[V.Boltiansky]_O_Conceito_de_Derivacao

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IINICIAÇÃO NA MATEMATICA-J 
Terceiro fascículo da sene "Iniciação na Matcmútil:a", I~ ('ah;a 
a afinidade entre os processos apercebidos como contillllllli 
na natureza e alguns dos conceitos centrais do ('úbllo 
Já publicados nesta coleção 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES 
EM NÚMEROS IN1EIROS 
de 
A, Guelfond 
e 
DIVISÃO INEXATA 
de 
A, Belsky e L. Kalujnin 
<\EI\<\ .;~q
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EDITORA MIR MOSCOU 
INIC IACÃO NA MATEMÁTICA 
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O CONCEITO 
DE DERIVACÃO 
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v. Boltiansky 
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EDITORA MIR MOSCOU 
nonYJUIPHblE JIEKUHH no MATEMATHKE 
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B. r. EOJIT,HHCKHA 
lOllATEJIbCTBO «HAYKA» 
MOCKBA 
INICIAÇÃO NA MATEMÁTICA 
o CONCEITO 
DE DERIVAÇÃO 
V. BOLTIANSKY 
TRADUZIDO DO RUSSO POR 
M. DOMBROVSKY 
EDITORA MIR 
MOSCOU 
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 ÍNDICE 
Impresso na URSS 
Ha nopTyra.1bcKoM 1I3blKe 
© Tradução para o português. Editora Mir. 1983 
6PRIWÁCIO 
7O PROBLEMA DA QUEDA DOS CORPOS 
Formulação do problema 7 
Expressão analítica da velocidades de queda. O IlÚme, 
ro e t3 
Uma solução qualitativa 9 
DERIVAÇÃO 24 
O conceito de derivada 24 
Equações diferenciais 26 
Dois problemas conduzindo a equações diferenciais 
a) Fechamento de um circuito 26 
b) Desintegração radioativa 29 
Logaritmos naturais 32 
OSCILAÇÕES HARMÔNICAS 33 
O problema das pequenas oscilações do pêndulo 33 
A equação diferencial das oscilações harmônicas 40 
O circuito oscilatório 43 
Oscilação de um corpo suspenso por uma mola 45 
APLICAÇÕES SUPLEMENTARES DA DERIVAÇÃO 49 
Máximos e mínimos 49 
O traçado de tangentes 54
• Simulação 56 
PREFÁCIO 
" 
Tradicionalmente, a introdução da derivação requer um formalismo 
mais ou menos elaborado concernente ao conceito de limite. 
Bem que este último seja essencial e nào possa ser omitido, 
o autor do livro tenta abordar a derivação, conceito básico do 
"Cálculo", reduzindo ao mínimo o formalismo mencionado. 
A exposição adotada consiste em evitar a introdução imediatà 
de conceitos gerais e limitar-se ao exame de casos particulares 
provenientes de exemplos físicos evocativos. 
Tal procedimento, baseado quase unicamente na intuição motriz, 
apesar de não conduzir a uma elaboração sistemática do Cálculo, 
torna possível a discussão de tópicos relativos a equações 
diferenciais, extremos de funções, logaritmos naturais,. etc. 
• 
O PROBLEMA DA QUEDA DOS CORPOS 
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 
O primeiro problema que examinaremos concernerá à velocidade 
de um corpo em queda livre na Terra. 
Como se conhece, um corpo largado no vácuo adquirirá, em 
t segundos de queda, a velocidade 
v = Vo + gt, (1) 
onde Vo é a velocidade inicial e g, a aceleração da gravidade. 
Ao se examinarem corpos caindo no ar (e não no vácuo), 
a fórmula (1) dará, em alguns casos, uma solução aproximada, 
conduzindo, em outros, a erros grosseiros. Assim, a fórmula (1) 
fornecerá a velocidade de uma pedra em queda de uma pequena 
altura, dando um resultado bem distinto da velocidade que adquirirá 
um corpo em queda de uma altura elevada. De fato, um corpo 
caindo no vácuo de uma altura de, digamos, 12000 metros (com 
velocidade inicial nula) adquiriria, no nivel da Terra, uma velocidade 
próxima de 500 metros por segundo. Efetivamente, da fórmula 
s = g;2 resulta que o tempo de queda (no vácuo) é igual a 
V2S V2.120oo m t = - ~ 9 8 / 2 ~ 49,5 seg,g , m seg 
donde pela fórmula (1) encontra-se a velocidade 
v = gt ~ 9,8 m/seg2 • 49,5 seg ~ 485 m/sego 
(Poderíamos ter aplicado diretamente a relação v2 = 2 gs). Se sabe, 
todavia, que um pára-quedista que praticar a abertura retardada 
do pára-quedas atingirá uma velocidade de ordem de 50 a 60 metros 
por segundo e que esta velocidade já não aumentará. Logo, 
a aplicação da fórmula (1) conduziria, neste caso, a conclusões 
errôneas. 
