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CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2012 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO Elaborado por: Wendell Diniz Varela Prof. Adjunto UFRJ/FAU/DE Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 1 ÍNDICE I. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ...... 4 I.1 Conceitos.................................................................................................................... 4 I.2 Concreto armado ........................................................................................................ 6 I.2.1 Características ........................................................................................................ 6 I.2.2 Vantagens e desvantagens do material concreto armado ....................................... 6 I.2.3 Método dos estados-limites.................................................................................... 7 I.2.4 Normas para dimensionamento e execução de estruturas de concreto armado ..... 7 II. PROPRIEDADES FÍSICAS DO CONCRETO E DO AÇO ............................................. 8 II.1 Concreto ..................................................................................................................... 8 II.1.1 Concreto fresco .................................................................................................. 8 II.1.2 Concreto endurecido ........................................................................................ 10 II.1.2.1 Resistência à compressão ............................................................................. 10 II.1.2.2 Resistência do concreto à tração (fct) ........................................................... 11 II.1.2.3 Diagramas tensão vs deformação (NBR 6118:2003, itens 8.2.8 e 8.2.10)... 12 II.2 Aço ........................................................................................................................... 15 III. SISTEMAS ESTRUTURAIS EM EDIFICAÇÕES .................................................... 19 III.1 O projeto estrutural................................................................................................... 19 III.1.1 Concepção ........................................................................................................ 19 III.1.2 Análise.............................................................................................................. 19 III.1.3 Síntese e otimização ......................................................................................... 21 III.2 Abrangência do curso............................................................................................... 21 IV. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO ...... 22 IV.1 Introdução................................................................................................................. 22 IV.2 Definições e nomenclatura ....................................................................................... 22 IV.3 Hipóteses básicas para o cálculo .............................................................................. 23 IV.4 Domínios de dimensionamento................................................................................ 23 IV.5 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão normal ....................... 26 V. PROJETO DE LAJES MACIÇAS EM CONCRETO ARMADO .................................. 28 V.1 Tipos de laje ............................................................................................................. 28 V.2 Roteiro para cálculo de lajes maciças em concreto armado..................................... 32 V.3 Dimensionamento e detalhamento de lajes maciças em concreto armado............... 32 V.3.1 Pré-dimensionamento das espessuras e dos vãos teóricos das lajes................. 32 V.3.1.1 Espessuras mínimas das lajes (h) ................................................................. 32 V.3.1.2 Vãos teóricos de lajes (l) .............................................................................. 32 V.3.2 Condições de vinculação dos bordos das lajes (condições de contorno) ......... 33 V.3.3 Cargas atuantes sobre lajes............................................................................... 41 V.3.3.1 Ações a considerar ....................................................................................... 41 V.3.3.2 Cargas permanentes...................................................................................... 41 V.3.3.3 Cargas acidentais.......................................................................................... 44 V.3.3.4 Carga total sobre a laje ................................................................................. 44 V.3.4 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva) ............ 45 V.3.4.1 Lajes sem bordos livres ................................................................................ 45 V.3.4.2 Lajes em balanço.......................................................................................... 45 V.3.4.3 Deslocamentos-limite impostos pela NBR 6118:2003 ................................ 46 V.3.5 Cálculo dos esforços em lajes .......................................................................... 47 Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 2 V.3.5.1 Determinação dos momentos máximos nas direções x e y em lajes sem bordos livres ................................................................................................................. 47 V.3.5.2 Determinação dos momentos máximos em lajes em balanço ...................... 47 V.3.6 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão ........................... 53 V.3.6.1 Áreas de aço mínimas e máximas para armaduras longitudinais................. 53 V.3.6.2 Armadura de distribuição ou secundária de flexão ...................................... 53 V.3.7 Determinação das armaduras de flexão............................................................ 53 V.3.7.1 Espaçamento entre as barras e diâmetro máximo das barras ....................... 53 V.3.8 Detalhamento das armaduras ........................................................................... 54 V.3.8.1 Comprimento das barras............................................................................... 54 V.3.8.2 Cálculo do número de barras........................................................................ 55 V.3.8.3 Numeração dos ferros nas lajes.................................................................... 55 V.3.8.4 Peso das barras ............................................................................................. 56 VI. PROJETO DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO................................................. 57 VI.1 Determinação do esquema estrutural da viga........................................................... 58 VI.2 Dimensões das vigas ................................................................................................ 59 VI.3 Vão efetivos.............................................................................................................. 59 VI.4 Cargas atuantes sobre as vigas ................................................................................. 59 VI.4.1 Peso próprio...................................................................................................... 59 VI.4.2 Alvenaria .......................................................................................................... 59 VI.4.3 Reação das lajes nas vigas................................................................................ 60 VI.5 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva) .................... 62 VI.6 Determinação dos esforços atuantes ........................................................................ 62 VI.6.1 Ligação Viga-pilar............................................................................................63 VI.6.2 Verificação do momento positivo em vigas contínuas..................................... 64 VI.7 Dimensionamento das armaduras............................................................................. 64 VI.7.1 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate ao esforço cortante.......... 64 VI.7.1.1 Cálculo da área de aço transversal mínima .............................................. 64 VI.7.1.2 Verificação do esmagamento do concreto ............................................... 65 VI.7.1.3 Área de aço necessária para combate ao cisalhamento (esforço cortante)65 VI.7.2 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão ........................... 65 VI.7.3 Determinação e detalhamento das armaduras na seção transversal. ................ 65 VI.7.3.1 Armadura transversal para combate ao cisalhamento (estribos) .............. 65 VI.7.3.2 Armadura longitudinal para combate a flexão em uma seção transversal67 VI.7.4 Determinação e detalhamento das armaduras ao longo da viga....................... 68 VI.7.4.1 Armadura positiva .................................................................................... 68 VI.7.4.2 Armadura negativa ................................................................................... 69 VII. PROJETO PRÁTICO DE CURSO.............................................................................. 71 VII.1 Apresentação: ....................................................................................................... 