Aula 3 - Trabalhando com gráficos

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Usando Gráficos para a descrição do comportamento de uma variável 
Referências: 
	BUSSAB e MORETTIN, Cap. 2.
	WEBSTER, Cap. 2.
	
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Introdução
Além de tabelas, podemos usar gráficos para resumir as informações de um conjunto de dados.
A representação gráfica de uma variável nos informa sobre sua variabilidade de forma rápida e concisa. 
Nesta aula, veremos os gráficos usados para representar as variáveis qualitativas e também os gráficos mais simples para representar a distirbuição de variáveis quantitativas. 			
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Gráficos para variáveis qualitativas
Há um princípio para representar variáveis qualitativas que encontramos basicamente em dois tipos de gráficos: gráfico de barras e de composição em setores (“pizzas”).
Os gráficos em barras representam retângulos (ou barras) em que a altura dos mesmos é proporcional à frequência absoluta, frequência relativa ou porcentagem de ocorrência da categoria, sendo que no eixo horizontal representamos, nas bases dos retângulos, cada a uma das categorias correspondentes, em intervalos de tamanho igual para todas.
*
*
* Fonte: dados fictícios.
Exemplo de gráfico em barras verticais
Gráf1
		17
		12
		6
		2
		3
		40
numero de votos
Candidatos
Frequência
Gráfico 1 - Intenção de votos de alunos para eleição de Reitor UFU (2012)
gráficos barras e dispersão
								Número de passageiros por mês
								Classe		freqüência (dias)		freq. acum.				32
								[50--60)		5		5				64								Candidatos		numero de votos
								[60- 70)		15		20												candidato A		17		43%
								[70 80)		7		27												candidato B		12		30%
								80 e mais		3		30												candiato C		6		15%
																								outros		2		5%
																								brancos e nulos		3		8%
								0.1666666667																Total		40		100%
																												0%
																												0%
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total								17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2		10		4		1		17						candidato A		0.05		0.25		0.1		0.025		0.425
								candidato B		2		6		3		1		12						candidato B		0.05		0.15		0.075		0.025		0.3
								candiato C		1		2		3		0		6						candiato C		0.025		0.05		0.075		0		0.15
								outros		0		1		1		0		2						outros		0		0.025		0.025		0		0.05
								brancos e nulos		0		1		2		0		3						brancos e nulos		0		0.025		0.05		0		0.075
								Total		5		20		13		2		40						Total		0.125		0.5		0.325		0.05		1
		
										0.05		0.25		0.10		0.03		0.43
										0.05		0.15		0.08		0.03		0.30
										0.03		0.05		0.08		0.00		0.15
										0.00		0.03		0.03		0.00		0.05
										0.00		0.03		0.05		0.00		0.08
										0.13		0.50		0.33		0.05		1.00
		
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito (alunos RI, 2o período)
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2 (0,05)		10 (0,25)		4 (0,10)		1 (0,03)		17 (0,43)
								candidato B		2 (0,05)		6 (0,15)		3 (0,08)		1 (0,03)		12 (0,30)
								candiato C		1 (0,03)		2 (0,05)		3 (0,08)		0		6 (0,15)
								outros		0		1 (0,03)		1 (0,03)		0		2 (0,05)
								brancos e nulos		0		1 (0,50)		2 (0,05)		0		3 (0,08)
								Total		5 (0,13)		20 (0,50)		13 (0,33)		2 (0,05)		40 (1,00)
		
		
								número de filhos		professores
								0		6
								1		4
								2		7
								3		4
								4		3
								5		2
								6 ou mais
		
								32
		
		
										Tabela 2 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
		
										Salários Mínimos		frequência ( f )		ponto médio		porcentagem		densidade ( f /3 )		área
										0|----------3		10		1.5		24%		0.08		0.238
										3|----------6		12		4.5		29%		0.10		0.286
										6|----------9		9		7.5		21%		0.07		0.214
										9|--------12		5		10.5		12%		0.04		0.119
										12|----------15		4		13.5		10%		0.03		0.095
										15|---------|18		2		16.5		5%		0.02		0.048
										Total		42				100%				1
		
																		Tabela 1 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
										ramo		folhas
										3		0						Salários Mínimos		frequência ( f )		ponto médio		porcentagem
										3		5, 6, 8						0|----------3		10		1.5		24%
										4		0, 1, 2, 3						3|----------6		12		4.5		29%
										4		5, 6, 7						6|----------9		9		7.5		21%
										5		5, 6, 8, 9						9|--------12		5		10.5		12%
										6		0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						12|----------15		4		13.5		10%
										6		5, 6						15|---------|18		2		16.5		5%
										7		0, 0, 2, 3						Total		42				100%
										7		9
		
														Tabela 4 - Classificação de 250 empresas segundo o número de empregados														Tabela 3 - Classificação de 250 empresas segundo o número de empregados.
		
														Número de empregados		Frequência (ni)		Amplitude (Ai)		Densidade (ni/Ai)		Proporção (fi)		Densidade (fi/Ai)				Número de empregados		Frequência (ni)
		
														0|--------10		5		10		0.50		0.02		0.0400				0|--------10		5
														10|---------20		20		10		2.00		0.08		0.0400				10|---------20		20
														20|---------30		35		10		3.50		0.14		0.0400				20|---------30		35
														30|---------40		40		10		4.00		0.16		0.0400				30|---------40		40
														40|---------60		50		20		2.50		0.2		0.0800				40|---------60		50
														60|---------80		30		20		1.50		0.12		0.0800				60|---------80		30
														80|--------100		20		20		1.00		0.08		0.0800				80|--------100		20
														100|------140		20		40		0.50		0.08		0.1600				100|------140		20
														140|------180		15		40		0.38		0.06		0.1600				140|------180		15
														180|------200		15		80		0.19		0.06		0.3200				180|------200		15
														Total		250		*		*		1		1				Total		250
gráficos barras e dispersão
		
candidato A
candidato B
candiato C
outros
brancos e nulos
idade alunos 2o período RI
proporção
Intenção de votos
histograma
		
numero de votos
Candidatos
Frequência
Gráfico 1 - Intenção de votos de alunos para eleição de Reitor UFU (2012)
ramo e folhas
		
numero de votos
Intenção de Votos
		
Salários Mínimos
Freqüência
Renda Funcionários Empresa X
		
Frequência
Número de filhos
Frequência
Gráfico 3 - Frequência do número de filhos entre os professores de economia da UFU
		
Porcentagem
Renda per capita em salários mínimos
Porcentagem
Gráfico 4 -Renda per capita dos domicílios do entorno da universidade (n=42)
		
Densidade de freqências
Salários mínimos
Densidade de frequências
Histograma: renda per capita dos domicilios no entorno da Universidade
		
		
						Z		freq.		densidade de freqência
						0		4		0.2
						1		5		0.25
						2		7		0.35
						3		3		0.15
						4		0		0
						5		1		0.05
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
												Taxa de desemprego em %
												5.4		3.2		6.8
												4.2		4.6		6.2
												4.7		5.5		3.6
												5.5		6.9		4.8
												3.2		6.7
												4.6		3.7
												5.5		4.7
		
frequência
número de filhos
frequência
Grafico 3 - número de filhos
		
denisdade de freqência
Número de filhos
densidade de frequência
Histograma da variável Z: 
número de filhos por professor
		
		
		
		
		
