Derivadas Parciais por Jacobiano

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Lic¸o˜es nos 29, 30 e 31: Derivadas parciais. Matriz
Jacobiana. Diferenciabilidade, linearizac¸a˜o e plano
tangente. Relac¸o˜es entre os conceitos de classe C1,
diferenciabilidade e continuidade1
Derivadas parciais
Recordemos que para func¸o˜es de uma varia´vel real, f : I ⊂ R → R, temos a
seguinte definic¸a˜o de derivada num ponto a ∈ I,
f ′(a) = lim
h→0
f(a + h)− f(a)
h
.
A existeˆncia de f ′(a) equivale a` existeˆncia da recta (na˜o vertical) tangente ao
gra´fico de f em (a, f(a)), sendo f ′(a) o valor do seu declive (ou em notac¸a˜o
vectorial sendo (1, f ′(a)) um seu vector director).
f(a)
y = f(x)
y
x
y
=
f
′ (a
)(
x
−
a
)
+
f
(a
)
a
Na˜o menos importante que a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada e´
reconhecer que o valor da derivada de f em a, f ′(a), pode ser interpretado
como a taxa de variac¸a˜o de f em a.
A derivada de uma func¸a˜o y = f(x) denota-se por y′ ou
f ′(x) ou
df
dx
ou ainda por
dy
dx
.
A generalizac¸a˜o do conceito de derivada para func¸o˜es de va´rias varia´veis
na˜o e´ imediata.
Para func¸o˜es de mais do que uma varia´vel comecemos por definir as
chamadas derivadas parciais, ou seja, comecemos por estudar a variac¸a˜o
da func¸a˜o de uma varia´vel, dita parcial, que se obte´m, considerando a(s)
outra(s) varia´veis constante(s).
Seja z = f(x, y) definida num aberto D ⊂ R2 e (a, b) ∈ D.
Se fixarmos, por exemplo, a varia´vel y = b (b constante) obtemos uma
func¸a˜o z = f(x, b) de apenas uma varia´vel x. Geometricamente isto corre-
sponde a seccionar a superf´ıcie z = f(x, y) pelo plano y = b.
1Adaptadas das folhas de apoio da disciplina de Ana´lise Matema´tica II.
1
y
z
a
b
z = f(x, b)
x
(1, 0, f ′x(a, b))
z = f(x, y)
Plano y = b
A derivada de z = f(x, b) em x = a e´
df(x, b)
dx
(a) = lim
h→0
f(a + h, b)− f(a, b)
h
,
que e´ precisamente a derivada parcial de f em ordem a x no ponto (a, b), e
que se denota por ∂f
∂x
(a, b) ou por f ′x(a, b), isto e´,
f ′x(a, b) = lim
h→0
f(a + h, b) − f(a, b)
h
.
O valor de f ′
x
(a, b) e´ o declive da recta do plano y = b,
tangente a` curva z = f(x, b) em (a, b, f(a, b)). Em R3 essa
recta tem vector director (1, 0, f ′
x
(a, b)).
O valor de f ′
x
(a, b) e´ tambe´m a taxa de variac¸a˜o de f no
ponto (a, b) na direcc¸a˜o do eixo dos xx.
Analogamente se define derivada parcial em ordem a` varia´vel y no ponto
(a, b) que se denota por