Um outro exemplo ao qual a fórmula (1) torna-se inaplicável 
é o da descida com pára-quedas aberto, graças ao qual o 
pára-quedista conserva a velocidade aproximada de 6,5 metros por 
segundo. 
Estes exemplos confirmam a conjetura de que a velocidade 
de um corpo caindo no ar se aproxima, com o tempo, de um 
72' 
valor limite. Em outras palavras, após um certo tempo de queda, 
a velocidade do corpo torna-se praticamente uniforme e a sua 
aceleração, por conseguinte, nula. Isto significa que é nula 
a resultante das forças aplicadas ao corpo. 
A razão óbvia pela qual a fórmula (1) torna-se inaplicável 
aos corpos caindo no ar é de ter sido deduzida admitindo-se 
que o corpo se move sob a ação única da força da gravidade 
P = mg. 	 (2) 
Como já constatámos, porém, a resultante das forças agindo sobre 
um corpo em queda no ar torna-se, com o tempo, praticamente 
nula, quer dizer, a força da gravidade P se compensa por uma 
certa força, não levada em conta no estabelecimento da relação (1). 
Esta força compensatória não é outra senão a força de resistência 
do ar, força que sustém o pára-quedista, não deixando-o cair 
demasiado rapidamente. 
Admitamos, para tomar em conta esta força, que o ar não 
se move. Se o corpo não se mover, a força de resistência do 
ar será nula. Esta crescerá, porém, ao aumentar a velocidade do 
corpo, dado que crescerá "a dificuldade" de fender o meio gasoso, 
quer dizer, crescerá a força de resistência do ar. Isto se observará 
facilmente na ausência do vento, se começarmos a mover-nos 
cada vez mais rapidamente: andando, correndo, em bicicleta, etc. 
Admitiremos que a grandeza desta força é proporcional à veloddade, 
isto é, igual a bv, onde v é a velocidade do corpo e b, um certo 
coeficiente de proporcionalidade. Esta hipótese confirma-se em­
piricamente para pequenas velocidades não superiores a 1 ou 2 me­
tros por segundo *. O número b depende das dimensões e da forma 
do corpo em questão. Assim, ao se moverem com a mesma 
velocidade uma bola e um corpo fusiforme de mesma seção 
transversal, a bola experimentará grosseiramente uma resistência 
20 vezes superior (fig. 1). 
Limitando-nos a estas observações gerais, admitiremos que 
a força de resistência do ar, denotada por S, é igual a 
S -bv, 	 (3) 
o sinal menos indicando que o sentido da força de resistência 
é oposto 	ao da velocidade. 
Admitiremos, por conseguinte, que um corpo lançado vertical­
* Para velocidades maiores, a força de resistência do ar torna-se 
superior a bv. Ás vezes, admite-se que esta é proporcional ao quadrado 
da velocidade. 
8 
Fig. 1 
mente com uma velocidade inicial qualquer experimentará unica­
mente a ação de duas forças, a saber, da força da gravidade P 
e da resistência do ar S. Baseando-nos na segunda lei de Newton 
podemos, portanto, escrever 
ma P + S, 	 (4) 
onde m é a massa e a, a aceleração do corpo. É conveniente 
orientar a reta de coordenadas vertical para baixo, dado que, neste 
caso, a velocidade do corpo, também orientada para baixo, será 
positiva. Pela mesma razão, será positiva a força da gravidade. 
No referencial assim escolhido, a força de resistência do ar, 
orientada no sentido inverso à velocidade, será negativa. Assim, 
substituindo na formula (4) P e S pelos scus respectivos valores (2) 
e (3), obtemos 
ma = mg bv, 
ou (5)a -! (v-;} 
a aceleração resultando, bem entendido, positiva, se estiver orientada 
para baixo e negativa em caso contrário. 
A equação (5) fornece o vínculo entre a aceleração e a velocidade 
• 	 de um movimento cuja lei por enquanto não conhecemos. 
A partir desta equação é que devemos encontrá-la, isto é, 
estabelecer como dependerá do tempo a velocidade do corpo. 
