Flexao 2018 1

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MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
1
Flexão
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ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
2
Viga flexionada
Flexão
Viga em repouso
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A flexão, no campo da mecânica, é um esforço
físico no qual se caracteriza pela deformação
ocorrer perpendicularmente à força atuante.
Flexão
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Momento fletor
É o momento resultante de todas as forças e
momentos de uma porção isolada sobre a outra
porção na direção transversal ao eixo da barra na
seção transversal de corte.
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Flexão simples (M+V)Flexão pura (M) Flexão composta (M+V+T)
Flexão: tipos
Além dessas, deve-se considerar a flexão oblíqua, 
quando o carregamento acontece de forma angular.
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FLEXÃO PURA 
A flexão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura
fica solicitada apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD
da viga abaixo. Neste trecho, a força cortante é nula e o momento
fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços internos.
É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho
CD, as forças P são simétricas e o peso próprio da estrutura, na
presença das forças P, é desprezado.
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Trecho L - 2a → atua apenas momento fletor. O momento fletor é constante neste
trecho, sendo assim, a curvatura é também constante.
 
a a L - 2a 
P P 
y 
x y 
C 
E 
D 
F 
 
y 
r 
E 
C 
F 
D 
 
O 
M 
M
A parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a parte superior
diminuiu. Havendo variação de comprimento L, tem-se deformação específica .
Portanto, pode-se afirmar que o momento fletor produz tensão normal . Esta tensão
provoca a variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra
diminuiu de comprimento existe uma superfície que separa as duas regiões e não tem
o seu comprimento alterado. Esta superfície é chamada superfície neutra (arco CD).
O  centro da curvatura da superfície neutra.
r  raio de curvatura da superfície neutra.
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O arco CD é dado por: CD r .
O arco EF é dado por:  EF r y  
Por definição: L L
Deformação específica  de EF:  EF
EF CD
CD
 
   
EF
r y r
r

   

ou
Simplificando-se a expressão anterior: r yEF 
Utilizando-se a lei de Hooke, , pode-se obter a tensão normal que
provocou o alongamento de EF:
  E
r
yEEF 
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Por definição: e y dA I zA
2  
O momento de inércia IZ, calculado pela expressão acima, é o momento de inércia da
área da seção transversal em relação ao eixo horizontal do centróide (linha neutra).
Substituindo-se IZ, o momento fletor assume a forma:
M E
r
I z  r
E I
M
z 
  
E y
E I
M
z
  M y
I z
→
Substituindo-se r em , tem-se :
r
yEEF 
→
    y dA MA
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Em coordenadas cartesianas, a equação diferencial da
viga é dada por:
onde w(x) é o carregamento distribuído.
Para a curvatura da linha neutra, em função do
carregamento, tem-se:
 xw
dx
vdEI 4
4
Linha elástica
2
2 )( 1
dx
xvd
r
 (2)
(1)
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Da flexão pura, tem-se o raio de curvatura da superfície neutra:
)x(M
EIr 
EI
)x(M
r
1 
Igualando-se as equações (2) e (3), tem-se:
EI
)x(M
dx
)x(vd
2
2

Derivando cada lado da equação anterior em relação a x, e,
substituindo V(x)=dM/dx, obtém-se:  xV
dx
xvdEI 3
3 )(
Para  constante, tem-se:
 xM
dx
vdEI 2
2
(3)
(4)
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Equação do carregamento p/ linha neutra: w(x) = 0
Da eq. (1)
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EXEMPLO
 A viga em balanço mostrada na figura abaixo está sujeita a uma carga
vertical P em sua extremidade. Determine a equação da linha elástica. EI é
constante.
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A carga tende a provocar deflexão da viga como mostrado na figura. O
momento fletor interno pode ser representado em toda a viga utilizando
uma única coordenada x:
xPM 
Aplicando a eq. (4), e, integrando duas vezes, tem-se:
xP
dx
vdEI 2
2

1
2
C
2
xP
dx
dvEI 
21
3
CxC
6
xPvEI 
(5)
(6)
(7)
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Considerando as condições de contorno, tem-se:
0
dx
dv 
0v 
Lx 
Lx em
em

Portanto:
1
2
C
2
LP0 
21
3
CLC
6
LP0 
Da eq. (6)
Da eq. (7)
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Isolando o valor de C1 e C2, tem-se: 2
2
1
LPC 
3
3
2
LPC ;
Substituindo os valores de C1 e C2 nas equações (6) e (7), obtém-se:
 22
2
xL
EI
P 

  323 236 LxLxEIPv 
A inclinação e o deslocamento máximos ocorrem em A (x = 0):
EI
PL
A 

2
2

EI
PLvA 

3
3
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CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA
Posição do Centróide:
Sendo A1 = A2 = 10000 mm2:
d= distancia da posição do centróide de
cada área (em relação a Z’=0) até y’.
  47721
472
3
2
472
3
1
32
1035,111024,711,4
1024,75,6210000
12
20050
1011,45,6210000
12
50200
)12/'(.'
mmIII
mmI
mmI
bhIdAIiI
zzz
z
z
retz




mm
AA
AA
A
yAy
z
i
ii 5,8715025'
0'
21
21 





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Tensões Máximas de Compressão e de Tração
- Compressão
MPa
xI
yM
x
z
máx
x
36
1035,11
5,87104,67
7
7




- Tração
MPa
xI
yM
x
z
máx
x
9,66
1035,11
5,162104,67
7
7



