APOSTILA-ESPAÇOS VETORIAIS

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Apostila de A´lgebra Linear
Professora: Luciana K. Nakayama
Espac¸os Vetoriais
Os espac¸os vetoriais constituem o objeto de estudo da A´lgebra Linear.
Definic¸a˜o 0.1 Dizemos que um conjunto V 6= ∅ e´ um espac¸o vetorial sobre R
quando, e somente quando:
I) Existir uma adic¸a˜o (u, v) 7→ u+ v em V, com as seguintes propriedades:
a) u+ v = v + u ∀ u, v ∈ V. (comutativa)
b) u+ (v + w) = (u+ v) + w, ∀ u, v, w ∈ V. (associativa)
c) Existe em V um elemento neutro para essa adic¸a˜o o qual sera´ simbolizado
genericamente por 0. Ou seja:
∃ 0 ∈ V / u+ 0 = u ∀u ∈ V ∗
* Este elemento neutro e´ u´nico
De fato, suponha que exista 0′ ∈ V elemento neutro de V assim
u+ 0′ = u = 0′ + u ∀u ∈ V u+ 0 = u = 0 + u ∀u ∈ V
Dessa forma
0′ + 0 = 0′ e0 + 0′ = 0′ + 0 = 0
Logo 0′ = 0
∴ 0 e´ u´nico.
d) Para todo elemento u de V existe o oposto, indicaremos por −u esse oposto.
Assim:
∀ u ∈ V ∃ (−u) ∈ V / u+ (−u) = 0.
* Provar que (−u) e´ u´nico. ex.
II) Esta´ definida uma multiplicac¸a˜o de RXV em V , o que significa que a cada
par (α, u) de RXV esta´ associado um u´nico elemento de V que se indica por αu, e
para essa multiplicac¸a˜o tem-se o seguinte:
a) α(βu) = (αβ)u
b) (α + β)u = αu+ βu
c) α(u+ v) = αu+ αv
d) 1.u = u
para quaisquer u, v de V e α, β de R.
O estudo de espac¸o vetorial em sua maioria sera´ feita sobre R mas valem tambe´m
para quaisquer corpo K. Exemplo: Nu´meros Complexos e os Racionais.
Exemplos:
1) Espac¸o vetorial R
Considerando o corpo R e as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o usuais que
satisfazem todas as propriedades de espac¸o vetorial como ja´ e´ conhecido.
2) O Espac¸o Vetorial C.
Temos que C e´ um espac¸o vetorial sobre C e tambe´m sobre R. Aqui sendo
consideradas a soma e a multiplicac¸a˜o de nu´meros complexos.
3) O conjunto Mmxn(R) e´ um espac¸o vetorial sobre R.
4) O espac¸o Rn
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Uma n-upla de nu´meros e´ uma sequeˆncia finita de n nu´meros reais que se indica
por (a1, a2, ..., an). O conjunto de todas as n-uplas de nu´meros reais e´ denotado por
Rn. O Rn pode ser visto como espac¸o vetorial sobre R desde que se definam adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o da seguinte maneira:
(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)
α(a1, a2, ..., an) = (αa1, αa2, ..., αan)
De fato: I) Adic¸a˜o
a)
b)
c)
3
d)
II) Multiplicac¸a˜o
a)
b)
4
c)
d)
5) O espac¸o Pn(R)
Seja n ≥ 0 um nu´mero natural. Indicaremos por Pn(R) o conjunto dos polinoˆmios
reais de grau ≤ n, mais o polinoˆmio nulo.
Temos
a) f(t), g(t) ∈ Pn(R) ⇒ f(t) + g(t) ∈ Pn(R)
b) α ∈ f(t) ∈ Pn(R) ⇒ αf(t) ∈ Pn(R).
Verifique que Pn(R) e´ um espac¸o vetorial sobre R.
Exerc´ıcio.
OBS: Os elementos de um espac¸o vetorial sa˜o chamados vetores, o elemento
neutro de vetor nulo e os elementos de R ou C de escalares.