																30
						níveis ou profundidade										35
								ramo		folhas						36
						1
3		:0						38
						4		3		:5, 6, 8						40
						8		4		:0, 1, 2, 3						41
						11		4		:5, 6, 7						42
						15		5		:5, 6, 8, 9						43
						(10)		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						45
						7		6		:5, 6						46
						5		7		:0, 0, 2, 3						47
						1		7		:9						55
																56
																58				níveis		ramo		folhas
																59				1		3		:0
																60				4		3		:5, 6, 8
																61				8		4		:0, 1, 2, 3
																62				11		4		:5, 6, 7
																62				15		5		:5, 6, 8, 9
																62				-10		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4
																63				7		6		:5, 6
																63				5		7		:0, 0, 2, 3
																63				1		7		:9
																64
																64
																65
																66
																70
																70
																72
																73
																79
*
*
Gráficos em “pizza”
O gráfico de composição de setores, ou gráfico em “pizza” como é usualmente denominado, destina-se a representar a composição ou o “tamanho das fatias” em que se divide o todo. 
Geralmente as fatias representam porcentagens.
O gráfico é um círculo de raio arbitrário, representando o todo, dividido em setores, que correspondem às partes de maneira proporcional.
*
*
Fonte: dados fictícios
Exemplo de gráfico em “pizza”
Gráf3
		17
		12
		6
		2
		3
numero de votos
Gráfico 2 - Resultado da pesquisa de intenção de voto com estudantes da UFU nas eleições para reitor 2012.
Plan1
								Número de passageiros por mês
								Classe		freqüência (dias)		freq. acum.				32
								[50--60)		5		5				64								Candidatos		numero de votos
								[60- 70)		15		20												candidato A		17		43%
								[70 80)		7		27												candidato B		12		30%
								80 e mais		3		30												candiato C		6		15%
																								outros		2		5%
																								brancos e nulos		3		8%
								0.1666666667																Total		40		100%
																												0%
																												0%
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total								17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2		10		4		1		17						candidato A		0.05		0.25		0.1		0.025		0.425
								candidato B		2		6		3		1		12						candidato B		0.05		0.15		0.075		0.025		0.3
								candiato C		1		2		3		0		6						candiato C		0.025		0.05		0.075		0		0.15
								outros		0		1		1		0		2						outros		0		0.025		0.025		0		0.05
								brancos e nulos		0		1		2		0		3						brancos e nulos		0		0.025		0.05		0		0.075
								Total		5		20		13		2		40						Total		0.125		0.5		0.325		0.05		1
		
										0.05		0.25		0.10		0.03		0.43
										0.05		0.15		0.08		0.03		0.30
										0.03		0.05		0.08		0.00		0.15
										0.00		0.03		0.03		0.00		0.05
										0.00		0.03		0.05		0.00		0.08
										0.13		0.50		0.33		0.05		1.00
		
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito (alunos RI, 2o período)
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2 (0,05)		10 (0,25)		4 (0,10)		1 (0,03)		17 (0,43)
								candidato B		2 (0,05)		6 (0,15)		3 (0,08)		1 (0,03)		12 (0,30)
								candiato C		1 (0,03)		2 (0,05)		3 (0,08)		0		6 (0,15)
								outros		0		1 (0,03)		1 (0,03)		0		2 (0,05)
								brancos e nulos		0		1 (0,50)		2 (0,05)		0		3 (0,08)
								Total		5 (0,13)		20 (0,50)		13 (0,33)		2 (0,05)		40 (1,00)
		
		
								número de filhos		professores
								0		6
								1		4
								2		7
								3		4
								4		3
								5		2
								6 ou mais
		
								32
		
		
		
										Renda per capita dos domicílios
										menos que 1 SM		freq.		ponto médio		prop.		dens.freq.abs.		dens. Freq. rela.		área
										1|--------3		10		2		24%		3.33		0.08		0.238
										3|--------6		12		4.5		29%		4.00		0.10		0.286
										6|--------9		9		7.5		21%		3.00		0.07		0.214
										9|--------10		5		9.5		12%		1.67		0.04		0.119
										10|-------13		4		11.5		10%		1.33		0.03		0.095
										13|-------15		2		14		5%		0.67		0.02		0.048
										Soma:		42				100%						1
Plan1
		0		0		0		0		0
		0		0		0		0		0
		0		0		0		0		0
		0		0		0		0		0
		0		0		0		0		0
candidato A
candidato B
candiato C
outros
brancos e nulos
idade alunos 2o período RI
proporção
Intenção de votos
Plan2
		0
		0
		0
		0
		0
		0
numero de votos
Candidatos
proporção em 40 alunos
Intenção de Votos
Plan3
		0
		0
		0
		0
		0
numero de votos
Intenção de Votos
		0
		0
		0
		0
		0
		0
professores
número de filhos
quantidade de professores
Número de filhos
		0
		0
		0
		0
		0
		0
Salários Mínimos
Freqüência
Renda Funcionários Empresa X
		
		
*
*
Gráficos para variáveis quantitativas
No caso de variáveis quantitativas, há uma quantidade maior de representações gráficas além dos gráficos de barras e pizza. 
Veremos os tipos mais simples:
Gráficos de barras / pizza 
Gráficos de dispersão 
Histogramas
Gráficos High-low-close
Diagrama de Ramo e Folhas
	
*
*
Gráficos de dispersão 
Nos gráficos de dispersão os valores são representados por pontos ao longo da reta que segue uma escala:
Valores repetidos são acompanhados por um número que indica as repetições, ou; 
Os pontos são “empilhados” um em cima do outro, ou;
São representados apenas os pontos mais altos da pilha.
Ex: montar gráficos de dispersão para a variável Z “número de filhos”. 
*
*
Exemplos de gráficos de dispersão 
Fonte: Bussab e Moretin (2002), pg 17.
*
*
Gráfico em barras para a variável número de filhos
Fonte: dados fictícios
Gráf4
		4
		5
		7
		3
		0
		1
frequência
número de filhos
frequência
Grafico 3 - número de filhos
Plan1
								Número de passageiros por mês
								Classe		freqüência (dias)		freq. acum.				32
								[50--60)		5		5				64								Candidatos		numero de votos
								[60- 70)		15		20												candidato A		17		43%
								[70 80)		7		27												candidato B		12		30%
								80 e mais		3		30												candiato C		6		15%
																								outros		2		5%
																								brancos e nulos		3		8%
								0.1666666667																Total		40		100%
																												0%
																												0%
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total								17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2		10		4		1		17						candidato A		0.05		0.25		0.1		0.025		0.425
								candidato B		2		6		3		1		12						candidato B		0.05		0.15		0.075		0.025		0.3
								candiato C		1		2		3		0		6						candiato C		0.025		0.05		0.075		0		0.15
								outros		0		1		1		0		2						outros		0		0.025		0.025		0		0.05
								brancos e nulos		0		1		2		0		3						brancos e nulos		0		0.025		0.05		0		0.075
								Total		5		20		13		2		40						Total		0.125		0.5		0.325		0.05		1
		
										0.05		0.25		0.10		0.03		0.43
										0.05		0.15		0.08		0.03		0.30
										0.03		0.05		0.08		0.00		0.15
										0.00		0.03		0.03		0.00		0.05
										0.00		0.03		0.05		0.00		0.08
										0.13		0.50		0.33		0.05		1.00
		
