a aaa aaa aaa a aaa aaa aaa a aaa aaa aaa aA Determinante e Matriz Inversa: determinante • Como calcular o determinante de uma matriz quadrada Anxn? • Vamos apresentar um método iterativo • Para isso, utilizaremos o cálculo do determinante de A3x3 • Mas antes, apresentaremos os conceitos matemáticos necessários. • Como calcular o determinante de uma matriz quadrada Anxn? • Vamos apresentar um método iterativo • Para isso, utilizaremos o cálculo do determinante de A3x3 • Mas antes, apresentaremos os conceitos matemáticos necessários. 8 Determinante e Matriz Inversa: determinante Definição: Permutação é o ordenamento de um grupo de objetos, em que a ordem na qual estes objetos estão dispostos, faz diferença. Dado n objetos, o número de permutações possíveis vale: 1!0onde12...)2()1(! nnnn Exemplo 1: calcular as permutações do conjunto {1, 2, 3} 9 Exemplo 1: calcular as permutações do conjunto {1, 2, 3} possíveisspermutaçõe6123!3 321}312;231;213;132;;123{ possíveisspermutaçõe241234!4 4321}4312;4231;4213;4132;4123;3421;3412;3241;3214;3142;3124; 2431;2413;2341;2314;2143;2134;1432;1423;1342;1324;1243;;1234{ Exemplo 2: calcular as permutações do conjunto {1, 2, 3, 4} Determinante e Matriz Inversa: determinante Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2, ..., n, existe uma inversão, quando um inteiro precede outro inteiro, menor que ele. Exemplo1: considere a permutação dos inteiros 1, 2 e 3. Calcule todas as inversões possíveis. Permutação Nº de inversões Inversões 10 Permutação Nº de inversões Inversões 1 2 3 0 - 1 3 2 1 (3 e 2) 2 1 3 1 (2 e 1) 2 3 1 2 (3 e 1), (2 e 1) 3 1 2 2 (3 e 1), (3 e 1) 3 2 1 3 (3 e 2),(2 e 1) e (3 e 1) Determinante e Matriz Inversa: determinante Exemplo 2: calcule o número de inversões das permutações 4231 e 23514. Permutação Nº de inversões Inversões 4 2 3 1 5 (4 e 2), (4 e 3), (4 e 1),(2 e 1) e (3 e 1) 11 4 2 3 1 5 (4 e 2), (4 e 3), (4 e 1),(2 e 1) e (3 e 1) 2 3 5 1 4 4 (2 e 1), (3 e 1), (5 e 1) e(5 e 4) Determinante e Matriz Inversa: determinante • Voltemos para o determinante de A3x3: 312213322113312312332112322311332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA Observe que: 1) cada parcela da forma a1ia2ja3k, onde i, j, k são todas aspermutações do conjunto {1, 2, 3}: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) e (3, 2, 1). 2) o sinal é negativo quando a permutação tem um número ímpar de inversões. 12 Observe que: 1) cada parcela da forma a1ia2ja3k, onde i, j, k são todas aspermutações do conjunto {1, 2, 3}: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) e (3, 2, 1). 2) o sinal é negativo quando a permutação tem um número ímpar de inversões. 332211 aaa 1 2 3 nº de inver. = 0 332112 aaa 2 1 3 nº de inver. = 1 312213 aaa 3 2 1 nº de inver. = 3 322113 aaa 3 1 2 nº de inver. = 2 Determinante e Matriz Inversa: determinante • Definição: , onde J = J(j1,j2,..., jn) é o número de inversões da permutação (j1,j2...,jn)e indica que a soma é estendida a toda as n! permutações de (1 2... n). • Observação: Se J é par, (-1)J = 1; se J é ímpar (-1)J = -1 Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha, e um e apenas um, elemento de cada coluna da matriz. nnjjjJ aaaA 21 21)1(]det[ 13 • Definição: , onde J = J(j1,j2,..., jn) é o número de inversões da permutação (j1,j2...,jn)e indica que a soma é estendida a toda as n! permutações de (1 2... n). • Observação: Se J é par, (-1)J = 1; se J é ímpar (-1)J = -1 Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha, e um e apenas um, elemento de cada coluna da matriz. Determinante e Matriz Inversa: determinante • Propriedades: i. Se todos os elementos de uma linha ou uma coluna de uma matriz A são nulos, então det(A) = 0. ii. det(A) = det(A’). iii. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante. 0 000 624 123 det 0 504 604 103 det 14 • Propriedades: i. Se todos os elementos de uma linha ou uma coluna de uma matriz A são nulos, então det(A) = 0. ii. det(A) = det(A’). iii. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante. 750 312 123 det2 750 624 123 det 0 000 624 123 det 0 504 604 103 det Determinante e Matriz Inversa: determinante • Propriedades: iv. Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante muda de sinal. v. O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou colunas iguais é zero. 123 312 750 det 750 312 123 det 15 • Propriedades: iv. Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante muda de sinal. v. O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou colunas iguais é zero. 123 312 750 det 750 312 123 det 0 123 624 123 det 0 664 664 113 det Determinante e Matriz Inversa: determinante • Propriedades: vi. det (A.B) = det(A).det(B) vii. det(A + B) det(A) + det(B), mas nnn ini n nnn ini n nnn ininii n aa bb aa aa aa aa aa baba aa detdetdet 1 1 111 1 1 111 1 11 111 16 nnn ini n nnn ini n nnn ininii n aa bb aa aa aa aa aa baba aa detdetdet 1 1 111 1 1 111 1 11 111 Determinante e Matriz Inversa: determinante • Propriedades: viii. O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante. 242 052 123 A B 008 052 123 17 242 052 123 A L3= L3 + 2L1 B 008 052 123 BA detdet Determinante e Matriz Inversa: desenvolvimento de Laplace • Para a matriz A3x3: Seu determinante vale: 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 18 312213322113312312332112322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA Seu determinante vale: 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aaaaa aaaaa aaaA Que é equivalente a: Determinante e Matriz Inversa: desenvolvimento de Laplace 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3332 2322 11 aa aaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 19 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3331 2321 12 aa aaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3231 2221 13 aa aaa Determinante e Matriz Inversa: desenvolvimento de Laplace • Assim, det |A| = a1111 + a12 12 + a13 13 • Onde: ij = (-1)i+j|Aij| = cofator e Aij é a submatriz da matriz inicial, retiradas a i-ésima linha e j-ésima coluna. • Para uma matriz de ordem n: • Assim, det |A| = a1111 + a12 12 + a13 13 • Onde: ij = (-1)i+j|Aij| = cofator e Aij é a submatriz da matriz inicial, retiradas a i-ésima linha e j-ésima coluna. • Para uma matriz de ordem n: 20 )det(1det 11 ij jin j ij n j ijijnxn AaaA fixa linha evaria colunas )det(1det 11 ij jin i ij n i ijijnxn AaaA fixa coluna evaria linhas Determinante e Matriz Inversa: desenvolvimento de Laplace Exemplo 1: caso 1: i = 1 (primeira linha fixa), j = 1, 2, 3 (colunas variando) . 212 112 321 A det |A| = a1111 + a12 12 + a13 13 Exemplo 1: caso 1: i = 1 (primeira linha fixa), j = 1, 2, 3 (colunas variando) . 21 1)]1()1(21[121 11)1(1 111111 a 4)]2()1(22[222 12)1()2( 211212 a 0)]2(1)1(2[312 12)1(3 311313 a det |A| = 1 + 4 + 0 = 5 Determinante e Matriz Inversa: desenvolvimento de Laplace • Exemplo 1(cont): caso 2: i = 2 (segunda linha fixa), j = 1, 2, 3 (colunas variando) 212 112 321 A det |A| = a2121 + a22 22 + a23 23 22 2)]1(32)2[(221 32)1(2 122121 a 8)]2(321[122 31)1(1 222222 a 5)]2()2()1(1[112 21)1(1 322323 a det |A| = 2 + 8 – 5 = 5 Determinante e Matriz Inversa: desenvolvimento de Laplace • Exemplo 1(cont): caso 3: i = 1, 2, 3 (linhas variando), j = 3 (terceira coluna fixa) 212 112 321 A det |A| = a1313 + a23 23 + a23 23 23 0)]2(1)1(2[312 12)1(3 311313 a 5)]2()2()1(1[112 21)1(1 322323 a 10]2)2(11[212 21)1(2 333333 a det |A| = 0 – 5 + 10 = 5 Determinante e Matriz Inversa: desenvolvimento de Laplace • O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência, que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1. 24 • O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência, que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1. Determinante e Matriz Inversa: matriz adjunta • A partir dos cofatores de A (ij), podemos montaruma matriz de cofatores de A chamada de Ā. Lembrando da definição de cofator: ij = (-1)i+j|Aij| • A matriz adjunta de A, é definida como a transposta da matriz dos cofatores de A, ou seja: adj A = Ā’ = Āt 25 • A partir dos cofatores de A (ij), podemos montaruma matriz de cofatores de A chamada de Ā. Lembrando da definição de cofator: ij = (-1)i+j|Aij| • A matriz adjunta de A, é definida como a transposta da matriz dos cofatores de A, ou seja: adj A = Ā’ = Āt Matriz identidade de ordem n • Teorema: A. Ā’ = A.