Segunda Lista.pdf

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Ceara´.
Departamento de Matema´tica.
CB0664 - Ca´lculo Fundamental
Aplicac¸o˜es da Integral Definida
Segunda Lista de Exerc´ıcios
(1) Utilizando sec¸o˜es planas paralelas, mostre que o volume de uma piraˆmide quadran-
gular reta, com altura h e base quadrada de lado a, e´ igual a
a2h
3
.
(2) Utilizando integral de sec¸o˜es planas paralelas, mostre que o volume do cone circular
reto, de altura h e raio da base r, e´ igual a
pir2h
3
.
(3) Usando o Ca´lculo Integral, calcule o volume de um tronco de piraˆmide, de altura h,
cuja base e´ um quadrado de lado a e cujo topo e´ um quadrado de lado b.
Resp. V =
h
3
(a2 + ab+ b2)u.v.
(4) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas sec¸o˜es
transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o triaˆngulos equ¨ila´teros, todos situados em
um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que teˆm como um dos
seus lados cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a esse diaˆmetro.
Resp. V =
4
√
3r3
3
u.v.
(5) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas
sec¸o˜es transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o triaˆngulos retaˆngulos iso´sceles,
todos situados em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que
teˆm como um dos seus catetos cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a
esse diaˆmetro.
Resp. V =
8r3
3
u.v.
1
(6) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas sec¸o˜es
transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o triaˆngulos retaˆngulos iso´sceles, todos
situados em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que teˆm
como hipotenusa cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a esse diaˆmetro.
Resp. V =
4r3
3
u.v.
(7) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas
sec¸o˜es transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o semi-elipses, todas situadas em
um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que teˆm o eixo menor
como cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a esse diaˆmetro e a medida
do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a a´rea da elipse
de semi-eixos maior e menor a e b, respectivamente, igual a piab ).
Resp. V =
4pir3
3
u.v.
(8) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas
sec¸o˜es transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o semi-elipses, todas contidas em
um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que teˆm o eixo menor
como cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a esse diaˆmetro e todas elas
teˆm a mesma excentricidade e.
Resp. V =
2pir3
3
√
1− e2u.v.
(9) Calcule o volume de um so´lido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e
menor a e b, respectivamente, e cujas sec¸o˜es transversais ao eixo menor sa˜o semi-
c´ırculos, todos situados em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a con-
tem, e tendo para diaˆmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo menor.
Resp. V =
2pia2b
3
u.v.
(10) Calcule o volume de um so´lido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e
menor a e b, respectivamente, e cujas sec¸o˜es transversais ao eixo maior sa˜o semi-
c´ırculos, todos situados em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a con-
tem, e tendo para diaˆmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior.
(Observe que esse volume e´ menor do que o volume do item anterior).
Resp. V =
2piab2
3
u.v.
(11) Calcule o volume do so´lido de base B = {(x, y) ∈ R2; y2 ≤ x ≤ 3− 3y2 cujas sec¸o˜es
por planos perpendiculares ao eixo Ox sa˜o quadrados com um lado apoiado em B.
Resp. V = 6u.v.
2
(12) Determine a a´rea da regia˜o do plano limitada simultaneamente pelas seguintes cur-
vas:
(a) y = lnx, x = 2 e o eixo Ox.
Resp. (2 ln 2− 1)u.a
(b) x = 8 + 2yy2,y = 1, y = 3 e x = 0.
Resp.
46
3
u.a
(c) xy = 4 e x+ y = 5.
Resp. (
15
2
− 8 ln 2)u.a
(d) y = 2x, y = 2xx2, x = 0 e x = 2.
Resp. (
2
ln 2
− 4
3
)u.a
(e) y = 2x, y = 1 e y =
2
x
.
Resp. (−3
4
+ 2 ln 2)u.a
(f) y = |x2 − 4| e y = 2.
Resp. (
16
√
2 + 24
√
6− 64
3
)u.a
(g) y = x3 − 3x e y = 2x2.
Resp.
71
6
u.a
(h) y =
9
x
, y = 9x e y = x.
Resp. (18 ln 3)u.a
(i) f(x) = x|x| e g(x) = x3.
Resp.
1
6
u.a
(j) x = y2 − 2 e x = 6− y2.
Resp.
64
3
u.a
(13) ] Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o do plano limitada pelo
gra´fico da func¸a˜o f(x) = cosh(x), com x ∈ [1, 1], em torno do eixo Ox.
Resp. V =
pi(e4 + 4e2 − 1)
4e2
u.v
(14) Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o do plano limitada pelo
gra´fico da elipse 9x2 + y2 = 9 em torno do:
(a) Eixo maior.
Resp. V = 4pi u.v.
3
(b) Eixo menor.
Resp. V = 12pi u.v.
(15) Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o compreendida entre
o(s) gra´fico(s) de:
(a) y = (x1)(x3)2 e o eixo x, ao redor do eixo y.
Resp. V =
24pi
5
u.v.
(b) y = 3
√
x , x = 8 e o eixo x, ao redor do eixo x.
Resp. V =
96pi
5
u.v.
(c) y = 2
√
x− 1 e y = x1, ao redor da reta x = 6.
Resp. V =
272pi
15
u.v.
(d) x = (y2)2 e y = x, ao redor da reta y = 1.
Resp. V =
27pi
2
u.v.
(e) y = sinx, para 0 ≤ x ≤ pi, ao redor do eixo x.
Resp. V =
pi2
2
u.v.
”No Pain, No Gain”
4