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UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes
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 Unidade VI - Diferenciação Numérica
VI.1 - Introdução
A aplicação da matemática à física e as ciências sociais frequentemente requer a determinação da derivada da função. Algumas vezes é fácil encontrar a derivada fechada.
Exemplo: f (x) = sen x ( f ’(x) = cos x
Mas na prática ocorre:
Não se encontrar a solução em forma fechada;
A solução em fórmula fechada existir e, no entanto, pode ser muito difícil de encontrar;
A solução em fórmula fechada pode ser de pouco valor prático.
	t
	v
	0,5
	9,375
	0,6
	9,488
	0,8
	10,296
	0,9
	11,027
	1,1
	13,233
	1,2
	14,744
	 Tab. 1
	
Suponha que tenhamos a tabela da velocidade (m / seg) de um móvel em vários intervalos de tempo t (em segundos), ou seja:
e que precisemos determinar a aceleração do móvel em um instante t.
Matematicamente, 
.
No entanto, para se calcular a aceleração com os valores da Tab. 1 precisaríamos recorrer aos métodos numéricos.
VI.2 - Diferenciação Numérica
A derivada de uma função f (x) em x = x0 é definida por:
		
	quando o limite existe.
Logo se calcularmos:
 para um valor bem pequeno de (x teremos uma boa aproximação f ’(x0).
Convém lembrar que (x < 0, então (1) fica da seguinte forma:
Graficamente temos: 
P 
P[p
 x0 - (x x0 x0 + (x 
L+ tem curvatura dada por (1) e L - tem curvatura dada por (2)
A derivada f ’(x0) é dada pela curvatura da reta tangente à curva f (x) em (x0, f (x0)). Quando (x ( 0 , L + e L - ( para reta tangente.
Traçando a corda PQ, a curvatura da reta que contém PQ se aproxima da curvatura da reta tangente, quando (x (0. Logo:
Fazendo 2(x = h, temos:
Raciocínio análogo nos leva a fórmula para 2ª.derivada.
E assim sucessivamente para se obter as fórmulas para derivadas de ordem superior a 2.
VI.2.1 - Erro de Truncamento 
Desenvolvendo-se f (x) em Série de Taylor e considerando só os 3 primeiros termos, te-
mos :
(9) 
onde 
Substituindo x por 
 em (9), vem:
(10) 
		
Substituindo x por 
 em (9), vem:
		
Subtraindo (11) de (10), vem:
Se f ’”(x) for contínua, pelo teorema da valor médio 
 tal que 
 
De (12) vem:
Comparando (9) com (4), concluímos que 
 
 De modo análogo o erro de truncamento ao utilizar a fórmula da 2ª.derivada é dado por:
(15) 
Observação: Os erros de truncamento são proporcionais a h2. Logo a convergência dos métodos é quadrática.
Exemplos: 
1º) Considere a tabela:
	x
	0
	2
	4
	6
	f(x)
	1
	9
	65
	217
Determine:
O valor de f’(3).
O erro de truncamento cometido a utilizar o valor f’(3), por aproximação, sabendo que f(x) = x3 + 1.
Solução:
1) Ponto Médio
f’(
) = 
f’(3) = 
f’(3) 
2) Erro de Truncamento
		
f(x) = x3
f’(x) = 3x2
f’’(x) = 6x
f’’’(x) = 6
	(
, ou seja, 
 é o ponto médio inteiro entre 2 e 4)
Curiosidade:
f'(x) = 3x2
f’(3) = 3 . 32 = 27.
Observação: O valor aproximado está próximo do valor real.
2º) Suponha que se tenha a seguinte tabela de f(x), para f(x) = ex
	x
	0,75
	1
	1,25
	f(x)
	2,11700
	2,71828
	3,49034
Determinar o erro que se comete ao calcular f’(x) em x = 1, com os valores tabelados.
Solução:
f'(1) = 
= 
 = 2,74668
Apliquemos a fórmula do erro de truncamento
		
= 0,7078858 x 10-2
Conclusão: O erro de truncamento é da ordem de 10-2, o que significa, ter 2 algarismos exatos em f’(1). Calculada pela regra de derivação numérica:
< 10-2
h2 < 24 . 10-2 : e
h2 < 0,08889
h < 0,297138
Observação: Para que se tenha boa convergência nos métodos, a amplitude h deve ser da forma 
. No exemplo acima h = 0,25 = 
 satisfaz a condição de erro < 10-2.
	n
	h = 
	0
	1
	1
	0,5
	2
	0,25
	3
	0,125
3º)Dada a tabela abaixo, determine f ’(0,85).
	X(rd)
	0,65
	0,75
	0,85
	0,95
	sen x
	0,6051
	0,6816
	0,7512
	0,8134
Solução: 
	
