GAAL_conicas

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Retirado de 
 
 
Seções Cônicas 
 
 
Disponível em 
 
www.ceset.unicamp.br/~telmag/ST%20362/ga_conicas_1s_07.ppt 
 
acesso 25/07/2011. 
 
As (seções) cônicas são 
curvas planas que são obtidas da 
intersecção de um cone circular 
com um plano. 
Vamos definí-las como conjunto 
de pontos que satisfazem certas 
propriedades e determinar as 
equações na forma mais simples. 
Elipse 
Definição: A elipse é a curva que se obtém 
seccionando-se um cone com um plano que não 
passa pelo vértice, não paralelo a uma reta geratriz 
(reta que gira em torno do eixo do cone de forma a 
gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da 
superfície. 
Elipse 
Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano 
 
Elipse 
Elipse 
Definição: Uma elipse é o conjunto dos pontos 
P = (x, y) do plano tais que a soma das 
distâncias de P a dois pontos fixos 
F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se 
dist(F1, F2) = 2c, então a elipse é o conjunto 
dos pontos P = (x, y) tais que 
 
dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a, 
 
em que a > c. 
Elipse 
Elipse 
Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a 
Elipse 
Elipse 
Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a 
Elipse 
Elementos da Elipse: 
 
F1, F2: focos. A distância entre os Focos 
F1 e F2, igual a 2c, denomina-se 
distância focal. 
O: centro da elipse; é o ponto médio do 
segmento F1, F2. 
A1, A2, B1, B2: vértices da elipse. 
Eixo maior: é o segmento A1A2 e cujo 
comprimento é 2a. 
Eixo menor: é o segmento B1B2 e cujo 
comprimento é 2b. 
 
Do triângulo retângulo B2OF2 hachurado 
na figura, obtemos a relação notável: 
Hipérbole Elipse 
222 cba 
Elipse 
Proposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos 
focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é 
 
 
 
 
Elipse 
Elipse 
Figura 1.1: Elipse com focos nos pontos F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) 
 
Elipse 
Elipse Elipse 
Elipse 
Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos 
focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é 
 
 
 
Elipse 
Elipse 
Figura 1.2: Elipse com focos nos pontos F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) 
 
Elipse 
Nas Figuras 1.1 e 1.2, os pontos A1 e A2 são 
chamados vértices da elipse. Os segmentos A1A2 
e B1B2 são chamados eixos da elipse. 
Elipse Elipse 
Elipse Elipse 
 A excentricidade da elipse é o número . 
 
Como c < a, a excentricidade de uma elipse é um 
número real não negativo menor que 1. Observe 
que se F1 = F2, então a elipse reduz-se ao círculo 
(circunferência) de raio a. Além disso, como c = 0, 
então e = 0. Assim, um círculo é uma elipse de 
excentricidade nula. 
Hipérbole Elipse 
Quanto mais próximo de 0 for o valor de e, mais a 
elipse se aproxima de uma circunferência. Por outro 
lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o 
valor de e se aproxima de 1. 
Exemplo: 
 
 
Hipérbole Elipse 
Ver GeoGebra 
Hipérbole Circunferência 
Circunferência é o conjunto de todos 
os pontos de um plano equidistantes 
de um ponto fixo, desse mesmo plano, 
denominado centro da circunferência: 
 
 
Hipérbole Circunferência 
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto 
qualquer da circunferência, a distância de C a 
P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então: 
 
 
Parábola 
Definição: A parábola é uma seção cônica gerada 
pela intersecção de uma superfície cônica de 
segundo grau e um plano paralelo a uma linha 
geradora de cone (chamada geratriz). 
Parábola 
Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano 
 
Parábola 
Parábola 
Algebricamente: Uma parábola é o conjunto dos 
pontos P = (x, y) do plano equidistantes de uma 
reta r (diretriz) e de um ponto F (foco), não 
pertencente a r, ou seja, 
a parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) 
chamados de vértices da parábola, 
tais que dist(P, F) = dist(P, r) 
Parábola 
Parábola 
Parábola que o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F) = dist(P, r) 
Parábola 
Parábola 
Parábola que o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F) = dist(P, r) 
Parábola 
Elementos da Parábola: 
F: foco 
D: diretriz 
V: vértice 
p: parâmetro, que representa a 
distância do foco à diretriz reta VF: eixo 
de simetria da parábola. 
 
