APOSTILA-9-ANO-2_2020 cp2

Prévia do material em texto

NOME:_________________________________ Nº:____ 
PROF.:__________________________ TURMA: _______ 
Cada Vez Menor 1 
M. C. Escher,1940 
 
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l I
I 
COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS HUMAITÁ II 
DEPARTAMENTO DE DESENHO 
2020 
 
2 
 
 
 
 
Organização e método de estudo ....................................................... 
Divisão de segmentos ................................................................................... 
Razão e proporção .......................................................................................... 
Segmentos proporcionais ............................................................................. 
 - Quarta proporcional ................................................................................. 
 - Terceira proporcional............................................................................... 
 - Média geométrica ou média proporcional ............................................... 
 - Proporção áurea ..................................................................................... 
 - Retângulo áureo ..................................................................................... 
Retificação da circunferência ...................................................................... 
Desretificação da circunferência ......................................................... 
Equivalência de triângulos ..................................................................... 
Equivalência de figuras quaisquer................................................................. 
Transformações pontuais............................................................................. 
Homotetia .................................................................................................... 
Sólidos Geométricos – Planificação............................................................... 
Perspectiva Cônica..................................................................................... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
03 
07 
08 
13 
13 
16 
17 
20 
22 
23 
24 
25 
26 
28 
33 
XX 
XX 
ESTA APOSTILA ESTÁ EM PROCESSO DE DIGITALIZAÇÃO E ATUALIZAÇÃO – ÍNDICE 
EM CONSTRUÇÃO. 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ORGANIZAÇÃO E MÉTODO DE ESTUDO 
Para iniciar um estudo, seja ele qual for, você precisa estar atento a algumas dicas de como otimizar seu 
tempo e melhorar na concentração. 
 DICAS IMPORTANTES 
• Mantenha um plano de estudos, organizando seus horários, ainda que pouco, mas com consistência e 
perseverança; 
• Antes de começar a estudar, verifique se o que você precisará está à mão (anotações, livros e 
instrumentos necessários); 
• Procure fazer pausas a cada 50min de estudos; 
• Crie o hábito de fazer resumos e esquemas. Isso irá ajudá-lo a fixar o aprendizado. 
• Ao terminar de ler, imagine-se tendo que explicar o assunto para alguém. Como você faria??? 
• Estudo é disciplina e perseverança. Assim como uma atividade física, ele pode começar com um pequeno 
tempo e, gradativamente, ir aumentando até impor um ritmo adequado à sua realidade. 
• Há várias dicas em sites e livros tratando desse tema. Busque mais informações. 
• E lembre-se: 
“O êxito na vida não se mede pelo que 
você conquistou, mas pelas dificuldades 
que superou no caminho”. 
(Abraham Lincoln) 
 
 
 SOLUCIONANDO PROBLEMAS 
Em Desenho, quando estudamos os lugares geométricos, vimos o quanto é importante saber interpretar 
o problema para encontrar a solução. Para o estudo dos conteúdos desta série, você precisará ter em 
mente as etapas envolvidas: 
 
1º Momento: Leitura do enunciado (interpretação) 
 
O que se deseja obter? 
Quais são os dados? 
 
3º Momento: Descoberta (“ginástica mental”) 
 
Caminho para se chegar à resposta. 
A partir dos dados e de determinadas 
propriedades. 
2º Momento: Rascunho/Figura de análise 
 
Esboce/Rascunhe 
Reúna as informações. 
5º Momento: Construção 
Por fim, o traçado com os instrumentos. 
Medidas corretas. 
4º Momento: Roteiro 
 
A análise, a organização das informações. 
Utilização da linguagem simbólica (notação 
específica). 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS NOTÁVEIS COM RÉGUA E COMPASSO 
 Ângulo de 450 
V A 
B 
C 
⬧ Construa um ângulo de 900 e trace sua 
bissetriz VC. 
med(AVC) = 450. 
 
 Ângulo de 900 
V A B 
C 
⬧ Com centro em V e abertura qualquer do 
compasso, trace um arco determinando A e B. 
Determine C, interseção dos arcos de centro em 
A e B, com raio maior que dist(B; V). 
 med(AVC) = med(BVC) = 900. 
 Ângulo de 600 
V A 
B 
⬧ Obtenha A traçando o arco de centro em V, 
com abertura qualquer do compasso. Com centro 
em A e raio VA, determine B. Trace VB. 
med(AVB) = 600. 
 
 Ângulo de 300 
V A 
B 
C 
⬧ Construa um ângulo de 600 e trace sua 
bissetriz VC. 
med(AVC) = 300. 
 
 CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS 
Fixo Fixo 
Móvel 
1) Traçado de paralelas com o par de esquadros 
 
+ P + P + P 
2) Traçado de perpendiculares com o par de esquadros 
Fixo 
Fixo 
 
5 
 
 ALFABETO GREGO MINÚSCULO 
 - alfa  - eta  - ni  - tau 
 - beta  - teta  - csi  - ípsilon 
 - gama  - iota  -ômicron  - fi 
 - delta  - capa  - pi  - qui 
 - épsilon  - lambda  - rô  - psi 
 - dzeta  - mi  - sigma  - ômega 
 
5) Transporte de ângulo 
V A 
B 
V’ A’ 
B’ 
r V’ A’ r 
1º) Abertura 
qualquer 
2º) Mesma 
abertura 
Ângulo dado Ângulo Transportado 
3º) dist.(A;B) 
4) Construção da bissetriz de um ângulo. 
C 
A 
B 
V 
C 
A 
B 
V 
A 
B 
V 
1º) Abertura 
qualquer 
2º) Abertura 
maior que a 
inicial 
A B 
3) Construção da mediatriz de um segmento de reta. 
A B 
1 
2 
Abertura maior que 
a metade de AB 
M 
A B 
mtz 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GLOSSÁRIO DE DESENHO GEOMÉTRICO – 9º ANO 
A, B, C... Pontos (qualquer letra maiúscula) 
a, b, c... Retas (qualquer letra minúscula) 
, , ... Planos (qualquer letra minúscula do alfabeto grego) 
AB Reta que passa pelos pontos A e B 
AB Semirreta de origem no ponto A e que passa por B 
 A Semirreta de origem no ponto A 
AB Segmento de reta com extremidades nos pontos A e B 
med (AB) Medida do segmento de reta de extremidades A e B 
A Ângulo com vértice no ponto A 
BAC Ângulo com vértice em A e lados AB e AC 
ab Ângulo determinado pelas retas a e b 
med(BAC) Medida do ângulo com vértice em A e lados AB e AC 
 = 450 A medida do ângulo, representado por , é 45 graus 
dist(A; B) Distância entre os pontos A e B 
dist(A; r) Distância do ponto A à reta r 
dist(r; s) Distância entre as retas r e s 
r // s A reta r é paralela à reta s 
r  s A reta r é concorrente com a reta s 
r ⊥ s A reta r é perpendicular à reta s 
r  s A reta r é oblíqua à reta s 
r  s A reta r é coincidente com a reta s 
A  F O ângulo A é congruente ao ângulo F 
AB Arco de extremidades nos pontos A e B 
A  r O ponto A pertence à reta r 
A  r O ponto A não pertence à reta r 
r   A reta r está contida no plano  
s   A reta s não está contida no plano  
ABC Triângulo com vértices nos pontos A, B e C 
 Ângulo de 900 
⊥ (r; P) Perpendicular à reta r, passando pelo ponto P 
Circ (O; r) Circunferência de centro em O e raio de medida r 
Mtz (AB) Mediatriz do segmento de extremidades A e B 
// (r; d) Par de paralelas à reta r, com distância d 
Btz (ab) Par de bissetrizes dos ângulos determinados pelas retas a e b 
Ac (AB; 600) Par de arcos capazes de ver o segmento AB sob um ângulo de 60 graus 
L.G. Lugar geométrico 
 
Materialde estudo elaborado pela prof.ª Sonia Sá – UESCII – 2011. 
Referências: 
Jorge, Sonia. Desenho geométrico – ideias e imagens. Vol. 4. 3 ed. São Paulo: Saraiva, 2003. 
Marmo, Carlos & Nicolau. Desenho geométrico. Vol. 1. São Paulo: Scipione, 1994. p 47. 
Pinto, Nilda Helena S. Correa. Desenho geométrico. Vol. 4. 1 ed. São Paulo: Moderna, 1991. 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISÃO DE SEGMENTOS 
A divisão de um segmento em qualquer número de partes baseia-se no Teorema de Thales, que diz: 
 
 “Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer segmentos proporcionais”. 
Exercícios 
 
2. Dividir o segmento CD em 7 partes iguais. 
3. Determinar o segmento de reta CE que representa 2/5 do segmento CD. 
C D 
A B 
1. Dividir o segmento AB em 3 partes iguais. 
C D 
A razão 
ABതതതത
BCതതതത é igual à 
DEതതതത
EFതതത , pois: 
2x
4x
 =
2y
4y
 → 
2
4
 = 
2
4
 
 
Como há uma igualdade, essas razões são 
proporcionais. Temos, também: 
 
 
ACതതതതത
ABതതതത =
DFതതതത
DEതതതത ou 
BCതതതത
ACതതതതത = 
EFതതത
DFതതതത 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se precisarmos fazer mais panquecas aumentamos a quantidade dos ingredientes na mesma 
proporção. No exemplo acima, aumentamos 3 vezes. 
Vamos comparar as quantidades dos ingredientes da receita. 
 
