Apostila_Matematica_FInanceira_1_-_reformulada

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APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA l 
 
 
Professor Enos Andrade 
enos.andrade@sumare.edu.br 
 
 
 
 
 
 
Faculdade Sumaré 
2013 
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Conteúdo 
Apresentação ......................................................................................................................... 3 
Aspectos gerais da Matemática Financeira ......................................................................... 4 
Para que serve a Matemática Financeira? ...................................................................... 5 
Conceito de Juros .................................................................................................................. 6 
Nomenclaturas que serão utilizadas no curso ..................................................................... 7 
Valor Presente .................................................................................................................... 7 
Valor Futuro ........................................................................................................................ 7 
Cálculo de juros e prazos .................................................................................................. 8 
Taxa de juros ...................................................................................................................... 9 
Iniciação aos juros simples: ................................................................................................ 10 
Resumo ................................................................................................................................. 11 
Fontes de consulta ............................................................................................................... 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação 
 
Esta apostila foi elaborada com o objetivo de trazer aos alunos a 
iniciação aos estudos da Matemática Financeira, e a introdução aos juros 
simples, e servirá como auxílio às aulas de Matemática Financeira. 
Professor Enos Andrade é Mestrando em Administração pela 
Universidade Nove de Julho, Pós-Graduado Especialista em Administração 
pela FGV-EBAPE, e Bacharel em Administração e com Superior de Formação 
Específica em Marketing e Gestão de Processos pela Universidade Nove de 
Julho. Atualmente atua como docente na Faculdade Sumaré, em São Paulo, 
SP, Brasil. 
Em apostilas subsequentes a esta, o aluno aprenderá com mais 
profundidade os outros tipos de juros e cálculos financeiros, e demais temas 
pertinentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aspectos gerais da Matemática Financeira 
 
 
A matemática financeira é uma ferramenta que nos ajuda a tomar 
decisões financeiras. É uma ferramenta como se fosse o pincel na mão de um 
pintor. A qualidade ou não da pintura vai depender principalmente da 
habilidade do pintor, contudo ele necessita daquela ferramenta (pincel) como 
auxílio para lhe ajudar na boa execução do seu trabalho. 
Nas decisões financeiras ocorre a mesma coisa. A qualidade das 
decisões depende da capacidade daquele que vai tomar a decisão, porém este 
necessita de uma ferramenta de auxílio que vai lhe ajudar, que no caso da 
decisão financeira, seria a Matemática Financeira. 
A Matemática Financeira considera o valor do dinheiro no tempo. 
Considerando que temos diversas aplicações financeiras disponíveis, como 
poupança, títulos, investimentos em geral, R$ 100,00 hoje podem não ser R$ 
100,00 no futuro. R$ 100,00 hoje podem ter valor diferente do que R$ 100,00 
no futuro, já que, no futuro, poderíamos ter os mesmos R$100,00 mais juros. 
O dinheiro, para render juros, deve ser colocado em uma aplicação 
financeira em uma operação financeira. Mas afinal de contas, o que é uma 
operação financeira? 
Operação financeira é o nome genérico dado a operações de 
empréstimo, financiamentos, desconto antecipado de duplicatas, aplicação em 
fundos de investimentos, enfim, é toda operação que envolve aplicação ou 
captação de recursos. Quando você coloca qualquer valor na poupança, por 
exemplo, você automaticamente está fazendo uma operação financeira. 
Toda que vez que fazemos uma operação financeira, sempre teremos 
dois lados na operação: 
● O lado do investidor, ou emprestador, que seria aquele que coloca o 
dinheiro numa poupança, por exemplo. 
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O Banco também pode ser considerado investidor ou emprestador 
quando empresta dinheiro a alguém. 
● O lado do tomador, que seria, por exemplo, o Banco onde a poupança 
foi depositada. 
Uma pessoa, nesse caso, poderia ser o tomador no momento em que 
pega dinheiro emprestado em um Banco, por exemplo. 
 
Para que serve a Matemática Financeira? 
 