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito (alunos RI, 2o período)
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2 (0,05)		10 (0,25)		4 (0,10)		1 (0,03)		17 (0,43)
								candidato B		2 (0,05)		6 (0,15)		3 (0,08)		1 (0,03)		12 (0,30)
candiato C		1 (0,03)		2 (0,05)		3 (0,08)		0		6 (0,15)
								outros		0		1 (0,03)		1 (0,03)		0		2 (0,05)
								brancos e nulos		0		1 (0,50)		2 (0,05)		0		3 (0,08)
								Total		5 (0,13)		20 (0,50)		13 (0,33)		2 (0,05)		40 (1,00)
		
		
								número de filhos		professores
								0		6
								1		4
								2		7
								3		4
								4		3
								5		2
								6 ou mais
		
								32
		
		
		
										Renda per capita dos domicílios
										menos que 1 SM		freq.		ponto médio		prop.		dens.freq.abs.		dens. Freq. rela.		área
										1|--------3		10		2		24%		3.33		0.08		0.238
										3|--------6		12		4.5		29%		4.00		0.10		0.286
										6|--------9		9		7.5		21%		3.00		0.07		0.214
										9|--------10		5		9.5		12%		1.67		0.04		0.119
										10|-------13		4		11.5		10%		1.33		0.03		0.095
										13|-------15		2		14		5%		0.67		0.02		0.048
										Soma:		42				100%						1
Plan1
		
candidato A
candidato B
candiato C
outros
brancos e nulos
idade alunos 2o período RI
proporção
Intenção de votos
Plan2
		
numero de votos
Candidatos
proporção em 40 alunos
Intenção de Votos
Plan3
		
numero de votos
Intenção de Votos
		
professores
número de filhos
quantidade de professores
Número de filhos
		
Salários Mínimos
Freqüência
Renda Funcionários Empresa X
		
		
						Z		freq.
						0		4
						1		5
						2		7
						3		3
						4		0
						5		1
		
frequência
número de filhos
frequência
Grafico 3 - número de filhos
		
*
*
Gráfico para variáveis 
quantitativas contínuas
Para representar graficamente variáveis quantitativas contínuas, precisamos aproximar uma variável contínua por uma variável discreta.
A aproximação consiste em supor todos os valores pertencentes a uma classe (ou categoria) iguais ao ponto médio dessa classe.
Exemplo: suponha que foi realizada uma pesquisa com 43 domicílios ao redor da UFU para se conhecer a distribuição da renda domiciliar per capita dos moradores do entorno da universidade. Os dados coletados estão na tabela 1.
Fonte: Dados fictícios.
gráficos barras e dispersão
								Número de passageiros por mês
								Classe		freqüência (dias)		freq. acum.				32
								[50--60)		5		5				64								Candidatos		numero de votos
								[60- 70)		15		20												candidato A		17		43%
								[70 80)		7		27												candidato B		12		30%
								80 e mais		3		30												candiato C		6		15%
																								outros		2		5%
																								brancos e nulos		3		8%
								0.1666666667																Total		40		100%
																												0%
																												0%
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total								17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2		10		4		1		17						candidato A		0.05		0.25		0.1		0.025		0.425
								candidato B		2		6		3		1		12						candidato B		0.05		0.15		0.075		0.025		0.3
								candiato C		1		2		3		0		6						candiato C		0.025		0.05		0.075		0		0.15
								outros		0		1		1		0		2						outros		0		0.025		0.025		0		0.05
								brancos e nulos		0		1		2		0		3						brancos e nulos		0		0.025		0.05		0		0.075
								Total		5		20		13		2		40						Total		0.125		0.5		0.325		0.05		1
		
										0.05		0.25		0.10		0.03		0.43
										0.05		0.15		0.08		0.03		0.30
										0.03		0.05		0.08		0.00		0.15
										0.00		0.03		0.03		0.00		0.05
										0.00		0.03		0.05		0.00		0.08
										0.13		0.50		0.33		0.05		1.00
		
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito (alunos RI, 2o período)
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2 (0,05)		10 (0,25)		4 (0,10)		1 (0,03)		17 (0,43)
								candidato B		2 (0,05)		6 (0,15)		3 (0,08)		1 (0,03)		12 (0,30)
								candiato C		1 (0,03)		2 (0,05)		3 (0,08)		0		6 (0,15)
								outros		0		1 (0,03)		1 (0,03)		0		2 (0,05)
								brancos e nulos		0		1 (0,50)		2 (0,05)		0		3 (0,08)
								Total		5 (0,13)		20 (0,50)		13 (0,33)		2 (0,05)		40 (1,00)
		
		
								número de filhos		professores
								0		6
								1		4
								2		7
								3		4
								4		3
								5		2
								6 ou mais
		
								32
		
		
										Tabela 2 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
		
										Salários Mínimos				ponto médio		porcentagem				área
										0|----------3		10		1.5		24%		0.08		0.238
										3|----------6		12		4.5		29%		0.10		0.286
										6|----------9		9		7.5		21%		0.07		0.214
										9|--------12		5		10.5		12%		0.04		0.119
										12|----------15		4		13.5		10%		0.03		0.095
										15|---------|18		2		16.5		5%		0.02		0.048
										Total		42				100%				1
		
																		Tabela 1 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
										ramo		folhas
										3		0						Salários Mínimos				ponto médio		porcentagem
										3		5, 6, 8						0|----------3		10		1.5		24%
										4		0, 1, 2, 3						3|----------6		12		4.5		29%
										4		5, 6, 7						6|----------9		9		7.5		21%
										5		5, 6, 8, 9						9|--------12		5		10.5		12%
										6		0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						12|----------15		4		13.5		10%
										6		5, 6						15|---------|18		2		16.5		5%
										7		0, 0, 2, 3						Total		42				100%
										7		9
		
														Tabela 2 - Classificação de 250 empresas segundo o número de empregados
		
														Número de empregados
		
														0|--------10		5		10		0.50		0.02		0.0400
														10|---------20		20		10		2.00		0.08		0.0400
														20|---------30		35		10		3.50		0.14		0.0400
														30|---------40		40		10		4.00		0.16		0.0400
														40|---------60		50		20		2.50		0.2		0.0800
														60|---------80		30		20		1.50		0.12		0.0800
														80|--------100		20		20		1.00		0.08		0.0800
														100|------140		20		40		0.50		0.08		0.1600
														140|------180		15		40		0.38		0.06		0.1600
														180|------200		15		80		0.19		0.06		0.3200
														Total		250		*		*		1		1
gráficos barras e dispersão
		
candidato A
candidato B
candiato C
outros
brancos e nulos
idade alunos 2o período RI
proporção
Intenção de votos
histograma
		
numero de votos
Candidatos
proporção em 40 alunos
Intenção de Votos
ramo e folhas
		
numero de votos
Intenção de Votos
		
Salários Mínimos
Freqüência
Renda Funcionários Empresa X
		
Frequência
Número de filhos
Frequência
Gráfico 3 - Frequência do número de filhos entre os professores de economia da UFU
		
Porcentagem
Renda per capita em salários mínimos
Porcentagem
Gráfico 4 -Renda per capita dos domicílios do entorno da universidade (n=42)
		
Densidade de freqências
Salários mínimos
Densidade de frequências
Histograma: renda per capita dos domicilios no entorno da Universidade
		
		
						Z		freq.		densidade de freqência
						0		4		0.2
						1		5		0.25
						2		7		0.35
						3		3		0.15
						4		0		0
						5		1		0.05
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
												Taxa de desemprego em %
												5.4		3.2		6.8
												4.2		4.6		6.2
												4.7		5.5		3.6
												5.5		6.9		4.8
												3.2		6.7
												4.6		3.7
												5.5		4.7
		
frequência
número de filhos
frequência
Grafico 3 - número de filhos
		
denisdade de freqência
Número de filhos
densidade de frequência
Histograma da variável Z: 
número de filhos por professor
		
