exame ga T5 2013

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EXAME - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Maicon Soˆnego - 08/07/2013 - T5
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
• A prova pode ser feita a la´pis.
• Coloque seu nome completo na folha de questo˜es e na folha de resoluc¸a˜o da prova.
• No final, entregue a folha de resoluc¸a˜o e a folha de questo˜es.
Questo˜es
1. (a) (10 pontos) Resolva pelo me´todo de Gauss-Jordan, da maneira mais detalhada pos-
s´ıvel, o seguinte sistema:


−x +3y −z = −3
−2x +5y +z = 0
x −3y −2z = −3
(b) (10 pontos) Uma matriz M diz-se ortogonal se MM t = M tM = I. Mostre que se
M e´ ortogonal enta˜o o determinante de M e´ 1 ou -1.
(c) (10 pontos) Considere um triaˆngulo ABC e sejamM e N pontos me´dios de AC e BC,
respectivamente. Prove que o vetor ~MN e´ paralelo ao vetor ~AB e tem comprimento
igual a metade do comprimento de ~AB.
2. (a) (15 pontos) Encontre a equac¸a˜o vetorial da reta r que passa por P = (−1, 3, 1) e e´
perpendicular a` reta s :
{
x− 1− 2z = 0
y − 1− 3z = 0
.
(b) (10 pontos) Determine a posic¸a˜o relativa entre os planos π1 : 3x+ y − 3z − 5 = 0 e
π2 : x− y − z − 3 = 0.
(c) (10 pontos) Dados os vetores V1, . . . , Vn, prove que se k (1 ≤ k ≤ n) desses vetores
forem l.d., enta˜o todos eles sa˜o l.d..
(d) (10 pontos) Prove que se U × V + V × W + W × U = ~0, enta˜o U , V e W sa˜o
linearmente dependentes.
3. (a) (10 pontos) Encontrar uma equac¸a˜o geral da elipse com focos nos ve´rtices da hipe´r-
bole
y2
4
−
x2
5
= 1
e ve´rtices nos focos dessa hipe´rbole.
(b) (10 pontos) Obtenha a equac¸a˜o reduzida e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da para´bola
que tem foco no ponto F = (−7, 3) e reta diretriz x+ 3 = 0.
(c) (10 pontos) Identifique a qua´drica y2 − 4z2 − 4x− 6y − 24z − 31 = 0 e determine o
centro.
Boa prova!