Calcular la dimensión de los subespacios vectoriales de R[t] siguientes: F = [1− t+ 2t2, 1 + t2 − t3, t4 − t5] G = [1 + t, t2 − t4, 1 + t5,−t− t...

Para calcular a dimensão dos subespaços vetoriais de R[t], precisamos verificar o número de vetores linearmente independentes em cada subespaço. Para o subespaço F = [1− t+ 2t^2, 1 + t^2 − t^3, t^4 − t^5], podemos observar que temos 3 vetores. Vamos verificar se eles são linearmente independentes: Seja α(1− t+ 2t^2) + β(1 + t^2 − t^3) + γ(t^4 − t^5) = 0, onde α, β e γ são escalares. Igualando os coeficientes de cada termo, temos: α + β = 0 -α + β = 0 2α - β = 0 -γ = 0 γ = 0 Podemos ver que a única solução para α, β e γ é α = β = γ = 0. Portanto, os vetores são linearmente independentes. Assim, a dimensão do subespaço F é 3. Para o subespaço G = [1 + t, t^2 − t^4, 1 + t^5,−t− t^2 + t^4 + t^5], podemos observar que temos 4 vetores. Vamos verificar se eles são linearmente independentes: Seja α(1 + t) + β(t^2 − t^4) + γ(1 + t^5) + δ(−t− t^2 + t^4 + t^5) = 0, onde α, β, γ e δ são escalares. Igualando os coeficientes de cada termo, temos: α - δ = 0 α + β = 0 -β - δ = 0 γ = 0 γ + δ = 0 Podemos ver que a única solução para α, β, γ e δ é α = β = γ = δ = 0. Portanto, os vetores são linearmente independentes. Assim, a dimensão do subespaço G é 4. Para o subespaço H = [2− t^2, 1 + t^4, 1 + t^6, t^2 + t^4 + t^6], podemos observar que temos 4 vetores. Vamos verificar se eles são linearmente independentes: Seja α(2− t^2) + β(1 + t^4) + γ(1 + t^6) + δ(t^2 + t^4 + t^6) = 0, onde α, β, γ e δ são escalares. Igualando os coeficientes de cada termo, temos: 2α = 0 -α + β = 0 α + β + γ = 0 β + γ + δ = 0 Podemos ver que a única solução para α, β, γ e δ é α = β = γ = δ = 0. Portanto, os vetores são linearmente independentes. Assim, a dimensão do subespaço H é 4. Portanto, a dimensão dos subespaços vetoriais F, G e H é respectivamente 3, 4 e 4.