Primeiras propriedades de um espac¸o vetorial
Seja V um espac¸o vetorial (esp. vet.) sobre R. Provaremos algumas propriedades
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imediatas da definic¸a˜o de espac¸o vetorial.
P1) Para todo α ∈ R, α0 = 0.
P2) Para todo u ∈ V, 0u = 0.
Dem: Do mesmo tipo da anterior. Fica como exerc´ıcio.
P3) Uma igualdade αu = 0, com α ∈ R e u ∈ V, so´ e´ poss´ıvel se α = 0 ou
u = 0.
P4) Para todo α ∈ R e todo u de V , −αu = α(−uα) = −(αu)
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OBS: Defini-se diferenc¸a entre dois vetores u e v do espac¸o V assim:
u− v = u+ (−v)
P5) Quaisquer que sejam α, β ∈ R e u em V, (α− β)u = αu− βv.
P6) Quaisquer que sejam α em R, u e v em V, α(u− v) = αu− αv.
Exerc´ıcio
P7) Dados β, α1, α2, ..., αn em R e u1, u2, ..., un em V, enta˜o:
β(
n∑
j=1
αjuj) =
n∑
j=1
(βαj)uj.
Dem: por induc¸a˜o. Exerc´ıcio.
Subespac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o 0.2 Seja V um espac¸o vetorial sobre R. Um subespac¸o vetorial de V e´
um conjunto W ⊂ V, tal que:
a) 0 W ;
b) ∀ u, v ∈ W, u+ v ∈ W ; e
c) ∀ α ∈ R e ∀ u ∈ W, αu ∈ W.
Notemos que b) significa que a adic¸a˜o de V , restrita a W e´ uma adic¸a˜o em W.
O significado de c) e´ que esta´ definida uma multiplicac¸a˜o de RXW em W. Mas sera´
que W, nessas condic¸o˜es,e´ um espac¸o vetorial sobre R?
Proposic¸a˜o 0.3 Se W e´ um subespac¸o vetorial de V , enta˜oW tambe´m e´ um espac¸o
vetorial sobre R.
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Demonstrac¸a˜o: A rigor temos que provar oito item.Contudo mostraremos apenas
que :
u ∈ W ⇒ −u ∈ W
Uma vez que os demais itens decorrem sem artif´ıcios da hipo´teses.
Mas isso e´ fa´cil: e´ so´ fazer em c) α = −1. 2
Exemplo 0.4 1) Para todo espac¸o vetorial V e´ imediato que {0} e V sa˜o subespac¸o
de V . Sa˜o chamados subespac¸os triviais.
2) W = {(x, y, z) ∈ R3 / x+ y = 0}
a)
b)
c)
3) A intersec¸a˜o de dois subespac¸os vetoriais do mesmo espac¸o V e´ tambe´m um
subespac¸o vetorial de V.
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Sejam W e V esses subepac¸os.
a)
b)
c)
4) O conjunto das matrizes sime´tricas e´ um espac¸o vetorial de Mn(R). com a
soma e multiplicac¸a˜o por escalar usuais de matrizes.
De fato, a)
b)
c)
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Somas de Subepac¸os
Sejam U e V subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial W.
Definic¸a˜o 0.5 Indicaremos por U + V e chamaremos de soma de U com V o se-
guinte subconjunto de W :
U + V = {u+ v / u ∈ U e v ∈ V }.
Observac¸a˜o 0.6 E´ claro que U + V = V + U e que U + {0} = V, para todos os
subespac¸os U e V de W. Tambe´m temos que
U ⊂ U + V e V ⊂ U + V. (Justifique).
Proposic¸a˜o 0.7 Se U e V sa˜o subespac¸os vetoriais de W , enta˜o U + V tambe´m e´
um subespac¸o vetorial de W.
