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Sistemas de Amortização
Sistemas de amortização com fluxos de caixa compostos por séries de pagamentos uniformes.
Prof. Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior | Colaboração Prof. Gustavo Araújo
1. Itens iniciais
Propósito
Analisar séries de pagamentos uniformes e os principais sistemas de amortização de dívidas utilizados no
mercado para avaliação e tomada de decisão em financiamentos e estratégias de investimento. 
Preparação
Antes de iniciar, tenha em mãos uma calculadora capaz de realizar, além das operações básicas, potenciação
e logaritmos.
Objetivos
Categorizar séries de pagamento uniformes.
Identificar as relações entre juros e amortização no sistema de amortização francês (Price).
Definir as relações entre juros e amortização no sistema de amortização constante (SAC).
Reconhecer outros sistemas de amortização usualmente utilizados. 
Introdução
No momento de financiarmos um veículo, fazermos uma compra parcelada ou adquirirmos um financiamento
imobiliário, utilizamos um sistema de amortização da dívida, ou seja, uma regra que define como será feito o
pagamento de juros e amortização ao longo do tempo. Cada sistema tem suas características específicas que
podem gerar amortizações mais rápidas ou mais lentas e, consequentemente, mais ou menos pagamentos de
juros no futuro. O objetivo desse estudo é ensinar as diferenças entre esses sistemas de amortização e seus
respectivos cálculos financeiros.
Neste conteúdo, falaremos das séries de pagamentos uniformes e suas diversas classificações. Calcularemos
seus valores presente e futuro e compararemos séries distintas a partir deles. Mais adiante, discutiremos
sobre o sistema de amortização de dívidas mais utilizado atualmente: o Price (ou francês). Esse sistema prevê
pagamentos uniformes até a extinção do saldo devedor. Em seguida, conheceremos outro sistema de
amortização de dívidas muito importante: o sistema de amortização constante (SAC), que tem como vatagem
sobre o Price o fato de exigir menos pagamentos de juros, ainda que os valores iniciais das parcelas possam
ser bastante elevados. 
Bons estudos!
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• 
1. Séries de pagamentos
Classificação de séries de pagamentos
Uma série de pagamentos é simplesmente um fluxo de entradas de caixas que se estende ao longo do tempo.
Esses pagamentos podem:
 
Ser (ou não) iguais;
Estar (ou não) igualmente espaçados no tempo.
As séries de pagamentos podem ser classificadas de acordo com:
Periodicidade;
Prazo;
Valor das entradas de caixa;
Início da série;
Momento do pagamento.
Periodicidade
As séries de pagamentos classificadas de acordo com a periodicidade podem ser:
Periódicas
As entradas de caixa são igualmente espaçadas
no tempo.
Não periódicas
Essas entradas possuem espaçamentos
distintos.
Prazo
As séries de pagamentos classificadas de acordo com o prazo podem ser:
• 
• 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Finitas
Sua duração é limitada.
Infinitas
Possuem duração ilimitada. Elas também são
chamadas de perpetuidades.
Valor das entradas de caixa
As séries de pagamentos classificadas de acordo com o valor das entradas de caixa podem ser:
Constantes
Todos os valores das entradas de caixa são
iguais.
Variáveis
Nem todos os valores são iguais.
Início da série
As séries de pagamentos classificadas de acordo com o início da série podem ser:
Imediatas
O primeiro pagamento é devido no primeiro
período.
Diferidas
O pagamento ocorre após o primeiro período.
Momento do pagamento
Quanto ao momento, as séries de pagamentos podem ser antecipadas e postecipadas. 
Vamos entender melhor.
Antecipadas
O pagamento é devido no início do período ao qual ele se refere.
Postecipadas
O pagamento é realizado no final do período a que se refere.
Observe o exemplo a seguir:
Em relação aos pagamentos, esta figura indica uma série:
Periódica (eles estão igualmente espaçados);
Finita (ela é limitada a sete pagamentos);
Constante (todos eles são iguais);
Diferida (o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período).
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• 
• 
Sobre o primeiro pagamento, a figura ainda pode ser classificada como:
Antecipada (se ele se referir ao terceiro período, que começa no ponto 2 e termina no 3).
Postecipada (caso ele se refira ao segundo período, que tem início no ponto 1 e termina no 2).
Na segunda figura, por sua vez, temos uma série:
Periódica (pagamentos igualmente espaçados).
Infinita (eles se perpetuam indefinidamente).
Constante (todos são iguais).
Imediata (o primeiro pagamento é no primeiro período).
Antecipada (ele se refere ao mesmo período).
Séries uniformes
Séries uniformes finitas
As séries uniformes são periódicas e constantes, ou seja, todos os pagamentos possuem o mesmo valor e
estão igualmente espaçados.
Vamos analisar o exemplo a seguir:
Consideremos que a série representada acima seja uma imediata e postecipada (primeiro pagamento ao final
do primeiro período). Se utilizarmos uma taxa de juros , o valor presente dela poderá ser obtido
trazendo cada um dos fluxos da série para o instante 0. Assim:
A sequência de termos no lado direito da equação acima constitui uma progressão geométrica (PG) de razão:
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• 
E primeiro termo igual a:
Usando a expressão abaixo para a soma dos termos de uma PG, temos: 
E, finalmente, chegamos à seguinte fórmula:
Esta fórmula representa o valor de um fluxo único no instante 0, que, por sua vez, é equivalente, sob uma taxa
de juros , à série de pagamentos inicial. Ou seja, realizar todos os n pagamentos de valor igual a da série
é o mesmo que fazer um único pagamento de valor igual a VP no instante 0.
O termo que multiplica na fórmula do valor presente é chamado fator de valor atual de uma série de
pagamentos, sendo representado da seguinte forma:
O fator de valor atual costuma ser tabelado para diversos valores de e de conforme indica a tabela a
seguir:
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431
2 1,970395 1,951561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918
 