71 VII.1.1 Objetivo:........................................................................................................... 71 VII.1.2 Etapas: .............................................................................................................. 71 VII.2 Projeto de lajes ..................................................................................................... 73 VII.2.1 Cálculo dos vãos teóricos das lajes (ver item V.3.1.2 da apostila) .................. 73 VII.2.2 Pré-dimensionamento da espessura da laje (ver item V.3.1 da apostila) ......... 73 VII.2.3 Classificação dos vínculos das lajes (ver item V.3.2 da apostila).................... 74 VII.2.4 Cálculo das cargas atuantes nas lajes (ver item V.3.3 da apostila) .................. 76 VII.2.5 Cálculo das flechas (ver item V.3.4 da apostila).............................................. 77 VII.2.6 Cálculo dos momentos (ver item V.3.5 da apostila) ........................................ 79 VII.2.7 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão (ver item V.3.6 da apostila) 83 Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 3 VII.2.8 Determinação das armaduras positivas e negativas (ver item V.3.7 da apostila) 84 VII.2.9 Detalhamento das armaduras (ver item V.3.8 da apostila) .............................. 85 VII.3 Projeto de vigas .................................................................................................... 88 VII.3.1 Cálculo dos vãos efetivos das vigas e pré-dimensionamento das seções transversais ....................................................................................................................... 88 VII.3.2 Cálculo das cargas atuantes sobre a viga ......................................................... 88 VII.3.2.1 Peso-próprio (gp) ...................................................................................... 88 VII.3.2.2 Peso da alvenaria (ga) ............................................................................... 88 VII.3.2.3 Cálculo das reações das lajes nas vigas (ver item VI.4.3 da apostila) ..... 89 VII.3.3 Modelos estruturais .......................................................................................... 92 VII.3.4 Determinação dos esforços atuantes ................................................................ 93 VII.3.5 Ligação viga-pilar ............................................................................................ 96 VII.3.5.1 Verificação do momento positivo em vigas contínuas............................. 98 VII.3.5.2 Diagrama de momentos fletores modificado ........................................... 98 VII.3.6 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate da flexão (armadura longitudinal, positiva e negativa); .................................................................................... 99 VII.3.6.1 Cálculo da área de aço mínima ................................................................ 99 VII.3.6.2 Cálculo das áreas de aço positivas e negativas ........................................ 99 VII.3.7 Cálculo da área de aço para combate do cisalhamento (armadura transversal); 100 VII.3.7.1 Cálculo da área de aço transversal mínima ............................................ 100 VII.3.7.2 Verificação do esmagamento do concreto ............................................. 101 VII.3.7.3 Área de aço necessária para combate ao cisalhamento (esforço cortante) 101 VII.3.8 Determinação e detalhamento das armaduras na seção transversal. .............. 102 VII.3.8.1 Armadura transversal para combate ao cisalhamento (estribos) ............ 102 VII.3.8.2 Detalhamento dos estribos ..................................................................... 103 VII.3.8.3 Armadura positiva longitudinal para combate a flexão ......................... 105 VII.3.9 Determinação e detalhamento das armaduras ao longo da viga..................... 108 VII.3.9.1 Armadura positiva .................................................................................. 110 VII.3.9.2 Armadura negativa ................................................................................. 111 ANEXO A: Vão efetivo ......................................................................................................... 116 ANEXO B: Determinação do comprimento de ancoragem reto............................................ 117 ANEXO C: Determinação de esforços em vigas de dois vãos submetidas a cargas distribuídas ................................................................................................................................................ 119 ANEXO D: TABELAS.......................................................................................................... 122 Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 4 I. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I.1 Conceitos Da associação entre cimento, água e agregados pode resultar: • Pasta: Cimento + água; • Argamassa: Pasta + agregado miúdo; • Concreto: Argamassa + agregado graúdo; • Microconcreto: Tipo de concreto em que o agregado graúdo tem dimensões reduzidas; • Concreto de alto desempenho: Concreto cuja resistência à compressão supera os 40MPa Assim, o concreto é um material composto por água, cimento e agregados. Como o cimento é um material caro, o principal objetivo da utilização do agregado de maior dimensão (graúdo) é reduzir custos sem que haja prejuízo à qualidade do material. Sob o ponto de vista estrutural, o concreto sozinho não é adequado como elemento resistente. Sua resistência à compressão, fc, é muito maior que sua resistência à tração, fct. Como ordem de grandeza, pode-se afirmar que esta última é cerca de 10 vezes menor. Tração e compressão são usualmente encontradas em estruturas. Rotineiramente, podem atuar em uma mesma seção transversal. Por exemplo, em elementos estruturais fletidos (Figura I.1). Figura I.1 – Solicitações em uma viga biapoiada. Fissuras no concreto e armação da viga. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 5 No trecho BC, as tensões atuantes na parte inferior da viga são positivas, isto é, as fibras inferiores são tracionadas. Nessas fibras, podem se formar fissuras (minúsculas trincas devidas à pequena deformabilidade e à baixa resistência à tração do concreto). Essas fissuras fazem com que o máximo momentofletor resistido pela viga seja muito baixo. Para aumentar a resistência do elemento é importante a associação do concreto a um material que tenha boa resistência à tração e seja mais deformável. O material mais utilizado é o aço, em formas de barras lisas ou corrugadas, que deve ser colocado nas regiões tracionadas da peça. À operação de dispor essas barras de aço ao longo de um elemento estrutural denomina-se armar e as barras dispostas são chamadas de armaduras. A armadura disposta paralelamente ao(s) eixo(s) da peça é chamada armadura longitudinal (em geral, devida à ação do momento fletor). A armadura disposta perpendicularmente ao eixo da peça é chamada armadura transversal (geralmente, devida à ação do esforço cortante). Por que se utiliza o aço? 1. Boa deformabilidade e resistência à tração. 2. Coeficiente de dilatação térmica muito próximo do concreto (αaço = 1,2 x 10-5 °C-1 e αconcreto = 1,0 x 10-5 °C-1). Evita que se formem fissuras por deformação diferencial. 3. Material facilmente encontrado no mercado e de baixo custo. Para que a estrutura de concreto funcione adequadamente, os dois materiais (concreto e aço) deverão trabalhar solidariamente. Isso é possível devido às forças de aderência existentes entre a superfície do aço e a do concreto. Dependendo do tipo de associação entre a argamassa / concreto e o aço, pode-se ter: • Argamassa armada Argamassa simples com armadura de pequeno diâmetro, pouco espaçada, distribuída uniformemente em toda a superfície do elemento estrutural e composta, principalmente, de fios e telas de aço. • Concreto com fibras: Obtido pela adição de fibras metálicas ou poliméricas durante o preparo do concreto, fazendo com que, depois de seco, o concreto esteja ligado pelas fibras que o atravessam em todas as direções. Utilizado em peças com pequenos esforços, como por exemplo, piso de concreto sobre o solo. • Concreto armado: (França, 1855) Obtido por meio da associação do concreto simples com a armadura convenientemente colocada (armadura passiva), de tal modo que ambos resistam solidariamente aos esforços solicitantes. • Concreto protendido: (Alemanha, 1888) Formado pela associação do concreto simples e armadura ativa (cabos de aço, em geral, nos quais são aplicados forças de protensão antes da atuação do carregamento na estrutura). Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 6 I.2 Concreto armado I.2.1 Características No concreto armado, as barras de aço só funcionam quando, pela deformação do concreto que as envolve, começam a serem alongadas. Decorre, daí, a designação de armaduras passivas. As principais características das estruturas de concreto armado são: 1. Concreto e armadura funcionando em conjunto devido à aderência. 