10 - Carregamento Transversal 2

Prévia do material em texto

MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Carregamento concentrado e distribuído
1
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
2
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
3
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
4
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
5
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
• As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em 
gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor.
• Direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e 
a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário.
Linha elástica
6
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Em coordenadas cartesianas, a equação diferencial da
viga é dada por:
( )xw
dx
vdEI =4
4
Linha elástica
(1)
7
onde q(x) é o carregamento distribuído.
Para uma curva no plano XoV, pode-se fazer:
2
2
dx
)x(v d
r
1
=
dx4
(2)
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Da flexão pura, tem-se o raio de curvatura da superfície neutra:
)x(M
EI
r =
EI
)x(M
r
1
=→
Igualando-se as equações (2) e (3), tem-se:
EI
)x(M
dx
)x(vd
2
2
=
(3)
8
EIdx2
Derivando cada lado da equação anterior em relação a x, e,
substituindo V(x)=dM/dx, obtém-se: ( )xV
dx
xvdEI =3
3 )(
Para ΕΙ constante, tem-se:
( )xM
dx
vdEI =2
2
(4)
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Equação do carregamento p/ linha neutra: w(x) = 0
Da eq. (1)
9
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
EXEMPLO
� A viga em balanço mostrada na figura abaixo está sujeita a uma carga
vertical P em sua extremidade. Determine a equação da linha elástica. EI é
constante.
10
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
A carga tende a provocar deflexão da viga como mostrado na figura. O
momento fletor interno pode ser representado em toda a viga utilizando
uma única coordenada x:
xPM ⋅−=
Aplicando a eq. (4), e, integrando duas vezes, tem-se:
11
xP
dx
vdEI 2
2
⋅−=
1
2
C
2
xP
dx
dvEI +⋅−=
21
3
CxC
6
xP
vEI +⋅+⋅−=⋅
(5)
(6)
(7)
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Considerando as condições de contorno, tem-se:
0
dx
dv
=
0v =
Lx =
Lx =em
em�
�
12
Portanto:
1
2
C
2
LP0 +⋅−=
21
3
CLC
6
LP0 +⋅+⋅−=
Da eq. (6)
Da eq. (7)
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Isolando o valor de C1 e C2, tem-se: 2
2
1
LPC ⋅=
3
3
2
LPC ⋅−=;
Substituindo os valores de C1 e C2 nas equações (6) e (7), obtém-se:
( )22
2
xL
EI
P
−
⋅
=θ ( )323 236 LxLxEIPv ⋅−⋅+−⋅=
13
2 EI⋅
A inclinação e o deslocamento máximos ocorrem em A (x = 0):
EI
PL
A
⋅
=
2
2
θ
EI
PL
vA
⋅
−=
3
3
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Exercícios - Diagramas de Esforços Solicitantes
a)
Calcular também a inclinação e o
deslocamento máximos para uma seção
transversal retangular (largura de 20 cm e
espessura 5 cm)
14
b)
c)
a = 5 m e W = 10 kN/m
P = 10 kN