Demonstrac¸a˜o: a) Como 0 = 0 + 0, 0 ∈ U e 0 ∈ V, enta˜o 0 ∈ U + V.
b) Sejam w1 = u1+v1 e w2 = u2+v2 elementos de U +V, onde estamos supondo
u1, u2 ∈ U e v1, v2 ∈ V. Enta˜o
w1 + w2 = u1 + v1 + u2 + v2 = (u1 + u2) + (v1 + v2)
como u1+u1 ∈ U pois U e´ subspac¸o vetorial e v1+v2 ∈ V , enta˜o w1+w2 ∈ U+V.
c) ∀ α ∈ R considere w ∈ U + V, assim w = u1 + v1 onde u1 ∈ U e v1 ∈ V.
Dessa forma,
α.w = α(u1 + v1) = αu1 + αv1
como U e V sa˜o subespac¸o vetoriais temos que αu1 ∈ U e αv1 ∈ V logo, αw ∈
U + V.
∴ Por a), b) e c) U + V e´ um subespac¸o de W.
2
Intersecc¸a˜o de Subespac¸os Vetoriais
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Definic¸a˜o 0.8 A intersec¸a˜o de subespac¸o vetorial U e V e´ definida pela intercc¸a˜o
”natural”de conjuntos e neste caso fornece o subconjunto que ja´ vimos que e´ su-
bespac¸o vetorial dado por:
W = U ∩ V = {x ∈ W / x ∈ U e x ∈ V }
Definic¸a˜o 0.9 Sejam U e V subespac¸os vetoriais de W tais que U ∩ V = {0}.
Neste caso diz-se que U + V e´ soma direta dos subsespac¸os U e V.
Notac¸a˜o:
U ⊕ V
Se U e V sa˜o subespac¸os de W tais que U ⊕ V = W dizemos que U e V sa˜o
suplementares ou que U e´ o suplemento de V.
Proposic¸a˜o 0.10 Sejam U e V subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial W.
Enta˜o W = U ⊕ V se, e somente se,cada vetor w ∈ W admite uma u´nica de-
composic¸a˜o w = u+ v, com u ∈ U e v ∈ V.
Demonstrac¸a˜o:
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2
Exemplo 0.11 O espac¸o R3 e´ soma direta dos subespac¸os:
U = {(x, 0, 0) / x ∈ R} e V = {(0, y, z) / y, z ∈ R}.
Note que U ∩ V = {(0, 0, 0)} por outro lado ∀ (x, y, z) ∈ R3,
(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, z) ∈ U + V.
Exemplo 0.12 Dados os subespac¸os
U = {(x, y, z) ∈ R3 / x+ y = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 / x = 0 do R3},
determinar o subespac¸o U ∩ V.
Exerc´ıcios:
1. Seja I um intervalo de R e indiquemos que f+g e af sa˜o func¸o˜es cont´ınuas, isto
e´ f + g, af ∈ C(I). Temos enta˜o sobre C(I) uma adic¸a˜o e uma multiplicac¸a˜o
por escalares. Podemos verificar que C(I) e´ um espac¸o vetorial com relac¸a˜o a
essas operac¸o˜es.
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.
13
2. Seja V = {(x, y) / x, y ∈ R}. Definimos
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) a ∈ R a(x, y) = (ax, 0)
e´ espac¸o vetorial?
3. Mostrar que e´ subespac¸o de M2(R) o seguinte subespac¸o:
W =
{(
x y
z t
)
∈ M2(R) / y = −x
}
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Combinac¸o˜es Lineares
Seja V um espac¸ovetorial sobre R. Tomemos um subconjunto S = {u1, u2, ..., un} ⊂
V. Indiquemos por [S] o seguinte subconjunto de V constru´ıdo a partir de S :
[S] = {α1u1 + α2u2 + ...+ αnun / α1, α2, ...αn ∈ R}.
E´ fa´cil ver que [S] e´ um subespac¸o de V. De fato:
a) Como 0 = 0u1 + 0u2 + ...+ 0un, enta˜o 0 ∈ S.
b) Se v = α1u1 + α2u2 + ...αnun e w = β1u1 + β2u2 + ... + βnun pertencem a S,
enta˜o
v + w = (α1 + β1)u1 + ...+ (αn + βn)un
tambe´m e´ um elemento de S.
c) Seja α ∈ R e v = α1u1 + ...+ αnun ∈ [S] note que:
αv = αα1u1 + ...+ ααnun
αv tambe´m e´ elemento de [S].