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%
7 6,728194 6,471991 6,230883 6,002054 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971298 5,746639 5,534819
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023581 6,710081 6,417657
01 D
44E
01 D
45 B
01 D
45 6Tabela: Fatores de valor atual de uma série de pagamentos ¬ .
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior. 
Assim, para calcular o valor presente de uma série uniforme como a do nosso exemplo, basta procurar o fator
de valor atual na tabela e multiplicá-lo por .
Vejamos um exemplo numérico:
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme:
Consultando a tabela na coluna correspondente a = 10% e na linha que corresponde a = 9, podemos
achar o valor de: .
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431
2 1,970395 1,951561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918
7 6,728194 6,471991 6,230883 6,002054 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971298 5,746639 5,534819
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331valor presente de uma série uniforme infinita com pagamentos mensais ilimitados de R$50 a uma taxa
de juros de 1,25% a.m.?
A
4.115,28
B
3.998.17
C
4.100,00
D
4.100,00
E
3.950,00
A alternativa D está correta.
Usando a fórmula para perpetuidades, temos:
Ou seja, o valor presente é de R$ 4.000,00.
Questão 6
Considere uma série com pagamentos mensais ilimitados. A taxa de juros é de 1% ao mês, enquanto o valor
presente é de R$4.000,00. Indique o valor do pagamento mensal.
A
40,00
B
41,12
C
42,52
D
49,31
E
39,00
A alternativa A está correta.
Reorganizando a fórmula para perpetuidades, temos:
⇒ 
Ou seja, o pagamento mensal é de R$ 40,00.
Na fórmula acima, A seta ‘⇒’ representa uma implicação: “se chove, então molha” pode ser representado
como “chove ⇒ molha” ou “chover implica molhar”.
Verificando o Aprendizado
Questão 1
Calcule o valor presente de uma série de pagamentos uniforme, imediata e postecipada que é composta de
cinco parcela mensais de R$ 20.000 e uma taxa de juros de 5% a.m. Para isso, utilize 
A
85.000,00
B
84.577,20
C
86.589,52
D
44.993,22
E
88.577,20
A alternativa C está correta.
Questão 2
Calcule o valor presente de uma série de pagamentos uniforme infinita imediata e postecipada que seja
composta de pagamentos mensais perpétuos iguais a R$20.000 com uma taxa de juros de 5% a.m.
A
400.000,00
B
424.855,34
C
253.232,94
D
384.739,52
E
200.000,00
A alternativa A está correta.
A fórmula do valor presente é VP=P/i:
2. Sistema de amortização Price
Sistema de amortização francês (Price)
Quando alguém toma um empréstimo em um banco, o valor recebido é chamado de principal. Para quitar a
dívida, é necessário devolver o principal mais os juros da operação. A maneira como são estruturados os
pagamentos de ambos é conhecida como um sistema de amortização de dívidas. 
Um dos sistemas mais conhecidos e utilizados para isso é o francês (ou Price). Nele, todas as parcelas de
pagamento são iguais, formando uma série uniforme finita. O fluxo de caixa do tomador de empréstimo,
portanto, teria a seguinte forma:
No instante inicial, quem pegou o empréstimo recebe o principal, passando a efetuar pagamentos uniformes a
partir do próximo período até quitar toda a dívida. 
Como o principal deve ser equivalente ao valor presente do fluxo de pagamentos, nós, lembrando as séries
uniformes finitas, aplicaremos a seguinte fórmula:
Com ela, poderemos calcular o valor dos pagamentos periódicos:
Note que o termo a multiplicar o principal na fórmula acima é o inverso do fator de acumulação de capital de
uma série finita:
Exemplo: 
João comprou um imóvel: na compra, ele financiou o valor de R$ 100.000 no sistema Price a ser quitado em 50
parcelas mensais com uma taxa de 1% a.m. Considerando , calcule o valor das prestações
mensais que ele deverá pagar.
Para isso, podemos utilizar a fórmula que acabamos de estudar:
João, assim, vai ter de pagar 50 prestações de R$2.551,27 para quitar seu financiamento de R$100.000,00. Se
somarmos os valores de todos os pagamentos realizados por ele, teremos o seguinte resultado:
Vemos, então, que João, além de pagar o valor do principal correspondente a R$100.000,00, ainda vai precisar
desembolsar mais R$27.563,50 a título de juros.
Vejamos agora como os pagamentos de juros e do principal se distribuem entre as prestações. Para
isso, voltaremos ao exemplo de João.
No instante inicial, ele recebeu os R$100.000,00, passando a ter um saldo devedor do mesmo valor com o
banco. Após um mês, um juro de 1% passa a incidir sobre essa quantia. Desse modo, João passa a dever: 
Neste momento, ele paga a primeira parcela de R$2.551,27; assim, seu saldo devedor ao final do primeiro
período passa a ser de:
Observe que João pagou os juros de R$1.000,00 relativos ao primeiro período e ainda teve de gastar mais
R$1.551,27, o que reduziu seu saldo devedor de R$100.000,00 no instante inicial para R$98.448,73 no final do
primeiro período. Dessa forma, ele amortizou sua dívida.
Podemos resumir essa situação na tabela a seguir:
Período
01 D
45 B
Parcela
 
