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Respostas AD01 - 1/2014 - CÁLCULO I QUESTÃO 01. [3, 0 pontos] Calcule os seguintes limites de funções: (a) lim x→1 x3 + 4x2 − 5x x2 + x− 2 (b) limx→5 x− 5√ x−√5 (c) limx→1 (4x− 1) sen(x− 1) x3 + x2 − 2x Solução: (a) lim x→1 x3 + 4x2 − 5x x2 + x− 2 = limx→1 x(x− 1)(x+ 5) (x− 1)(x+ 2) = limx→1 x(x+ 5) x+ 2 = 6 3 = 2 (b) lim x→5 x− 5√ x−√5 = limx→5 ( x− 5√ x−√5 )(√x+√5√ x+ √ 5 ) = lim x→5 (x− 5)(√x+√5) ( √ x−√5)(√x+√5) = = lim x→5 (x− 5)(√x+√5) x− 5 = limx→5 √ x+ √ 5 = 2 √ 5 (c) lim x→1 (4x− 1) sen(x− 1) x3 + x2 − 2x = limx→1 (4x− 1) sen(x− 1) x(x+ 2)(x− 1) = limx→1 [ (4x− 1) x(x+ 2) sen(x− 1) (x− 1) ] = = lim x→1 (4x− 1) x(x+ 2) lim x→1 sen(x− 1) (x− 1) = 1 QUESTÃO 02. [2, 5 pontos] Considere a função f(x) = 2x√ x2 − 16 . (a) Determine o domínio de f ; (b) Encontre as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais, caso existam, do gráfico de f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito; (c) Trace um esboço do gráfico de f . Solução: (a) D(f) = {x ∈ R; x2 − 16 > 0} = {x ∈ R; (x+ 4)(x− 4) > 0} = = {x ∈ R; x < −4 ou x > 4} = (−∞,−4) ∪ (4,+∞) (b) Temos que: (i) lim x→−4− 2x√ x2 − 16 = −∞, pois 2x→ −8 e √ x2 − 16→ 0+ quando x→ −4−; (ii) lim x→4+ 2x√ x2 − 16 = +∞, pois 2x→ 8 e √ x2 − 16→ 0+ quando x→ 4+; (iii) lim x→+∞ 2x√ x2 − 16 = limx→+∞ 2x√ x2 ( 1− 16 x2 ) = limx→+∞ 2x x √( 1− 16 x2 ) = 2, onde utilizamos √ x2 = |x| = x, pois x > 0; 1 (iv) lim x→−∞ 2x√ x2 − 16 = limx→−∞ 2x√ x2 ( 1− 16 x2 ) = limx→+∞ 2x (−x) √( 1− 16 x2 ) = −2, onde utilizamos √ x2 = |x| = −x, pois x < 0. De (i) e (ii), concluimos que as reta x = −4 e x = 4 são as assíntotas verticais do gráfico de f e, de (iii) e (iv), concluimos que as retas y = 2 e y = −2 são as assíntotas horizontais do gráfico de f . (c) Um esboço do gráfico de f é: QUESTÃO 03. [1, 5 pontos] Utilize o Teorema do Valor Intermediário para provar que a função f(x) = x3 − 4x + 2 admite 3 raízes reais e distintas. Solução: (i) Temos que f(−3) = −13 e f(−2) = 2. Como f(−3) = −13 < 0 < 2 = f(−2), temos, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe c1 ∈ (−3,−2) tal que f(c1) = 0. Logo, f possui uma raiz c1 em (−3,−2). (ii) Temos que f(0) = 2 e f(1) = −1. Como f(0) = 2 > 0 > −1 = f(1), temos, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe c2 ∈ (0, 1) tal que f(c2) = 0. Logo, f possui uma raiz c2 em (0, 1). (iii) Temos que f(1) = −1 e f(2) = 2. Como f(1) = −1 < 0 < 2 = f(2), temos, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe c3 ∈ (1, 2) tal que f(c3) = 0. Logo, f possui uma raiz c3 em (1, 2). Como os intervalos (−3,−2), (0, 1) e (1, 2) são disjuntos dois a dois, segue que as raízes 2 c1, c2 e c3 são distintas duas a duas. Portanto, a função f(x) = x 3 − 4x+ 2 admite 3 raízes reais e distintas. QUESTÃO 04. [3, 0 pontos] Calcule a derivada das seguintes funções: (a) f(x) = 3 x4 − 4 lnx+ 1 (b) f(x) = (x4 − 2x+ 1)(x2 − 6 cosx) (c) f(x) = x2 senx 1 + ex Solução: (a) f ′(x) = −12 x5 − 4 x (b) f ′(x) = (4x3 − 2)(x2 − 6 cosx) + (x4 − 2x+ 1)(2x+ 6 senx) = = 6x5 − 6x2 + 2x+ (x4 − 2x+ 1)(6 senx)− (2x3 − 1)(12 cosx) (c) f ′(x) = (2x senx+ x2 cosx)(1 + ex)− (x2 senx)(ex) (1 + ex)2 = = (2 + 2 ex − x ex)(x senx) + (x+ x ex)(x cosx) (1 + ex)2 Mário Olivero e Cristiane de Mello Coordenadores de Cálculo I 3
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