		
		
		
		
																30
						níveis ou profundidade										35
								ramo		folhas						36
						1		3		:0						38
						4		3		:5, 6, 8						40
						8		4		:0, 1, 2, 3						41
						11		4		:5, 6, 7						42
						15		5		:5, 6, 8, 9						43
						(10)		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						45
						7		6		:5, 6						46
						5		7		:0, 0, 2, 3						47
						1		7		:9						55
																56
																58				níveis		ramo		folhas
																59				1		3		:0
																60				4		3		:5, 6, 8
																61				8		4		:0, 1, 2, 3
																62				11		4		:5, 6, 7
																62				15		5		:5, 6, 8, 9
																62				-10		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4
																63				7		6		:5, 6
																63				5		7		:0, 0, 2, 3
																63				1		7		:9
																64
																64
																65
																66
																70
																70
																72
																73
																79
*
*
Gráfico para variáveis 
quantitativas contínuas
Fonte: Dados fictícios.
*
*
Histograma
Este tipo de estratégia para representar graficamente variáveis contínuas faz com que se perca muito das informações sobre o comportamento da variável. 
Pelo gráfico de barras da variável “ renda per capita” dos domicílios, por exemplo, não dá para saber o valor da menor renda e nem da maior renda dentro da categoria 1,5.
 Uma alternativa consiste em fazer um histograma.
Um histograma coloca a amplitude de cada intervalo de frequências no eixo horizontal e a densidade de frequência no eixo vertical.
*
*
Histograma
Diferentemente do gráfico de barras, em que as mesmas são separadas umas das outras, nos histogramas as barras aparecem coladas umas nas outras, dando uma idéia de “continuidade”. 
As barras tem suas bases proporcionais aos intervalos das classes, que não precisam ser iguais.
A altura de cada retângulo é a densidade de frequência = quociente da frequência relativa (ou absoluta, porcentagem) pela amplitude do respectivo intervalo, para que a leitura do gráfico seja feita corretamente.
Altura = frequência/amplitude
A área de cada barra ou retângulo deve ser proporcional à respectiva frequência (absoluta ou relativa).
A área total do histograma deve somar 1 (ou 100%), de preferência. Para tal, use a frequência relativa de cada categoria/amplitude para a altura de cada barra.
 Se você usar a frequência absoluta/amplitude, a forma do gráfico será a mesma, mas a área irá diferir.
*
*
Construindo um Histograma
Considere novamente os dados da pesquisa sobre a renda per capita dos domicílios.
Para construir um histograma, o primeiro passo é você consturir as colunas com as amplitudes e as densidades de frequência de cada classe. (veja a Tabela 2).
No eixo das coordenadas (eixo X horizontal) você vai marcar a escala em que a variável é medida (salários mínimos) e nas ordenadas (eixo Y vertical) a escala das densidades de frequência.
A primeira barra tem o início da base no limite inferior de seu intervalo (0 SM), e termina no limite superior deste mesmo intervalo (3 SM). A base da barra seguinte tem início exatamente no limite superior da categoria anterior (3 SM), terminando no limite superior de seu intervalo (6 SM) e assim sucessivamente...
A altura de cada barra será a densidade de frequência da mesma: sua frequência relativa / amplitude do intervalo.
Tente fazer! Confira se a área total do gráfico soma 1.
*
*
Construindo um Histograma
A Tabela 2 contém as informações completas para a contrução do histograma:
Fonte: dados fictícios.
gráficos barras e dispersão
								Número de passageiros por mês
								Classe		freqüência (dias)		freq. acum.				32
								[50--60)		5		5				64								Candidatos		numero de votos
								[60- 70)		15		20												candidato A		17		43%
								[70 80)		7		27												candidato B		12		30%
								80 e mais		3		30												candiato C		6		15%
																								outros		2		5%
																								brancos e nulos		3		8%
								0.1666666667																Total		40		100%
																												0%
																												0%
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total								17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2		10		4		1		17						candidato A		0.05		0.25		0.1		0.025		0.425
								candidato B		2		6		3		1		12						candidato B		0.05		0.15		0.075		0.025		0.3
								candiato C		1		2		3		0		6						candiato C		0.025		0.05		0.075		0		0.15
								outros		0		1		1		0		2						outros		0		0.025		0.025		0		0.05
								brancos e nulos		0		1		2		0		3						brancos e nulos		0		0.025		0.05		0		0.075
								Total		5		20		13		2		40						Total		0.125		0.5		0.325		0.05		1
		
										0.05		0.25		0.10		0.03		0.43
										0.05		0.15		0.08		0.03		0.30
										0.03		0.05		0.08		0.00		0.15
										0.00		0.03		0.03		0.00		0.05
										0.00		0.03		0.05		0.00		0.08
										0.13		0.50		0.33		0.05		1.00
		
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito (alunos RI, 2o período)
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2 (0,05)		10 (0,25)		4 (0,10)		1 (0,03)		17 (0,43)
								candidato B		2 (0,05)		6 (0,15)		3 (0,08)		1 (0,03)		12 (0,30)
								candiato C		1 (0,03)		2 (0,05)		3 (0,08)		0		6 (0,15)
								outros		0		1 (0,03)		1 (0,03)		0		2 (0,05)
								brancos e nulos		0		1 (0,50)		2 (0,05)		0		3 (0,08)
								Total		5 (0,13)		20 (0,50)		13 (0,33)		2 (0,05)		40 (1,00)
		
		
								número de filhos		professores
								0		6
								1		4
								2		7
								3		4
								4		3
								5		2
								6 ou mais
		
								32
		
		
										Tabela 2 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
		
										Salários Mínimos		frequência		ponto médio		porcentagem		densidade ( porc./3 )		área (dens.*3)
										0|----------3		10		1.5		24%		0.08		0.238
										3|----------6		12		4.5		29%		0.10		0.286
										6|----------9		9		7.5		21%		0.07		0.214
										9|--------12		5		10.5		12%		0.04		0.119
										12|----------15		4		13.5		10%		0.03		0.095
										15|---------|18		2		16.5		5%		0.02		0.048
										Total		42				100%				1
		
																		Tabela 1 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
										ramo		folhas
										3		0						Salários Mínimos		frequência ( f )		ponto médio		porcentagem
										3		5, 6, 8						0|----------3		10		1.5		24%
										4		0, 1, 2, 3						3|----------6		12		4.5		29%
										4		5, 6, 7						6|----------9		9		7.5		21%
										5		5, 6, 8, 9						9|--------12		5		10.5		12%
										6		0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						12|----------15		4		13.5		10%
										6		5, 6						15|---------|18		2		16.5		5%
										7		0, 0, 2, 3						Total		42				100%
										7		9
		
														Tabela 2 - Classificação de 250 empresas segundo o número de empregados
		
														Número de empregados		Frequência (ni)		Amplitude (Ai)		Densidade (ni/Ai)		Proporção (fi)		Densidade (fi/Ai)
		