01 D
443
01 D
45 A
01 D
46 1
Juros
 
01 D
43 D 01 D
45 B
01 D
446
01 D
43 7= 01 D
45 B−1
01 D
45 6×
Amortização
01 D
43 4 01 D
45 B
01 D
443
01 D
45 A
01 D
46 1
01 D
43 D= − 01 D
45 B
Saldo devedor ao final do
período
01 D
446
01 D
43 7 01 D
45 B
01 D
446
01 D
43 7= 01 D
45 B−1
01 D
43 4− 01 D
45 B
0 - - - 100.000
1 2.557,27 1.000 1.551,27 98.448,73
Tabela: Sistema de amortização francês (Price).
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
No segundo período, os juros passam a incidir sobre o saldo devedor do período anterior: 
A amortização relativa a esse período será a diferença entre a parcela e os juros:
Isso vai ocorrer da mesma forma nos períodos seguintes. Confira esta tabela:
Período
01 D
45 B
Parcela
01 D
443
01 D
45 A
01 D
46 1
Juros
01 D
43 D 01 D
45 B
01 D
446
01 D
43 7= 01 D
45 B−1
01 D
45 6×
Amortização
01 D
43 4 01 D
45 B
01 D
443
01 D
45 A
01 D
46 1
01 D
43 D= − 01 D
45 B
Saldo devedor ao final
do período
01 D
446
01 D
43 7 01 D
45 B
01 D
446
01 D
43 7= 01 D
45 B−1
01 D
43 4− 01 D
45 B
0 - - - 100.000
1 2.557,27 1.000 1.551,27 98.448,73
2 2.557,27 984,49 1.566,78 96.881,95
3 2.557,27 968,81 1.582,46 ...
... ... ... ... 2.526,01
50 2.557,27 25,26 2.526,01 0
Total 127.563,50 27.563,50 100.000 
Tabela: Sistema de amortização francês (Price).
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
Note a trajetória tanto dos valores pagos a título de juros quanto dos pagos de amortização. Os juros são
decrescentes, pois a base sobre a qual o saldo devedor do período anterior é calculado vai sendo reduzida ao
longo do tempo. 
Por outro lado, os valores de amortização vão aumentando: eles são cada vez mais predominantes no valor
total das prestações, as quais, aliás, são todas iguais. Ou seja, a cada prestação, o devedor paga menos juros
e mais amortização, mantendo a parcela constante.
Podemos resumir esse comportamento relativo aos juros e às amortizações no gráfico a seguir, em que cada
barra vertical corresponde a uma prestação:
 
Gráfico: Sistema Francês - PRICE.
Vejamos um exemplo da aplicação do Price na compra de um carro novo.
 
Maria resolveu comprar um automóvel, mas precisa financiar R$30.000, a uma taxa de 0,8% a.m., ao longo de
30 meses. Ela explicou a você que necessita de parcelas constantes para planejar seu orçamento. Mas Maria
está preocupada: quanto vai pagar a título de juros, ou seja, além dos R$30.000?
Você já consegue ajudá-la após este estudo. Em primeiro lugar, é preciso computar a prestação mensal:
Para isso, você calcula inicialmente a fração:
Com isso, agora já consegue calcular as prestações:
Eis a informação que Maria desejava: ela pagará 30 prestações de R$1.128,77. Somando todas as parcelas,
obtemos:
Portanto, ela vai ter de arcar com R$3.863,13 a título de juros.
Sistema de amortização Price
Pmt Principal 
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Conteúdo interativo
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Mão na massa
Questão 1
Aponte o valor da prestação mensal no sistema Price de um financiamento de R$20.000 em 24 parcelas com
uma taxa de 2% a.m.
A
998,47
B
1.200,13
C
1.057,42
D
1.012,17
E
1.077,42
A alternativa C está correta.
A fórmula que oferece o valor da prestação é:
 Principal 
Questão 2
Indique o valor da prestação mensal no sistema Price de um financiamento de R$20.000 em cinco parcelas
com uma taxa de 2% a.m.
A
4.243,17
B
4.227,20
C
4.237,17
D
4.100,00
E
4.253,17
A alternativa A está correta.
A fórmula que nos dá o valor da prestação é:
 Principal 
 