UMA SOLUÇÃO QUALITATIVA 
A solução da equação (5) da queda dos corpos, obtida a partir 
de considerações físicas, constitui já um problema puramente 
matemático. Conservaremos, porém, por razões de ilustração,o vocabulário mecânico utilizado anteriormente. 
9 
l 
A equação (5) liga duas quantidades desconhecidas, a saber, O exame do caso em que Vo > "': é análogo. 
a velocidade e a aceleração. Poderia parecer que a atribuição 
à aceleração de um valor arbitrário permite satisfazer a equação (5) PROPRIEDADE 2. Se Vo < 7 ' então com o tempo a velocidade 
mediante a escolha de um valor conveniente para a velocidade 
e, logo, que não é bastante munirmo-nos unicamente da equação (5) da queda aumenta se aproximando cada vez mais de 7. Se, 
para achar ambas as quantidades v e a. 
Esta opinião errônea resulta do fato de termos esquecido que ao contrário, Vo > 7 ' então a velocidade da queda diminuirá sem 
a aceleração se determina inteiramente pela lei de modificação 
da velocidade no tempo, isto é, que as quantidades a e v 7.
cessar, tendendo para o mesmo valor 
não são totalmente independentes, circunstância que permitirá 
precisamente resolver a equação (5). O exame do vínculo entre De fato, se, por exemplo, Vo > ": ' então, como resulta da 
a velocidade e a aceleração conduzirá, mais adiante, ao conceito 
de derivada. propriedade 1, durante o movimento todo se terá v ~ 7 . Passamos ao estabelecimento de duas propriedades da velo­
cidade a partir da equação (5). Estas propriedades descreverão Logo, pela fórmula (5) a aceleração será negativa, conduzindo 
qualitativamente o comportamento da 'velocidade de um corpo. à diminuição ininterrupta da velocidade da queda. 
Ulteriormente, obteremos uma expressão funcional para a veloci­ Mostremos que com o tempo a diferença v - 7 se tornarádade. 
inferior a qualquer número positivo h dado a priori. Para isso,
PROPRIEDADE 1. Se a velocidade inicial Vo é inferior a "':' 
consideremos o momento de tempo 
então durante o movimento todo se terá v ~ ;: . Se, ao contrário, 
t. = (vo-T)mmg - ..... mg
Vo > 1)' entao sempre v ~ 1)' hb 
Suponhamos, por exemplo, que Vo < "': e que apesar disso Durante a queda que precedeu o momento t·, a velocidade terá 
num certo momento t l (a contar do começo do movimento) diminuído, passando de Vo a um valor não inferior a ":' 
a velocidade se tornou superior a '; . Então num certo momento 
ou seja, terá diminuído não mais que Vo - "': . Logo, a aceleração 
de tempo intermediário (ou num conjunto de tais momentos) 
média é negativa e não excede em valor absoluto o número 
a velocidade será igual a ":. Seja to o último dos momentos 
_. 
mg 
Vo -I) hb 
anteriores a t l nos quais a velocidade era "':' se cumprindo, t· m 
Daqui resulta que num certo momento intermediário a aceleração então, no intervalo entre to e t l a desigualdade v > "': . 
não deverá exceder ~, dado que se em cada momento a acele­Da fórmula (5) resulta que neste intervalo de tempo a aceleração m 
a se manteve negativa, em contradição com o fato da velocidade 
- c . hb I 'do d I - béraçao losse maIor que -, o va or me 10 a ace eraçao tam m 
ter crescido no mesmo intervalo de a um valor maior. m 
. . hb 
7 
sena supenor a -. 
A contradição oblida mostra que a velocidade não excede ",:. m 
II 
10 
- -~--~...., 
~ 
Assim, seja t' o momento em que Ia I < !!!!... 
m 
Daqui, em virtude de (5), obtemos 
rngl m mhb
v-T =b' lal ::;;; . m h, 
quer dizer, em t' a diferença entre a velocidade do corpo e 
'7: é inferior a h. O mesmo valerá para os momentos subsequentes, 
dado que a velocidade v diminui, permanecendo superior a 7:. 
Obtivemos, na realidade, uma afirmação um tanto mais fina do 
que a contida na propriedade 2, tendo mostrado que, ao mais 
tardar em 
t* = IVo ­ 71· h~ 
segundos de queda. a diferença entre a velocidade do corpo e 7: 
se tornará iriferior a h. 
As propriedades 1 e 2 fornecem uma solução fraca do nosso 
problema. Bem que não tenhamos obtido ainda uma expressão 
exata da velocidade através do tempo, sabemos como esta se 
modificará qualitativamente. 