														0|--------10		5		10		0.50		0.02		0.0400
														10|---------20		20		10		2.00		0.08		0.0400
														20|---------30		35		10		3.50		0.14		0.0400
														30|---------40		40		10		4.00		0.16		0.0400
														40|---------60		50		20		2.50		0.2
0.0800
														60|---------80		30		20		1.50		0.12		0.0800
														80|--------100		20		20		1.00		0.08		0.0800
														100|------140		20		40		0.50		0.08		0.1600
														140|------180		15		40		0.38		0.06		0.1600
														180|------200		15		80		0.19		0.06		0.3200
														Total		250		*		*		1		1
gráficos barras e dispersão
		
candidato A
candidato B
candiato C
outros
brancos e nulos
idade alunos 2o período RI
proporção
Intenção de votos
histograma
		
numero de votos
Candidatos
proporção em 40 alunos
Intenção de Votos
ramo e folhas
		
numero de votos
Intenção de Votos
		
Salários Mínimos
Freqüência
Renda Funcionários Empresa X
		
Frequência
Número de filhos
Frequência
Gráfico 3 - Frequência do número de filhos entre os professores de economia da UFU
		
Porcentagem
Renda per capita em salários mínimos
Porcentagem
Gráfico 4 -Renda per capita dos domicílios do entorno da universidade (n=42)
		
Densidade de freqências
Salários mínimos
Densidade de frequências
Histograma: renda per capita dos domicilios no entorno da Universidade
		
		
						Z		freq.		densidade de freqência
						0		4		0.2
						1		5		0.25
						2		7		0.35
						3		3		0.15
						4		0		0
						5		1		0.05
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
												Taxa de desemprego em %
												5.4		3.2		6.8
												4.2		4.6		6.2
												4.7		5.5		3.6
												5.5		6.9		4.8
												3.2		6.7
												4.6		3.7
												5.5		4.7
		
frequência
número de filhos
frequência
Grafico 3 - número de filhos
		
denisdade de freqência
Número de filhos
densidade de frequência
Histograma da variável Z: 
número de filhos por professor
		
		
		
		
		
																30
						níveis ou profundidade										35
								ramo		folhas						36
						1		3		:0						38
						4		3		:5, 6, 8						40
						8		4		:0, 1, 2, 3						41
						11		4		:5, 6, 7						42
						15		5		:5, 6, 8, 9						43
						(10)		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						45
						7		6		:5, 6						46
						5		7		:0, 0, 2, 3						47
						1		7		:9						55
																56
																58				níveis		ramo		folhas
																59				1		3		:0
																60				4		3		:5, 6, 8
																61				8		4		:0, 1, 2, 3
																62				11		4		:5, 6, 7
																62				15		5		:5, 6, 8, 9
																62				-10		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4
																63				7		6		:5, 6
																63				5		7		:0, 0, 2, 3
																63				1		7		:9
																64
																64
																65
																66
																70
																70
																72
																73
																79
*
*
Construindo um Histograma
O seu histograma deve ficar parecido com este, mas com o eixo das coordenadas, ou eixo X, numa escala numérica normal de 0 a 18!
Fonte: dados fictícios.
*
*
Histograma com intervalos de classes desiguais
É muito comum em tabelas de frequências que descrevem um conjunto de dados aparecerem classes com tamanhos diferentes. Nestes casos é preciso um cuidado maior ao analisar e construir um histograma.
Considere como exemplo a tabela 3, que traz dados de 250 empresas classificadas segundo o número de funcionários.
Dados fictícios.
gráficos barras e dispersão
								Número de passageiros por mês
								Classe		freqüência (dias)		freq. acum.				32
								[50--60)		5		5				64								Candidatos		numero de votos
								[60- 70)		15		20												candidato A		17		43%
								[70 80)		7		27												candidato B		12		30%
								80 e mais		3		30												candiato C		6		15%
																								outros		2		5%
																								brancos e nulos		3		8%
								0.1666666667																Total		40		100%
																												0%
																												0%
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total								17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2		10		4		1		17						candidato A		0.05		0.25		0.1		0.025		0.425
								candidato B		2		6		3		1		12						candidato B		0.05		0.15		0.075		0.025		0.3
								candiato C		1		2		3		0		6						candiato C		0.025		0.05		0.075		0		0.15
								outros		0		1		1		0		2						outros		0		0.025		0.025		0		0.05
								brancos e nulos		0		1		2		0		3						brancos e nulos		0		0.025		0.05		0		0.075
								Total		5		20		13		2		40						Total		0.125		0.5		0.325		0.05		1
		
										0.05		0.25		0.10		0.03		0.43
										0.05		0.15		0.08		0.03		0.30
										0.03		0.05		0.08		0.00		0.15
										0.00		0.03		0.03		0.00		0.05
										0.00		0.03		0.05		0.00		0.08
										0.13		0.50		0.33		0.05		1.00
		
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito (alunos RI, 2o período)
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2 (0,05)		10 (0,25)		4 (0,10)		1 (0,03)		17 (0,43)
								candidato B		2 (0,05)		6 (0,15)		3 (0,08)		1 (0,03)		12 (0,30)
								candiato C		1 (0,03)		2 (0,05)		3 (0,08)		0		6 (0,15)
								outros		0		1 (0,03)		1 (0,03)		0		2 (0,05)
								brancos e nulos		0		1 (0,50)		2 (0,05)		0		3 (0,08)
								Total		5 (0,13)		20 (0,50)		13 (0,33)		2 (0,05)		40 (1,00)
		
		
								número de filhos		professores
								0		6
								1		4
								2		7
								3		4
								4		3
								5		2
								6 ou mais
		
								32
		
		
										Tabela 2 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
		
										Salários Mínimos		frequência ( f )		ponto médio		porcentagem		densidade ( f /3 )		área
										0|----------3		10		1.5		24%		0.08		0.238
										3|----------6		12		4.5		29%		0.10		0.286
										6|----------9		9		7.5		21%		0.07		0.214
										9|--------12		5		10.5		12%		0.04		0.119
										12|----------15		4		13.5		10%		0.03		0.095
										15|---------|18		2		16.5		5%		0.02		0.048
										Total		42				100%				1
		
																		Tabela 1 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
										ramo		folhas
										3		0						Salários Mínimos		frequência ( f )		ponto médio		porcentagem
										3		5, 6, 8						0|----------3		10		1.5		24%
										4		0, 1, 2, 3						3|----------6		12		4.5		29%
										4		5, 6, 7						6|----------9		9		7.5		21%
										5		5, 6, 8, 9						9|--------12		5		10.5		12%
										6		0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						12|----------15		4		13.5		10%
										6		5, 6						15|---------|18		2		16.5		5%
										7		0, 0, 2, 3						Total		42				100%
										7		9
		
														Tabela 3 - Classificação de 250 empresas segundo o número de empregados														Tabela 3 - Classificação das empresas (número de funcionários).
		
