09 Equação da Linha Elástica

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G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
x ∆x
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
y
θ∆
centro de curvaturaO =
( ) ( )
0
limxx
y
y θ
ρ θ ρ θε ρ θ∆ →
− ∆ − ∆= ∆
( )comprimento = yρ θ− ∆
raio de curvaturaρ =
( )
Relação deformação curvatura
 xx
yyε ρ= −
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
( ) ( ), .
.
fxx
xx
zz
M xyx y y
E E J
σε ρ= − = = −
relação momento curvatura
( )1
.
f
zz
M x
E Jρ =
G A M M A – E N M – U n B
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EXEMPLO: M
M
x
fM
M
L
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
1
.
M
E Jρ =
Curvatura constante
Raio de círculo
( )W x
Linha neutra 
deformada
Linha 
elástica
Caracteriza a 
deformação 
da viga
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
O deslocamento vertical da linha elástica caracteriza os 
deslocamentos verticais de todos os pontos de cada seção 
transversal.
( )1Como relacionar a curvatura com a função ?W xρ
( )OBJETIVO: determinar a função !W x
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Do calculo diferencial tem-se que:
2
2
3
2 2
1
1
d W
dx
dW
dx
ρ = ⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Portanto:
( )
2
2
3
2 2 .
1
f
zz
d W
M xdx
E J
dW
dx
=
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
Teoria de pequenas deformações
( )
2
2
2
1
tem-se:
.
f
zz
dW
dx
M xd W
dx E J
⎛ ⎞ <<⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Equação da linha elástica