Examinemos, a título de exemplo, o movimento do pára-quedista. 
Se este abrir o pára-quedas imediatamente após o salto, a velo­
cidade da sua queda, nula no inicio, aumentará sem jamais 
exceder '7: .A quantidade rng, isto é, o peso conjunto do homem 
e do pára-quedas, se conhecendo e b sendo função do diâmetro 
deste último, é possível determinar a dimensão do para-quedas que 
assegurará uma velocidade máxima de descida 7: não perigosa 
para a aterragem. Ao se efetuar um salto com abertura retardada 
do pára-quedas, o coeficiente na expressão que fornece a força 
de resistência do ar, denotemo-lo por b', será obviamente inferior 
ao coeficiente que corresponde ao pára-quedas aberto. A velocidade 
máxima de queda n;: excederá, assim, a velocidade de descida 
'7: com pára-quedas aberto. Logo, num salto com abertura 
retardada, a velocidade adquirida pelo homem antes de abrir 
12 
o pára-quedas será superior a '7:, diminuindo após a abertura 
e aproximando-se, de acordo com as propriedades e 2, de 
'7: sem se tornar inferior a este valor. Deste modo, decorrido 
um certo tempo após a abertura retardada do pára-quedas, 
a aterragem deixa de ser perigosa. 
O seguinte exemplo numérico ilustra as nossas considerações. 
EXEMPLO 1. Suponhamos que o pára-quedas assegure uma 
velocidade limite de descida de 6 metros por segundo, isto é, que
7: = 6 m/seg e que o pára-quedista tenha atingido a velocidade 
de queda de 50 m/seg antes de abri-lo. Avaliar o tempo de descida 
após a abertura suficiente para que a velocidade se torne inferior 
a 10 m/seg, isto é, se aproxime de velocidade limite 7: = 
= 6 m/seg de menos de h = 4 m/seg. 
Solução. Da igualdade m: = 6 m/seg, encontramos 
m 
Por outro lado, 
a velocidade da 
rng 1 6 m/seg
=-b . - ~ 10 I 2 g 
da fórmula 
queda e o 
", , , .nara necessanamente InlenOr 
segundos, quer dizer, levando 
m/.seg 
(6) resulta 
valor limite 
4 /a m seg 
= 0,6 seg. 
que a diferença entre 
7f = 6 m/seg se tor­
(rng) m. 1em Vo - T' . 
(50 m/seg - 6 m/seg)· 0,6 seg·" / = 6,6 seg.
m seg 
• 
EXPRESSÃO ANALÍTICA DA VELOCIDADE DE QUEDA. 
O NÚMERO e 
As propriedades 1 e 2 caracterizam apenas qualitativamente 
a velocidade de um corpo em queda. Neste parágrafo, obteremos 
uma expressão exata desta velocidade através do tempo. Na res­
pectiva fórmula ocorrerá um certo número, cuja representação 
aproximada com cinco decimais e 2,71828. Este número surge com 
freqüência na análise matemática denotando-se sempre pela letra e. 
O seu papel de constante pode ser comparado com o do número 
133-1113 
em conta os nossos dados, em 
1 
.. ......., 
1t = 3,14159..., igual ao quociente do comprimento de uma circun­
ferência pelo respectivo diâmetro. A razão do aparecimento do 
número e = 2,71828... na fórmula da velocidade, assim como 
o método preciso de defini-lo, serão discutidos mais adi!lnte. Por 
enquanto, escreveremos a fórmula que nos interessa sem 
demonstrá-la e daremos alguns exemplos ilustrando a sua aplicação. 
Dada a velocidade inicial Vo de um corpo em queda. a sua 
velocidade v, no momento t (isto é, t segundos após o início do 
movimento) se expressará por 
b 
mg mg --t 
VI = b + ( Vo - b ) '" . (7)e 
Esta é a solução exata da equação (5), fato que será verificado 
mais adiante. Passamos a alguns exemplos. 
EXEMPLO 2. Mostremos que da fórmula (7) decorrem imedia­
tamente as propriedades 1 e 2, isto é, as leis qualitativas que regem 
o comportamento da velocidade. 
b 
O número e "', obtido elevando e a uma potência negativa, 
b 
será positivo e inferior a unidade, isto é, O< e- m< 1. Ao crescer 
t 
t, o número e m 
h 
= ,e "'), portanto, diminuirá, se tornando 
arbitrariamente pequeno para t suficientemente grande. Da fórmula 
(7) resulta então que ao se verificar, por exemplo, Vo > '; , 
a velocidade VI permanecerá superior a '; (dado que Vo - "':>0) 
e diminuirá com o tempo aproximando-se de ",:. 