														Número de empregados		Frequência (ni)		Amplitude (Ai)		Densidade (ni/Ai)		Proporção (fi)		Densidade (fi/Ai)				Número de funcionários		Frequência (ni)
		
														0|--------10		5		10		0.50		0.02		0.0400				0|--------10		5
														10|---------20		20		10		2.00		0.08		0.0400				10|---------20		20
														20|---------30		35		10		3.50		0.14		0.0400				20|---------30		35
														30|---------40		40		10		4.00		0.16		0.0400				30|---------40		40
														40|---------60		50		20		2.50		0.2		0.0800				40|---------60		50
60|---------80		30		20		1.50		0.12		0.0800				60|---------80		30
														80|--------100		20		20		1.00		0.08		0.0800				80|--------100		20
														100|------140		20		40		0.50		0.08		0.1600				100|------140		20
														140|------180		15		40		0.38		0.06		0.1600				140|------180		15
														180|------200		15		80		0.19		0.06		0.3200				180|------200		15
														Total		250		*		*		1		1				Total		250
gráficos barras e dispersão
		
candidato A
candidato B
candiato C
outros
brancos e nulos
idade alunos 2o período RI
proporção
Intenção de votos
histograma
		
numero de votos
Candidatos
proporção em 40 alunos
Intenção de Votos
ramo e folhas
		
numero de votos
Intenção de Votos
		
Salários Mínimos
Freqüência
Renda Funcionários Empresa X
		
Frequência
Número de filhos
Frequência
Gráfico 3 - Frequência do número de filhos entre os professores de economia da UFU
		
Porcentagem
Renda per capita em salários mínimos
Porcentagem
Gráfico 4 -Renda per capita dos domicílios do entorno da universidade (n=42)
		
Densidade de freqências
Salários mínimos
Densidade de frequências
Histograma: renda per capita dos domicilios no entorno da Universidade
		
		
						Z		freq.		densidade de freqência
						0		4		0.2
						1		5		0.25
						2		7		0.35
						3		3		0.15
						4		0		0
						5		1		0.05
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
												Taxa de desemprego em %
												5.4		3.2		6.8
												4.2		4.6		6.2
												4.7		5.5		3.6
												5.5		6.9		4.8
												3.2		6.7
												4.6		3.7
												5.5		4.7
		
frequência
número de filhos
frequência
Grafico 3 - número de filhos
		
denisdade de freqência
Número de filhos
densidade de frequência
Histograma da variável Z: 
número de filhos por professor
		
		
		
		
		
																30
						níveis ou profundidade										35
								ramo		folhas						36
						1		3		:0						38
						4		3		:5, 6, 8						40
						8		4		:0, 1, 2, 3						41
						11		4		:5, 6, 7						42
						15		5		:5, 6, 8, 9						43
						(10)		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						45
						7		6		:5, 6						46
						5		7		:0, 0, 2, 3						47
						1		7		:9						55
																56
																58				níveis		ramo		folhas
																59				1		3		:0
																60				4		3		:5, 6, 8
																61				8		4		:0, 1, 2, 3
																62				11		4		:5, 6, 7
																62				15		5		:5, 6, 8, 9
																62				-10		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4
																63				7		6		:5, 6
																63				5		7		:0, 0, 2, 3
																63				1		7		:9
																64
																64
																65
																66
																70
																70
																72
																73
																79
*
*
Histograma com intervalos de classes desiguais
Olhando superficialmente, pode-se achar que a concentração de empresas em cada categoria vai aumentando até atingir um máximo na classe 40|--- 60, voltando a diminuir depois. 
Um olhar mais cuidadoso vai revelar que a amplitude da classe 40|--- 60 é o dobro da amplitude das classes anteriores. Assim, é de se esperar que mais elementos caiam nesta classe, mesmo que a concentração seja levemente inferior.
Então a primeira coisa a fazer é construir uma coluna que indique a amplitude (Ai) de cada classe.
O segundo passo é consturir a coluna com a densidade de frequência de cada classe (fi/Ai ou ni/Ai). Veja a tabela 4.
Dados fictícios.
*
*
Histograma com intervalos de classes desiguais
Dados fictícios.
gráficos barras e dispersão
								Número de passageiros por mês
								Classe		freqüência (dias)		freq. acum.				32
								[50--60)		5		5				64										Candidatos		numero de votos
								[60- 70)		15		20														candidato A		17		43%
								[70 80)		7		27														candidato B		12		30%
								80 e mais		3		30														candiato C		6		15%
																										outros		2		5%
																										brancos e nulos		3		8%
								0.1666666667																		Total		40		100%
																														0%
																														0%
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2		10		4		1		17								candidato A		0.05		0.25		0.1		0.025		0.425
								candidato B		2		6		3		1		12								candidato B		0.05		0.15		0.075		0.025		0.3
								candiato C		1		2		3		0		6								candiato C		0.025		0.05		0.075		0		0.15
								outros		0		1		1		0		2								outros		0		0.025		0.025		0		0.05
								brancos e nulos		0		1		2		0		3								brancos e nulos		0		0.025		0.05		0		0.075
								Total		5		20		13		2		40								Total		0.125		0.5		0.325		0.05		1
		
										0.05		0.25		0.10		0.03		0.43
										0.05		0.15		0.08		0.03		0.30
										0.03		0.05		0.08		0.00		0.15
										0.00		0.03		0.03		0.00		0.05
										0.00		0.03		0.05		0.00		0.08
										0.13		0.50		0.33		0.05		1.00
		
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito (alunos RI, 2o período)
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2 (0,05)		10 (0,25)		4 (0,10)		1 (0,03)		17 (0,43)
								candidato B		2 (0,05)		6 (0,15)		3 (0,08)		1 (0,03)		12 (0,30)
								candiato C		1 (0,03)		2 (0,05)		3 (0,08)		0		6 (0,15)
								outros		0		1 (0,03)		1 (0,03)		0		2 (0,05)
								brancos e nulos		0		1 (0,50)		2 (0,05)		0		3 (0,08)
								Total		5 (0,13)		20 (0,50)		13 (0,33)		2 (0,05)		40 (1,00)
		
		
								número de filhos		professores
								0		6
								1		4
								2		7
								3		4
								4		3
								5		2
								6 ou mais
		
								32
		
		
										Tabela 2 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
		
										Salários Mínimos		frequência ( f )		ponto médio		porcentagem		densidade ( f /3 )		área
										0|----------3		10		1.5		24%		0.08		0.238
										3|----------6		12		4.5		29%		0.10		0.286
										6|----------9		9		7.5		21%		0.07		0.214
										9|--------12		5		10.5		12%		0.04		0.119
										12|----------15		4		13.5		10%		0.03		0.095
										15|---------|18		2		16.5		5%		0.02		0.048
										Total		42				100%				1
		
																		Tabela 1 - Renda per capita (em salários mínimos) de uma amostra de 42 domicílios do entorno da Universidade
										ramo		folhas
										3		0						Salários Mínimos		frequência ( f )		ponto médio				porcentagem
										3		5, 6, 8						0|----------3		10		1.5				24%
										4		0, 1, 2, 3						3|----------6		12		4.5				29%
										4		5, 6, 7						6|----------9		9		7.5				21%
										5		5, 6, 8, 9						9|--------12		5		10.5				12%
										6		0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						12|----------15		4		13.5				10%
										6		5, 6						15|---------|18		2		16.5				5%
										7		0, 0, 2, 3						Total		42						100%
										7		9
		
														Tabela 4 - Classificação de 250 empresas segundo o número de funcionários.																Tabela 3 - Classificação de 250 empresas segundo o número de empregados.
		