∂f
∂x
(a, b) ou por f ′y(a, b). Se fixarmos x = a obtemos
uma func¸a˜o z = f(a, y) de apenas uma varia´vel y, cuja derivada em y = b e´
precisamente
f ′y(a, b) = lim
h→0
f(a, b + h)− f(a, b)
h
.
2
y
z
a
b
x
(0, 1, f ′y(a, b))
z = f(a, y)
z = f(x, y)
Plano x = a
O valor de f ′
y
(a, b) e´ o declive da recta do plano x = a,
tangente a` curva z = f(a, y) em (a, b, f(a, b)). Em R3 essa
recta tem vector director (0, 1, f ′
y
(a, b)).
O valor de f ′
y
(a, b) e´ tambe´m a taxa de variac¸a˜o de f no
ponto (a, b) na direcc¸a˜o do eixo dos yy.
Na maior parte dos casos, as derivadas parciais calculam-se recorrendo a`s
regras de derivac¸a˜o conhecidas para func¸o˜es de uma varia´vel, considerando
a outra varia´vel como uma constante.
Exemplos
1. Pretende-se calcular f ′x(1, 2) e f
′
y(1, 2), para f(x, y) = 2x+3y. Recor-
rendo a`s regras usuais de derivac¸a˜o vem
f ′x(x, y) = (2x + 3y)
′
x = (2x)
′
x + (3y)
′
x = 2 + 0 = 2,
f ′y(x, y) = (2x + 3y)
′
y = (2x)
′
y + (3y)
′
y = 0 + 3 = 3.
Em particular temos f ′x(1, 2) = 2 e f
′
y(1, 2) = 3. Note que (3y)
′
x = 0
uma vez a expressa˜o 3y e´ “constante relativamente a x” (a varia´vel x
na˜o figura nessa expressa˜o). Analogamente, (2x)′y = 0 uma vez que a
expressa˜o 2x e´ “constante relativamente a y”.
Podemos tambe´m determinar estas derivadas parciais recorrendo a`
definic¸a˜o. Tem-se:
f ′x(1, 2) = lim
h→0
f(1 + h, 2) − f(1, 2)
h
= lim
h→0
2(1 + h) + 6− (2 · 1 + 6)
h
= lim
h→0
2h
h
= 2,
3
e,
f ′y(1, 2) = lim
h→0
f(1, 2 + h)− f(1, 2)
h
= lim
h→0
2 · 1 + 3(2 + h)− (2 + 6)
h
= lim
h→0
3h
h
= 3.
2. Pretende-se calcular f ′x(1, 2) e f
′
y(1, 2), para f(x, y) = x
2y + y3. Se
considerarmos uma das varia´veis constante e derivarmos em ordem a`
outra obtemos2
f ′x(x, y) = (x
2y + y3)′x = y(x
2)′x + (y
3)′x = 2xy + 0 = 2xy,
f ′y(x, y) = (x
2y + y3)′y = x
2(y)′y + (y
3)′y = x
2 · 1 + 3y2 = x2 + 3y2.
Os valores f ′x(1, 2) e f
′
y(1, 2) obteˆm-se substituindo x por 1 e y por 2.
3. Se, por exemplo, f(x, y) = exy +
x
y
, obtemos
∂f
∂x
(x, y) = f ′x(x, y) = y e
xy +
1
y
,
∂f
∂y
(x, y) = f ′y(x, y) = x e
xy − x
y2
.
4. Por vezes ha´ necessidade de recorrer a` definic¸a˜o de derivada parcial.
Consideremos a func¸a˜o definida em R2 por
f(x, y) =
{
3x2y−y
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
Notemos que a func¸a˜o na˜o pode ser definida em (0, 0) e em pontos
pro´ximos de (0, 0) por uma u´nica expressa˜o. Temos enta˜o que
∂f
∂x
(x, y) =


