Lista 7 - C1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo 1
Lista 07: Encontros
1. Dada a func¸a˜o
f(x) = x4 − 2x+ 3
(a) Encontre os intervalos em que f e´ crescente e decrescente;
(b) encontre os valores de ma´ximo e mı´nimo local de f ;
(c) encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexa˜o de f .
2. Dada a func¸a˜o
f(x) =
√
x2 + 1− x
(a) Encontre as ass´ıntotas vertical e horizontal;
(b) encontre os intervalos em que f e´ crescente e decrescente;
(c) encontre os valores de ma´ximo e mı´nimo local de f ;
(d) encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexa˜o de f ;
(e) utilize as informac¸o˜es obtidas nos items anteriores para esboc¸ar o
gra´fico de f .
3. Para quais valores de a e b a func¸a˜o f(x) = axebx
2
tem valor ma´ximo
em f(2) = 1?
4. Analise o gra´fico da func¸a˜o f : [a, e] → R abaixo e responda as questo˜es
propostas a seguir:
(a) Quais os pontos de mı´nimo global e de ma´ximo global de f?
Qual o valor mı´nimo e qual o valor ma´ximo que f assume?
(b) Quais os pontos de mı´nimo local e de ma´ximo local de f?
(c) Em quais pontos do intervalo (a, e) a derivada de f e´ positiva, em
quais e´ negativa e em quais pontos f ′ se anula?
(d) Qual o sinal que a segunda derivada f ′′ assume nos pontos b, c e d?
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5. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a todas as condic¸o˜es abaixo:
(a) f ′(x) > 0 se |x| < 2 e f ′(x) < 0 se |x| > 2;
(b) f ′(−2) = 0 e lim
x→2
|f ′(x)| =∞;
(c) f ′′(x) > 0 se |x| 6= 2.
6. Considere a func¸a˜o
f(x) = x4 − 2x2.
Determine:
(a) seu domı´nio;
(b) as intersec¸o˜es com os eixos coordenados;
(c) suas ass´ıntotas (horizontais e verticais);
(d) os intervalos de crescimento/decrescimento de f ;
(e) os pontos de ma´ximo e de mı´nimo locais
(f) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o;
(g) um esboc¸o para o gra´fico de f .
7. Considere a func¸a˜o
f(x) =
x3
x2 − 1
.
Determine:
(a) seu domı´nio;
(b) as intersec¸o˜es com os eixos coordenados;
(c) suas ass´ıntotas;
(d) os intervalos de crescimento/decrescimento de f ;
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(e) os pontos de ma´ximo e de mı´nimo locais
(f) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o;
(g) um esboc¸o para o gra´fico de f .
8. Dada a func¸a˜o
f(x) = x3 + cx
Descreva a mudanc¸a no gra´fico de f a˜ medida que o valor de c varia.
Em particular estude como os pontos dema´ximo e mı´nimo e os pontos de
inflexa˜o se movem quando c varia.
9. Encontre dois nu´meros inteiros tal que a soma do primeiro com o triplo
do segundo seja igual a 900 e tal que seu produto seja o maior poss´ıvel.
10. Uma indu´stria necessita iniciar uma produc¸a˜o em larga escala de um re-
servato´rio de ac¸o em forma de cilindro circular reto (sem a tampa) de
capacidade igual a 500 l. Para minimizar seu custo de produc¸a˜o, a em-
presa chama seu engenheiro — voceˆ! — e lhe pede que determine quais as
dimenso˜es do cilindro (sua altura e o raio de sua base) que requer menos
material para ser produzido. Responda corretamente a` empresa.
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