 
Você pode utilizar a Matemática Financeira para: 
 
● Calcular o valor de uma prestação; 
● Calcular o saldo devedor de um financiamento; 
● Decidir qual o melhor financiamento dentre vários; 
● Verificar se um determinado investimento vai dar lucro ou prejuízo; 
● Saber quanto devemos poupar mensalmente para atingir determinado 
objetivo; 
● Saber o lucro que deveremos ter em determinada aplicação financeira; 
● Verificar a viabilidade econômica de um projeto de investimento (se 
compensa aplicar ou não em tal projeto); 
● Saber quanto tempo um projeto demora para dar lucro; 
● Saber quanto deveríamos ter hoje para cobrirmos gastos futuros; 
● Definir quanto deveríamos cobrar de juros para ter lucro; 
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● Determinar qual a taxa de juros real e efetiva que estamos pagando e 
recebendo; 
● Determinar a rentabilidade de um investimento; 
● Escolher qual é o melhor investimento dentre vários. 
Conceito de Juros 
 
Todo dinheiro parado e não investido perde aquilo que poderia estar 
ganhando na forma de juros. Mas afinal de contas, o que são juros? 
Os juros são o valor do dinheiro ao longo do tempo. Uma pessoa recebe 
salário, ou remuneração por serviços prestados a determinada empresa. Os 
juros são, nada mais nada menos, que a remuneração do dinheiro (Capital) ao 
longo do tempo. Assim como o salário é a remuneração da mão de obra, como 
aquela prestada pelas pessoas nas organizações, os juros são como se 
fossem um aluguel pago pelo uso do dinheiro, ou a remuneração deste. 
É aquilo que você paga ao dinheiro, ou pelo dinheiro ao longo do tempo. 
Quando você pega qualquer valor emprestado no Banco, a remuneração pelo 
dinheiro emprestado são os juros. 
Outros conceitos de Juros que podemos elencar são: 
● O dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, o custo do 
capital de terceiros colocado a nossa disposição. 
● A remuneração do capital empregado em atividades produtiva, ou 
ainda a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas 
aplicado; 
● O aluguel do capital alheio. 
 
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Nomenclaturas que serão utilizadas no curso 
 
Para estudar Matemática Financeira, você deve entender determinados 
nomes utilizados, e os principais são: 
 
Valor Presente 
 
O Valor Presente seria o dinheiro hoje, ou no momento em que alguém, 
por exemplo, pega determinado valor emprestado com o Banco, ou no 
momento em que alguém faz uma aplicação financeira. Para representá-lo, 
utilizaremos os termos “Valor Presente”, ou “VP”, ou “Capital Inicial” ou 
“Presente Value”. 
O valor presente também poderá ser utilizado para cálculos futuros, 
quando um valor no Futuro é utilizado como base de um cálculo para um outro 
valor em um futuro mais distante ainda. 
Nas fórmulas, para o cálculo dos juros nesta disciplina, faremos sempre 
uso do termo “VP”. Na calculadora financeira, a tecla a ser utilizada para o 
mesmo fim é a tecla “PV” (presente value, em inglês).Valor Futuro 
 
O valor resultante no Futuro, após os juros, é chamado de “Valor 
Futuro”, ou” Montante”, ou “Future Value”, ou “FV”, ou “S”. 
Na fórmula faremos uso do termo “VF”. Na calculadora financeira, para 
tal fim, utilizaremos a tecla “FV”.(future value, em inglês). 
 
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Cálculo de juros e prazos 
 
O prazo será sempre representado pela letra “n” (número de períodos), 
tanto na fórmula matemática, quanto na calculadora financeira. O tempo que 
será utilizado também é chamado de unidade de tempo, e poderemos medi-lo 
em meses, dias, anos, trimestres, semestres, biênios, etc. 
Algumas abreviaturas para as unidades de tempo mais utilizadas estão 
abaixo, com exemplos: 
 
● 10% a.a. (ao ano). 
● 25% a.m. (ao mês). 
● 32% a.d. ( ao dia). 
● 12% a.b. ( ao bimestre). 
● 17% a.t. ( ao trimestre). 
● 37% a.s. ( ao semestre). 
 