Definic¸a˜o 0.13 O subespac¸o [S] que acabamos de construir recebe o nome de su-
bespac¸o gerado por S. Cada elemento de [S] e´ uma combinac¸a˜o linear de S ou com-
binac¸a˜o linear de u1, u2, ..., un. Ao inve´s de [S] tambe´m costuma-se escrever:
[u1, u2, ..., un].
Diz-se tambe´m que u1, ..., un geram [S], ou enta˜o que sa˜o um sistema de geradores
de [S].
Observac¸a˜o 0.14 1) Estendemos a definic¸a˜o acima para o caso de S = ∅ mediante
a seguinte convenc¸a˜o:[∅] = {0}.
2) No caso de S ⊂ V ser um conjunto infinito, definimos [S] atrave´s da seguinte
frase:
u ∈ [S] ⇔ ∃ v1, ..., vt ∈ S e ∃ α1, ..., αt ∈ R / u = α1v1 + ...+ αtvt.
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Exemplo 0.15 Se V = R3, u = (1, 0, 0) e v = (1, 1, 0) o que e´ [u, v]?
Espac¸os Vetoriais Finitamente Gerados
Observemos no R3 o conjunto S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Como, para todo (a, b, c) ∈ R3, vale a igualdade
(a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)
podemos dizer que os vetores de S geram o R3. Muitos outros subconjuntos finitos
de R3 teˆm essa mesma propriedade.
Definic¸a˜o 0.16 Dizemos que um espac¸o vetorial V e´ finitamente gerado se existe
S ⊂ V, S finito, de maneira que V = [S].
Exemplo 0.17 1) O espac¸o V dos vetores da geometria anal´ıtica definidos por
segmentos orientados e´ finitamente gerado pois considerando a terna fundamental
{−→i ,−→j ,−→k } para todo −→u ∈ V, existem a, b, c ∈ R, de maneira que u = a−→i + b−→j +
c
−→
k .
Ressalta-se que
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1) desde que se tenham
identificado V e R3.
2) Se 0 indica o vetor nulo de um espac¸o vetorial qualquer, enta˜o V = {0} e´
finitamente gerado pois, fazendo S = {0}, vale V = [S].
3) M2(R) e´ finitamente gerado. De fato:
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4) Rn e´ finitamente gerado,
5) Pn(R) e´ finitamente gerado. Os polinoˆmios f0, f1, ..., fn dados por f0 =
1, f1 = t, f2 = t
2, ..., fn = t
n, ∀ t ∈ R, sa˜o geradores de Pn(R) uma vez que se
f(t) = a0+a1t+...+ant
n e´ um elemento de Pn(R), enta˜o f(t) = a0f0+a1f1+...+anfn.
Observe que {f0, f1, f2, ..., fn} possui n+ 1 polinoˆmios.
Exerc´ıcos
1. Achar um conjunto de geradores (sistema de geradores) dos seguintes su-
bespac¸os de R4 :
a) U = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x− y − z + t = 0}
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b) V = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x− y = z + t = 0}
2. Consideremos no R3 os seguintes subespac¸os vetoriais:
U = [(1, 0, 0), (1, 1, 1)] e V = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)].
Determinar um sistema de geradores de U ∩ V.
3. Sa˜o subespac¸os vetoriais de C(I) os seguintes subconjuntos:
U = {f ∈ C(I) / f(t) = f(−t), ∀ t ∈ R} V,= {f ∈ C(I) / f(t) = −f(−t), ∀ t ∈ R}
Mostrar que C(I) = U ⊕ V.
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resoluc¸a˜o:
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Base e Dimensa˜o
Sistema de coordenadas ortogonais, de origem O.
O vetor
−→
OP e´ escrito de forma u´nica por
−→
OP = a
−→
i + b
−→
j + c
−→
k onde a, b, c sa˜o
coordenadas de P no sistema considerado.