 
Margarina: 
3
1
 3  k = 3 farinha e leite: 
6
2
  k = 3 ovos: 
9
3
  k = 3 
 
Observando as razões, percebemos que há uma igualdade. Essas razões são proporcionais. 
 
 
3
1
 = 
6
2
 = 
9
3
 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
Razão entre dois números indica quantas vezes um número está contido no outro. 
 
Exemplo: 
8 
2
 = 4 → k = 4 k é a razão entre os dois números 
 
➢ Propriedade fundamental das proporções 
➢ Segmentos proporcionais 
Atenção! Os meios podem trocar suas posições, mas devem continuar sendo meios. Se uma 
grandeza que é meio for trocada para a posição de extremo, a proporção transformar-se-á 
totalmente. O mesmo vale para os extremos. 
Quando quatro segmentos têm a mesma unidade de medida e seus valores numéricos formam 
uma proporção (há uma igualdade de razões) eles são chamados de segmentos proporcionais. 
A B 
D C 
E F 
G H 
8 
4 
6 
3 
ABതതതത está para CDതതതതത, assim como EFതതത está para GHതതതതത. 
 
ABതതതത contém CDതതതതത o mesmo número de vezes que EFതതത contém GHതതതതത. 
 
6 x 3 = 2 x 9 
 
meios extremos 
UMA RECEITA DE PANQUECA 
1 tablete de margarina derretida 
2 copos de farinha de trigo 
2 copos de leite 
3 ovos 
TRÊS RECEITAS DE PANQUECA 
3 tabletes de margarina derretida 
6 copos de farinha de trigo 
6 copos de leite 
9 ovos 
ABതതതത
CDതതതതത = 
EFതതത
GHതതതതത → 
8
4
 = 
6
3
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Dividir graficamente o segmento AB em partes 
proporcionais aos números 2, 3 e 4. 
A B 
3. Dividir graficamente o segmento EF em 
partes proporcionais aos segmentos de medidas 
a, b e c. 
F E 
a b c 
Exercícios 
4. Dividir graficamente o segmento AB em 2 
partes de maneira que a primeira seja 2/3 da 
segunda. 
A B 
2. Represente a circunferência de raio igual a 
4/7 do segmento BC. 
B C 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A 
5. Traçar o retângulo MNPQ, cujo perímetro é igual à medida de ABതതതത, sabendo que a razão entre 
a altura e a base é igual a 2/3. Resolução gráfica. 
A 
B C 
D 
6. Dado o quadrado ABCD, construa o triângulo equilátero EFG sabendo que ambos têm o 
mesmo perímetro. 
 
Resolução gráfica 
 
M 
N 
P 
L 
A 
B C 
D 
 
7. Divida o losango ABCD em faixas proporcionais às do losango LMNP. Resolução gráfica. 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➢ DESAFIOS 
Comprimento da escada 
8. Observe a representação em perspectiva da escada ao 
lado. Ela representa parte de uma escada, a parte 
destacada apresenta 2 patamares (início e fim), e 3 
degraus. Agora, represente a divisão desta escada no 
retângulo abaixo (seguindo a sequência apresentada 
na representação ao lado), sabendo que: 
 
 - O patamar corresponde a medida de 3 degraus. 
 Patamar 
 Imagem retirada da apostila de desenho 
arquitetônico 2 (Un. Estácio de Sá): 
disponível 
em:http://www.monasterio.com.br/Clelia
Blog/2017/1oSEM2017/DA2/DA2-2017-1-
aula5.pdf 
Soma das janelas e distâncias entre elas (t) 
Imagem disponível em: 
https://www.decorfacil.com/grades-para-janelas/ 
t 
9. Dado o segmento t (soma das janelas e distâncias entre elas), represente graficamente a 
proporção entre as janelas e o espaço entre elas. Sabendo que a distância entre as janelas 
mede 1 2⁄ da medida da largura da janela. 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado segmento p, represente a proporção entre portas e colunas. Sendo p a soma das larguras 
das portas e colunas. 
 Fachada do Museu Nacional - ilustração de Karina Kuschnir - disponível em: 
https://karinakuschnir.wordpress.com/2018/09/13/museu-nacional-ufrj-1818/ 
9. Observe a representação da fachada do Museu Nacional. 
• A parte destacada, apresenta as três portas principais do museu e as colunas que 
as delimitam. 
• As colunas mais largas e as portas possuem a mesma proporção. As colunas mais 
estreitas (entre as portas) apresentam 
2
3
 da medida da porta. 
 
p 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a solução 
 
a
b
=
c
x
 
 
2a solução 
b
a
=
c
y
 
 
3a solução 
c
a
=
b
z
 
Se o problema não indicar a proporção 
considere a ordem em que se apresentam 
os segmentos dados. 
 
