VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS

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Profa. Gisele Rodrigues Moreira 
Depto. Eng. Rural. Tel: (28) 3552-8666 
E-mail: gisele.moreira@ufes.br 
 
Exercícios – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS 
 
1. Seja a variável discreta bidimensional (X, Y) com a seguinte distribuição de probabilidade conjunta: 
 
X 
Y 
-3 0 1 
-2 1/9 0 2/9 
0 0 2/9 2/9 
1 1/9 1/9 0 
 
Pede-se 
a) Apresentar as distribuições marginais de X e de Y. 
b) Calcular E (X) e E (Y) 
c) Calcular V (X) e V (Y) 
d) Calcular E (XY) e V (XY) 
e) As variáveis X e Y são independentes? Justifique com base na Cov (X,Y) e XY 
 
2. Seja a variável discreta bidimensional (X, Y) com a seguinte distribuição de probabilidade conjunta: 
 
X 
Y 
-3 0 1 
-2 1/15 1/15 3/30 
0 8/30 4/30 2/15 
1 2/30 1/30 4/30 
Pede-se 
a) Apresentar as distribuições marginais de X e de Y. 
b) As variáveis X e Y são independentes? Justifique com base na Cov (X,Y) 
c) 






 10
5
2
3
2 YX
E
 
d) V (8 – 15X) 
Mostre que as seguintes funções satisfazem as propriedades de uma função de probabilidade conjunta 
 
3. Dadas a variável bidimensional X, Y com a função de probabilidades conjuntas abaixo. 
 
X y fXY(x,y) 
1 1 1/4 
1,5 2 1/8 
1,5 3 1/4 
2,5 4 1/4 
3 5 1/8 
 
Determine o seguinte: 
a) P(X < 2,5, Y < 3) b) P(X < 2,5) 
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c) P(Y < 3) d) P(X > 1,8, Y > 4,7) 
e) E(X), E(Y), V(X) e V(Y) 
f) A distribuição de probabilidades marginais de variável aleatória X. 
g) A distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que X = 1,5. 
h) A distribuição de probabilidades condicionais de X, dado que Y = 2. 
i) E(Y|X = 1,5) 
j) X e Y são independentes? 
k) Faça o gráfico de distribuição de probabilidades conjuntas 
 
 
4. Dada a variável bidimensional X, Y com a função de probabilidades conjuntas abaixo. 
 
X Y fXY(x,y) 
-1 -2 1/8 
-0,5 -1 1/4 
0,5 1 1/2 
1 2 1/8 
 
Determine o seguinte: 
a) a) P(X < 0,5, Y < 1,5) b) P(X < 0,5) 
c) P(Y < 1,5) d) P(X > 0,25, Y > 4,5) 
e) E(X), E(Y), V(X) e V(Y) 
f) A distribuição de probabilidades marginais de variável aleatória X. 
g) A distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que X = 1. 
h) A distribuição de probabilidades condicionais de X, dado que Y = 1. 
i) E(Y|X = 1) 
j) X e Y são independentes? 
k) Faça o gráfico de distribuição de probabilidades conjuntas 
 
5. Na transmissão de informação digital, a probabilidade de um bit ter alta, moderada e baixa distorção é 
0,01, 0,04 e 0,95, respectivamente. Suponha que três bits sejam transmitidos e que a quantidade de 
distorção de cada bit seja considerada independente. Sejam X e Y os números de bits com alta e moderada 
distorção, respectivamente. Determine: 
a) fXY(x,y) b) fX(x) 
c) E(X) d) fY|1(y) 
e) E(Y|X) = 1 f) X e Y são independentes? 
 
6. Uma fábrica usa dois dispositivos de inspeção para mostrar uma fração de sua saída, com o objetivo de 
controlar a qualidade. O primeiro monitor de inspeção é capaz de detectar acuradamente 99,3% dos itens 
defeituosos que a fábrica recebe, enquanto o segundo dispositivo é capaz de detectar 99,7% dos casos. 
Considere que quatro itens defeituosos são produzidos e enviados para inspeção. Sejam X e Y o número de 
dispositivos de inspeção 1 e 2, respectivamente. Suponha que os dispositivos sejam independentes. 
Determine: 
a) fXY(x, y) b) fX(x) 
c) E(X) d) fY|2(y) 
e) E(Y|X = 2) f) V(Y|X = 2) 
g) X e Y são independentes? 
h) Faça o gráfico de distribuição de probabilidades conjuntas 
 
7. Uma classe de estatística para engenheiros tem 40 estudantes, sendo 60% de engenharia elétrica, 10% 
de engenharia industrial e 30% de engenharia mecânica. Uma amostra de quatro estudantes é selecionada 
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aleatoriamente, sem reposição, para um grupo de projeto. Sejam X e Y o número de engenheiros 
industriais e mecânicos, respectivamente. Determine o seguinte: 
a) fXY(x, y) b) fX(x) 
c) E(X) d) fY|3(y) 
e) E(Y|X = 3) f) V(Y|X = 3) 
g) X e Y são independentes? 
h)Faça o gráfico de distribuição de probabilidades conjuntas 
 
8. Dadas as seguintes distribuições de probabilidade para as variáveis X e Y: 
 
X y P(xiyi) 
-100 50 0,2 
50 30 0,4 
200 20 0,3 
300 20 0,1 
Calcule: 
a) E(X) e E(Y) b) V(X) e V(Y) 
c) V(XY) d) E(X + Y) 
 