O que pretendemos mostrar e´ que qualquer gerador tera´ sempre o mesmo nu´mero
de elementos.
Dependeˆncia Linear
Seja V um espac¸o vetorial sobre R.
Definic¸a˜o 0.18 Dizemos que um conjunto L = {u1, u2, ..., un} ⊂ V e´ linearmente
independente (LI.) se, e somente se,uma igualdade do tipo
α1u1 + α2u2 + ...+ αnun = 0
com os αi em R, so´ for poss´ıvel para α1 = α2 = ... = αn = 0.
Definic¸a˜o 0.19 Dizemos que um conjunto L = {u1, u2, ..., un} ⊂ V e´ linearmente
dependente (LD.) se, e somente se,L na˜o e´ LI., ou seja, e´ poss´ıvel uma igualdade
do tipo
α1u1 + α2u2 + ...+ αnun = 0
sem que os escalares αi sejam todos iguais ao nu´mero zero.
20
Observac¸a˜o 0.20 Convencionaremos que o conjunto vazio (∅ ⊂ V ) e´ LI.Como
para um subconjunto L ⊂ V deve valer uma, e uma so´, das duas definic¸o˜es anteriores
e a segunda destas pressupo˜e elementos em L, fica justificada esta convenc¸a˜o.
Exemplo 0.21 1)Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores do espac¸o ve-
torial R3 sa˜o LI.
a) {(1, 1, 0), (1, 4, 5), (3, 6, 5)}
b) {(1, 2, 3); (1, 4, 9); (1, 8, 27)}
2) Consideremos, no espac¸o vetorial R2, os vetores: u = (1 − α, 1 + α) e v =
(1 + α, 1− α) onde α 6= 0. Mostre que {u, v} e´ LI.
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Propriedades da Dependeˆncia Linear
Consideremos um espac¸o vetorial V sobre R.
P1) Se um conjunto finito L ⊂ V conte´m o vetor nulo, enta˜o esse conjunto e´ LD.
Dem:
P2) Se S = {u} ⊂ V e u 6= 0, enta˜o S e´ LI.
P3) Se S = {u1, ..., un} ⊂ V e´ LD, enta˜o um dos seus vetores e´ combinac¸a˜o linear
dos outros.
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P4) Se S1 e S2 sa˜o subconjuntos finitos e na˜o vazios de V, se S1 ⊂ S2 e S1 e´ LD,
enta˜o S2 tambe´m e´ LD.
P5) Se S1 e S2 sa˜o subconjuntos finitos e na˜o vazios de V, com S1 ⊂ S2 e S2 e´
LI, enta˜o S1 tambe´m e´ LI.
P6 Se S = {u1, ..., un} e´ LI, e para um certo u ∈ V tivermos S ⊂ {u} =
{u1, ..., un, u} LD, enta˜o o vetor u e´ combinac¸a˜o linear dos vetores u1, ..., un, isto e´
u ∈ [S].
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P7) Se S = {u1, ..., uj, ..., un} e uj ∈ [S − {uj}] (isto e´, uj e´ combinac¸a˜o linear
dos demais vetores de S), enta˜o [S] = [S − {uj}].
Dem: exerc´ıcio
Exemplo 0.22 Observe em R4 o seguinte subespac¸o S = [(1, 1, 0, 0); (0, 1, 0, 2);
(0, 0, 1, 0); (0, 2,−1, 4)] podemos tirar dos geradores de S um vetor, de fato:
Base de um espac¸o vetorial finitamente gerado.
Definic¸a˜o 0.23 Seja V um espac¸o vetorial finitamente gerado. Uma base de V e´
um subconjunto finito B ⊂ V para qual as seguintes condic¸o˜es se verificam:
a) [B] = V
b) B e´ linearmente independente (LI)
Exemplos:
1) B = {(1, 0); (0, 1)} e´ base do R2.