(adj A) = (det A).In Determinante e Matriz Inversa: matriz adjunta • Exemplo: 561 413 012 A 1956 41)1( 1111 1951 43)1( 2112 1961 13)1( 3113 26 556 01)1( 1221 1051 02)1( 2222 1161 12)1( 3223 441 01)1( 1331 843 02)1( 2332 513 12)1( 3333 584 11105 191919 ][ ijA 51119 81091 4519 'AAadj Determinante e Matriz Inversa: matriz inversa • Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A, uma matriz B tal que: A.B = B.A = In – In é a matriz identidade de ordem n. – Escrevemos A-1 para indicar a inversa de A. 27 • Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A, uma matriz B tal que: A.B = B.A = In – In é a matriz identidade de ordem n. – Escrevemos A-1 para indicar a inversa de A. Determinante e Matriz Inversa: matriz inversa • Exemplo: calcule a inversa da matriz A 411 26A dc baA 1 10 0111 IAAAAonde 28 10 01 411 26 dc ba 1411 0411 026 126 db ca db ca 3 2/11 1 2 d c b a 32/11 121A Determinante e Matriz Inversa: matriz inversa • Observações: Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, (AB)-1 = B-1.A-1 Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que BA = I, então A é inversível (ou seja possui inversa) e B = A-1 Nem toda matriz tem inversa 29 • Observações: Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem,(AB)-1 = B-1.A-1 Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que BA = I, então A é inversível (ou seja possui inversa) e B = A-1 Nem toda matriz tem inversa Determinante e Matriz Inversa: matriz inversa • Exemplo: mostre que a matriz A não possui inversa 10 20A dc baA 1 10 0111 IAAAAonde 10 01 10 20 dc ba 30 10 01 10 20 dc ba 10 00 020 120 db ca db ca 00 120 ca ca 10 020 db db a e b podem assumir qualquer valor real, porém c e d podem assumir nenhum valor real, portanto A-1 não pode existir. Determinante e Matriz Inversa: matriz inversa • Teorema: Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, det A 0. Além disso, A AadjA det 1 • Exemplo 1: 31 • Exemplo 1: 411 26A 2det A então A-1 existe • Exemplo 2: 412 26B 0det B então B-1 não existe Determinante e Matriz Inversa: procedimento para inversão de matrizes (A : I) (I : A-1) 3001 1110 1101 0012 A • Exemplo 1: calcular A-1. 32 3001 1110 1101 0012 A • Exemplo 1: calcular A-1. Determinante e Matriz Inversa: procedimento para inversão de matrizes 1000 0100 0010 0001 3001 1110 1101 0012 Troca L1 e L2 • Exemplo 1(cont): 33 1000 0100 0010 0001 3001 1110 1101 0012 1000 0100 0001 0010 3001 1110 0012 1101 L2 = L2 - 2L1 L4 = L4 + L1 Determinante e Matriz Inversa: procedimento para inversão de matrizes 1010 0100 0021 0010 4100 1110 2210 1101 L3 = L3 – L2 • Exemplo 1(cont): 34 1010 0100 0021 0010 4100 1110 2210 1101 L3 = – L3 1010 0121 0021 0010 4100 3100 2210 1101 Determinante e Matriz Inversa: procedimento para inversão de matrizes L1 = L1 + L3 1010 0121 0021 0010 4100 3100 2210 1101 L2 = L2 – 2L3 • Exemplo 1(cont): 35 1010 0121 0021 0010 4100 3100 2210 1101 L4 = L4 + L3 1111 0121 0221 0111 1000 3100 4010 2001 L1 = L1 + 2L4 L2 = L2 – 4L4 L3 = L3 + 3L4 Determinante e Matriz Inversa: procedimento para inversão de matrizes 1111 3454 4665 2333 1000 0100 0010 0001 • Exemplo 1(cont): 36 1111 3454 4665 2333 1000 0100 0010 0001 1111 3454 4665 2333 1A Determinante e Matriz Inversa: procedimento para inversão de matrizes 020 121 101 A• Exemplo 2: calcular A-1, onde 100 010 001 020 121 101 37 • Exemplo 2: calcular A-1, onde 100 010 001 020 121 101 L2 = L2 – L1 100 011 001 020 020 101 L2 = L2/2 Determinante e Matriz Inversa: procedimento para inversão de matrizes • Exemplo 2(cont.): L3 = L3 – 2L2 100 02/12/1 001 020 010 101 38 L3 = L3 – 2L2 100 02/12/1 001 020 010 101 111 02/12/1 001 000 010 101 Como é impossível transformar a matriz à esquerda da linha tracejada, em uma matriz identidade I3, também não épossível se obter A-1, a partir da matriz à direita da mesma linha tracejada. Portanto A-1 não existe. Determinante e Matriz Inversa • Problemas Sugeridos: 4, 5 (utilize as matrizes A e B do exercício 4 ao invés de matrizes nxn), 6, 8, 9 e 12. 39
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