														Número de funcionários		Frequência (ni)		Amplitude (Ai)		Densidade (ni/Ai)		Proporção (fi)		Densidade (fi/Ai)		Área=D(fi/Ai)*A				Número de empregados		Frequência (ni)
		
														0|--------10
5		10		0.50		0.02		0.0020		0.0200				0|--------10		5
														10|---------20		20		10		2.00		0.08		0.0080		0.0800				10|---------20		20
														20|---------30		35		10		3.50		0.14		0.0140		0.1400				20|---------30		35
														30|---------40		40		10		4.00		0.16		0.0160		0.1600				30|---------40		40
														40|---------60		50		20		2.50		0.2		0.0100		0.2000				40|---------60		50
														60|---------80		30		20		1.50		0.12		0.0060		0.1200				60|---------80		30
														80|--------100		20		20		1.00		0.08		0.0040		0.0800				80|--------100		20
														100|------140		20		40		0.50		0.08		0.0020		0.0800				100|------140		20
														140|------180		15		40		0.38		0.06		0.0015		0.0600				140|------180		15
														180|------200		15		20		0.75		0.06		0.0030		0.0600				180|------200		15
														Total		250		*				1				1				Total		250
gráficos barras e dispersão
		
candidato A
candidato B
candiato C
outros
brancos e nulos
idade alunos 2o período RI
proporção
Intenção de votos
histograma
		
numero de votos
Candidatos
proporção em 40 alunos
Intenção de Votos
ramo e folhas
		
numero de votos
Intenção de Votos
		
Salários Mínimos
Freqüência
Renda Funcionários Empresa X
		
Frequência
Número de filhos
Frequência
Gráfico 3 - Frequência do número de filhos entre os professores de economia da UFU
		
Porcentagem
Renda per capita em salários mínimos
Porcentagem
Gráfico 4 -Renda per capita dos domicílios do entorno da universidade (n=42)
		
Densidade de freqências
Salários mínimos
Densidade de frequências
Histograma: renda per capita dos domicilios no entorno da Universidade
		
		
						Z		freq.		densidade de freqência
						0		4		0.2
						1		5		0.25
						2		7		0.35
						3		3		0.15
						4		0		0
						5		1		0.05
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
												Taxa de desemprego em %
												5.4		3.2		6.8
												4.2		4.6		6.2
												4.7		5.5		3.6
												5.5		6.9		4.8
												3.2		6.7
												4.6		3.7
												5.5		4.7
		
frequência
número de filhos
frequência
Grafico 3 - número de filhos
		
denisdade de freqência
Número de filhos
densidade de frequência
Histograma da variável Z: 
número de filhos por professor
		
		
		
		
		
																30
						níveis ou profundidade										35
								ramo		folhas						36
						1		3		:0						38
						4		3		:5, 6, 8						40
						8		4		:0, 1, 2, 3						41
						11		4		:5, 6, 7						42
						15		5		:5, 6, 8, 9						43
						(10)		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						45
						7		6		:5, 6						46
						5		7		:0, 0, 2, 3						47
						1		7		:9						55
																56
																58				níveis		ramo		folhas
																59				1		3		:0
																60				4		3		:5, 6, 8
																61				8		4		:0, 1, 2, 3
																62				11		4		:5, 6, 7
																62				15		5		:5, 6, 8, 9
																62				-10		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4
																63				7		6		:5, 6
																63				5		7		:0, 0, 2, 3
																63				1		7		:9
																64
																64
																65
																66
																70
																70
																72
																73
																79
*
*
Histograma com intervalos de classes desiguais
Dados fictícios.
*
*
Histograma para variáveis discretas
Assim como usamos uma estratégia para representar uma variável contínua num gráfico de barras, podemos construir um histograma para variáveis discretas:
			Fonte: dados fictícios.
O correto seria o eixo Y cruzar o eixo X no ponto -0,5: a Categoria 0 filhos se inicia no -0,5 e vai até o 0,5; a categoria 1 filho começa no 0,5 e termina no 1,5, e assim por diante, sempre respeitando a amplitude = 1.
Você pode colocar acima de cada setor (retângulo) a respectiva porcentagem das observações! 
*
*
Gráfico high-low-close
Muito usado para dados financeiros, este tipo de gráfico mostra o maior valor atingido, o menor valor atingido e o valor de fechamento de um instrumento financeiro.
Fonte: Webster (2006), pg. 25.
	
*
*
Diagrama de ramo e folhas
Proposto pelo estatístico John Turkey como alternativa ao histograma: permite visualizar mais rápido o número de observações em cada ramo e, além disso, preserva todas as informações dos dados brutos.
Cada observação é dividida em 2 partes, um ramo e uma folha, separados por uma linha vertical.
O primeiro passo é identificar um ponto conveniente onde todas as observações podem ser separadas formando um ramo e uma folha!
A forma sempre pode ser ajustada para enquadrar qualquer conjunto de dados.
Ex: considere o conjunto de números 34,5; 34,6; 45,7; 45,8; 56,2.
	
*
*
Diagrama de ramo e folhas
Se um ramo possui muitas observações, ele pode ser dividido em dois ramos gerlamente separados por dois pontos; 
Exemplo: suponha a distirbuição das notas em estatística da turma do 5o perído do curso X (total de 32 alunos).
Podemos representar o esquema na forma de 3 colunas: a 1a mostra os “níveis” ou “profundidade”, 2a é o ramo e a 3a são as folhas.
Para os ramos acima do ramo que contém a mediana, a profundidade ou nível representa o número de observações totais até aquele ponto;
Para os ramos abaixo do ramo que contem a mediana, a profundidade ou nível representa o número de observações do próprio ramo e dos que estão abaixo dele.
O ramo em que a profundidade ou nível estão representados entre parêncteses, (10), mostra o número de observações do próprio ramo, o qual contém a mediana. 
*
*
Exemplo diagrama de ramo e folhas
O valor “leaf unit”= unidade da folha nos informa onde colocar o ponto decimal: “leaf unit”= 1.0 significa que a primeira observação é 30; “leaf unit” = 0.1”a primeira observação seria 3; “leaf unit”=10 a primeira observação seria 300.
gráficos barras
								Número de passageiros por mês
								Classe		freqüência (dias)		freq. acum.				32
								[50--60)		5		5				64								Candidatos		numero de votos
								[60- 70)		15		20												candidato A		17		43%
								[70 80)		7		27												candidato B		12		30%
								80 e mais		3		30												candiato C		6		15%
																								outros		2		5%
																								brancos e nulos		3		8%
								0.1666666667																Total		40		100%
																												0%
																												0%
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total								17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2		10		4		1		17						candidato A		0.05		0.25		0.1		0.025		0.425
								candidato B		2		6		3		1		12						candidato B		0.05		0.15		0.075		0.025		0.3
								candiato C		1		2		3		0		6						candiato C		0.025		0.05		0.075		0		0.15
								outros		0		1		1		0		2						outros		0		0.025		0.025		0		0.05
								brancos e nulos		0		1		2		0		3						brancos e nulos		0		0.025		0.05		0		0.075
								Total		5		20		13		2		40						Total		0.125		0.5		0.325		0.05		1
		
										0.05		0.25		0.10		0.03		0.43
										0.05		0.15		0.08		0.03		0.30
										0.03		0.05		0.08		0.00		0.15
										0.00		0.03		0.03		0.00		0.05
										0.00		0.03		0.05		0.00		0.08
										0.13		0.50		0.33		0.05		1.00
		
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito (alunos RI, 2o período)
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2 (0,05)		10 (0,25)
4 (0,10)		1 (0,03)		17 (0,43)
								candidato B		2 (0,05)		6 (0,15)		3 (0,08)		1 (0,03)		12 (0,30)
								candiato C		1 (0,03)		2 (0,05)		3 (0,08)		0		6 (0,15)
								outros		0		1 (0,03)		1 (0,03)		0		2 (0,05)
								brancos e nulos		0		1 (0,50)		2 (0,05)		0		3 (0,08)
								Total		5 (0,13)		20 (0,50)		13 (0,33)		2 (0,05)		40 (1,00)
		
		
								número de filhos		professores
								0		6
								1		4
								2		7
								3		4
								4		3
								5		2
								6 ou mais
		
								32
		
		
		