6(xy)(x2+y2)−(3x2y−y)2x
(x2+y2)2 , (x, y) 6= (0, 0)
limh→0
f(0+h,0)−f(0,0)
h
= limh→0
0
h2h
, (x, y) = (0, 0).
=


6xy3+2xy
(x2+y2)2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
2Podemos tambe´m determinar as derivadas parciais da seguinte forma: fixando y = 2
obte´m-se a func¸a˜o de uma varia´vel f(x, 2) = 2x2 + 8. Portanto
f
′
x(1, 2) = (2x
2 + 8)′|x=1 = (4x)|x=1 = 4.
Analogamente fixando x = 1 tem-se f(1, y) = y + y3 e
f
′
y(1, 2) = (y + y
3)′|y=2 = (1 + 3y
2)|y=2 = 13.
4
Analogamente,
∂f
∂y
(x, y) =


(3x2−1)(x2+y2)−(3x2y−y)2y
(x2+y2)2
, (x, y) 6= (0, 0)
limh→0
f(0,0+h)−f(0,0)
h
= limh→0
−h
h2
, (x, y) = (0, 0).
=


3x4−3x2y2−x2+y2
(x2+y2)2
, (x, y) 6= (0, 0)
∞, (x, y) = (0, 0).
Observe-se que
Dom(f ′x) = Dom(f) = R
2, Dom(f ′y) = R
2 \ {(0, 0)}.
Obviamente f ′
x
e f ′
y
so´ se definem em pontos do domı´nio de
f , isto e´, os domı´nios de f ′
x
e f ′
y
esta˜o contidos no domı´nio
de f .
Uma vez que f ′x e f
′
y sa˜o func¸o˜es de duas varia´veis podemos geralmente
deriva´-las parcialmente obtendo as derivadas parciais de 2a ordem para f e
assim sucessivamente.
A notac¸a˜o utilizada e´ a seguinte:
f ′′′y3 =
∂3f
∂y3
f ′y =
∂f
∂y
f ′′x2 =
∂2f
∂x2
f ′′xy =
∂2f
∂x∂y
f ′′yx =
∂2f
∂y∂x
f ′′y2 =
∂2f
∂y2
f ′′′x3 =
∂3f
∂x3
f ′′′xyx =
∂3f
∂x∂y∂x
f ′′′xy2 =
∂3f
∂x∂y2
f ′′′yx2 =
∂3f
∂y∂x2
f ′′′yxy =
∂3f
∂y∂x∂y
f ′′′y2x =
∂3f
∂y2∂x
f
f ′x =
∂f
∂x
de 1a ordem etc . . .de 3a ordemde 2a ordemDerivadas parciais:
f ′′′x2y =
∂3f
∂x2∂y
5
Exemplo
Vamos determinar as derivadas parciais de 2a ordem para f(x, y) = x log y
definida em Df = {(x, y) : y > 0}. Tem-se para todo (x, y) ∈ Df ,
f ′x = log y
f ′′xy =
1
y
f ′′x2 = 0
f ′′yx =
1
y
f ′′y2 = −
x
y2
f = x log y
f ′y =
x
y
Matriz jacobiana
Seja f : Df ⊂ R2 → R uma func¸a˜o definida num aberto Df . Seja (a, b) ∈ Df
tais que existem
∂f
∂x
(a, b) = f ′x(a, b),
∂f
∂y
(a, b) = f ′y(a, b).
Chamamos matriz jacobiana de f em (a, b) a` matriz das derivadas parciais
de f em (a, b), ou seja,
Jf (a, b) =
[
∂f
∂x
(a, b)
∂f
∂y
(a, b)
]
1×2
.
Em geral, consideremos uma func¸a˜o vectorial ~f : D~f ⊂ Rn → Rm,
~f = (f1, . . . , fm), definida num aberto D ~f e seja (a1, . . . , an) ∈ D~f tais que
existem todas as derivadas parciais,
∂fi
∂xj
(a1, . . . , an), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.
Chamamos matriz jacobiana de ~f em (a1, . . . , an) a` matriz do tipo m × n,
das derivadas parciais das componentes de ~f em (a1, . . . , an), ou seja,J~f (a1, . . . , an) =


∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
· · · ∂f1
∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
· · · ∂f2
∂xn
...
...
. . .
...
∂fm
∂x1
∂fm
∂x2
· · · ∂fm
∂xn


(a1, . . . , an).
6
Note que
J~f (a1, . . . , an) =


Jf1(a1, . . . , an)
Jf2(a1, . . . , an)
...
Jfm(a1, . . . , an)

 .
Exemplo
Consideremos a func¸a˜o vectorial ~f = (f1, f2, f3) : R
2 → R3, definida por
~f(x, y) =
(
2x− y︸ ︷︷ ︸
f1(x,y)
, ey︸︷︷︸
f2(x,y)
,
√
x2 + y2 + 1︸ ︷︷ ︸
f3(x,y)
)
.
Tem-se
J~f (x, y) =