2. Ocorrência de regiões fissuradas no concreto. O concreto, ao envolver o aço, protege-o satisfatoriamente, em condições normais, contra a oxidação e as altas temperaturas. I.2.2 Vantagens e desvantagens do material concreto armado A opção do emprego do concreto armado como material de construção tem vantagens e desvantagens. Vantagens Desvantagens Boa resistência à maioria das solicitações. Resulta em elementos estruturais com maiores dimensões do que os construídos apenas com perfis metálicos. Isto implica elementos estruturais pesados, em virtude do elevado peso específico do concreto (γ = 25kN/m3), limitando seu uso em determinadas situações ou elevando muito seu custo. Boa trabalhabilidade, adaptando-se a várias formas. Dá liberdade ao projetista na escolha da solução mais conveniente sob o ponto de vista estrutural. Reformas e adaptações são, muitas vezes, de difícil execução. Permite a obtenção de estruturas monolíticas (o que não ocorre com estruturas de aço e madeira). Há aderência entre o concreto já endurecido e o que é lançado posteriormente, facilitando a transmissão de esforços. Técnicas de execução são razoavelmente dominadas em todo o país (emprego, função social!) Material durável desde que bem executado Boa resistência e durabilidade ao fogo desde que os cobrimentos e a qualidade do concreto estejam de acordo com as condições do meio em que está inserida a estrutura. Bom condutor de calor e som (associação com outros materiais para sanar esses problemas). Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 7 Execução de pré-moldados (maior rapidez e facilidade de execução). É necessária a utilização de escoramentos (exceto em peças pré-moldadas), que precisam permanecer no local até que o concreto atinja resistência adequada. Resistente a choques, vibrações, efeitos térmicos, atmosféricos e desgaste mecânico. I.2.3 Método dos estados-limites Nas estruturas de concreto armado devem ser verificados no cálculo os estados-limites últimos e de serviço. Os estados-limite últimos (ELU) são aqueles relacionados ao colapso ou a qualquer outra forma de ruína estrutural que determine a paralisação do uso da estrutura, ou seja, estão relacionados à segurança estrutural (equilíbrio e resistência). Por outro lado, os estados-limite de serviço (ELS) são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, à aparência, ao conforto dos usuários e a boa utilização funcional da mesma (fissuração, deformações excessivas, vibrações excessivas), seja com relação aos usuários, às máquinas ou aos equipamentos utilizados. I.2.4 Normas para dimensionamento e execução de estruturas de concreto armado Com o objetivo de promover uma padronização que garanta a segurança adequada e a qualidade na confecção de projetos e na execução e no controle das obras, a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) regulamenta os procedimentos a serem empregados por meio de normas específicas. No caso do concreto armado: 1. NBR 6118 (2003) (conhecida como NB-1): Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. 2. NBR 6120 (1980): Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações – Procedimento. 3. NBR 8681 (2003): Ações e Segurança nas Estruturas – Procedimento. 4. NBR 14931 (2003): Execução de Estruturas de Concreto – Procedimento Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 8 II. PROPRIEDADES FÍSICAS DO CONCRETO E DO AÇO II.1 Concreto O concreto, como visto anteriormente, é obtido a partir da mistura de água, cimento, agregado miúdo e agregado graúdo. Em algumas situações, pode-se ainda acrescentar produtos químicos ou outros componentes para lhe melhorar algumas propriedades. O objetivo de seu preparo é obter um material predominantemente sólido, com grande resistência e poucos espaços vazios. Isto é atingido com a adequada hidratação do cimento de modo que a pasta resultante envolva e adira satisfatoriamente aos sólidos presentes. As diversas características do produto final são funções do planejamento e de cuidados durante sua execução. O planejamento consiste em definir as propriedades desejadas do concreto, analisar e escolher os materiais existentes ou disponíveis e estabelecer uma metodologia para definir o traço (proporção entre os componentes), equipamentos para a mistura, transporte, adensamento e água. Em geral, a maior preocupação de projetistas, calculistas e engenheiros de obras é com a resistência à compressão do concreto endurecido, obtida a partir de ensaios com corpos de prova cilíndricos. Esta resistência é usada como controle de fabricação e admite-se que forneça todas as informações relativas à resistência e deformabilidade do concreto. II.1.1 Concreto fresco As principais propriedades do concreto fresco são: 1. Consistência: a. Maior ou menor capacidade que o concreto fresco tem de se deformar. b. Mede-se a consistência através do abaixamento de uma massa pré-determinada colocado em um molde metálico tronco-cônico. A deformação vertical produzida é chamadaabatimento ou slump (slump test, NBR 7223:1998 e Figura II.1). Quanto maior, menor a consistência do concreto. Figura II.1 – Teste de slump. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 9 c. Varia com a quantidade de água empregada, granulometria dos agregados e presença de produtos químicos específicos. d. Concretos com menor consistência devem ser empregados em elementos com alta taxa de armadura (dificuldade de adensamento) e em peças com eixo ou superfícies inclinadas (escadas e sapatas, por exemplo). Do contrário, é preferível o uso de concretos com maior consistência. 2. Trabalhabilidade: a. O conceito de trabalhabilidade está ligado basicamente à maneira de se efetuar o adensamento do concreto. Um concreto fácil de ser lançado e adensado é considerado de boa trabalhabilidade (slump alto). b. Varia com a granulometria dos materiais, incorporação de aditivos e, principalmente, com a relação água/cimento. c. Prefere-se melhorar a trabalhabilidade de um concreto com aditivos, pois o aumento de água reduz sua resistência. 3. Homogeneidade: a. Quanto mais uniformemente ou regularmente os agregados graúdos se apresentarem dispersos na massa de concreto (totalmente envolvidos pela pasta), melhor será a qualidade do concreto: i. Baixa permeabilidade. ii. Boa proteção à armadura. iii. Melhor acabamento sem necessidade de reparos posteriores (superfície “lisa” na retirada de formas). b. Pode ser conseguida com boa mistura do concreto na fabricação, cuidadoso transporte, atenção no lançamento e um bom adensamento. Estes três últimos aspectos são tratados na NBR 14931:2003. Na moldagem do concreto (lançamento nas formas), três etapas são de fundamental importância: 1. Adensamento: a. Consiste, em uma primeira etapa, na separação dos diversos compostos para, depois, misturá-los adequadamente, evitando a formação de bolhas de ar, vazios (bicheiras) e separação dos materiais (segregação). b. Feito a partir da aplicação de energia mecânica ao concreto. c. Há várias recomendações na NBR 14031:2003. 2. Pega: a. Período entre o início do endurecimento e o momento em que ele atinge uma situação em que possa ser desformado, mesmo sem ter atingido sua resistência total. b. Caracteriza-se o início da pega através da medida da penetração de uma haste, de peso e tamanho pré-definidos, no concreto. Quando esta medida supera um valor mínimo pré-estabelecido, considera-se que a pega iniciou. 3. Cura: a. Após o início da pega, a hidratação do concreto se desenvolve com grande velocidade e, nesse período, a água existente na mistura tem a tendência de sair pelos poros do material e evaporar. Essa evaporação pode comprometer as reações de hidratação do cimento gerando uma redução de volume no concreto maior que o usual. Essa redução é parcialmente impedida pelas formas e armaduras gerando, desta forma, tensões de tração no concreto. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 10 b. O conjunto de medidas tomadas para evitar a evaporação precoce ou mesmo para fornecer água ao concreto até que as propriedades esperadas para esse concreto sejam atingidas é chamado cura. c. A cura consiste em molhar constantemente as superfícies aparentes do concreto, ou mesmo molhar as formas de madeira, evitando a secagem da mesma. d. Uma cura inadequada pode gerar fissuras na estrutura que levam à diminuição de sua resistência final. e. A NBR 14931:2003 trata de vários de seus aspectos. II.1.2 Concreto endurecido No concreto endurecido, as características principais são as mecânicas, destacando-se a resistência à compressão e à tração. II.1.2.1 Resistência à compressão A resistência à compressão do concreto (fc) é determinada por ensaios de corpos de provas cilíndricos (15cm de diâmetro e 30cm de altura) submetidos à compressão centrada (Figura II.2). Esses ensaios também permitem a obtenção de outras características como o módulo de elasticidade do concreto. Figura II.2 – Ensaio para determinação da resistência à compressão do concreto. Vários fatores influenciam a resistência à compressão, mas os principais são: traço e a idade do concreto. A Figura II.3 apresenta a variação da relação da resistência do concreto com várias idades e sua resistência aos 28 dias. A resistência à compressão está associada à idade de 28 dias (NBR 6118:2003, item 8.2.4) e será estimada a partir do ensaio de uma determinada quantidade de corpos de prova (inferência estatística). Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 11 0,59 0,78 0,9 1 1,08 1,12 1,14 1,18 1,2 1,22 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Tempo (dias) f c j / f c 28 Figura II.3 – Variação da relação entre a resistência do concreto (cimento comum) com várias idades e sua resistência aos 28 dias. II.1.2.1.1 Resistência característica do concreto à compressão (fck) Para avaliar a resistência de um concreto à compressão é necessário realizar um certo número de ensaios de corpos de prova. Os valores de resistência proporcionados pelos distintos corpos de provas são mais ou menos dispersos, variando de uma obra para outra e também com o rigor com que se confecciona. Qual será, então, a resistência representativa do mesmo? Adotou-se o conceito de resistência característica, que leva em conta a média aritmética dos valores encontrados em cada ensaio e também o desvio da série de valores. Assim, a NBR 6118:2003 (item 12.2) define que a resistência característica à compressão é aquele valor que apresenta um grau de confiança de 95%, ou seja, o valor para o qual 95% dos ensaios realizados gerem resistências superiores a ele e 5% abaixo. Na prática, o calculista especifica um valor de fck e usa-o nos cálculos. Cabe ao construtor fabricar (ou comprar) um concreto com essas características. A partir de fck, a NBR 6118:2003 (item 8.2.1) define classes para o concreto: • C20 ou superior (fck = 20MPa ou superior): aplica-se a concreto com armadura passiva (concreto armado). • C25 ou superior (fck = 25MPa ou superior): aplica-se a concreto com armadura ativa (concreto protendido). • C15 a C20 (fck = 15MPa a fck = 20MPa): aplica-se apenas a fundações ou obras provisórias. II.1.2.2 Resistência do concreto à tração (fct) O concreto resiste mal à tração, por essa razão não se conta com a ajuda dessa resistência. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 12 A resistência à tração, contudo, pode estar relacionada à capacidade resistente da peça a, por exemplo, fissuração e ao esforço cortante. Existem três tipos de ensaio (Figura II.4): 1. Flexo-tração (não é prático) (atinge 60% da resistência à tração pura). 2. Compressão diametral (conhecido como ensaio brasileiro – Eng. F. L. B. Lobo Carneiro) (atinge 85% da resistência à tração pura) 3. Tração direta (difícil realização). Figura II.4 – Ensaios para determinação da resistência à tração. A NBR 6118:2003 (item 8.2.5) estabelece que a resistência à tração deve ser obtida através de ensaios. Na ausência desses, sugere: ⋅= ⋅= ⋅= ctmsup,ctk ctminf,ctk / ckctm f,f f,f f,f 31 70 30 32 (II.1) onde fctm e fck devem ser utilizados em MPa Sendo MPa7≥ckjf , estas expressões também podem ser usadas para idades diferentes de 28 dias. O uso de fctk,inf ou fctk,sup é determinada pela norma em cada situação particular. II.1.2.3 Diagramas tensão vs deformação (NBR 6118:2003, itens 8.2.8 e 8.2.10) A Figura II.5 apresenta um típico diagrama tensão vs deformação do concreto obtido em um ensaio de compressão. Esse gráfico tem uma parte inicial retilínea e uma parte final parabólica. As principais características desse gráfico são discutidas a seguir. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE13 Figura II.5 – Diagrama tensão vs deformação do concreto sob compressão. II.1.2.3.1 Módulos de elasticidade Nesta figura, destacam-se as seguintes propriedades elásticas: • Módulo tangente: seu valor é variável em cada ponto e é dado pela inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. • Módulo de deformabilidade inicial (Eci): inclinação da reta tangente à curva na origem. É o módulo, quando necessário, que deve ser especificado em projeto e controlado na obra. • Módulo secante (Ecs): seu valor é variável em cada ponto e é obtido pela inclinação da reta que une a origem com esse ponto. É empregado nas análises elásticas de projeto para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados-limite de serviço: ε σ=csE (II.2) Segundo a NBR 6118:2003 (item 8.2.8), o módulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522:1994. Quando não forem feitos ensaios, pode-se adotar: • Módulo de deformabilidade inicial: ckci fE ⋅= 5600 (II.3) • Módulo secante: cics E,E ⋅= 850 (II.4) Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 14 Nas Eqs. (II.3) e (II.4), todas as grandezas devem ser expressas em MPa. Na avaliação do comportamento à tração, quando necessário, pode-se utilizar o módulo secante dado pela Eq. (II.4). II.1.2.3.2 Relação tensão vs deformação sugerida pela NBR 6118:2003 (item 8.2.10) A Figura II.6 apresenta a curva sugerida (curva inferior) para análise no estado-limite último pela NBR6118:2003 (diagrama parábola-retângulo). Nessa curva, fcd é a resistência de cálculo do concreto (fck / 1,4). Até 0,5fcd, a relação entre tensões e deformações é linear e o módulo de elasticidade é dado pela Eq. (II.4). A tensão-limite é 0,85 fcd. Figura II.6 – Diagrama tensão vs deformação do concreto sob compressão sugerido pela NBR 6118:2003. Para obtenção da equação da curva superior, basta substituir 0,85 fcd por fck na equação apresentada. A Figura II.7 apresenta a curva sugerida para tração considerando o concreto não-fissurado. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 15 Figura II.7 – Diagrama tensão vs deformação do concreto não-fissurado sob tração sugerido pela NBR 6118:2003. II.2 Aço A norma NBR 7480:1996 define os tipos, as características e outros detalhes sobre as barras e fios de aço destinados a armaduras de concreto armado. Segundo esta norma, existem três tipos de aço para aplicação em estruturas de concreto armado: CA-25, CA-50 e CA-60. Os aços CA-25 e CA-50 são utilizados sob a forma de barras (Figura II.8) comercializadas com diâmetros nominais de 6,3mm, 8,0mm, 10mm, 12,5mm, 16mm, 20mm, 25mm, 32mm e 40mm. As barras possuem comprimento máximo de 12m. Para comprimentos superiores a esse, há necessidade de emenda. Figura II.8 – Barras de aço. O aço CA-60 é utilizado na fabricação de fios (Figura II.9) que são comercializados nos diâmetros de 3,4mm, 4,2mm, 5,0mm, 6,0mm, 7,0mm, 8,0mm e 9,5mm. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 16 Figura II.9 – Fios de aço. Para massa específica desses aços, pode-se assumir o valor de 7850 kg/m3. A Figura II.10 apresenta o diagrama tensão vs deformação típico de um aço obtido em um ensaio de tração (NBR 6152:1992). As características mecânicas mais importantes obtidas a partir dessa curva e que, por conseqüência, definem um aço, são: Figura II.10 – Diagrama tensão vs deformação do aço. • Tensão característica de escoamento do aço à tração (fyk) (ponto a): é a máxima tensão que a barra ou fio deve suportar, pois a partir dela o aço passa a sofrer deformações permanentes, ou seja, até esse valor de tensão, ao se interromper o ensaio de tração de uma amostra, esta voltará até seu tamanho inicial não apresentando nenhum tipo de deformação permanente. Os aços CA-25 e CA-50 têm patamar de escoamento bem definido e, assim, o valor da resistência é obtido claramente a partir do diagrama tensão vs deformação. O aço CA-60 não tem patamar definido e, assim, a resistência característica é aquela correspondente a uma deformação específica permanente de 0,2%. • Limite de resistência (fstk): força máxima suportada pelo material na qual ele se rompe, ou seja, é o ponto máximo de resistência da barra. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 17 • Alongamento na ruptura: é o aumento do comprimento do corpo de prova correspondente à ruptura. Para efeito de dimensionamento em concreto armado, não se faz necessário utilizar o diagrama tensão vs deformação apresentado na Figura II.10. A NBR 6118:2003 permite o uso do diagrama tensão vs deformação simplificado que é indicado na Figura II.11. Figura II.11 – Diagramas tensão vs deformação simplificados propostos pela NBR 6118:2003 para dimensionamento de estruturas de concreto armado. Nessa figura, têm-se as seguintes grandezas: Es – módulo de elasticidade do aço, admitido igual 210000MPa. fyk – tensão característica de escoamento do aço à tração. fyd – tensão de escoamento de cálculo do aço ( = fyk / 1,15). A Tabela II.1 destaca os valores dessas grandezas referentes aos aços que serão utilizados no dimensionamento de estruturas de concreto armado. Nessa tabela, εyd é a deformação específica de cálculo (= fyd / Es) e ξ é a relação entre a profundidade da linha neutra e a altura útil de uma seção de concreto (será visto mais adiante). Tabela II.1 – Propriedades dos aços utilizados no dimensionamento de estruturas de concreto armado. Aço fyk fyd εyd = fykEs ξ = x d CA-25 250 MPa 217 MPa 0,104 % 0,7709 CA-50 500 MPa 435 MPa 0,207 % 0,6283 CA-60 600 MPa 522 MPa 0,248 % 0,5900 Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 18 EXERCÍCIO PROPOSTO II.1: Para fck = 20MPa, 25MPa e 30MPa, montar uma tabela apresentando: 1. Resistência de cálculo à compressão (fcd). 2. Resistências à tração (fctm, fctk,sup e fctk,inf). 3. Módulos de deformabilidade inicial (Eci) e secante (Ecs) do concreto. EXERCÍCIO PROPOSTO II.2: Para fck = 25MPa, traçar as curvas tensão vs deformação do concreto na compressão (NBR 6118:2003) considerando valores característicos e de cálculo. EXERCÍCIO PROPOSTO II.3: Traçar o diagrama tensão vs deformação simplificado proposto pela NBR 6118:2003 para o aço CA-50. Considerar valores de cálculo e característico. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 19 III. SISTEMAS ESTRUTURAIS EM EDIFICAÇÕES III.1 O projeto estrutural O projeto estrutural de edificações em concreto armado compõe-se das seguintes etapas: CONCEPÇÃO ANÁLISE SÍNTESE OTIMIZAÇÃO Essas etapas são inter-relacionadas e consecutivas. A cada ciclo, o projeto sofrerá revisões e alterações conceituais de modo a reduzir os custos sem comprometer o desempenho estrutural. III.1.1 Concepção Em uma primeira etapa, é preciso conceber a estrutura (concepção). Nesta fase, são estabelecidos os elementos estruturais e, por conseqüência, o sistema estrutural que será analisado. Elementos estruturais são peças com uma ou duas dimensões preponderantes sobre as demais que compõem a estrutura. Nos edifícios de concreto armado, têm-se os elementos: • Básicos: lajes, vigas e pilares. • Fundações: sapatas, blocos, estacas, tubulões entre outras. • Complementares: escadas, muros de arrimo, caixas d’água entre outras. O modo como esses elementos são arranjados é denominado sistema estrutural. Os elementos e o sistema estrutural propostos deverão atender, simultaneamente, as restrições impostas pelos projetos arquitetônico e de instalações prediais. III.1.2 Análise De posse do sistema e dos elementos estruturais, passa-se à fase de análise. A interpretação e a análise do comportamento real de umaestrutura são, de modo geral, complexas e nem sempre possíveis. Por essa razão, na construção de modelos físicos e matemáticos voltados para análise de estruturas (não só de estruturas concreto armado!) é comum utilizar técnicas de discretização. A discretização consiste em desmembrar uma estrutura complexa, cujo comportamento global seria de difícil previsão, em elementos menores cujos comportamentos possam ser admitidos já conhecidos e de fácil estudo. Estruturas de concreto armado são usualmente discretizadas em lajes, vigas, pilares e fundações. Esses elementos estruturais são analisados separadamente seguindo ordem contrária à de execução da estrutura, ou seja: 1. Análise das lajes com determinação das reações nos bordos, isto é, sobre as vigas. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 20 2. Análise das vigas considerando as cargas impostas pelas lajes. Calculam-se as reações nos apoios das vigas, que, de modo geral, correspondem aos pilares. 3. Análise dos pilares levando-se em conta as cargas impostas pelas vigas. Determinação da carga total que será transferida para as fundações. 4. Análise das fundações. A Figura III.1 ilustra uma estrutura simples (garagem em concreto armado) e a discretização adotada para sua análise. (a) (b) Figura III.1 – (a) Projeto de uma garagem em concreto armado; (b) Sistema e elementos estruturais gerados por discretização. Estruturas de Concreto Armado I____________________________________UFRJ/FAU/DE 21 É importante destacar que a execução da estrutura se dá em sentido contrário ao da análise, isto é: primeiro constroem-se as fundações, logo após os pilares, vigas e lajes. Por fim, cabe salientar que durante o processo de discretização, várias hipóteses são assumidas e, ao final da análise do sistema estrutural, deverão ser verificadas suas respectivas validades. Em particular, na análise de edificações de concreto armado, pode-se citar que: • As vigas são apoios indeformáveis para as lajes. • As lajes são totalmente apoiadas ou engastadas nas vigas. • As ações sobre as vigas são uniformemente distribuídas. • Os pilares fazem o papel de apoios indeslocáveis na direção vertical para as vigas. III.1.3 Síntese e otimização De posse de todas as dimensões dos elementos estruturais e do comportamento da estrutura como um todo, verifica-se se as hipóteses adotadas ao longo da análise foram adequadas, se o comportamento estrutural obtido foi o desejado e se ainda pode ser aprimorado. A esta fase é dado o nome de síntese e, em linhas gerais, consiste em uma análise crítica dos resultados obtidos na análise estrutural. Caso o comportamento estrutural obtido não tenha sido o desejado ou ainda se queira melhorá-lo (reduzindo as dimensões dos elementos estruturais, por exemplo), passa-se a fase de otimização. Nessa fase, obtém-se um novo sistema estrutural que deverá seguir todas as etapas estabelecidas inicialmente (novas concepção, análise, síntese e otimização). Nota-se, portanto, que a elaboração do projeto estrutural é um processo cíclico no qual se deseja obter estruturas as mais resistentes possíveis da forma mais econômica. III.2 Abrangência do curso Nesse curso, será enfocada apenas a análise de estruturas de concreto armado e, particularmente, as lajes e vigas. As demais etapas do projeto serão abordadas em disciplinas futuras. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 22 IV. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO IV.1 Introdução O cálculo da armadura necessária para resistir a um momento fletor é um dos pontos mais importantes no dimensionamento das peças de concreto armado. O dimensionamento é feito no estado-limite de ruína, impondo que na seção mais solicitada sejam alcançadas as deformações específicas limites dos materiais, ou seja, o estado-limite último pode ocorrer tanto pela ruptura do concreto comprimido quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. IV.2 Definições e nomenclatura Antes de apresentar a teoria que possibilita o dimensionamento das peças de concreto armado, é conveniente repetir as principais definições e nomenclatura das grandezas envolvidas no cálculo: h – altura total da seção transversal de uma peça. d – altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até a fibra mais comprimida de concreto (Figura IV.1). Figura IV.1 – Altura útil de uma laje. A altura útil relaciona-se com a espessura da laje através da expressão: h = d + cnom + φ 2 (IV.1) Pode-se adotar, em um pré-dimensionamento, para lajes maciças: d = h – 3cm (IV.2) E para vigas o menor valor entre: d = h – 5cm e d = h – 10%h (IV.3) Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 23 Msd – momento fletor solicitante de cálculo: no dimensionamento, é obtido multiplicando-se o momento de serviço (calculado) pelo coeficiente de ponderação 1,4. Mrd – momento fletor resistente de cálculo: momento fletor que a peça deve resistir (calculado com fcd e fyd e sempre Msd ≤ Mrd). bw – largura da seção transversal: no caso de lajes, bw = 100cm = 1,0m. x – altura (profundidade) da linha neutra: distância da borda mais comprimida do concreto ao ponto que tem deformação e tensão nulas (distância da linha neutra ao ponto de maior encurtamento da seção transversal de uma peça fletida). IV.3 Hipóteses básicas para o cálculo As hipóteses para o cálculo no estado-limite último estão no item 17.1.2 da NBR 6118:2003 e são as seguintes: 1. Seções transversais permanecem planas: do início da deformação até o estado- limite último; as deformações são, em cada ponto, proporcionais a sua distância à linha neutra da seção. 2. Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a armadura; dessa forma, a deformação específica de uma barra da armadura, em tração ou compressão, é igual à deformação específica do concreto adjacente. 3. Tensões de tração no concreto podem ser desprezadas. 4. Caracterização da ruína da peça para qualquer tipo de flexão feita através das deformações específicas de cálculo do concreto (εc) e do aço (εs). 5. Encurtamentos últimos (máximos) do concreto: no estado-limite último, o encurtamento específico de ruptura do concreto vale: a. Nas seções não inteiramente comprimidas (flexão): εc = 3,5‰. b. Nas seções inteiramente comprimidas: εc = 2,0‰. 6. Alongamento último das armaduras: o alongamento máximo permitido ao longo da armadura tracionada é εs = 10‰. 7. Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo apresentado no capítulo II. IV.4 Domínios de dimensionamento Conforme já apontado, a ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado- limite último é caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço, que atingem os valores últimos das deformações específicas desses materiais. Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de uma seção transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida a ações normais definem seis domínios de deformação esquematizados na Figura IV.2. Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de deformações específicas de cálculo εc e εs correspondem um esforço normal, se houver, e um momento fletor atuantes na seção. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 24 Figura IV.2 – Domínios de deformação no estado-limite último em uma seção transversal (Figura 17.1, NBR 6118:2003). Domínio 1 O estado último é caracterizado pela deformação εsd = 10‰. A linha neutra é externa à seção transversal, a qual está inteiramente tracionada. Neste domínio estão incluídos os casos de tração axial e de tração excêntrica com pequena excentricidade. A seção resistente é composta pelas armaduras deaço, não havendo participação resistente do concreto que é admitido inteiramente fissurado. Domínio 2 O estado limite último é caracterizado pela deformação εsd = 10‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo comprimido. Neste domínio, estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. Na peça existe um banzo tracionado, mas o concreto da zona comprimida não atinge a ruptura, pois esta somente poderá ocorrer na posição limite no fim do domínio 2, quando, então, εcd = 3,5‰. Observando a Figura IV.2, percebe-se que no limite entre os domínios 2 e 3, a linha neutra se encontra a uma profundidade igual a: 3,5 ‰ x2 = 10‰ d − x2 ∴ x2 = 0,259 . d Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 25 Domínio 3 O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. Na situação última (limite entre o domínio 3 e 4), a deformação da armadura tracionada é pelo menos igual à deformação de início de escoamento. Assim, a ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto, pois os dois materiais são aproveitados inteiramente e, além disso, não há risco de ruína não avisada. As peças que chegam ao estado último no domínio 3 são ditas peças subarmadas (na verdade deveriam ser chamadas de peças normalmente armadas). Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. O domínio 3 é limitado pela condição: 3,5 ‰ x3 = εyd d − x3 ∴ x3 = 0,0035 εyd + 0,0035 d que é variável com o tipo de aço empregado. Domínio 4 O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. No estado último, a deformação da armadura é inferior à deformação de início de escoamento. A ruptura da peça ocorre, portanto, de forma frágil, não avisada, pois o concreto se rompe sem que a armadura tracionada possa provocar uma fissuração que sirva de advertência. As peças que chegam ao estado limite último no domínio 4 são ditas superarmadas, devendo ser evitadas tanto quanto possível. No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com grande excentricidade. Existe predominância do efeito de compressão, embora a excentricidade não possa ser chamada de pequena, pois a peça ainda apresenta um banzo tracionado. O domínio 4 é limitado pela condição: x4 = d sendo nula a deformação da chamada armadura de tração a qual, na situação limite, não é solicitada. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 26 Domínio 4a O estado limite último é caracterizado pela deformação εcd = 3,5‰. A linha neutra ainda corta a seção transversal, mas na região de cobrimento da armadura menos comprimida. No domínio 4a, as armaduras estão comprimidas, embora sejam usualmente desprezíveis as tensões na armadura menos comprimida. O domínio 4a é um simples domínio de transição conceitual, estando limitado por uma posição da linha neutra tangente à fibra extrema da seção, sendo, pois: x4a = d Domínio 5 No domínio 5, estão incluídos os casos de flexo-compressão com pequena excentricidade e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção transversal a qual se encontra inteiramente comprimida. Admite-se que neste domínio seja variável a deformação última do concreto. Toma-se 2‰ na compressão uniforme e 3,5‰ na flexo-compressão com linha neutra tangente à seção. Os diagramas de deformação nos dois casos limites citados cruzam-se no ponto C, afastado de 3 7 h da borda mais comprimida da seção, como decorrência da hipótese de que o estado último seja caracterizado por εcd = 2,0‰ na compressão uniforme e εcd = 3,5‰ na flexo- compressão. A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com encurtamento da armadura. Não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência. IV.5 Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão normal Considerando equações de equilíbrio de uma dada seção de concreto armado e as hipóteses estabelecidas no item IV.3, chega-se às seguintes expressões para o cálculo da armadura longitudinal em lajes sob flexão normal: kmd = 0,68 . kx − 0,272 . kx2 (IV.4) kz = 1 − 0,4 . kx (IV.5) As = Msd kz . d . fs (IV.6) Onde kmd = Msd bw . d 2 . fcd (IV.7) Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 27 kx = x d (IV.8) e As é área necessária de armadura longitudinal e fs é a tensão associada a essa armadura devida aos esforços atuantes. A partir dos parâmetros adimensionais gerados (kmd, kz e kx), obtém-se a Tabela D.1. ROTEIRO PARA CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS EM LAJES 1. Calcular através da Eq. (IV.7) o valor de kmd. 2. Com o valor de kmd, buscar na Tabela D.1 os valores de kx e kz, além da tensão associada à armadura (fs) 3. Com kx, determinar o domínio de dimensionamento: a. Se aço CA-25: i. kx > 0,771 Domínio 4 (deve ser evitado) ii. 0,259 < kx < 0,771 Domínio 3 (ideal) iii. kx < 0,259 Domínio 2 (admissível) b. Se aço CA-50: i. kx > 0,628 Domínio 4 (deve ser evitado) ii. 0,259 < kx < 0,628 Domínio 3 (ideal) iii. kx < 0,259 Domínio 2 (admissível) c. Se aço CA-60: i. kx > 0,590 Domínio 4 (deve ser evitado) ii. 0,259 < kx < 0,590 Domínio 3 (ideal) iii. kx < 0,259 Domínio 2 (admissível) Com kz e fs e considerando a Eq. (IV.6), calcula-se a área de aço necessária. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 28 V. PROJETO DE LAJES MACIÇAS EM CONCRETO ARMADO V.1 Tipos de laje Sob o ponto de vista estrutural, lajes são elementos estruturais de concreto, com superfície plana, em que a dimensão perpendicular à superfície, usualmente chamada espessura, é muito menor do que as demais (largura e comprimento). Esses elementos são submetidos, principalmente, a ações normais (perpendiculares) a seu plano e têm como função, em edifícios de concreto armado, transferir as cargas que atuam sobre os pavimentos para os elementos que as sustentam (vigas). Há vários tipos de concepções para as lajes de concreto armado: • Lajes maciças: Figura V.1 – Ilustração de uma laje maciça em concreto armado apoiada nas bordas por vigas. Figura V.2 – Edifício em construção com lajes maciças em concreto armado. o São constituídas por peças maciças de concreto armado, sendo o tipo mais comum em edificações. o Não tem grande capacidade portante (estrutural), devido à pequena relação rigidez / peso. o Dimensões (vãos) variando entre 3m e 6m podendo-se chegar a 8m. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 29 o Há necessidade de se utilizar fôrmas, sendo uma opção anti-econômica caso não haja repetição de pavimentos. o Necessita de uma grande quantidade de vigas, o que dificulta a execução das formas. o Funcionam como elementos de contraventamento (diafragmas rígidos) e de enrijecimento (vigas). o Permite uma grande versatilidade geométrica das peças constituintes da edificação, pois são moldadas in loco. • Lajes pré-fabricadas (vide Figura V.3 e Figura V.4): o Existem diversos tipos e são fabricadas seguindo um rígido controle de qualidade. o Podem ser constituídas por vigotas treliçadas ou armadas, que funcionam como elementos resistentes, cujos vãos são preenchidos com blocos cerâmicos ou de cimento. Nesse caso, a solidarização do conjunto é feita com uma capa superior de concreto com espessura, geralmente, de 4cm. o Outra possibilidade é a utilização de painéis pré-fabricados protendidos ou treliçados, apoiados diretamente sobreas vigas de concreto ou metálicas (estrutura mista), dispensando elemento de vedação. o A maior vantagem desse tipo de laje é a rapidez de execução. o Podem possuir vãos que variam de 4m a 8m podendo atingir 15m. • Lajes nervuradas (vide Figura V.5): o São utilizadas quando se deseja vencer grandes vãos e/ou grandes sobrecargas. o O aumento do desempenho estrutural é obtido pela ausência de concreto entre as nervuras, que possibilita um alívio de peso não comprometendo sua inércia. o Para a execução das nervuras, são empregadas formas reutilizáveis ou não, confeccionadas normalmente em material plástico, polipropileno ou poliestireno expandido. o Devido à grande concentração de tensões na região de encontro da laje nervurada com o pilar, deve-se criar uma região maciça para absorver os momentos decorrentes do efeito de punção (perfuração da laje pelo pilar). Figura V.3 – Lajes pré-fabricadas. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 30 (a) (b) (c) Figura V.4 – Ilustração de painéis para lajes pré-fabricadas: (a) tipos π e alveolar; (b) tipos T e múltiplos T; e (c) tipo U invertido. Figura V.5 – Lajes nervuradas. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 31 • Lajes cogumelo: o São lajes apoiadas diretamente sobre os pilares por intermédio de capitéis, mostrados na Figura V.6, que têm a função de absorver os esforços de punção presentes na ligação laje-pilar. o O dimensionamento é feito com base nos esforços de cisalhamento, que são preponderantes sobre os esforços de flexão. Figura V.6 – Ilustração de lajes cogumelo com capitéis e com engrossamentos. • Lajes lisas (vide Figura V.7): Figura V.7 – Ilustração de laje lisa ou plana. o São apoiadas diretamente nos pilares sem o uso de capitéis ou engrossamentos. o Ausência de recortes nas lajes permite a redução no tempo de execução das formas, além da redução expressiva do desperdício de materiais. o Como não há capitéis ou engrossamentos, o dimensionamento deve ser muito criterioso observando atentamente a possibilidade de puncionamento. Para combatê-lo, podem ser utilizados conectores ou chapas metálicas na junção entre a laje e o pilar. Nesse curso será abordado apenas o dimensionamento das lajes maciças em concreto armado. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 32 V.2 Roteiro para cálculo de lajes maciças em concreto armado Como visto no item III desta apostila, pelo processo de discretização do pavimento de uma edificação, obtêm-se várias lajes que deverão ser dimensionadas isoladamente. Para o dimensionamento dessas lajes isoladas, sugere-se o seguinte roteiro: 1. Pré-dimensionamento das espessuras e dos vãos teóricos das lajes. 2. Determinação das condições mais adequadas de vinculação das lajes (apoios nos bordos das lajes). 3. Cálculo das cargas atuantes. 4. Verificação das flechas. 5. Cálculo dos momentos fletores. 