 
- Esse tipo de problema admite três soluções 
 
Exercícios 
1. a) Conhecendo os segmentos de medidas a, b e c, determine graficamente o segmento x. 
 
a = 25 mm 
b = 30 mm 
c = 15 mm 
 
a
b
 = 
c
x
 
SEGMENTOS PROPORCIONAIS 
 
 ➢ Quarta proporcional 
 
- Em Matemática, a 4a proporcional é o quarto termo que define uma proporção. 
 
- Em Desenho, teremos três segmentos e vamos achar um segmento que será o 4o termo da 
proporção. 
 
10
5
 = 
4
x
 → 10 . x = 4 . 5 → 10 . x = 20 → x = 2 
a
b
 = 
c
x
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. b) Determine graficamente o segmento x, mudando a proporção. Não esqueça de 
mencionar qual é a proporção. (Use as medidas de a, b, e c do exercício 1.a)) 
 
 = 
 x 
 = 
 x 
B 
D 
A 
C 
35 mm 
20 mm 
S 
R 
P Q 
12 mm 
x 
 
2. Sabendo que a altura e a base do retângulo ABCD são proporcionais à altura e à base do 
retângulo PQRS, calcule graficamente a medida de PQ. 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine graficamente a quarta 
proporcional entre os lados do retângulo e 
a sua diagonal na ordem de medida do 
menor para o maior. 
4. Construa um triângulo equilátero PQR sabendo 
que seu lado equivale a quarta proporcional 
entre os lados do triângulo ABC. Resolução 
gráfica. 
A 
B C 
a.c = b.x 
5. Dadosos segmentos m, n e p, determine 
a quarta proporcional que satisfaz a 
proporção. 
Resolução gráfica. 
6. Verifique se os segmentos r, s, t e v atendem à 
proporção dada. Resolução gráfica. 
r 
s 
t 
v 
x = 
m.n
p
 
 r 
v
 = 
s
 t 
 m 
n 
p 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a solução 
 
a
b
=
b
x
 
 
2a solução 
 
b
a
=
a
y
 
- Este tipo de problema admite duas soluções. 
y
a
a
b
= 
 
- Graficamente a resolução é semelhante à da quarta proporcional. 
c = 
b²
a
 
 
 ➢ Terceira proporcional 
 
- A 3a proporcional é um caso particular da 4a proporcional em que os meios são iguais. 
 8 
4
 = 
 4 
x
 → 8 . x = 4 . 4 → x . x =16 → x = 2 
1. Achar a 3a proporcional y dos segmentos a 
e b, conhecida a proporção. Resolução 
gráfica. 
2. Construa o triângulo ABC de lados a = 40 mm, 
b = 30mm e sabendo que c é a terceira 
proporcional dos outros dois lados. Resolução 
gráfica. 
 a = 20 mm 
b = 30 mm 
 b 
a
 = 
 a 
y
 c = 
b²
a
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ➢ Média geométrica ou média proporcional 
 
- É a raiz quadrada do produto de duas grandezas. Dito de outro modo: é o valor encontrado 
para os meios, que no caso se repetem. 
 
 4 
x
 = 
 x 
9
 → x2 = 4 . 9 → x = ξ36 → x = 6 
ou 
x2 = a.b 
a e b são conhecidos; 
x se repete e é desconhecido. 
 x = ξa.b 
 A média geométrica entre duas 
grandezas (ou dois segmentos dados) é 
a raiz quadrada do seu produto. 
 a 
x
 = 
 x 
b
 
 - A altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos. 
- A resolução gráfica de problemas que envolvem a média geométrica tem por base o triângulo 
retângulo. Há duas possibilidades: por adição ou por subtração. 
 a 
x
 = 
 x 
b
 → x2 = a.b → x = ξa.b 
M – centro da semicircunferência (ponto médio) 
❖ Por adição 
- Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela. 
m n 
h 
Cateto Cateto 
Hipotenusa 
OBS: O fundamento do processo aditivo da Média 
Geométrica baseia-se numa das relações métricas do 
triângulo retângulo: 
“A altura (h) de um triângulo 
retângulo é a média proporcional 
entre as projeções (m e n) dos 
catetos na a hipotenusa”. m
h
 = 
h
n
 → h2= m.n → h = ξm.n 
❖ Por subtração 
 a 
x
 = 
 x 
b
 → x2 = a.b → x = ξa.b 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
Lembre-se que as resoluções são sempre gráficas. 
1. Determine x na razão pedida 
 