De fato:
2)B = {(1, 0, 0..., 0), (0, 1, 0..., 0), (0, 0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0..., 1)} (n-uplas) e´ uma
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base do Rn. Dem: Exerc´ıcio
3) O conjunto das m.n matrizes reais
1 0 · · · 0
0 0 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · 0
 ;

0 1 · · · 0
0 0 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · 0
 ; ...;

0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · 1

e´ uma base do espac¸o Mmxn(R.) (Mostrar !)
4) Os n+ 1 polinoˆmios 1, t, t2, ..., tn formam uma base de Pn(R). De fato:
5) Se indicamos por 0 o vetor nulo de um espac¸o vetorial qualquer, enta˜o uma
base do espac¸o {0} e´, conforme nossas convenc¸o˜es a respeito, o conjunto ∅.
Observac¸a˜o 0.24 As bases dos exemplos 1, 2, 3, 4 sa˜o chamadas bases canoˆnicas
dos espac¸os R2, Rn, Mmxn(R), e Pn(R), respectivamente. Esses exemplos apre-
senta˜o outras bases.
Por que e´ importante a base ser LI na definic¸a˜o?
Proposic¸a˜o 0.25 Todo espac¸o vetorial finitamente gerado admite uma base.
25
Demonstrac¸a˜o:
2
Dimensa˜o
Lema 0.26 Seja B = {u1, u2, ..., un} uma base de um espac¸o vetorial V. Se u ∈ V
e ainda se
u = α1u1 + ...+ αnun (1)
com αi 6= 0, enta˜o o conjunto
C = {u1, ..., ui−1, u, ui+1, ..., un}
tambe´m e´ uma base de V.
Dem: Livro do Carlos A. Callioli .
Lema 0.27 Suponhamos que exista uma base de V com n vetores. Enta˜o se B =
{u1, u2, ..., un} ⊂ V e´ LI e possui n vetores, B e´ tambe´m uma base de V.
Dem: Livro do Carlos A. Callioli .
Lema 0.28 Suponhamos V como no lema anterior. Enta˜o todo subconjunto de V
que seja LI tem no ma´ximo n vetores.
26
Dem: Livro do Carlos A. Callioli .
Teorema 0.29 Teorema da Invariaˆncia: Duas basesquaisquer do mesmo espac¸o
vetorial finitamente gerado teˆm o mesmo nu´mero de vetores.
Dem: Livro do Carlos A. Callioli .
Definic¸a˜o 0.30 Seja V um espac¸o vetorial finitamente gerado. Denomina-se di-
mensa˜o de V o nu´mero de vetores de uma qualquer de suas bases. Diz-se tambe´m,
neste caso, que V e´ um espac¸o de dimensa˜o finita.
Notac¸a˜o: dimV.
Decorre da definic¸a˜o dada e de considerac¸o˜es ja´ feitas nos exemplos que:
1. dimR2 = 2
2. dimRn = n
3. dimCn = n
4. dimMmxn(R) = m.n
5. dimPn(R) = n+ 1
6. dim{0} = 0
Proposic¸a˜o 0.31 Teorema do Completamento Seja V um espac¸o vetorial
de dimensa˜o n ≤ 1. Se {u1, ..., ur} ⊂ V e´ um subconjunto LI com r vetores e
r < n, enta˜o existem n − r vetores ur+1, ur+2, ..., un ∈ V, de maneira que B =
{u1, u2, ..., ur, ur+1, ..., un} e´ uma base de V.
Dem: Livro do Carlos A. Callioli .
27
Proposic¸a˜o 0.32 Todo subespac¸o vetorial de um espac¸o vetorial finitamente gerado
e´ tambe´m finitamente gerado.
Dem: Livro do Carlos A. Callioli .
Proposic¸a˜o 0.33 Seja W um subespac¸o vetorial de V. Se dimW = dimV enta˜o
W = V.
Demonstrac¸a˜o:
2
Processo pra´tico para determinar uma base de um su-
bespac¸o de Rn ou Cn.