Questão 3
No exercício anterior, qual é o valor dos juros referentes ao primeiro período?
A
395,12
B
400,00
C
420,00
D
430,00
E
410,00
A alternativa B está correta.
Os juros do primeiro período incidem sobre o principal. Assim,
Questão 4
Ainda sobre o mesmo exercício, aponte agora o valor da amortização referente ao primeiroperíodo.
A
3.843,17
B
3.843,25
C
3.950,00
D
3.800,98
E
3.833,17
A alternativa A está correta.
A amortização é dada pela diferença entre o valor da parcela e os juros pagos:
Questão 5
Qual é o saldo devedor no penúltimo período, levando em consideração os dados do exercício anterior?
A
4.253,20
B
4.100,00
C
4.200,00
D
4.159,97
E
4.150,00
A alternativa D está correta.
Ao final do penúltimo período, só restará um pagamento a ser realizado em um mês. O valor do saldo
devedor será, então, o valor presente desse último pagamento calculado ao final do penúltimo período.
Questão 6
Considerando os dados do exercício anterior, qual será o valor da última amortização?
A
4.000,20
B
4.100,00
C
4.150,00
D
4.159,97
E
4.179,97
A alternativa D está correta.
A última amortização é necessariamente igual ao saldo devedor do penúltimo período, pois, após ela, o
saldo devedor final deve ser igual a zero.
Verificando o Aprendizado
Questão 1
Assinale a alternativa que corresponde ao sistema de amortizações francês.
A
As amortizações pagas em cada parcela são constantes.
B
Os juros pagos em cada prestação são crescentes.
C
Todas as parcelas são iguais.
D
As amortizações pagas em cada parcela são decrescentes.
E
Os juros pagos em cada prestação são constantes.
A alternativa C está correta.
Essa igualdade é a principal característica do sistema francês. No Price, as amortizações são crescentes;
os juros pagos, decrescentes. A letra a se refere a um tópico do sistema de amortização constante (SAC).
Questão 2
O saldo devedor de um financiamento pelo sistema Price, ao final de determinado período, é de R$12.545,00.
Sabendo que os juros pagos no período seguinte serão de R$225,81, determine a taxa de juros que será
utilizada.
A
1,8%
B
2%
C
1,5%
D
1%
E
2,2%
A alternativa A está correta.
Lembre-se de que os juros de cada período são calculados com a aplicação da taxa de juros ao saldo
01 D
43 D
01 D
45 B
01 D
446
01 D
43 7
01 D
45 B
01 D
45 6devedor do período anterior: = −1× .
 
3. Sistema de amortização constante
Sistema de amortização constante (SAC)
Ao contrário do Price, os pagamentos no SAC não são constantes. Como o próprio nome diz, os valores de
suas amortizações é que são constantes.
Exemplo
Como o principal de um empréstimo, ao final de n períodos, deverá ser totalmente amortizado, serão
necessárias n parcelas de amortização iguais para quitar a dívida. 
Com isso, podemos calcular o valor de cada amortização dividindo o principal pela quantidade de períodos
dela:
Esta fórmula constitui, portanto, o valor da amortização em todos os períodos. Também podemos escrever
que:
Os juros do primeiro período incidem sobre o valor do principal, sendo iguais a:
A primeira prestação, por sua vez, será dada pelo seguinte cálculo:
Ao final do primeiro período, o saldo devedor terá sido amortizado em A, sendo igual a:
Os juros do segundo período, então, serão os seguintes:
Já a segunda prestação será dada por:
Podemos continuar na elaboração desse raciocínio até chegarmos à última prestação. Analisaremos, portanto,
a tabela a seguir:
Período 
Amortização
Juros Parcela 
Saldo devedor ao
final do período 
0 - - -
1 A
2 A
3 A ...
... ... … ...
k A ...
... ... ... ...
n A 0
Total -
Tabela: Sistema de amortização constante (SAC).
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
Vejamos agora outro exemplo relativo ao SAC. 
João comprou um imóvel. Na compra, ele financiou o valor de R$100.000 no sistema SAC a ser pago em 50
parcelas mensais com uma taxa de 1% a.m. Calcule o valor da primeira e da última parcela que ele irá pagar.
As amortizações serão todas iguais a:
 
Os juros relativos ao primeiro período incidiram sobre o principal. Desse modo:
Assim, a primeira parcela será igual a:
Para calcular a última parcela, lembre-se de que os primeiros 49 pagamentos já terão sido amortizados:
Ainda falta ocorrer a amortização de:
Este valor é o saldo devedor após o penúltimo período. Com isso, temos:
Logo, a última parcela será igual a:
Esta tabela resume o exemplo apresentado:
Período 
Amortização
Juros Parcela Saldo devedor
final
0 100.000
1 2.000 1.000 3.000 98.000
 
 
 
 
Período 
Amortização
Juros Parcela Saldo devedor
final
2 2.000 980 2.980 96.000
3 2.000 960 2.960 94.000
... ... ... ... ...
49 2.000 40 2.040 2.000
50 2.000 20 2.020 0
Total 100.000 25.500 125.500 
Tabela: Sistema de amortização constante (SAC).
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior.
Vimos que, no sistema Price, esse mesmo financiamento resultou em juros totais no valor de R$27.563,50. Já
no SAC, eles totalizaram R$25.500,00, tendo um valor, portanto, inferior ao do sistema Price.
Esta é a grande vantagem do SAC: sua aplicação implica juros totais menores que os do Price.
Por outro lado, a primeira prestação no SAC foi de R$3.000,00, valor superior aos R$2.557,21 do Price.
Também podemos notar que, no sistema SAC, tanto as prestações quanto os juros são decrescentes.
Notemos no gráfico a seguir:
Gráfico: Sistema SAC.
Encerraremos este estudo com mais um exemplo do sistema SAC.
 
