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CÁLCULO II Atividade Aberta 3 - Resolução Questão 1 O gráfico da função )x(fy passa pelo ponto (1, 6) e a inclinação de sua reta tangente no ponto (x, y) é 1x2m . Com base nessas informações: (a) determine a função )x(fy ; (b) calcule o valor de y quando 2x ; (c) escreva a equação da reta tangente à curva )x(fy no ponto (1, 6) ; (d) esboce o gráfico da função )x(fy e o da reta tangente obtida no item (c). Solução a) A inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função )x(fy no ponto (x, y) é o valor de sua derivada nesse mesmo ponto. Portanto, podemos escrever: f (x) 2x 1 . Integrando, obtemos: 2f (x) (2x 1)dx x x C . Como o ponto (1, 6) pertence ao gráfico de )x(fy , temos: 2f (1) 6 1 1 C 6 C 4 . Portanto, a função procurada é 2f (x) x x 4 . b) O valor de y quando 2x é 2f (2) 2 2 4 10 . c) A equação da tangente ao gráfico de 2f (x) x x 4 no ponto (1,6) tem inclinação m f (1) 2.1 1 3 . Portanto, sua equação é: y 6 3(x 1) ou y 3x 3 . d) Um esboço dos gráficos da função 2f (x) x x 4 e da tangente y 3x 3 estão a seguir. Questão 2 A velocidade de uma partícula que se move em linha reta é dada, em metros por segundo, pela função 2v(t) t 2t 8, 0 t 10 . Com base nessas informações: (a) ache o deslocamento dessa partícula durante o intervalo de tempo dado; (b) determine o intervalo em que essa partícula se move para a direita; (c) calcule a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado; (d) esboce os gráficos da função velocidade e da função aceleração em um mesmo sistema de eixos. Solução Começamos por determinar a função posição e a função aceleração. Para achar a função posição, fazemos: 2 3 21s(t) (t 2t 8)dt t t 8t C 3 . Por seu lado, a função aceleração é: a(t) v (t) 2t 2 . Determinamos, também, a variação de sinal da função velocidade: 2v(t) 0 t 2t 8 0 t 2 ou t 4. Com isso, podemos afirmar que v(t) 0 para 0 t 4 e v(t) 0 para 4 t 10 . a) O deslocamento dessa partícula durante os 10 segundos do intervalo é: 3 21 460s(10) s(0) 10 10 8 10 C C m 3 3 b) A partícula se move no para a direita para 4 t 10 , intervalo em que v(t) 0 . c) A distância percorrida por essa partícula durante os dez primeiros segundos é: d s(10) s(4) s(4) s(0) 460 80 80 540 80 620 C C C C m 3 3 3 3 3 3 d) Um esboço do gráfico da função velocidade e do gráfico da aceleração está abaixo. Questão 3 A região R, limitada pelos gráficos das funções 2 2y 4x x e y 2x 8x , gira em torno da reta x 1 , dando origem a um sólido de volume V. Após esboçar o gráfico da região R e indicar um elemento típico de volume, calcule o valor de V. (Sugere-se usar o método das cascas cilíndricas para achar esse volume.) Solução A figura traz um esboço da região R e a indicação de um elemento de volume. Um elemento de volume é dado por 2V 2 (x 1)( 3x 12x) x . Como x varia de 0 a 4 , podemos escrever: 4 3 2 0 4 4 3 2 0 V 2 ( 3x 9x 12x)dx 3 2 x 3x 6x 192 4 Questão 4 A figura abaixo apresenta a região limitada pelo gráfico da função 3xy e pelo gráfico da reta 2x3y , que é tangente à curva 3xy no ponto )1,1( . Calcule a medida da área dessa região. Solução Os pontos de interseção dessas duas curvas são soluções do sistema de equações: 3 3 3 2 x 1 e y 1y x x 3x 2 x 3x 2 0 (x 1)(x x 2) 0 x 2 e y 8y 3x 2 Assim, a medida da área da região é o valor da integral: 1 3 2 1 4 2 2 A x (3x 2) dx 1 3 x x 2 x 4 2 1 3 2 4 6 4 4 2 27 ua 4 Questão 5 a. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região delimitada pelas curvas y x e y x em torno do eixo y 1 . Esboce a região e um elemento típico de volume. Solução Um esboço do gráfico da região e um elemento típico de volume estão na figura. Um elemento de volume é dado por 2V 2 y(y y) y . Como y varia de 0 a 1 na região considerada, temos: 11 2 3 3 4 0 0 1 1 V 2 (y y )dy 2 y y 3 4 6 . b. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região delimitada pelas curvas y x e y x em torno do eixo x 1 . Esboce a região e um elemento típico de volume. Solução Um esboço do gráfico da região e um elemento típico de volume estão na figura. Um elemento de volume é dado por V 2 (x 1)( x x) x . Como x varia de 0 a 1 na região considerada, temos: 11 2 5 2 3 2 3 2 0 0 2 2 1 1 7 V 2 (x x x x x)dx 2 x x x x 5 3 3 2 15 .