C D 
B A 
4. Determine os segmentos m e/ou n e identifique cada caso (terceira proporcional, quarta 
proporcional ou média geométrica). 
m = 35 mm 
a = 20 mm 
b = 25 mm 
m.b = n.a 
a) É um caso de ____________________________. 
ABതതതത
x
 = 
x
CDതതതതത 
 
2. Construa um quadrado RSTU de lado f sabendo 
que; 
 d = 40 mm e = 25 mm 
 
 
 
d
f
 = 
f
e
 
3. As expressões abaixo são uma 4a proporcional, uma 3a proporcional ou uma média geométrica? 
 Sabe-se que a, b e c são conhecidos e que x é a incógnita. 
a.x = b.c ___________________________ 
x2 =a.c _____________________________ 
b
2
 = c.x _____________________________ 
X= ξa.b ____________________________ 
b = 
a.c
x
 _________________________ 
a= ξ𝑏. 𝑥 _________________________ 
c.x
b
 = a ___________________________ 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m n 
 
5. Construa o paralelogramo PQRS, conhecendo a base PQതതതതത = m, o lado QRതതതതത = n e sabendo que a 
diagonal PR corresponde a terceira proporcional de n e m, nessa ordem. 
 
b) É um caso de ____________________________. 
 
a = 20 mm 
b = 30 mm 
 
m.a = b2 
c) É um caso de ____________________________. 
 
a = 20 mm 
b = 30 mm 
b.a = n2 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPORÇÃO ÁUREA 
Segundo Vitruvius, arquiteto e escritor romano, “para que um espaço dividido em partes desiguais 
torne-se agradável e estético, deverá haver entre a parte menor e a maior a mesma relação 
existente entre a maior e o todo.” 
(Extraído da apostila da Faculdade de Desenho Industrial, Fundação Educacional Brasileiro de Almeida, Profa. Selma Sá 
Roriz, 1981) 
b a 
Nesta razão surge um fator numérico conhecido como o número de ouro: 0,618 (ou 1,618). Este número 
é encontrado na natureza, nas proporções do corpo humano, nas artes plásticas, na arquitetura. A 
proporção áurea tão apreciada pelos gregos remonta aos egípcios que a utilizaram na pintura e 
arquitetura. Até hoje encontramos a aplicação desta proporção em composições - artísticas ou 
comerciais - servindo como ponto de interesse ou eixo de equilíbrio. 
No exemplo acima, b é o segmento áureo de a+b. 
 
a 
b 
c 
6. Dadas as medidas abaixo, represente o retângulo de base= m e altura= n. 
Sabendo que: 
 
•
b
c
 = 
c
m
 
• n² = a
c
 
 
a
b
 + 
b
b+a
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Determinando o segmento áureo 
a 
Parthenon - Templo grego 
A 
B 
C 
D 
e 
f 
CURIOSIDADES SOBRE A PROPORÇÃO AUREA: 
 
CONCHA DO CARAMUJO 
Cada novo pedacinho tem a dimensão da somados dois 
antecessores 
CAMALEÃO 
Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas 
da espiral de Fibonacci 
ELEFANTE 
Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do 
processo, adivinhe qual seria o formato? 
GIRASSOL 
Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos 
de espirais: geralmente, 21 no sentido horário e 34 no anti-
horário 
PINHA 
As sementes crescem e se organizam em duas espirais que 
lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13 
no anti-horário 
A BELEZA DESCRITA EM NÚMEROS 
A “Proporção de ouro” aparece tanto em seres vivos quanto 
em criações humanas. Na matemática, a razão dourada é 
representada pela letra grega phi: φ 
PARTENON 
Os gregos já conheciam a proporção, embora não a fórmula 
para defini-la. A largura e a altura da fachada deste templo do 
século V a.C. estão na proporção de 1 para 1,618 
ARTES 
Esse recurso matemático também foi uma das principais 
marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, 
usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre 
elementos do rosto 
AS GRANDES PIRÂMIDES 
Mais um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco 
do nível imediatamente acima. Em algumas, as câmaras 
internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura 
OBJETOS DO COTIDIANO 
Vários formatos de cartão de crédito já foram testados. O que 
se sagrou favorito do público têm laterais na razão de ouro. 
Fotos e jornais também costumam adotá-la 
ROSTO 
Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão 
da distância entre o centro da boca e o “terceiro olho” pela 
distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618 
CORPO 
Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre 
o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em torno de 1,618 
MÃOS 
Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as 
articulações se relacionam na razão áurea 
 