Maria pretende reformar sua casa por um valor de R$40.000, mas precisa de um financiamento para isso. Ela
tem um bom emprego hoje, porém não tem certeza se conseguirá mantê-lo por muitos anos; além disso, ela
gostaria de lidar com parcelas decrescentes ao longo do tempo.
 
Após estudar este módulo, você vai explicar a ela que o sistema SAC pode ser aplicado neste caso. Maria
então pedirá para você calcular o valor da última parcela para ela conseguir avaliar se o gasto ainda caberá no
seu orçamento. O pagamento será realizado em 20 parcelas mensais com uma taxa de juros é de 1,2% a.m.
 
Você já sabe que todas as amortizações serão iguais:
Para calcular a última parcela, basta lembrar que já foram realizados antes 19 pagamentos com uma
amortização total de:
Resta ainda este valor:
O valor indicado acima é o saldo devedor após o penúltimo período. Os juros do último período incidem sobre
esse saldo; com esses dados, podemos enfim calcular seu valor, multiplicando-o pela taxa de juros:
2.000×1,2%=24.
 
A última parcela, portanto, será igual ao valor amortizado mais os juros: 2.000+24=R$2.024,00.
Feliz, Maria informa que esse valor cabe no seu orçamento – ainda que ela enfrente uma redução de renda.
Resultado: após agradecer a você, ela já pode se preparar para fazer a reforma na casa!
Sistema de amortização constante (SAC)
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Mão na massa
Questão 1
Qual é o valor da primeira prestação mensal no sistema SAC de um financiamento de R$ 20.000 em cinco
parcelas e uma taxa de 2% a.m.?
A
4.400,00
B
4.300,00
C
4.200,00
D
4.100,00
E
4.500,00
A alternativa A está correta.
As amortizações serão todas iguais a:
Os juros da primeira parcela serão de:
A primeira parcela, portanto, será esta:
Questão 2
Informe o valor da última parcela do exercício anterior.
A
4.250,00
B
4.080,00
C
4.180,00
D
4.000,20
E
4.130,00
A alternativa B está correta.
Após o pagamento da quarta parcela, já terá sido amortizado o seguinte valor:
O saldo devedor será de:
Os juros da última parcela, por sua vez, serão de:
Já última parcela será igual a:
Questão 3
Ainda no mesmo exercício, diga qual é o valor da terceira prestação.
A
4.240,00
B
4.150,00
 