Outro fator importante a ser considerado nos cálculos é que o prazo 
deve coincidir com a taxa. Se a taxa é ao mês, o prazo deve sempre ser ao 
mês. Caso, por exemplo, a taxa esteja ao ano, e o prazo esteja ao mês, deve-
se converter um dos dois para que coincidam, ou a taxa para ao mês, ou o 
prazo para ano. 
Quando nós formos calcular os juros em relação aos prazos, devemos 
estar atentos a mais alguns detalhes: 
● O mês comercial sempre será calculado encima de 30 dias. O mês 
comercial sempre será de 30 dias. Vocês poderão estar no mês de fevereiro, 
que é de 28 dias, ou no mês de março, que é de 31 dias. O mês comercial não 
segue a quantidade de dias do calendário. Para o cálculos de juros, e para o 
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mercado financeiro, todos os meses do ano são considerados como se 
tivessem 30 dias, com algumas exceções. 
Os juros cobrados nos prazos comercias são chamados de juros 
comerciais. Se ocorrer de se utilizar juros de acordo com o calendário, estes 
serão chamados de juros exatos. 
● Assim como todos os meses comerciais são sempre de 30 dias, o ano 
comercial sempre terá 360 dias. 
● Para conversão de taxa de ano para dias, ou de dias para meses, ou 
vice versa, sempre levaremos em conta que o mês e o ano comercial tem 30 
dias, e que o ano tem 360 dias, com exceção de alguns casos. 
 
Taxa de juros 
 
A taxa de juros é sempre calculada na forma de porcentagem, e 
convertida na fórmula matemática para decimal, centesimal ou unitária. 
O termo utilizado para representar a taxa de juros será sempre a letra “i” 
(interest rate, em inglês), tanto na fórmula matemática, quanto na calculadora 
financeira. 
 
 
 
 
 
 
 
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Iniciação aos juros simples: 
 
Você decidiu fazer uma aplicação financeira de R$ 100,00, com juros 
simples de 10% ao mês, por 4 meses. Quanto você terá ao final dos 4 meses? 
 
VP (Valor Presente): 100,00 
i (taxa de juros): 10% a.m. (ao mês). 
n (prazo): 4 meses 
 
Nos juros simples, a taxa incidirá apenas encima do Valor Presente. Os 
juros não serão incorporados ao Capital. No nosso exemplo, 
independentemente da quantidade de meses, os juros serão sempre encima 
dos R$ 100,000. Calculando: 
Juros mensais: 100,00 x 0.10: 10,00. 
Como o prazo é de 4 meses, podemos multiplicar o valor dos juros por 4 
( 4x10,00), e teremos, no final do período, a somatória de R$ 40,00 de juros. 
Somando os juros com o valor que será aplicado (100,00+40,00), 
podemos chegar à conclusão de que teremos a somatória de R$ 140,00 no 
final do período. 
Na fórmula temos: 
Para descobrirmos os juros: 
J=PV.i.n, 
ou J= 100,00 X 0,10 X 4= 140,00 
 
 
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A fórmula para se descobrir o Valor Futuro é: 
 
FV=PV(1+ i x n), 
ou FV = 100,00 (1 + 0,10 x 4) 
 100,00 (1 + 0,40) 
 100,00 (1,40) = 140,00 
 
Resumo 
 
 
● A matemática financeira é uma ferramenta para tomada de decisões 
financeiras. 
● Os juros são a remuneração do capital, e constitui o valor do dinheiro 
no tempo. 
● O mês comercial terá sempre 30 dias, e o ano comercial terá sempre 
360 dias, com algumas exceções. 
● As principais nomenclaturas utilizadas nas fórmulas serão: 
 n: prazo ou número de períodos. 
 J: juros. 
 i: taxa de juros. 
 VF: Valor Futuro. 
 VP: Valor Presente. 
 ● Os juros simples são aqueles que incidem apenas sobre o Capital 
Inicial, independente do número de períodos, sem incorporação dos juros ao 
Capital, e sem cobrança de juros sobre os juros pagos/computados. 
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 ● Prazos e taxas sempre devem ser coincidentes nos cálculos. 
 
 
Fontes de consulta 
 
 
Arquivos do autor utilizados em seus cursos de Bacharelado e Pós 
Graduação.