6. Cálculo das áreas de aço necessárias para combate à flexão; 7. Determinação das armaduras longitudinais; 7. Cálculo das reações das lajes nas vigas de apoio; 8. Verificação do efeito das forças cortantes; 9. Detalhamento das armaduras. V.3 Dimensionamento e detalhamento de lajes maciças em concreto armado V.3.1 Pré-dimensionamento das espessuras e dos vãos teóricos das lajes ! DICA: Pode-se usar para pré-dimensionamento da espessura das lajes um valor entre lx 40 e lx 50 para lajes comuns e lx 12,5 para lajes em balanço, onde lx é o menor vão da laje, respeitando-se as espessuras mínimas recomendadas na NBR 6118:2003. V.3.1.1 Espessuras mínimas das lajes (h) A NBR 6118:2003, item 13.2.4.1, estipula valores mínimos para a espessura das lajes que DEVEM ser respeitados: • 5cm para lajes de cobertura não em balanço. • 7cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço. • 10cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN. • 12cm para lajes que suportem veículos de peso total maior ou igual a 30kN. • 15cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, l / 42 para lajes de piso biapoiadas e l / 50, onde l é o menor vão da laje. • 16cm para lajes lisas e 14cm para lajes-cogumelo. V.3.1.2 Vãos teóricos de lajes (l) Para determinação do vão teórico segundo a NBR 6118:2003 Anexo A. Usualmente, adota-se um sistema de eixos nas lajes onde x é a direção do menor vão e y é a direção do maior vão (Figura V.8). Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 33 Figura V.8 – Eixos e definição dos vãos lx e ly. ! DICA: Pode-se considerar para o vão teórico, conservadoramente, lef = lo + t1 2 + t2 2 , onde lo é a distância entre faces internas de dois apoios consecutivos, e t1 e t2 são as larguras desses apoios. V.3.2 Condições de vinculação dos bordos das lajes (condições de contorno) Como visto no capítulo III, a complexidade da descrição do comportamento conjunto das lajes em uma estrutura força a adoção de algumas hipóteses simplificadoras de forma a viabilizar a análise individual de cada painel de laje. Uma dessas hipóteses está relacionada à forma como os bordos da laje se comportam. Na metodologia de análise aqui proposta, os bordos da laje poderão ter três tipos de comportamento distintos, isto é, poderão estar engastados, apoiados ou livres (Tabela V.1). Tabela V.1 – Tipos de condições de contorno nos bordos de uma laje. Tipo de condição de contorno Símbolo Restrição Esforços gerados ENGASTE Deslocamentos e rotações Forças e momentos APOIO Deslocamentos Forças LIVRE Sem restrição Não gera esforços No que vem a seguir, para as situações usualmente encontradas no projeto de lajes, serão apresentadas as condições de contorno sugeridas. 1. Primeira situação: Bordo da laje analisada não é comum a nenhuma outra laje. Nessa situação, há duas possibilidades: • Se o bordo estiver sobre uma viga, então considera-se APOIADO. • Se não houver viga, trata-se de um bordo LIVRE. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 34 2. Segunda situação: Bordo da laje é comum a outras lajes e todas as lajes estão no mesmo nível. Nesta situação (Figuras V.9 e V.10), independente da espessura das lajes, considera-se o bordo ENGASTADO. 3. Terceira situação: Bordo da laje é comum a outras lajes e as lajes estão desniveladas. Nesta situação (Figuras V.11 a V.13), deve-se verificar o valor do rebaixamento (r). Se o rebaixamento for inferior à espessura da laje superior (h1) (Figura V.11), considera-se que o bordo está ENGASTADO, caso contrário o bordo será considerado APOIADO. 4. Quarta situação: Lajes com mudança de direção (lajes inclinadas). Neste caso, o bordo comum às duas lajes (Figura V.14) é assumido como ENGASTADO. 5. Quinta situação: Lajes parcialmente contínuas. Uma situação muito comum na prática é a ocorrência de um bordo parcialmente engastado ou apoiado, como apontado na Figura V.15. Neste caso, a análise da laje torna-se bastante complexa e, por simplificação, tende-se a assumir que o bordo ou está totalmente engastado ou totalmente apoiado. Para tanto, propõe-se o seguinte critério prático (Figuras V.16 e V.17): Se l2 ≥ 2 3 . l1, então os bordos das lajes L1 e L2 estão ENGASTADOS. Se l2 < 2 3 . l1, então o bordo da laje L1 está APOIADO e o da laje L2 está ENGASTADO. 6. Sexta situação: Laje adjacente à laje em balanço. Nesta situação, a laje em balanço (Figura V.18) será sempre considerada ENGASTADA no bordo continuamente ligado à outra laje. Por outro lado, a laje contígua tem o bordo APOIADO, dada a impossibilidade da laje em balanço restringir as rotações que surgem nesse bordo. Despreza-se, no entanto, o momento (meng) que seria imposto no bordo da laje L1 para simplificaros cálculos. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 35 Figura V.9 – Lajes em nível, de mesma espessura, e suas condições de contorno. Figura V.10 – Lajes em nível, de espessuras distintas, e suas condições de contorno. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 36 Figura V.11 – Lajes em desnível. Figura V.12 – Condições de contorno das lajes desniveladas para o caso em que r < h1. Figura V.13 – Condições de contorno das lajes desniveladas para o caso em que r ≥ h1. Figura V.14 – Laje inclinada (rampa). Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 37 Figura V.15 – Lajes parcialmente contínuas e condição de contorno mista (engaste-apoio) para o bordo da laje L1. Figura V.16 – Condições de contorno em lajes parcialmente contínuas para l2 ≥ 2 3 . l1. Figura V.17 – Condições de contorno em lajes parcialmente contínuas para l2 < 2 3 . l1. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 38 Figura V.18 – Laje adjacente à laje em balanço. EXERCÍCIO RESOLVIDO IV.1: Determine as condições de contorno nas lajes L1 a L10 apresentadas na planta de formas abaixo. Notar que a laje L1 está rebaixada de 25 cm em relação às demais. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 39 Solução: Laje L1: lx = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*20 = 520,0cm Laje L2: lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm ly = 500 + 0,5*15 + 0,5*20 = 517,5cm Laje L3: lx = 400 + 0,5*15 + 0,5*20 = 417,5cm ly = 500 + 0,5*15 + 0,5*20 = 517,5cm Laje L4: lx = 190 + 0,5*15 + 0,5*15 = 205,0cm ly = 400 + 0,5*15 + 0,5*20 = 417,5cm Laje L5: lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*20 = 217,5cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm Laje L6: lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm ly = 200 + 0,5*15 + 0,5*20 = 217,5cm Laje L7: lx = 185 + 0,5*15 + 0,5*15 = 200,0cm ly = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm Laje L8: lx = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm Laje L9: lx = 200 + 0,5*15 + 0,5*15 = 215,0cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm Laje L10: lx = 400 + 0,5*15 + 0,5*20 = 417,5cm ly = 500 + 0,5*20 + 0,5*15 = 517,5cm Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 40 EXERCÍCIO PROPOSTO IV.1: Determine os vãos teóricos e as condições de contorno das lajes L1 a L4 apresentadas na planta de formas abaixo. EXERCÍCIO PROPOSTO IV.2: Determine as condições de contorno nas lajes L1 a L8 apresentadas na planta de formas abaixo. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 41 V.3.3 Cargas atuantes sobre lajes V.3.3.1 Ações a considerar No cálculo dos esforços solicitantes deverá ser considerada a influência das cargas permanentes e acidentais e de todas as ações que possam produzir esforços importantes. Neste curso, serão consideradas apenas cargas permanentes e acidentais. Não serão tratados efeitos indiretos tais como variação de temperatura, retração ou deformação lenta do concreto ou ainda cargas de ocorrência excepcional como as provocadas por choque (veículos ou aeronaves), vibração de equipamentos entre outras. V.3.3.2 Cargas permanentes As cargas permanentes das lajes são oriundas do peso próprio, da camada de regularização do piso, da argamassa de assentamento, dos revestimentos cerâmicos ou naturais, enchimentos e alvenarias (definidas no projeto de arquitetura). # Peso-Próprio O peso específico do concreto armado é definido como um carregamento volumétrico causado pela aceleração da gravidade. No caso de lajes (elementos bidimensionais), rebaixa- se em uma dimensão a ordem deste carregamento, obtendo-se uma carga distribuída pela área da estrutura, conforme demonstrado na Figura V.19. Figura V.19 – Distribuição do peso-próprio em lajes. Essa redução de ordem é feita com uso da dimensão não-predominante, ou seja, a espessura da laje. Deste modo, considerando o peso específico do concreto armado igual a 25 kN / m3, o peso próprio da laje é dado por: gp = γc . h = 25 . h , em kN / m2 (V.1) # Revestimento É composto por diversas parcelas, tais como: camada de regularização, argamassa de assentamento, revestimentos cerâmicos ou naturais. Este carregamento depende do acabamento a ser utilizado na construção e é representado esquematicamente na Figura V.20. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 42 Figura V.20 – Carregamento devido ao revestimento. A NBR 6120:1980 apresenta os pesos específicos dos materiais de construção frequentemente empregados em revestimentos de pisos. A Tabela D.2 são apresentados alguns desses valores. A carga devida ao revestimento é dada por: gR = Σ γR . hR (V.2) onde hR é a espessura do revestimento. ! DICA: Na ausência de um valor definido, pode-se, também, utilizar o valor prático gR = 1,0 kN/m2 para revestimentos cerâmicos ou de madeira, e gR = 1,5 kN/m 2 para revestimentos de granito ou mármore. ALVENARIA Este carregamento somente será considerado quando existirem paredes descarregando sobre as lajes. Dois métodos podem ser utilizados para a determinação do carregamento parcialmente distribuído sobre a laje: 1. Método rigoroso: Consiste em se empregar programas computacionais, baseados nas placas por elementos finitos, podendo-se definir carregamentos e condições de contorno complexas. A utilização deste método é recomendável nos casos em que se deve verificar o efeito localizado produzido por um carregamento parcial ou em casos que fogem ao usual. 