C
4.200,00
D
4.360,00
E
4.260,00
A alternativa A está correta.
Após o pagamento da segunda parcela, já terão sido amortizados:
O saldo devedor será de:
Os juros da terceira parcela serão de:
Já a terceira parcela será igual a:
Questão 4
Qual é o valor da taxa de juros do SAC de um financiamento de R$20.000 em cinco parcelas (sabendo que a
primeira delas é de R4.200,00)?
A
1%
B
2%
C
0,8%
D
1,5%
E
1,2%
A alternativa A está correta.
As amortizações serão todas iguais a:
Decomposta abaixo em amortização e juros, a primeira parcela é dada no enunciado:Logo, os juros da primeira parcela são:
A taxa de juros é tal que:
Logo, ela é:
Ou seja, a taxa de juros é de 1% ao mês.
Questão 5
Qual é o valor da última parcela do exercício anterior?
A
4.200,20
B
4.000,00
C
4.160,00
D
4.040,00
E
4.100,00
A alternativa D está correta.
Após o pagamento da quarta parcela, já terão sido amortizados:
O saldo devedor será de:
Os juros da última parcela serão de:
Já a última parcela será igual a:
Questão 6
Ainda no mesmo exercício, qual é o valor da segunda prestação?
A
4.250,00
B
4.160,00
C
4.200,00
D
4.300,00
E
4.110,00
A alternativa B está correta.
Após o pagamento da primeira parcela, já terão sido amortizados:
O saldo devedor será de:
Os juros da terceira parcela serão de:
Já a segunda parcela será igual a:
Verificando o Aprendizado
Questão 1
Assinale a alternativa que corresponde ao sistema de amortização constante (SAC).
A
As amortizações pagas em cada parcela são constantes.
B
Os juros pagos em cada prestação são crescentes.
C
Todas as parcelas são iguais.
D
As amortizações pagas em cada parcela são decrescentes.
E
Os juros pagos em cada prestação são constantes.
A alternativa A está correta.
Os juros pagos no sistema SAC são decrescentes. A letra C trata da principal característica do sistema
francês. As amortizações, por sua vez, são constantes no sistema SAC.
Questão 2
A primeira prestação de um financiamento no sistema SAC com prazo de 10 meses e taxa de juros de 1% a.m.
é igual R$1.100. Qual é o valor do principal?
A
9.800
B
10.100
C
10.000
D
11.000
E
9.900
A alternativa C está correta.
Os juros de cada período são calculados aplicando-se a taxa de juros ao saldo devedor do período anterior
(n -1).
A primeira prestação, portanto, será dada "por":
Sabemos "que":
Logo:
$
 e Principal 
4. Outros sistemas de amortização 
Sistema de amortização misto (SAM)
Normalmente utilizado em financiamentos do sistema financeiro de habitação (SFH), o SAM busca combinar
os sistemas SAC e Price (ou francês). Ele é estruturado para que suas parcelas periódicas sejam iguais à
média aritmética de dois sistemas de amortização: o francês (SAF) e o SAC.
Na prática, o SAM divide o principal em duas partes iguais e aplica um dos dois sistemas a cada parte. Metade
usa o SAC; a outra, o SAF. Uma das vantagens na utilização do SAM é que ele possui juros totais menores que
os do Price, ainda que não conte com parcelas iniciais tão altas como as do SAC.
Ter parcelas iniciais muito altas é ruim, pois, normalmente, os projetos aos quais se destinam o
financiamento só começam a gerar retornos certo tempo após o investimento inicial. Isso pode
dificultar o pagamento da dívida nos casos em que as parcelas iniciais são muito relevantes.
Quanto à definição do SAM, já podemos elencar quatro características:
Parcelas decrescentes
Como as relativas ao SAF são constantes e as relativas ao SAC, decrescentes, o SAM também conta
com parcelas decrescentes, pois ele é a média dos dois.
Juros menores que os do SAF e maiores que os do SAC
Como os juros no SAM são iguais à média aritmética dos juros nos dois sistemas, eles ficam maiores
que os do SAC e menores que os do SAF.
Parcelas iniciais
Menores que as do SAC e maiores que as do SAF.
Parcelas finais
Maiores que as do SAC e menores que as do SAF.
Essas características estarão mais evidentes na figura a seguir se fizermos uma comparação das parcelas de
cada um dos três sistemas de amortização com o exemplo já estudado:
Gráfico: Comportamento das parcelas dos sistemas de amortização.
Sistema de amortização americano
O sistema americano prevê a amortização integral do principal no último período do financiamento. Este tipo
de estrutura de amortização é muito comum nos títulos públicos e instrumentos de dívida corporativa.
Exemplo
Notas do Tesouro Nacional pré-fixadas (NTN-F) e debêntures. 
Já nos períodos intermediários, conforme ilustra a figura abaixo, apenas os juros são pagos:
Os juros em cada período sempre são calculados aplicando-se a taxa de juros ao principal:
Todas as parcelas intermediárias são iguais a J, enquanto a última parcela equivale à soma do principal com a
última parcela de juros.
Sistema de amortização misto
Vejamos um exemplo de sistema de amortização misto (SAM).
João comprou uma televisão nova mediante um parcelamento feito pelo sistema SAM, mas o folheto recebido
com as condições gerais de financiamento é confuso – algo, aliás, bastante frequente em documentos com
informações sobre financiamentos! 
Ele tem as seguintes informações: a terceira prestação de um financiamento pelo SAF é de R$1.500, enquanto,
pelo SAC, a mesma prestação sai por R$1.800. Qual é o valor da terceira parcela que João deverá pagar?
Confuso, ele pede sua ajuda. Após estudar este módulo, você explica que a prestação do SAM é dada pela
média entre as prestações dos sistemas SAC e SAF:
Sistema de amortização misto
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Mão na massa
Questão 1
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no sistema de amortização misto
(SAM) considerando um principal de R$20.000, um prazo de 20 meses e uma taxa de juros de 1% a.m.
A
1.154,16
B
1.156,12
C
1.212,90
D
1.159,01
E
 