FONTES Roberto Jamal, professor do cursinho Anglo, Claudio 
Possani, professor do Instituto de Matemática e Estatística da 
USP, e livro Do Not Open, vários autores. 
Disponível em: Super Interessante - 
https://super.abril.com.br/mundo-estranho/o-que-e-a-
sequencia-de-fibonacci/ 
AC
CD
 = 
BC
AB
 
f
e
 = 
e
e + f
 
Concha Nautilus 
Pentágono estrelado 
(Pentagrama) 
Mona Lisa – 1503/06– Leonardo 
da Vince/Proporção Aurea 
AD
AC
 = 
AC
AB
 = 
AB
BC
 =̃ 1,618 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ➢ RETÂNGULO ÁUREO 
O retângulo áureo é considerado a forma geométrica mais agradável à vista. Não é por acaso 
que cartões de crédito, folhas de papel e publicações possuem esta forma. Sua aplicação abrange 
ainda a arquitetura e as artes plásticas. 
No retângulo áureo os seus lados estão na proporção áurea. 
 
 
Se representarmos um quadrado dentro desse retângulo, a figura resultante será um novo retângulo 
áureo, porém com sua posição invertida. Esse processo pode ser repetido indefinidamente, como 
é mostrado na outra figura. 
A curva é uma espiral logarítmica, típica da expansão da concha e do desenvolvimento do centro 
de flores como a margarida e o girassol. 
 
1. Construa o retângulo áureo sendo dado o seu lado maior. 
 
a 
2. Construa o retângulo áureo sendo dado o seu lado menor. 
 
x 
Exercícios 
 
a 
b 
a
b
 = 
b
b + a
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
Exercícios 
1. Determine o comprimento da circunferência dada abaixo. 
2. Imagine que a circunferência da figura abaixo role sobre a reta t, sem escorregamento, e no sentido 
horário. Determine a posição em que a circunferência estará quando o ponto P tangenciar a reta. 
 
 P 
t 
T 
O 
Retificar a circunferência é determinar o seu comprimento, isto é, transformar a linha curva em 
segmento de reta. Se dividirmos o comprimento de qualquer circunferência pelo seu diâmetro 
obteremos aproximadamente o valor 3,1416... Esse número é conhecido pela letra grega  (lê-se 
pi). 
Em matemática o comprimento de uma circunferência é igual a 2r, mas existem, também, 
alguns processos gráficos para se retificar a circunferência e todos eles têm resultados 
aproximados, já que  é um número irracional. 
Estudaremos o processo de Arquimedes que considera  = 
22
7
. Dividindo 22 por 7 encontraremos 
um resultado bem próximo: 3,1429. 
C – Comprimento da circunferência 
d – Diâmetro 
 
C
d
⁄ =  C = d C = 22
7d⁄ C = 21
7d⁄ C = 3d + 1
7d⁄ 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESRETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
É o processo inverso da retificação. Agora temos o comprimento e queremos saber o diâmetro 
da circunferência. 
1. Represente a circunferência cujo comprimento é igual ao segmento AB. 
A B 
4. Qual o perímetro da figura abaixo? 
 Resolva graficamente. 
 
Exercícios 
C – Comprimento da circunferência 
d – Diâmetro 
 
C
d
⁄ =  d = C ⁄ d = 
C
22
7⁄
 d = 7
22 C⁄ 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes têm a mesma área. 
 
3. Construa, no espaço abaixo, três triângulos equivalentes de base 3 cm e altura 2,5cm. Sendo um 
isósceles, outro retângulo e o terceiro tendo um ângulo da base de 120º. 
 
 
Exercícios 
1. Represente o triângulo retângulo EFG 
equivalente ao triângulo dado. 
 
2. Faça um triângulo isósceles ONP 
equivalente ao triângulo abaixo. 
 
M N 
O 
E F 
H 
EQUIVALÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O processo utilizado na equivalência de triângulos permite efetuar transformações entre polígonos, 
construindo figuras com menor ou maior número de lados, ou seja, diminuindo ou aumentando a 
quantidade de lados. 
 
Diminuindo o no de lados 
 
1o exemplo: Desenhe um quadrilátero equivalente (de mesma área) a um pentágono (ABCDE – 
figura inicial cinza) dado: 
 
- Traçar a diagonal BE; 
- Reta // a BE passando por A; 
- Prolongar CB até a //, obter A'; 
-  EAB é equivalente ao  EA'B. 
 
 
O pentágono ABCDE é equivalente ao 
quadrilátero A'CDE. 
 
 
 
 
 
Aumentando o no de lados 
 
2o exemplo: Desenhe um pentágono equivalente (de mesma área) a um quadrilátero (ABCD – 
figura inicial cinza) dado: 
 
- Traçar uma reta que passe por A, cortando BC 
Determinando assim o ponto J (aleatoriamente); 
- Traçar uma reta // a AJ passando por B; 
- Determinar B’ (aleatoriamente) na reta // que passa 
por B; 
-  ABJ é equivalente ao  AB’J. 
 