9. Determine a covariância e a correlação para a seguinte distribuição de probabilidades conjuntas: 
 
X y fXY(x,y) 
1 3 1/8 
1 4 1/4 
2 5 1/2 
4 6 1/8 
 
 
10. O processo de ser atendido em um banco consiste em duas partes independentes – o tempo de espera 
na fila e o tempo para ser atendido pelo caixa. Suponha que o tempo de espera na fila tenha um valor 
esperado correspondente a 4 minutos, com um desvio-padrão de 1,2 minutos, e que o tempo necessário 
para ser atendido pelo caixa tenha um valor esperado de 5,5 minutos, com um desvio-padrão de 1,5 
minutos. Calcule: 
a) o retorno esperado para o total do tempo necessário para ser atendido no banco. 
b) o risco para o total do tempo necessário para ser atendido no banco. 
 
11. Você está tentando desenvolver uma estratégia para investir em duas ações distintas. O retorno anual 
antecipado para um investimento de $ 1000 em cada ação, sob quatro condições econômicas diferentes, 
apresenta a seguinte distribuição de probabilidades: 
 
Retornos 
Ação X Ação Y Condição econômica Probabilidades 
-$100 $50 Recessão 0,1 
0 150 Crescimento lento 0,3 
80 -20 Crescimento moderado 0,3 
150 -100 Crescimento acelerado 0,3 
Calcular: 
a) O retorno esperado para a ação X e para a ação Y. 
b)O desvio padrão para a ação X e para a ação Y. 
c) O coeficiente de correlação entre a ação X e a ação Y. 
d) Com base nas medidas estatísticas obtidas acima, você investiria na ação X ou Y? Explique. 
 
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12. Um restaurante serve 3 pratos ao preço fixo de R$ 12, R$ 15 e R$ 20. Para um casal selecionado 
aleatoriamente que janta nesse restaurante, sejam X = custo do jantar do homem e Y = custo do jantar da 
mulher. A função de distribuição de probabilidade de X e Y é dada na tabela a seguir: 
 
X 
Y 
12 15 20 
12 0,05 0,05 0,10 
15 0,05 0,10 0,35 
20 0 0,20 0,10 
 
a) Calcule as funções de distribuições marginais de X e Y 
b) Qual é a Probabilidade de o jantar do homem e da mulher custar no máximo R$ 15 cada? 
c) X e Y são independentes? Justifique sua resposta. 
d) Qual é o custo total esperado do jantar para as duas pessoas? 
e) Suponha que, quando um casal abre biscoitos da sorte no final da refeição, encontra a mensagem “vocês 
receberão de volta a diferença entre o custo da refeição mais cara e o da mais barata que escolheram”. 
Quanto o restaurante espera devolver? 
 
Respostas: 
1. b) E(X) = -4/9; E(Y) = -2/9 c) V(X) = 110/81; V(Y) = 194/81 
d) E(XY) = -3/9; V (XY) = 21340/6561 e) são dependentes. Cov (X,Y) = -35/81 
2. b) são dependentes. Cov (X,Y) = 295/900 c) -9,28 d) 250,25 
3. a) 3/8 b) 5/8 c) 3/8 d) 1/8 
 e) V(X) = 0,4961; V(Y) = 1,8594 f) f(1) = 1/4; f(1,5) = 3/8; f(2,5) = 1/4; f(3) = 1/8 
 g) f(2) = 1/3; f(3) = 2/3 h) 1 i) 2 1/3 j) Não independentes 
4. a) 3/8 b) 3/8 c) 7/8 d) 5/8 e) V(X) = 0,4219; V(Y) = 1,6875 
 f) f(-1) = 1/8; f(-0,5) = 1/4; f(0,5) = 1/2; f(1) = 1/8 g) 1 h) 1 i) 0,5 
 j) Não independentes 
5. b) fX(0) = 0,970299; fX(1) = 0,029403; fX(2) = 0,000297; fX(3) = 0,000001 
 c) 0,03 d) f(0) = 0,920824; f(1) = 0,077543; f(2) = 0,001632 
 e) 0,080807 f) Não independentes 
6. b) fX(0) = 2,40 x 10
-9; fX(1) = 1,36 x 10
-6; fX(2) = 2,899 x 10
-4; fX(3) = 0,0274; fX(4) = 0,972 
 c) 3,972 d) igual a f(y) e) 3,988 f)0,0120 g) Independentes 
7. b) fX(0) = 0,2511; fX(1) = 0,0405; fX(2) = 0,0063; fX(3) = 0,0009; fX(4) = 0,0001 
 c) 0,0562 d) fY|3(0) = 2/3; fY|3(1) = 1/3; fY|3(2) = fY|3(3) =fY|3(4) = 0 
 e) 0,0003 f) 0,0741 g) Não independentes 
8. a) E(X) = 90; E(Y) = 30 b) V(X) = 126,10; V(Y) = 10,95 c) V(XY) = -1300 
 d) E(X + Y) = 120 
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9. 0,8851 
10. a) 9,5 minutos b) 1,9209 minutos 
11. a) E(X) = $ 59; E(Y) = $14 b) DP(X) = $ 78,67; DP(Y) = 99,62 c) xy = -0,7 
 d) Ação X, pois teve o maio retorno e o menor risco. 
12. a) 0,2, 0,5, 0,3 para x = 12, 15, 20; 0,10, 0,35, 0,55 para y = 12, 15, 20 
 b) 0,25 c) não d) 33,35 e) 3,85