1.144,16
A alternativa A está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
 Principal 
SAF
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
Sabemos que:
 Principal 
Logo:
 Principal 
Finalmente, podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
Questão 2
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de
R$20.000, um prazo de 20 meses e uma taxa de juros de 1.5% a.m.
A
1.258,30
B
1.232,46
C
1.200,07
D
1.159,01
E
1.228,30
A alternativa B está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
 Principal 
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
Sabemos que:
 Principal 
Logo:
 Principal 
Finalmente podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
Atenção: Compare seu resultado com o do exercício anterior para verificar o impacto causado pelo aumento
da taxa de juros em apenas 0,5%.
Questão 3
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de
R$20.000, um prazo de 40 meses e uma taxa de juros de 1% a.m.
A
710,20
B
700,00
C
654,55
D
712,00
E
610,20
A alternativa C está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
 Principal 
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
Sabemos que:
 Principal 
Logo:
 Principal 
Finalmente, podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
Questão 4
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de
R$100.000, um prazo de 120 meses e uma taxa de juros de 0,5% a.m.
A
1.200,80
B
1.100,00
C
1.300,00
D
1.221,77
E
1.121,77
A alternativa D está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
 Principal 
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
Sabemos que:
 Principal 
Logo:
 Principal 
Finalmente, podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
Questão 5
Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de
R$100.000, um prazo de 120 meses e uma taxa de juros de 0,0001% a.m. (Conforme indica o número, quase
não há juros. Você, contudo, dificilmente encontrará algo do tipo no mundo real.).
A
833,38
B
833,41
C
833,43
D
833,50
E
833,48
A alternativa B está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
 Principal 
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
Sabemos que:
 Principal 
Logo:
 Principal 
Finalmente podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
Dica: Este exercício ilustra um fato intuitivo: quandoa taxa de juros é baixa, os dois componentes geram
praticamente a mesma parcela. Ou seja, a diferença entre os componentes do SAF e do SAC é gerada
exatamente pela taxa de juros.
Questão 6
Uma debênture foi emitida no sistema americano com o principal igual a 100.000, um prazo de cinco anos e
pagamentos de juros semestrais periódicos de 5% a.s. Desenhe o fluxo de caixa de um investidor que compre
essa debênture, indicando, em seguida, os valores de cada entrada e saída de caixa.
A
As primeiras 9 setas (períodos) são para cima no valor de 5.000.
B
As primeiras 4 setas (períodos) são para cima no valor de 10.000.
C
As primeiras 9 setas (períodos) são para cima no valor de 10.000.
D
A décima seta é positiva no valor de 100.000.
E
A décima seta é positiva no valor de 110.000.
A alternativa A está correta.
Os juros semestrais recebidos serão de:
 Principal 
No instante inicial, o investidor paga R$100.000 pelo título, enquanto, no vencimento, ocorre o recebimento
da última parcela de juros mais o principal.
Com isso, temos o seguinte fluxo de caixa:
Note que o prazo de cinco anos foi aberto em 10 semestres, uma vez que os juros são pagos
semestralmente.
Verificando o Aprendizado
Questão 1
Se a terceira prestação de um financiamento pelo SAF é de R$1.300 e, pelo SAC, de R$1.500, qual seria o valor
dela se o sistema utilizado fosse o SAM?
A
1.300,00
B
1.350,00
C
1.400,00
D
1.450,00
E
1.500,00
A alternativa C está correta.
A prestação do SAM é dada pela média entre as prestações dos sistemas SAC e "SAF":
Questão 2
Qual das seguintes alternativas melhor descreve o sistema de amortização americano?
A
Todos os pagamentos são iguais.
B
Todos os pagamentos são iguais, à exceção do último, que é composto de juros mais o principal.
C
Os juros são crescentes.
D
Os juros são decrescentes.
E
Todas as amortizações são iguais.
A alternativa B está correta.
Os juros do período são calculados como J = Principal × i, mas ao último deles se soma também o principal.
A letra a trata da característica do Price. Temos juros decrescentes nos sistemas SAC, SAF e SAM. O
sistema americano, por sua vez, possui juros constantes.
5. Conclusão
Considerações finais
O que você aprendeu neste conteúdo?
Estudamos os diferentes sistemas de amortização, que figuram na lista dos principais assuntos da Matemática
Financeira. Afinal, trata-se de um dos temas da área mais aplicados no mundo real. Você pode encontrá-los
em diversas situações cotidianas: do financiamento de um imóvel à compra parcelada de uma televisão nova,
ou de uma aplicação financeira à análise do rendimento de títulos públicos.
Sempre observe as condições implícitas em um parcelamento: que sistema está sendo usado? As parcelas
são constantes ou mudam ao longo do tempo? Qual é a taxa de juros? Cada sistema analisado possui
características particulares que podem ser melhores ou piores para determinado investidor ou consumidor.
Fique atento!
Podcast
Para encerrar, ouça um resumo dos principais aspectos abordados neste conteúdo.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para ouvir o áudio.
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Para conhecer exercícios resolvidos de Matemática Financeira e material complementar da área, acesse a
página do Padlet e digite no campo de pesquisa o nome "Paulo Vianna Jr.".
Para verificar o funcionamento de um emulador HP 12C, digite a expressão "vichinsky hp12c" em qualquer site
de busca.
Referências
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
ZIMA, P. Fundamentos de matemática financeira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1995.
	Sistemas de Amortização
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	1. Séries de pagamentos
	Classificação de séries de pagamentos
	Periodicidade
	Periódicas
	Não periódicas
	Prazo
	Finitas