∂f1
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂x
∂f2
∂y
∂f3
∂x
∂f3
∂y

 (x, y) =


2 −1
0 ey
x
x2+y2+1
y
x2+y2+1

 .
Diferenciabilidade, linearizac¸a˜o e plano tangente
Comecemos por recordar que uma func¸a˜o real de uma varia´vel real diz-se
deriva´vel (ou diferencia´vel) num ponto a se existir
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
Reescrevendo esta u´ltima expressa˜o obtemos
lim
x→a
[
f(x)− f(a)
x− a − f
′(a)
]
= 0,
ou seja,
lim
x−a→0
[
f(x)− (f ′(a)(x − a) + f(a))
x− a
]
= 0.
Esta igualdade significa que
R(x) = f(x)− (f ′(a)(x− a) + f(a)),
se aproxima de zero “mais depressa” que x − a, isto e´, a recta tangente e´
uma boa aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f numa vizinhanc¸a de a. A func¸a˜o
L(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) e´ designada por linearizac¸a˜o de f em a.
E´ a generalizac¸a˜o deste comportamento para func¸o˜es de duas varia´veis
que nos vai conduzir a` definic¸a˜o de diferenciabilidade.
E´ natural esperar que uma func¸a˜o de duas varia´veis seja diferencia´vel
num ponto se existir o plano tangente ao seu gra´fico nesse ponto.
O plano tangente a z = f(x, y) em (a, b) devera´ conter as rectas tangentes
a`s curvas z = f(x, b) e z = f(a, y). Sabemos que
(1, 0, f ′x(a, b)) e (0, 1, f
′
y(a, b)),
7
sa˜o os vectores directores dessas rectas tangentes. Logo o referido plano tera´
vector normal dado pelo produto externo dos dois vectores directores:
~n = (1, 0, f ′x(a, b)) × (0, 1, f ′y(a, b)) = (f ′x(a, b), f ′y(a, b),−1),
e equac¸a˜o cartesiana
z = f(a, b) + f ′x(a, b)(x − a) + f ′y(a, b)(y − b).
Chamamos linearizac¸a˜o de f em (a, b) a` func¸a˜o
L(x, y) = f(a, b) + f ′x(a, b)(x− a) + f ′y(a, b)(y − b).
Definic¸a˜o 1 Sejam f : D ⊂ R2 → R, D um conjunto aberto e (a, b) ∈ D.
A func¸a˜o f diz-se diferencia´vel em (a, b) se:
1. Existirem f ′x(a, b) e f
′
y(a, b),
2. lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)− L(x, y)
‖(x, y) − (a, b)‖ = 0.
Note que a segunda condic¸a˜o e´ equivalente a dizer que a func¸a˜o z = f(x, y)
pode ser bem aproximada, perto do ponto (x, y), pela func¸a˜o mais simples
z = L(x, y).
Definic¸a˜o 2 Se f for diferencia´vel em (a, b) enta˜o o plano de equac¸a˜o,
z = f(a, b) + f ′x(a, b)(x − a) + f ′y(a, b)(y − b),
e´ designado por plano tangente ao gra´fico de f em (a, b, f(a, b)).
A segunda condic¸a˜o da definic¸a˜o de diferenciabilidade garante que para
pontos (x, y) pro´ximos de (a, b) o plano tangente e´ uma boa aproximac¸a˜o
linear do gra´fico de f .
y
z
a
b
x
z = f ′x(a, b)(x− a) + f
′
y(a, b)(y − b) + f(a, b)
z = f(x, y)
8
Exemplos
1. Consideremos a func¸a˜o
f(x, y) =
{
2xy
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
Para estudar a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0) comecemos por
calcular as derivadas parciais de f nesse ponto. Tem-se
f ′x(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0
h
= 0.
De forma ana´loga conclu´ımos que f ′y(0, 0) = 0. Logo L(x, y) = 0.
Vejamos enta˜o se existe e qual o valor de
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)− L(x, y)
‖(x, y)− (0, 0)‖ = lim(x,y)→(0,0)
2xy
(x2 + y2)
√
x2 + y2
.
Se calcularmos o limite ao longo da recta y = x obtemos
lim
x→0
2x2
2x2
√
2x2
= ∞.
Daqui resulta que o limite anterior na˜o e´ zero (de facto, o limite na˜o
existe) e portanto que f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
2. Mostremos agora que
f(x, y) =