										Renda per capita dos domicílios
										menos que 1 SM		freq.		ponto médio		prop.		dens.freq.abs.		dens. Freq. rela.		área
										1|--------3		10		2		24%		3.33		0.08		0.238
										3|--------6		12		4.5		29%		4.00		0.10		0.286
										6|--------9		9		7.5		21%		3.00		0.07		0.214
										9|--------10		5		9.5		12%		1.67		0.04		0.119
										10|-------13		4		11.5		10%		1.33		0.03		0.095
										13|-------15		2		14		5%		0.67		0.02		0.048
										Soma:		42				100%						1
		
		
										ramo		folhas
										3		0
										3		5, 6, 8
										4		0, 1, 2, 3
										4		5, 6, 7
										5		5, 6, 8, 9
										6		0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4
										6		5, 6
										7		0, 0, 2, 3
										7		9
gráficos barras
		
candidato A
candidato B
candiato C
outros
brancos e nulos
idade alunos 2o período RI
proporção
Intenção de votos
histograma
		
numero de votos
Candidatos
proporção em 40 alunos
Intenção de Votos
ramo e folhas
		
numero de votos
Intenção de Votos
		
professores
número de filhos
quantidade de professores
Número de filhos
		
Salários Mínimos
Freqüência
Renda Funcionários Empresa X
		
		
						Z		freq.		densidade de freqência
						0		4		0.2
						1		5		0.25
						2		7		0.35
						3		3		0.15
						4		0		0
						5		1		0.05
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
												Taxa de desemprego em %
												5.4		3.2		6.8
												4.2		4.6		6.2
												4.7		5.5		3.6
												5.5		6.9		4.8
												3.2		6.7
												4.6		3.7
												5.5		4.7
		
frequência
número de filhos
frequência
Grafico 3 - número de filhos
		
denisdade de freqência
No. de filhos
densidade de freqências
Histograma da variável Z número de filhos
		
		
		
		
		
																30
						níveis ou profundidade										35
								ramo		folhas						36
						1		3		:0						38
						4		3		:5, 6, 8						40
						8		4		:0, 1, 2, 3						41
						11		4		:5, 6, 7						42
						15		5		:5, 6, 8, 9						43
						(10)		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						45
						7		6		:5, 6						46
						5		7		:0, 0, 2, 3						47
						1		7		:9						55
																56
																58				níveis		ramo		folhas
																59				1		3		:0
																60				4		3		:5, 6, 8
																61				8		4		:0, 1, 2, 3
																62				11		4		:5, 6, 7
																62				15		5		:5, 6, 8, 9
																62				(10)		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4
																63				7		6		:5, 6
																63				5		7		:0, 0, 2, 3
																63				1		7		:9
																64
																64
																65
																66
																70
																70
																72
																73
																79
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Exercício
Construa um diagrama de ramo e folhas para as seguintes taxas de desemprego em 21 países industrializados:
Exercícios propostos para casa: Webster, Cap. 2: 9 ao 20.
Plan1
								Número de passageiros por mês
								Classe		freqüência (dias)		freq. acum.				32
								[50--60)		5		5				64								Candidatos		numero de votos
								[60- 70)		15		20												candidato A		17		43%
								[70 80)		7		27												candidato B		12		30%
								80 e mais		3		30												candiato C		6		15%
																								outros		2		5%
																								brancos e nulos		3		8%
								0.1666666667																Total		40		100%
																												0%
																												0%
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total								17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2		10		4		1		17						candidato A		0.05		0.25		0.1		0.025		0.425
								candidato B		2		6		3		1		12						candidato B		0.05		0.15		0.075		0.025		0.3
								candiato C		1		2		3		0		6						candiato C		0.025		0.05		0.075		0		0.15
								outros		0		1		1		0		2						outros		0		0.025		0.025		0		0.05
								brancos e nulos		0		1		2		0		3						brancos e nulos		0		0.025		0.05		0		0.075
								Total		5		20		13		2		40						Total		0.125		0.5		0.325		0.05		1
		
										0.05		0.25		0.10		0.03		0.43
										0.05		0.15		0.08		0.03		0.30
										0.03		0.05		0.08		0.00		0.15
										0.00		0.03		0.03		0.00		0.05
										0.00		0.03		0.05		0.00		0.08
										0.13		0.50		0.33		0.05		1.00
		
								Pesquisa de intenção de voto dos candidatos a prefeito (alunos RI, 2o período)
										17 ou menos		18		19		20 ou mais		Total
								candidato A		2 (0,05)		10 (0,25)		4 (0,10)		1 (0,03)		17 (0,43)
								candidato B		2 (0,05)		6 (0,15)		3 (0,08)		1 (0,03)		12 (0,30)
								candiato C		1 (0,03)		2 (0,05)		3 (0,08)		0		6 (0,15)
								outros		0		1 (0,03)		1 (0,03)		0		2 (0,05)
								brancos e nulos		0		1 (0,50)		2 (0,05)		0		3 (0,08)
								Total		5 (0,13)		20 (0,50)		13 (0,33)		2 (0,05)		40 (1,00)
		
		
								número de filhos		professores
								0		6
								1		4
								2		7
								3		4
								4		3
								5		2
								6 ou mais
		
								32
		
		
		
										Renda per capita dos domicílios
										menos que 1 SM		freq.		ponto médio		prop.		dens.freq.abs.		dens. Freq. rela.		área
										1|--------3		10		2		24%		3.33		0.08		0.238
										3|--------6		12		4.5		29%		4.00		0.10		0.286
										6|--------9		9		7.5		21%		3.00		0.07		0.214
										9|--------10		5		9.5		12%		1.67		0.04		0.119
										10|-------13		4		11.5		10%		1.33		0.03		0.095
										13|-------15		2		14		5%		0.67		0.02		0.048
										Soma:		42				100%						1
		
		
										ramo		folhas
										3		0
										3		5, 6, 8
										4		0, 1, 2, 3
										4		5, 6, 7
										5		5, 6, 8, 9
										6		0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4
										6		5, 6
										7		0, 0, 2, 3
										7		9
Plan1
		
candidato A
candidato B
candiato C
outros
brancos e nulos
idade alunos 2o período RI
proporção
Intenção de votos
Plan2
		
numero de votos
Candidatos
proporção em 40 alunos
Intenção de Votos
Plan3
		
numero de votos
Intenção de Votos
		
professores
número de filhos
quantidade de professores
Número de filhos
		
Salários Mínimos
Freqüência
Renda Funcionários Empresa X
		
		
						Z		freq.		densidade de freqência
						0		4		0.2
						1		5		0.25
						2		7		0.35
						3		3		0.15
						4		0		0
						5		1		0.05
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
												Taxa de desemprego em %
												5.4		3.2		6.8
												4.2		4.6		6.2
												4.7		5.5		3.6
												5.5		6.9		4.8
												3.2		6.7		6.1
												4.6		3.7		7.8
												5.5		4.7		7.5
		
frequência
número
de filhos
frequência
Grafico 3 - número de filhos
		
denisdade de freqência
No. de filhos
densidade de freqências
Histograma da variável Z número de filhos
		
		
		
		
		
																30
						níveis ou profundidade										35
								ramo		folhas						36
						1		3		:0						38
						4		3		:5, 6, 8						40
						8		4		:0, 1, 2, 3						41
						11		4		:5, 6, 7						42
						15		5		:5, 6, 8, 9						43
						(10)		6		:0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4						45
						7		6		:5, 6						46
						5		7		:0, 0, 2, 3						47
						1		7		:9						55
																56
																58
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																61
																62
																62
																62
																63
																63
																63
																64
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																66
																70
																70
																72
																73
																79
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