	Infinitas
	Valor das entradas de caixa
	Constantes
	Variáveis
	Início da série
	Imediatas
	Diferidas
	Momento do pagamento
	Antecipadas
	Postecipadas
	Séries uniformes
	Séries uniformes finitas
	1º passo
	2º passo
	3º passo
	4º passo
	5º passo
	6º passo
	Se liga na dica!
	Séries uniformes infinitas
	Sistemas de amortização
	Conteúdo interativo
	Exemplo
	Mão na massa
	Verificando o Aprendizado
	2. Sistema de amortização Price
	Sistema de amortização francês (Price)
	Sistema de amortização Price
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Ainda sobre o mesmo exercício, aponte agora o valor da amortização referente ao primeiro período.
	Verificando o Aprendizado
	3. Sistema de amortização constante
	Sistema de amortização constante (SAC)
	Exemplo
	Sistema de amortização constante (SAC)
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Verificando o Aprendizado
	4. Outros sistemas de amortização
	Sistema de amortização misto (SAM)
	Parcelas decrescentes
	Juros menores que os do SAF e maiores que os do SAC
	Parcelas iniciais
	Parcelas finais
	Sistema de amortização americano
	Exemplo
	Sistema de amortização misto
	Sistema de amortização misto
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Verificando o Aprendizado
	5. Conclusão
	Considerações finais
	O que você aprendeu neste conteúdo?
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referênciasa taxa de juros é baixa, os dois componentes geram
praticamente a mesma parcela. Ou seja, a diferença entre os componentes do SAF e do SAC é gerada
exatamente pela taxa de juros.
Questão 6
Uma debênture foi emitida no sistema americano com o principal igual a 100.000, um prazo de cinco anos e
pagamentos de juros semestrais periódicos de 5% a.s. Desenhe o fluxo de caixa de um investidor que compre
essa debênture, indicando, em seguida, os valores de cada entrada e saída de caixa.
A
As primeiras 9 setas (períodos) são para cima no valor de 5.000.
B
As primeiras 4 setas (períodos) são para cima no valor de 10.000.
C
As primeiras 9 setas (períodos) são para cima no valor de 10.000.
D
A décima seta é positiva no valor de 100.000.
E
A décima seta é positiva no valor de 110.000.
A alternativa A está correta.
Os juros semestrais recebidos serão de:
 Principal 
No instante inicial, o investidor paga R$100.000 pelo título, enquanto, no vencimento, ocorre o recebimento
da última parcela de juros mais o principal.
Com isso, temos o seguinte fluxo de caixa:
Note que o prazo de cinco anos foi aberto em 10 semestres, uma vez que os juros são pagos
semestralmente.
Verificando o Aprendizado
Questão 1
Se a terceira prestação de um financiamento pelo SAF é de R$1.300 e, pelo SAC, de R$1.500, qual seria o valor
dela se o sistema utilizado fosse o SAM?
A
1.300,00
B
1.350,00
C
1.400,00
D
1.450,00
E
1.500,00
A alternativa C está correta.
A prestação do SAM é dada pela média entre as prestações dos sistemas SAC e "SAF":
Questão 2
Qual das seguintes alternativas melhor descreve o sistema de amortização americano?
A
Todos os pagamentos são iguais.
B
Todos os pagamentos são iguais, à exceção do último, que é composto de juros mais o principal.
C
Os juros são crescentes.
D
Os juros são decrescentes.
E
Todas as amortizações são iguais.
A alternativa B está correta.
Os juros do período são calculados como J = Principal × i, mas ao último deles se soma também o principal.
A letra a trata da característica do Price. Temos juros decrescentes nos sistemas SAC, SAF e SAM. O
sistema americano, por sua vez, possui juros constantes.
5. Conclusão
Considerações finais
O que você aprendeu neste conteúdo?
Estudamos os diferentes sistemas de amortização, que figuram na lista dos principais assuntos da Matemática
Financeira. Afinal, trata-se de um dos temas da área mais aplicados no mundo real. Você pode encontrá-los
em diversas situações cotidianas: do financiamento de um imóvel à compra parcelada de uma televisão nova,
ou de uma aplicação financeira à análise do rendimento de títulos públicos.
Sempre observe as condições implícitas em um parcelamento: que sistema está sendo usado? As parcelas
são constantes ou mudam ao longo do tempo? Qual é a taxa de juros? Cada sistema analisado possui
características particulares que podem ser melhores ou piores para determinado investidor ou consumidor.
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de busca.
Referências
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
ZIMA, P. Fundamentos de matemática financeira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1995.
	Sistemas de Amortização
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	1. Séries de pagamentos
	Classificação de séries de pagamentos
	Periodicidade
	Periódicas
	Não periódicas
	Prazo
	Finitas
	Infinitas
	Valor das entradas de caixa
	Constantes
	Variáveis
	Início da série
	Imediatas
	Diferidas
	Momento do pagamento
	Antecipadas
	Postecipadas
	Séries uniformes
	Séries uniformes finitas
	1º passo
	2º passo
	3º passo
	4º passo
	5º passo
	6º passo
	Se liga na dica!
	Séries uniformes infinitas
	Sistemas de amortização
	Conteúdo interativo
	Exemplo
	Mão na massa
	Verificando o Aprendizado
	2. Sistema de amortização Price
	Sistema de amortização francês (Price)
	Sistema de amortização Price
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Ainda sobre o mesmo exercício, aponte agora o valor da amortização referente ao primeiro período.
	Verificando o Aprendizado
	3. Sistema de amortização constante
	Sistema de amortização constante (SAC)
	Exemplo
	Sistema de amortização constante (SAC)
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Verificando o Aprendizado
	4. Outros sistemas de amortização
	Sistema de amortização misto (SAM)
	Parcelas decrescentes
	Juros menores que os do SAF e maiores que os do SAC
	Parcelas iniciais
	Parcelas finais
	Sistema de amortização americano
	Exemplo
	Sistema de amortização misto
	Sistema de amortização misto
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Verificando o Aprendizado
	5. Conclusão
	Considerações finais
	O que você aprendeu neste conteúdo?
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referências