Um subespac¸o de Rn, em geral, ou e´ dado pelos seus geradores ou e´ poss´ıvel achar
esses geradores. Daremos a seguir um dispositivo pra´tico para achar uma base desse
subespac¸o a partir dos seus geradores. Temos treˆs observac¸o˜es: Seja V = [u1, ..., Ur]
um subespac¸o de Rn.
I) Se no segundo membro da igualdade acima permutarmos dois dos vetores que
la´ figuram na˜o alteramos o subespac¸o gerado, isto e´,
V = [u1, ..., ui, ..., uj, ..., ur] = [u1, ..., uj, ...ui, ..., ur]
II) Para todo nu´mero real α tem-se a seguinte igualdade:
V = [u1, ..., ui, ..., uj + αui, ..., ur].
28
De fato, seja
u = β1u1 + ...+ βiui + ...+ βjuj + ...+ βrur
um elemento de V. Esse elementos tambe´m pode ser escritos da seguinte maneira:
u = β1u1 + ...+ βiui − βjαui + ...+ βjuj + βjαui + ...+ βrur =
= β1u1 + ...+ (βi − βjα)ui + ...+ βj + βj(uj + αui) + ...+ βrur
Logo u ∈ [u1, ..., ui, ..., uj + αui, ..., ur].
Fica como exerc´ıcio provar que o subespac¸o V conte´m o subespac¸o gerado por
u1, ..., ui, ..., uj + αui, ..., ur.
III) Se u1, u2, ..., ur, se apresentam na forma escalonada, ou seja, se o nu´mero de
zeros iniciais de u2 e´ maior que o de u1 e assim por sucessivamente enta˜o os vetores
u1, u2, ..., ur formam um conjunto LI e , portanto dimV = r.
Exemplo 0.34 Seja V = [(2, 1, 1, 0); (1, 0, 1, 2); (0,−1, 1, 4)] ⊂ R4.
A seguir aplicaremos convenientemente as ”operac¸o˜es”I e II acima ate´ obter a
situac¸a˜o da hipo´tese III.
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Dimensa˜o da soma de dois Subespac¸os
Seja W um espac¸o vetorial sobre R. Ja´ vimos que se U e V sa˜o subespac¸os de
W, enta˜o U ∩ V e U + V tambe´m sa˜o subespac¸os de W. No caso em que a dimensa˜o
de W e´ finita as dimenso˜es de U ∩ V e de U + V esta˜o relacionadas conforme a
proposic¸a˜o abaixo.
Proposic¸a˜o 0.35 Seja W um espac¸o vetorial sobre R de dimensa˜o finita. Se U e
V sa˜o subespac¸os de W, enta˜o:
dim(U ∩ V ) + dim(U + V ) = dim(U) + dim(V ).
Exemplo 0.36 Consideremos os seguintes subespac¸os de R4 :
U = [(1, 0, 1, 0); (0, 1, 0, 0)] V = {(x, y, z, t) / x+ y = 0}.
Determine dim(U ∩ V ) e dim(U + V ).
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Coordenadas
Bases ordenadas de um espac¸o vetorial V e´ uma base que fixamos quem e´ o
primeiro vetor, quem e´ o segundo, etc.
Seja V um espac¸o de dimensa˜o finita. Dada uma base ordenada
B = {u1, u2, ..., un} de V
existem escalares α1, α2, ..., αn ∈ R tal que
v = α1u1 + α2u2 + ...+ αnun v ∈ V
onde αi′s sa˜o unicamente determinados.
Definic¸a˜o 0.37 Os escalares α1, ..., αn que figuram na igualdade acima sa˜o chama-
dos coordenadas do vetor v em relac¸a˜o a base ordenada B.
Podemos associar as matrizes de coordenadas de v com relac¸a˜o a base ordenada
B.  α1...
αn

B
ou
 α1...
αn

Exemplo 0.38 Verifique que B = {1, 1 + t, 1 + t2} e´ uma base ordenada de P2(R).
Encontre as coordenadas de f(t) = 2 + 4t+ t2 em relac¸a˜o a essa base ordenada.
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