 
O quadrilátero ABCD é equivalente ao 
 Pentágono AB’JCD. 
 
 
 
4. Represente um triângulo retângulo BCD 
equivalente ao triângulo ABC. 
 
5. Represente um triângulo isósceles ABD 
equivalente ao triângulo ABC. 
 
B A 
C 
B 
C 
A 
EQUIVALÊNCIA DEFIGURA QUAISQUER 
 
27 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Transforme o pentágono ABCDE num triângulo e o quadrilátero PQRS num pentágono, ambos 
convexos. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Transforme o polígono abaixo em um 
triângulo equivalente. 
3. Represente graficamente um pentágono 
equivalente ao hexágono dado. 
 
A 
R 
O 
M 
5. Dado o triângulo ABC, transforme-o num 
quadrilátero equivalente. 
 
4. Transforme o pentágono IJKLM num triângulo 
equivalente. 
 
I 
J 
K 
L M 
O 
M 
R 
N 
Q 
P 
A 
B 
C 
A 
E 
C 
D 
B 
S 
R 
Q P 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gerdau Construtora Ecisa Citroën 
Alguns dos símbolos gráficos resultam da aplicação de movimento às letras ou qualquer outra 
representação. Tais movimentos, chamados de transformações pontuais, são: translação, rotação, 
reflexão e homotetia. 
TRANSFORMAÇÕES PONTUAIS 
 São quatro, basicamente, os elementos que compõem uma identidade visual. Os principais: 
logotipo e símbolo, e os secundários: cores e alfabeto. 
Logotipo – é a particularização da escrita de um nome. Um logotipo sempre tem letras - 
especialmente criadas ou não. 
Símbolo – é um sinal gráfico que com o uso passa a identificar um nome, uma idéia, produto ou 
serviço. Os símbolos podem ser abstratos ou figurativos e é neste grupo que são incluídos aqueles 
que utilizam as letras. 
(Extraído do livro Identidade Visual. A direção do olhar., Gilberto Luiz Strunck, Ed. Europa, RJ, 1989) 
 
Alguns exemplos de símbolos gráficos: 
 
Translação – direção e distância 
a partir de um vetor (v). 
Rotação – centro de rotação 
(C), ângulo do giro e sentido 
(horário ou anti-horário). 
Reflexão – eixo de simetria(e) 
e uma distância constante e 
perpendicular ao eixo. 
6. Represente o heptágono equivalente ao 
hexágono dado. 
 
7. Um famoso paisagista fez o projeto de 
reforma de um jardim que tem a forma do 
polígono representado abaixo. No projeto, o 
profissional aumentou o número de lados desse 
polígono. Desenhe a nova forma desse jardim, 
sabendo que ele agora é hexagonal convexo. 
 
P 
Q 
R 
S 
T 
U 
 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que as imagens abaixo podem ser divididas em partes iguais por linhas imaginárias dando 
a impressão de que foram refletidas por um espelho. Essa linha é o eixo de simetria. 
 
1. Faça a translação das figuras dadas abaixo. 
d 
f 
2. A empresa de carros Citroen possui uma marca com duas figuras simples que ficam acima 
do seu nome. Elas são formadas através da translação. Vamos descobri-la? Para isso, faça uma 
translação do polígono ABCD (construa-o ligando os vértices dados) em relação ao vetor d, 
também dado. 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Faça arotação das figuras abaixo. 
4. Faça a reflexão das figuras abaixo. 
 e – eixo de reflexão 
 a) 120o no sentido horário 
 P – centro de rotação 
 b) 60o no sentido anti-horário 
 P – centro de rotação 
P 
e 
e 
P 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Trace os eixos de simetria e das representações abaixo. 
 Mitsubishi Motors Acesita FIOCRUZ 
6. Observe os logotipos dados e identifique as transformações pontuais aplicadas na sua criação. 
 
 Reflexão 
 Rotação 
 Translação 
 
 a) (.........) b) (.........) c) (.........) d) (.........) 
 
Enem/2011 
7. Questão154 - prova amarela 
O polígono que dá forma a essa calçada é 
invariante por rotações, em torno de seu 
centro, de 
A. 45o 
B. 60o 
C. 90o 
D. 120o 
E. 180o 
Disponível em www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em 28 abr. 
2010 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Observe as composições abaixo. Elas foram criadas utilizando as composições em destaque 
através das transformações pontuais. Utilize a malha quadriculada abaixo para criar sua 
composição. 
- Crie uma composição inicial em um quadrado 
- Modifique essa composição utilizando pelo menos duas transformações pontuais 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HOMOTETIA 
A homotetia é um tipo de semelhança na qual os lados da figura permanecem paralelos. 
 
