12 Teorema de Cauchy

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G A M M A – E N M – U n B
G r u p o d e M e c â n i c a d o s M a t e r i a i s
Teorema de Cauchy
G A M M A – E N M – U n B
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q
q
qx
x
x
esforços internos necessários
ao equilíbrio 0≠t
0=t
( )Fixando um ponto material , o vetor tensão depende de (do corte)?x t x M
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onde tensor tensão de cauchy=σ
vimos que:
xx yx zx
xy yy zy
xz yz zz
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
σ
( ) ( ) 3 13 1 3 3, xx xx=t x n σ n
Como depende de ? teorema de cauchy→t n
( )ou seja hipótese de cauchy→t = t x,n
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θ
xxσ xxσ
yyσ
yyσ
xyτ
xyτ
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θ
xxσ
yyσxyτ
l∆yt
xt
cosl θ∆
lsenθ∆
espessura: e
cos
=
sen
θ
θ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠n
n
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Equilíbrio:
xF 0=∑
( ) ( ) ( )cos 0x xx xyt e l e l lsen eσ θ τ θ∆ − ∆ − ∆ =
cosx xx xyt senσ θ τ θ= +
yF 0=∑
( ) ( ) ( )cos 0y yy xyt e l e lsen l eσ θ τ θ∆ − ∆ − ∆ =
cosy yy xyt senσ θ τ θ= +
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cosx xx xy
xy yyy
t
t sen
σ τ θ
τ σ θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
ou
=t σn
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Equilíbrio em r e :θ
θ
θ
l∆
lsenθ∆
cosl θ∆
xyτ yyσ
xxσ
θ
r
rrσ
rθτ
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rF 0=∑
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
cos cos cos
cos 0
rr xx xy
yy xy
e l e l sen l e
sen e lsen lsen e
σ σ θ θ τ θ θ
σ θ θ τ θ θ
∆ − ∆ − ∆
− ∆ − ∆ =
( )2 2cos cosrr xx yy xysen senσ σ θ σ θ τ θ θ= + +
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F 0θ =∑
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
cos cos cos
cos 0
r xx xy
xy yy
e l sen e l l e
sen lsen e e lsen
θτ σ θ θ τ θ θ
τ θ θ σ θ θ
∆ − ∆ − ∆
+ ∆ − ∆ =
( ) ( )2 2cos cosr xx yy xysen senθτ σ σ θ θ τ θ θ= − + −
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Considerando as identidades trigonométricas:
sen2 2 cossenθ θ θ=
2 1 cos 2cos
2
θθ +=
2 1 cos 2
2
sen θθ −=
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Tem-se:
cos 2 2
2 2
xx yy xx yy
rr xysen
σ σ σ σσ θ τ θ+ −= + +
2 cos 2
2
xx yy
r xysenθ
σ στ θ τ θ−= − +
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Equações de transformação de tensão
Note que:
p/ =0 e rr xx r xyθθ σ σ τ τ⇒ = =
p/ =90 e rr yy r xyθθ σ σ τ τ⇒ = = −
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Atenção p/ a convenção dos sinais
xyτ
xyτ
yyσ
yyσ
xxσ
xxσ x
y
θ
Face 
positiva
Faces negativas
Tensões 
positivas
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Ângulo positivo
θ
θ + x
y n