Corda focal mínima: é a corda AA’ que 
passa pelo foco e é perpendicular ao 
eixo de simetria. 
Parábola Parábola 
Parábola 
Proposição 1. (a) A equação de uma parábola 
com foco F = (p, 0) e reta diretriz r : x = -p é 
 
 
 
Parábola 
Parábola 
Parábola com foco no ponto 
F = (p, 0) e p > 0 
Parábola com foco no ponto 
F = (p, 0) e p < 0 
Parábola 
Parábola 
 
 
Parábola 
Parábola 
Proposição 1. (b) A equação de uma parábola 
com foco F = (0, p) e reta diretriz r : y = -p é 
 
 
Parábola 
Parábola 
Parábola com foco no ponto 
F = (0, p) e p > 0 
Parábola com foco no ponto 
F = (0, p) e p < 0 
Parábola 
Parábola Parábola 
Ver GeoGebra 
Hipérbole 
• Definição: A hipérbole é a curva que se obtém 
seccionando-se um cone com um plano que não 
passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta 
geratriz e que corta as duas folhas da superfície. 
 
Hipérbole 
Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano 
 
Hipérbole 
Hipérbole 
Algebricamente: Uma hipérbole é o conjunto dos 
pontos 
P = (x, y) do plano, tais que o módulo da diferença 
entre as distâncias de P a dois pontos fixos 
F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se 
dist(F1, F2) = 2c, então a hipérbole é o conjunto 
dos pontos P = (x, y) tais que 
 
|dist(P,F1 – P, F2)| = 2a, 
 
em que a < c. 
Hipérbole 
Hipérbole 
Hipérbole que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que |dist(P,F1 – P, F2)| = 2a 
Hipérbole 
Elementos da Hipérbole: 
 
F1, F2: focos. A distância entre os focos 
F1, F2, igual a 2c, denomina-se 
distância focal. 
O: centro da Hipérbole; é o ponto médio 
do segmento F1, F2. 
A1, A2: vérices da Hipérbole. 
Eixo real ou transversal: é o segmento 
A1, A2 e cujo comprimento é 2a. 
Eixo imaginário ou conjugado: é o 
segmento B1B2 e cujo comprimento é 
2b. 
 
Do triângulo B2OA2, hachurado na 
figura, obtemos a relação notável: 
Hipérbole Hipérbole 
222 bac 
Hipérbole 
Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos 
são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é 
 
 
 
 
e das assíntotas (retas das quais a hipérbole se aproxima cada 
vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos) são 
 
Hipérbole 
Hipérbole 
Figura 1.3: Hipérbole com focos nos pontos F1 = ( - c; 0) e F2 = (c; 0) 
Hipérbole 
Hipérbole 
Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são 
F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é 
 
 
e das assíntotas são 
Hipérbole 
Hipérbole 
Figura 1.4: Hipérbole com focos nos pontos F1 = (0; - c) e F2 = (0; c) 
Hipérbole 
Nas Figuras 1.3 e 1.4, os pontos A1 e A2 são 
chamados vértices da hipérbole. 
Hipérbole Hipérbole 
 A excentricidade da hipérbole é o número . 
 
Como c > a, a excentricidade de uma hipérbole um 
número real maior que 1. 
Hipérbole Hipérbole 
Ver GeoGebra 
Definição: Todas as cônicas não degeneradas, com 
exceção da circunferência, podem ser descritas de 
uma mesma maneira. 
Hipérbole Caracterização das Cônicas 
Seja s uma reta fixa (diretriz) e F um ponto fixo (foco) não pertencente a s. 
O conjunto dos pontos do plano P = (x, y) tais que 
 dist(P, F) = e dist(P, s) 
 
em que e > 0 é uma constante fixa, é uma cônica. 
 
(a) Se e = 1, então a cônica é uma parábola. 
(b) Se 0 < e < 1, então a cônica é uma elipse. 
(c) Se e > 1, então a cônica é uma hipérbole. 
 
Hipérbole Caracterização das Cônicas 
termo xy – rotação 
termos x e y – translação (elipse/ hipérbole) 
4x2 – 4 xy + 7 y2 + 12 x + 6 y - 9 = 0 
 
A x2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0 
 
A = 4, B = -4, C = 7, D = 12, E = 6, F = -9 
 
B2 – 4AC = 16 – 4 . 4 . 7 = -96 < 0 
Esboçar o gráfico 
 
 
9x2– 4 y2 – 54 x + 45 = 0