Lista_01_Integrais_Indefinidas_e_Aplicacoes

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
UTFPR — Campus Pato Branco
Lista 01 - Integrais Indefinidas e algumas aplicac¸o˜es
1. Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as repostas obtidas,
derivando-as.
(a)
∫
x5dx
(b)
∫
1
x2
dx
(c)
∫
5dx
(d)
∫
(3t2 −
√
5t + 2)dt
(e)
∫ (
3
√
y − 2
y3
+
1
y
)
dy
(f)
∫ (
ex
2
+ x
√
x
)
dx
(g)
∫ (
1
3u
− 3
2u2
+ e2 +
√
u
2
)
du
(h)
∫
x2 + 2x + 1
x2
dx
(i)
∫
(x3 − 2x2)
(
1
x
− 5
)
dx
(j)
∫ √
t(t2 − 1)dx
2. Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada:
(a)
dy
dx
= 3x2 + 5x− 6
(b)
dP
dt
=
√
t + et
3. Resolva a equac¸a˜o diferencial sujeita a`s condic¸o˜es iniciais:
(a) f ′(x) = 12x2 − 6x + 1 e f(2) = 5
(b)
dy
dx
= 4x
1
2 e y = 21 se x = 4
(c) f ′′(x) = 4x− 1 e f ′(2) = −2; f(1) = 3
4. Esboce o gra´fico da func¸a˜o y = y(x), x ∈ R, sabendo que:
(a)
dy
dx
= 2x− 1 e y(0) = 0
(b)
d2y
dx2
= −4cos(2x) e y(0) = 1 e y′(0) = 0
(c)
d2y
dx2
= e−x e y(0) = 0 e y′(0) = −1
1
5. Um objeto se move de tal forma que sua velocidade apo´s t minutos e´ V (t) = 1 + 4t+ 3t2
metros por minutos. Que distaˆncia o objeto percorre durante o terceiro minuto?
6. Um objeto se move de tal forma que sua velocidade apo´s t minutos e´ V (t) = 3 + 2t+ 6t2
metros por minutos. Que distaˆncia o objeto percorre durante o segundo minuto?
7. Se um ponto se move em uma reta coordenada com a acelerec¸a˜o a(t) e as condic¸o˜es iniciais
dadas, determine s(t):
(a) a(t) = 2− 6t; v(0) = −5; s(0) = 4
(b) a(t) = 3t2; v(0) = 20; s(0) = 5
8. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = 2t + 5, t > 0. Sabe-se
que, no instante t = 0, a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = 6.
(a) Qual a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t?
(b) Determine a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t = 2.
(c) Determine a acelerac¸a˜o.
9. Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente para cima com uma velocidade de 500m/s. Despre-
zando a resisteˆncia do ar, determine:
(a) A sua distaˆncia no instante t.
(b) A altura ma´xima atingida.
10. Joga-se uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 5m/s. Deter-
mine:
(a) A sua distaˆncia do solo apo´s t segundos.
(b) Quando ela atinge o solo.
(c) A velocidade com que atinge o solo.
11. Deixa-se cair um objeto da altura de 300m. Desprezando a resisteˆncia do ar, determine:
(a) A distaˆncia percorrida em t segundos.
(b) A velocidade ao final de 3 segundos.
(c) Quando o objeto atinge o solo.
12. Uma constante gravitacional para objetos pro´ximos da superf´ıcie da Lua e´ 1, 62m/s2.
(a) Se um astronauta na Lua joga uma pedra diretamente para cima com uma velocidade
inicial de 20m/s determine a altura ma´xima atingida.
(b) Se, apo´s sua volta a` Terra, o astronauta lanc¸a a mesma pedra diretamente para cima
com a mesma velocidade inicial, determine a altura ma´xima atingida.
13. Uma bola rola por um plano inclinado com uma acelerac¸a˜o de 61cm/s2.
(a) Se a bola na˜o tem velocidade inicial, que distaˆncia percorrera´ em t segundos?
(b) Qual deve ser a velocidade inicial para que a bola percorra 30 metros em 5 segundos?
14. Uma pedra e´ atirada diretamente para baixo de um bala˜o estaciona´rio a 3000 metros acima
do solo com uma velocidade de −14, 4m/s. Localize a pedra e encontre sua velocidade
20 segundos depois.
2
RESPOSTAS
1. (a)
x6
6
+ k
(b) −1
x
+ k
(c) 5x + k
(d) t3 − 2
√
5t3
3
+ 2t + k
(e) 2
√
y3 +
1
y2
+ ln |y|+ k
(f)
ex
2
+
2
5
√
x5 + k
(g)
1
3
ln |u|+ 3
2u
+ e2u +
√
u3
3
+ k
(h) x + lnx2 − 1
x
+ k
(i) −5
4
x4 +
11
3
x3 − x2 + k
(j)
2
7
√
t7 − 2
3
√
t3 + k
2. (a) x3 +
5
2
x2 − 6x + k
(b)
2
3
√
t3 + et + k
3. (a) 4x3 − 3x2 + x− 17
(b)
8
3
x
3
2 − 1
3
(c)
2
3
x3 − x
2
2
− 8x + 65
6
4. (a) y = x2 − x
(b) cos(2x)
3
(c) y = e−x − 1
5. S(t) = t + 2t2 + t3 + k ⇒ S(3)− S(2) = 48− 18 = 30 metros.
6. S(t) = 3t + t2 + 2t3 ⇒ S(2)− S(1) = 26− 6 = 20 metros.
7. (a) s(t) = t2 − t3 − 5t + 4
(b) s(t) =
t4
4
+ 20t + 5
8. (a) x = t2 + 5t + 6
(b) x(2) = 20
(c) a(t) = 2
9. (a) S(t) = −4, 9t2 + 500t
(b) Em t = 51, 02 segundos acontece hmax = 12.755, 1 metros.
10. (a) S(t) = −4, 9t2 + 5t
(b) t = 1, 02 segundos.
(c) V (1, 02) = −4, 996m/s = −5m/s
11. (a) S(t) = −4, 9t2 + 300
(b) V = −29, 4m/s
(c) t = 7, 82 segundos.
12. (a) S(t) = −0, 812t2 + 20t
(b) t = 12, 34 segundos ⇒ s = 20, 40 metros.
4
13. (a) S(t) = 30, 50t2
(b) S(5) = 3000cm e Vo = 447, 50cm/s
14. V = −214, 4m/s
Lista elaborada pelo Professor Dr. Jose´ Donizetti de Lima
Digitac¸a˜o: Larissa H. Vieira
Configurac¸o˜es: Professora Ms. Marieli Musial Tumelero
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