Considerando o resultado abaixo como o mais aproximado , temos:
f (x) = sen x
f ’(x) = cos x 
f ’(0,85) = cos (0,85) = 0,6599
O erro cometido usando o método numérico (f ’(x) = | 0,6599 - 0,6590 | = 0,0009
VI.3 - Diferenciação Numérica Generalizada
Para reduzir o erro de truncamento é necessário desenvolver fórmulas numéricas para derivação envolvendo mais pontos.
VI.3.1 - Fórmula para três pontos não igualmente espaçados
Considere x -1 < x 0 < x 1 três pontos tais que:
	x -1 = x 0 - h 1 
	x 1 = x 0 + h 2 		com h 1, h 2 > 0.
Então: 
f '(x 0) ( p -1 f (x -1 ) + p 0 f (x0) + p 1 f (x1) 		(16)
f '(x 0) ( p -1 f (x 0 - h 1 ) + p 0 f (x0) + p 1 f (x0 + h 2) 	(17)
Precisamos determinar p -1 , p 0 , p 1 .
Consideremos inicialmente f (x) constante e igual a 1.
		f (x) = 1 ( f '(x) = 0
(*) p -1 + p 0 + p 1 = 0
	- Considere agora f (x) = x - x0 . Então f '(x) = 1
(**) - h 1 p -1 + h 2 p 1 = 1
	- Finalmente considere f (x) = (x - x0 ) 2 . Então f '(x) = 2 (x - x0 )
(***) (h 1 )2 p -1 + (h 2)2 p 1 = 0
	
De (*), (**), (***) temos o seguinte sistema:
	
Cuja solução é:
Levando esses coeficientes em (17), temos:
(18) f '(x0) = 
	Observação: 
1. Se 	h 1 = h 2 = h,	(18) é a própria fórmula dos dois pontos.
2. Não há erro de truncamento se f (x) for um a função constante, linear ou quadrática pois utilizamos essas funções para deduzir a fórmula de aproximação.
Exemplo: Dada a Tabela 1, dentro do item “VI.1 - Introdução”, determine a aceleração do móvel em 	t = 1,1 segundos.
Solução: 
		0,9 < 1,1 < 1,2
x -1 = 0,9	 ( h 1 = 0,2 		v (0,9) = 11,027
x 0 = 1,1 				v (1,1) = 13,233
x 1 = 1,2 ( h 2 = 0,1 		v (1,2) = 14,744
a (1,1) 
a (1,1) 
a (1,1) 
 m / s 2
VI.3.2 - Erro de Truncamento
Desenvolvendo-se f (x) em série de Taylor, temos: 
(19) 
					onde 
Façamos 	x = x 0 + h2 em (19) e multipliquemos por h 2 :
(20) 
					onde 
Façamos 	x = x 0 - h1 em (19) e multipliquemos por h 22 :
(21) 
	
onde 
Subtraindo (21) de (20), temos:
(22) 
 
Comparando (22) com o resultado obtido em (18), concluímos que :
Se f ’’’(x) for limitada em (x 0 – h 1, x 0 + h 2 ) então 
 tal que 
.
(23) 
	
Observação: O resultado obtido em (18) não leva a uma maior precisão, porém permite-nos a trabalhar com pontos que não estejam igualmente espaçados.
VI.3.3 – Aproximação de f ’(x) utilizando 5 (cinco) pontos
Considerar 
 de tal forma que:
Na dedução da fórmula foram utilizados pontos igualmente espaçados, e se chegou a:
24) 
	
Observação: Esta fórmula é exata para funções polinomiais de grau menor ou igual a 4.
Uma análise do erro nos levaria a: 
	onde 
Observação: 
Utilizando a fórmula dos 5 pontos diminuímos o erro de truncamento sem ter que diminuir h, mas no entanto precisamos ter mais dois pontos tabelados.
Com a fórmula dos 5 pontos podemos deduzir fórmulas para derivadas de mais alta ordem.
Exemplo: 
 
(26) 
		
Observação: A soma dos coeficientes das aproximações f ’(x0), f ’’(x0), f ’”(x0) é sempre zero, daí não devermos fazer h muito pequeno.
Lista de Exercícios - Unidade VI 
TABELA 1
	x
	100
	102
	104
	106
	108
	f (x)
	2, 0000000
	2, 0086002
	2,0170333
	2, 0253059
	2, 0334238
1) Considerando os dados da tabela 1 calcule :
1.1) a derivada 1ª f(x) em x =105 
 1.2) a derivada 1ª f(x) em x = 107
 1.3) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de 
 f(x) para x = 5.
 1.4) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de
 f(x) para x = 7.
TABELA 2
	x
	1
	2
	3
	4
	f (x) 
	0
	0,6931
	1,0986
	1,3836
2) Considerando os dados da tabela 2 calcule :
1.1) a derivada 1ª f(x) em x =2
 1.2) a derivada 1ª f(x) em x = 3
 1.3) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de 
 f(x) para x = 2.
 1.4) uma cota superiorde erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de
 f(x) para x = 3.
 1.5) o erro absoluto cometido ,comparando o resultado da 1ª derivada de f(x) = ln x para
 x = 3 com o obtido em (1.2).
 1.6) o valor de h, para que se tenha o cálculo da 1ª derivada com erro inferior a 10-3 .
 .
 
P
Q
L-
L+
L
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