• Semelhança = mesma forma, dimensões proporcionais e não há, necessariamente, 
paralelismo entre os lados. 
• Homotetia = semelhança + paralelismo 
Semelhança 
Homotetia 
Elementos 
 
• Centro de homotetia – determinado pela 
interseção das retas que passam pelos pontos 
correspondentes (homólogos) de duas figuras 
semelhantes. 
 
• Razão de homotetia – indica a relação entre as 
distâncias que vão do centro de homotetia até os 
pontos correspondentes. 
➢ No exemplo ao lado, a razão de homotetia (k) é 
igual a 1
2⁄ . 
 
 
OA
OA'
 = 
OB
OB'
 = 
OC
OC'
 = 
1
2
 
 
 
 
Os retângulos ABCD e AEFG são semelhantes na razão . 
Cada lado de ABCD tem o seu homólogo (correspondente) em 
AEFG cuja medida está reduzida à metade. São, portanto, 
proporcionais. 
Os ângulos correspondentes se mantêm com as mesmas 
medidas – são congruentes. 
 
Para estudar homotetia não se pode deixar de falar em SEMELHANÇA. Duas figuras são 
semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e as medidas de seus lados 
são proporcionais.. 
✓ A palavra HOMÓLOGO significa correspondente. 
Quando se amplia ou se reduz uma figura, a forma permanece a mesma variando somente 
o tamanho. 
O quanto se amplia ou se reduz a figura chama-se razão de semelhança e é indicada pela letra k. 
Figura Inicial 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➢ A HOMOTETIA PODE SER DIRETA OU INVERSA. 
 
- Homotetia direta – a razão é maior que zero (valor positivo) 
- Homotetia inversa – a razão é menor que zero (valor negativo) 
 
➢ Nos dois casos, a figura homotética poderá ser maior ou menor que a figura inicial. 
Isto dependerá do valor da razão, independentemente se positivo ou negativo. 
HOMOTETIA DIRETA 
O mecanismo da visão é semelhante ao 
que ocorre na máquina fotográfica. No 
olho, a luz se dirige para a retina, que 
funciona como o filme fotográfico: a 
imagem formada na retina também é 
invertida como na máquina fotográfica. 
O nervo óptico conduz os impulsos nervosos 
para o centro da visão, no cérebro, que o 
interpreta e nos permite ver os objetos nas 
posições em que realmente se encontram. 
(www.afh.bio.br/Sentidos/Sentidos2.asp) 
Exemplo de homotetia inversa 
Exemplo de homotetia direta 
Perspectiva cônica com um 
ponto de fuga 
 
 
A figura homotética sofrerá dupla inversão. 
Objeto 
Imagem 
Nervo óptico 
Adaptado de www.darwinismo.wordpress.com 
HOMOTETIA INVERSA 
O 
Figura inicial 
A 
A’ 
B 
C 
B’ 
C’ 
O 
A 
B 
C 
B’
 
A’
 
C’
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Determine o centro de homotetia H. 
2. Construa as figuras homotéticas de acordo com os centros de homotetia (O) e as razões (K) 
dadas. 
O + 
K = 2 
K = - 3/2 
O 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ O 
K = - 1/ 2 
(lembre-se de determinar o centro da circunferência) 
K = 5/3 
O 
K = - 2/3 
 
37 
3. Analise as imagens abaixo, e em seguida marque com um X as opções corretas para cada caso 
(pode haver mais de uma opção para cada imagem). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Analise os casos de homotetia abaixo e relacione a imagem o tipo de transformação para cada 
caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Figura 2 Figura3 Figura 4 
( ) apresenta 
translação com 2 
vetores diferentes. 
( ) apresenta 2 
rotações. 
( ) apresenta 
translações com 1 
único vetor. 
( ) não apresenta 
transformação 
pontual 
( ) apresenta uma 
reflexão. 
( ) apresenta uma 
rotação. 
( ) apresenta uma 
homotetia na razão 
k= -1. 
( ) apresenta uma 
translação. 
 
( ) apresenta uma 
rotação de 180°. 
( ) apresenta uma 
reflexão. 
( ) apresenta 
homotetia inversa. 
( ) não apresenta 
transformação 
pontual. 
 
( ) não apresenta 
transformação 
pontual pois é uma 
rosácea. 
( ) apresenta 
rotação. 
( ) apresenta 
translação. 
( ) apresenta 
homotetia na razão 
k= -1. 
1 
2 
3 
4 
A 
D 
C 
B 
( ) homotetia inversa com 
k=−
1
2
 . 
( )homotetia com k= -1. 
( ) homotetia direta de 
redução. 
( ) homotetia com k= 
3
2
. 
( ) homotetia inversa com 
ampliação.