Linearização e Diferenciais

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(3o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Linearizac¸a˜o e diferenciais
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 1 / 11
Linearizac¸a˜o
Quanto mais ampliamos o gra´fico de uma
func¸a˜o pro´ximo a um ponto onde a func¸a˜o
e´ deriva´vel, mais “reto” o gra´fico se torna
e mais se assemelha a` sua tangente.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 2 / 11
Linearizac¸a˜o
Quanto mais ampliamos o gra´fico de uma
func¸a˜o pro´ximo a um ponto onde a func¸a˜o
e´ deriva´vel, mais “reto” o gra´fico se torna
e mais se assemelha a` sua tangente.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 2 / 11
Linearizac¸a˜o
Figura: y = x2 e sua tangente y = 2x − 1 em (1, 1).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 3 / 11
Linearizac¸a˜o
Figura: A tangente e a curva bem pro´ximas, quando estamos perto de (1, 1).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 4 / 11
Linearizac¸a˜o
Figura: A tangente e a curva muito pro´ximas quando estamos ainda mais
pro´ximos de (1, 1).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 5 / 11
Linearizac¸a˜o
Figura: A tangente e a curva ainda mais pro´ximas... na˜o conseguimos distinguir
as duas.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 6 / 11
Linearizac¸a˜o
Definic¸a˜o (Linearizac¸a˜o, aproximac¸a˜o linear padra˜o)
Se f e´ deriva´vel em x = a, enta˜o a func¸a˜o aproximac¸a˜o
L(x) = f (a) + f ′(a)(x − a)
e´ a linearizac¸a˜o de f em a. A aproximac¸a˜o
f (x) = L(x)
de f por L e´ a aproximac¸a˜o linear padra˜o de f em a. O
ponto x = a e´ o centro da aproximac¸a˜o.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 7 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10
1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445
< 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025
1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695
< 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250
1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497
< 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinandouma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5
2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2
= 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando x = 0.
Aproximac¸a˜o Valor real Erro
√
1 + 0, 2 =
√
1, 2 ≈ 1 + 0,2
2
= 1, 10 1,095445 < 10−2
√
1 + 0, 05 =
√
1, 05 ≈ 1 + 0,05
2
= 1, 025 1,024695 < 10−3
√
1 + 0, 005 =
√
1, 005 ≈ 1 + 0,005
2
= 1, 00250 1,002497 < 10−5
√
1 + 3 =
√
4 ≈ 1 + 3
2
= 2, 5 2 = 0, 5
Observac¸a˜o
No u´ltimo caso a aproximac¸a˜o foi bastante imprecisa.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 8 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o em outro ponto)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando
x = 3.
Exemplo
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) = cos x quando
x = pi/2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 9 / 11
Linearizac¸a˜o
Exemplo (Determinando uma linearizac¸a˜o em outro ponto)
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) =
√
1 + x quando
x = 3.
Exemplo
Determine a linearizac¸a˜o de f (x) = cos x quando
x = pi/2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 9 / 11
Diferenciais
Definic¸a˜o (Diferencial)
Seja y = f (x) uma func¸a˜o deriva´vel. A diferencial dx
(= ∆x) e´ uma varia´vel independente. A diferencial dy
(= ∆y) e´
dy = f ′(x)dx(ou ∆y = f ′(x)∆x)
Observac¸a˜o
Interprete o resultado geometricamente.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 10 / 11
Diferenciais
Definic¸a˜o (Diferencial)
Seja y = f (x) uma func¸a˜o deriva´vel. A diferencial dx
(= ∆x) e´ uma varia´vel independente. A diferencial dy
(= ∆y) e´
dy = f ′(x)dx(ou ∆y = f ′(x)∆x)
Observac¸a˜o
Interprete o resultado geometricamente.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 10 / 11
Diferenciais
Definic¸a˜o (Diferencial)
Seja y = f (x) uma func¸a˜o deriva´vel. A diferencial dx
(= ∆x) e´ uma varia´vel independente. A diferencial dy
(= ∆y) e´
dy = f ′(x)dx(ou ∆y = f ′(x)∆x)
Observac¸a˜o
Interprete o resultado geometricamente.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 10 / 11
Diferenciais
Exemplo (Determinando a diferencial dy)
(a) Determine dy se y = x5 + 37x .
(b) Determine o valor de dy quando x = 1 e
dx = 0, 2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Linearizac¸a˜o e diferenciais 12 de agosto de 2013 11 / 11