2. Método simplificado: Devido à inexistência de tabelas que considerem a disposição das alvenarias sobre as lajes, deve-se introduzir este carregamento de maneira aproximada, de modo a produzir resultados qualitativamente confiáveis. Esta aproximação consiste em: (i) Se 1 ≤ lylx ≤ 2 (Figura V.21) (laje armada em cruz), distribui-se uniformemente o carregamento das alvenarias sobre a laje, ou seja: gA = γA (eA . hA . cA) lx . ly , em kN/m 2 (V.3) Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 43 onde γA é o peso específico da alvenaria (NBR 6120, Tabela D.3); eA é a espessura da alvenaria acabada, hA é a altura da parede (pé-direito), e cA é o comprimento total das paredes sobre a laje e lx e ly são os vãos teóricos da laje. Figura V.21 – Paredes sobre laje armada em cruz. O comprimento da parede, se apoiada sobre as vigas da laje, deve ser tomado de eixo das vigas. Além disso, o comprimento deve ser medido segundo a linha média da parede. (ii) Se ly lx > 2 (laje armada em uma só direção) e a parede é disposta segundo a menor dimensão da laje: nesse caso, recomenda-se adotar uma faixa resistente de 1m de largura, segundo o maior vão da laje, conforme mostrado na Figura V.22. Figura V.22 – Parede disposta sobre o menor vão de uma laje armada em uma só direção. Nessa situação: gA = γA . (eA . hA), em kN/m (V.4) O carregamento devido à alvenaria, disposta longitudinalmente, em relação à faixa unitária, será representado como uma carga por unidade de comprimento em um modelo de viga equivalente (será explicado mais adiante). Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 44 (iii) Se ly lx > 2 (laje armada em uma só direção) e a parede é disposta segundo a maior dimensão da laje: nesse caso, recomenda-se adotar uma faixa resistente de 1m de largura, segundo o menor vão da laje, conforme a Figura V.23. O carregamento devido à alvenaria será representado como uma carga concentrada no modelo de viga equivalente. Essa carga é dada por: Gp = γA . (eA . hA), em kN (V.5) Figura V.23 – Parede disposta sobre o maior vão de uma laje armada em uma só direção. V.3.3.3 Cargas acidentais As cargas acidentais que atuam em uma laje são definidas em função do seu uso. Nesta categoria, estão incluídos pessoas, móveis, materiaisdiversos, veículos, utensílios domésticos, equipamentos etc (Figura V.24). Figura V.24 – Cargas acidentais atuantes sobre laje. Os valores das sobrecargas podem ser obtidos na NBR 6120:1980. Na Tabela D.4, são apresentados alguns desses valores. A NBR 6120:1980, item 2.2.1.5, sugere ainda que, ao longo de parapeitos e balcões, devem ser consideradas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão ou letreiro e uma carga vertical mínima de 2,0 kN/m. V.3.3.4 Carga total sobre a laje A carga total sobre a laje (gT) é dada pela soma das cargas permanentes e acidentais atuantes, ou seja: gt = gP + gR + gA + q (V.6) Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 45 V.3.4 Determinação das flechas (Estado Limite de Deformação Excessiva) V.3.4.1 Lajes sem bordos livres A flecha (deslocamento transversal máximo de uma barra reta ou placa) para lajes submetidas a carregamento uniforme e com diferentes condições de contorno (Tabela D.5) é calculada através de: f = g . lx4 Ecs . h3 . α 100 (V.7) onde: f é a flecha na laje; g é o carregamento atuante; h é a espessura da laje; Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto, Eqs. (II.3) e (II.4); e α é um coeficiente, função da relação entre os vãos e das condições de contorno da laje, dado pelos valores apresentados na Tabela D.5. V.3.4.2 Lajes em balanço Para lajes em balanço, têm-se as seguintes expressões: Tabela V.2 – Flechas em lajes em balanço. Condição de contorno Flecha f = 3 2 . g . lx4 Ecs . h3 f = 4 . P . lx3 Ecs . h3 f = 6 . M . lx2 Ecs . h3 Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 46 V.3.4.3 Deslocamentos-limite impostos pela NBR 6118:2003 Como definido no item 13.3 da NBR 6118:2003, “deslocamentos-limite são valores práticos utilizados para verificar o estado-limite de deformações excessivas da estrutura”. Os deslocamentos excessivos e a tendência à vibração dos elementos estruturais podem ser indesejáveis por diversos motivos, a saber: • Aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. Limites para esses casos são apresentados na Tabela D.6 (Tabela 3.12 da NBR 6118:2003). • Efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção; limites para esses casos são apresentados também na Tabela D.6. • Efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da estrutura, estão ligados a ela (Tabela D.6). • Efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Observando a Tabela D.6, nota-se que, nas lajes maciças para edificações residenciais considerando a condição de aceitabilidade sensorial, os seguintes deslocamentos-limite deverão ser considerados: 1. Carga total: lx 250 2. Carga acidental: lx 350 3. Lajes em balanço: o vão é igual ao dobro do comprimento do balanço, daí lx 125 para carga global e lx 175 para carga acidental. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 47 V.3.5 Cálculo dos esforços em lajes V.3.5.1 Determinação dos momentos máximos nas direções x e y em lajes sem bordos livres Os momentos fletores máximos, sendo os positivos designados pela letra m e os negativos pela letra n, são determinados pelas Eqs. (V.8) e (V.9). 1. Momentos máximos positivos, por unidade de comprimento, nas direções x e y. mx = µx . g . lx2 100 my = µy . g . lx 2 100 (V.8) 2. Momentos máximos negativos, por unidade de comprimento, nas direções x e y. nx = -µx´ . g . lx2 100 ny = -µy´ . g . lx 2 100 (V.9) onde lx é o menor vão teórico da laje; µx, µy, µx´ e µy´ são coeficientes fornecidos nas Tabelas D.7 a D.9. Com relação aos valores calculados, cabe destacar que: • Os momentos são calculados para uma faixa unitária de laje e para lajes isoladas. Assim, tem como unidade (considerando a carga em kN/m2 e o vão em m) kNm/m. • Os coeficientes indicados nas tabelas levam a valores extremos dos momentos e, portanto, não expressam a variação de esforços ao longo da placa. • Os momentos positivos ocorrem ao longo dos vãos das lajes (Figura V.25). • Os momentos negativos ocorrem nas bordas engastadas das lajes. Caso não haja bordas engastadas, não se consideram momentos negativos (Figura V.25). • No caso de momentos negativos em face comum a duas lajes, é usual considerar o maior valor entre a média dos momentos e 80% do maior momento fletor (Figura V.26). V.3.5.2 Determinação dos momentos máximos em lajes em balanço Nesta apostila, somente será considerado o caso da laje em balanço. Para essa situação, consideram-se os casos apresentados na Tabela V.3. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 48 Figura V.25 – Momentos fletores em lajes sem bordos livres. Figura V.26 – Regra para compatibilização, em um mesmo bordo da laje, dos momentos negativos. Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 49 Tabela V.3 – Momentos fletores para lajes em balanço. Condição de contorno / carregamento Momento negativo máximo nx = - g . lx2 2 nx = - P . lx nx = - M Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 50 EXEMPLO RESOLVIDO IV.2: (a) Determinar o carregamento total (cargas permanentes e acidentais) a ser aplicado na laje L1 correspondente aos compartimentos indicados na planta de arquitetura da figura abaixo. (b) Verificar as flechas totais e acidentais de acordo com o critério de aceitabilidade sensorial descrito na NBR 6118:2003. Considerar f ck = 25MPa. (c) Calcular os momentos fletores atuantes. Considerar alvenaria composta por tijolos furados, altura do pé-direito 2,70m, largura das vigas externas 22cm e internas 17 cm, e espessura da laje igual a 7cm (espessura mínima). Solução: 1. Carga permanente: Peso próprio: gP = 25 . 0,07 = 1,75 kN/m 2 Revestimento (não informado): gR = 1,00 kN/m 2 Alvenaria: gA = 13 . 0,17 . 2,70 . (4,825 + 1,670) 4,825 . 5,605 = 1,43 kN/m 2 L1 h = 7,0 cm = 0,07 m ly = 506,5cm = 5,065 m lx = 482,5 cm = 4,825 m 167,0cm = 1,670 m Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 51 2. Carga acidental (banheiro e dormitório): q = 1,50 kN/m2 3. Carga total: Permanente: gpermanente = 4,18 kN/m 2 Acidental: q = 1,50 kN/m2 Total: gT = gP + gR + gA + q = 5,68 kN/m 2 4. Determinação do módulo longitudinal secante do concreto: Ecs = 0,85 . 5600 . fck [MPa] = 23800 MPa = 23800000 kN m2 5. Verificação da flecha devida ao carregamento total: λ = ly lx = 506,5 482,5 = 1,05 Da Tabela D.5, caso 4, tem-se: α = 2,67 De acordo com a Eq. (V.7): fg = 4,18 . (4,825)4 23800000 . (0,07)3 . 2,67 100 = 0,0074 m = 7,4 mm A flecha admissível vale (NBR 6118:2003): fadm,g = 4,825 250 = 0,0193 m = 19,3 mm Como f g < f adm,g , a flecha para cargas globais está OK! 6. Verificação da flecha devida ao carregamento acidental: De acordo com a Eq. (V.7): fq = 1,50 . (4,825)4 23800000 . (0,07)3 . 2,67 100 = 0,0027 m = 2,7 mm A flecha admissível vale (NBR 6118:2003): fadm,q = 4,825 350 = 0,0137 m = 13,7 mm Como fq < fadm,q, a flecha para cargas acidentais está OK! 7. Determinação dos coeficientes µx, µy, µx´, e µy´ Relação entre os vãos: λ = ly lx = 506,5 482,5 = 1,05 Condições de contorno: Caso 4 Consultando as tabelas apresentadas: µx = 3,05; µx´ = 7,43; µy = 2,81; µy´ = 7,18 Estruturas de Concreto Armado I __UFRJ/FAU/DE 52 8. Cálculo
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