x2y3
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0),
e´ diferencia´vel em (0, 0).
Como f(0, 0) = f ′x(0, 0) = f
′
y(0, 0) = 0 tem-se L(x, y) = 0. Falta
mostrar que
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)− L(x, y)
‖(x, y)− (0, 0)‖ = lim(x,y)→(0,0)
x2y3
x2+y2
− 0√
x2 + y2
= 0.
Ora,∣∣∣∣∣ x
2y3
(x2 + y2)
√
x2 + y2
− 0
∣∣∣∣∣ = |x|
2|y|3
(x2 + y2)
√
x2 + y2
≤ ‖(x, y)‖
5
‖(x, y)‖3
= ‖(x, y)‖2 = x2 + y2
(x,y)→(0,0)
−−−→ 0.
Logo existe lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)− L(x, y)
‖(x, y) − (0, 0)‖ = 0. Neste caso, a equac¸a˜o do
plano tangente ao gra´fico de f no ponto (0, 0, 0) e´ z = 0.
9
A relac¸a˜o entre os conceitos de continuidade e de diferenciabilidade de
uma func¸a˜o de duas (ou mais) varia´veis e´ expressa no seguinte teorema
(ana´logo ao que foi anteriormente estudado para func¸o˜es de uma varia´vel).
Teorema 1 Se f e´ diferencia´vel em (a, b) enta˜o f e´ cont´ınua em (a, b).
A na˜o continuidade de f num ponto (a, b) implica portanto a na˜o difer-
enciabilidade de f em (a, b). Note no entanto que se f e´ cont´ınua em (a, b)
nada se pode concluir sobre a diferenciabilidade de f em (a, b).
Exemplo
Deixamos ao cuidado do leitor mostrar que a func¸a˜o f(x, y) =
2xy
x2 + y2
na˜o
e´ cont´ınua no ponto (0, 0). Do teorema anterior resulta que f(x, y) tambe´m
na˜o diferencia´vel nesse ponto.
Vamos enunciar em seguida um teorema que, em muitos casos, torna
simples o estudo da diferenciabilidade de uma func¸a˜o.
Definic¸a˜o 3 Uma func¸a˜o f diz-se de classe C1 num subconjunto aberto A
do seu domı´nio, e escreve-se f ∈ C1(A), se f tiver derivadas parciais f ′x e f ′y
cont´ınuas em A.
Analogamente se define f ∈ C2(A), f ∈ C3(A), . . . , se
respectivamente, as derivadas parciais ate´ a` 2a ordem, 3a
ordem, . . . , forem cont´ınuas em A. Note que f ∈ C0(A)
significa simplesmente que f e´ cont´ınua em A.
A importaˆncia desta definic¸a˜o deve-se sobretudo ao seguinte teorema.
Teorema 2 Se f ∈ C1(Df ) enta˜o f e´ diferencia´vel em Df .
O seguinte resultado diz-nos que as func¸o˜es polinomiais e racionais teˆm
derivadas parciais cont´ınuas de qualquer ordem em todos os pontos do
domı´nio. Em particular sa˜o diferencia´veis nesses pontos.
Teorema 3 As func¸o˜es polinomiais sa˜o de classe Ck(R2), com k arbitra´rio.
As func¸o˜es racionais sa˜o de classe Ck, k arbitra´rio, em todos os pontos de
R
2 que na˜o anulam o denominador.
Exemplos
1. A func¸a˜o f(x, y) = x2 + xy2 e´ de classe C1(R2). Em particular e´
diferencia´vel em todos os pontos de R2.
2. f(x, y) =
y
x2 − 1 e´ de classe C
1(Df ) com Df = {(x, y) : x 6= ±1}.
Em particular e´ diferencia´vel em todos os pontos de R2 que na˜o esta˜o
sobre as duas rectas verticais de abcissas x = 1 e x = −1.
10
Exemplos
1. Vimos no exemplo acima que f(x, y) = x2 + y2 era de classe C1 em
R
2, logo f e´ diferencia´vel em R2.
2. Vimos num dos exemplos anteriores que
f(x, y) =
{
x2y3
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0),
era diferencia´vel em (0, 0). Fora de (0, 0), f e´ dada por uma expressa˜o
racional cujo denominador na˜o se anula. Logo e´ diferencia´vel para
todos os pontos (x, y) 6= (0, 0). Mais precisamente, se (x, y) 6= (0, 0)
temos que
f ′x(x, y) =
2xy3(x2 + y2)− x2y32x
(x2 + y2)2
, (x, y) 6= (0, 0),
e
f ′y(x, y) =
3x2y2(x2 + y2)− x2y32y
(x2 + y2)2
, (x, y) 6= (0, 0),
sa˜o 2 func¸o˜es racionais cujo denominador na˜o se anula. Daqui resulta
que f ′x e f
′
y sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em R
2 \ {(0, 0)} e portanto que f e´
diferencia´vel em R2 \ {(0, 0)}. Como ja´ t´ınhamos provado, utilizando
a definic¸a˜o, que f tambe´m era diferencia´vel em (0, 0) conclu´ımos que
f e´ diferencia´vel em R2.
Definic¸a˜o 4 Para f diferencia´vel em (a, b) define-se derivada de f em (a, b)
como a matriz linha das suas derivadasparciais em (a, b) e representa-se
f ′(a, b) = [f ′x(a, b) f
′
y(a, b)].
Exemplos
1. Considere a func¸a˜o diferencia´vel em R2, f(x, y) = y2 sinx. A derivada
de f em
(pi
2
, 1
)
e´
f ′
(pi
2
, 1
)
= [y2 cos x 2y sinx]( pi
2
,1) = [0 2].
2. Como vimos no exemplo acima, f(x, y) =
{
x2y3
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0),
,
e´ diferencia´vel em todos os pontos de R2. Pelos ca´lculos acima,
f ′(x, y) = [f ′x(x, y) f
′
y(x, y)]
=
[
2xy3(x2 + y2)− x2y32x
(x2 + y2)2
3x2y2(x2 + y2)− x2y32y
(x2 + y2)2
]
,
se (x, y) 6= (0, 0) e f ′(0, 0) = [0 0].
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A generalizac¸a˜o do conceito de derivada para func¸o˜es vectoriais e´ agora
muito simples.
Definic¸a˜o 5 Consideremos uma func¸a˜o vectorial definida num aberto D ~f ,
~f = (f1, . . . , fm) : D~f ⊂ Rn → Rm,
e seja a = (a1, . . . , an) ∈ D~f .
Dizemos que ~f e´ diferencia´vel em a se f1, . . . , fm forem todas difer-
encia´veis em a e nessa altura chamamos derivada de ~f em a a
~f ′(a) = J~f (a) =


∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
· · · ∂f1
∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
· · · ∂f2
∂xn
...
...
. . .
...
∂fm
∂x1
∂fm
∂x2
· · · ∂fm
∂xn


(a1, . . . , an).
Note que ~f ′(a) = (f ′1(a), . . . , f
′
m(a)). Analogamente se define func¸a˜o de
classe Ck, etc. . . As relac¸o˜es entre continuidade, diferenciabilidade e classe
C1 enunciadas atra´s manteˆm-se va´lidas para as func¸o˜es vectoriais.
Exemplo
Voltemos ao exemplo ~f = (f1, f2, f3) : R
2 → R3, definida por
~f(x, y) =
(
2x− y︸ ︷︷ ︸
f1(x,y)
, ey︸︷︷︸
f2(x,y)
,
√
x2 + y2 + 1︸ ︷︷ ︸
f3(x,y)
)
.
Tem-se
J~f (x, y) =


∂f1
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂x
∂f2
∂y
∂f3
∂x
∂f3
∂y

 (x, y) =


2 −1
0 ey
x
x2+y2+1
y
x2+y2+1

 .
Como as derivadas parciais de ~f sa˜o todas func¸o˜es cont´ınuas, ~f e´ uma func¸a˜o
de classe C1(R2) e portanto diferencia´vel em todos os pontos de R2. Logo
existe ~f ′(x, y) = J ~f (x, y) para (x, y) ∈ R2.
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