EXEMPLO3. Calculemos pela fórmula (7) a velocidade do 
pára-quedista 6,6 segundos após a abertura do pára-quedas, 
a partir dos dados do exemplo 1 (pág. 13), quer dizer, tomando 
m: 6 m/seg e Vo = 50 m/sego (Como vimos, esta velocidade não 
excederá necessariamente 10 m/seg.) 
Solução. Se tendo 
5! g: '; ~ 10 m/seg2 : 6 m/seg = seg 
e dado que o logaritmo decimal (fornecido pela tabela) do número 
14 
~ 
e é aproximadamente igual a 0,4343, encontramos 
( b) b 5 19 e '" t m t 19 e ~ - 3 . 6,6 . 0,4343 = 
= -4,7773 = -5 + 0,2227 = 5,2227, 
h 
t 
donde e m ~ 0,0000167. 
Substituindo-o na fórmula (7), obtemos
• V6.6 :reg ~ 6 m/seg + (50 m/seg 6 m/seg) 0,0000167 ~ 6,000735 m/sego 
Utilizando a fórmula (7) calcula-se igualmente que, nas mesmas 
condições, a velocidade do pára-quedista se tornará igual a 
10 m/seg em t 3 11 ~ 1,44 seg após a abertura do pára­
-quedas *. 
Assim, após a abertura retardada do pára-quedas, a velocidade 
de descida passa, num lapso de 1 a 2 segundos. de 50 a 60 metros 
por segundo a uma velocidade próxima da da descida prolongada com 
pára-quedas aberto. a saber. 6 a 7 metros por segundo. Uma vez 
aberto o pára-quedas, o homem experimenta uma grande desa­
celeração, ao se ver bruscamente puxado para cima pelo pára-quedas, 
ao qual resulta aplicada quase toda a força de resistência do ar. 
Qualquer pessoa que tenha visto saltos com abertura retardada 
deverá ter observado que, ao se abrir o pára-quedas, a velocidade 
do homem diminui bruscamente, causando mesmo a impressão 
de uma imobilização instantânea. 
EXEMPLO 4. Suponhamos que a velocidade limite da queda 
do homem com pára-quedas não aberto seja ": = 50 m/sego 
• 
Avaliar, admitindo que a velocidade inicial Vo é nula, o erro que 
se cometerá aplicando, em lugar da fórmula (7), a fórmula (1) que 
descreve a queda no vácuo. 
Solução. Se tendo 
b 2 
~ 10 m/seg = -0,2 _1_, 
m mg 50 m/seg seg 
b 
• Na realidade, a velocidade da descida se aproximará ainda mais 
rapidamente do seu limite igual a 6 m/seg, dado que para urna velocidade 
grande a força de resistência do ar cresce com esta mais rápido do que 
bv, a última dependência valendo somente para velocidades pequenas. 
153­
"---, 
a velocidade de queda será, pela fórmula (7), igual a PROPRIEDADE 3. Se a velocidade e a aceleração de um corpo
50 (1 - e- 0.2t).vt = satisfizerem a relação (5), então a velocidade inicial Vo imprimida 
Por outro lado, a velocidade de queda no vácuo, fornecida pela a este determina inteiramente a modificação ulterior da velocidade. 
fórmula (1), será Admitamos o contrário. Suponhamos que dois corpos Te T*, 
vt = gt;:::: lOt. para os quais m e b coincidem, e que se movem com velocidade 
e aceleração satisfazendo a relação (5), tenham sido dotados noExaminemos o quociente das velocidades assim obtidas: 
momento t = O da mesma velocidade inicial Vo e que, todavia, tIO2t50(1 - e- . ) ;:::: 2(1 _ e-O.2t). segundos mais tarde as velocidades destes se tornaram distintas, 
gt t constatando-se, digamos, que a velocidade VI do primeiro é superior 
Fazendo nesta expressão t = 1 seg, obteremos, mediante cálculos • a velocidade v! do segundo corpo. Admitiremos, para fixar idéias, 
simples com o emprego de logaritmos, o valor ;::::0,91, obtendo-se que Vo> :g (o caso da desigualdade inversa se tratando seme­
;:::: 0,82 para t = 2 sego Logo, já durante os primeiros segundos de 
queda. a velocidade do corpo se distinguirá notavelmente. graças lhantemente). Seja to o último dos instantes precedendo tInos 
à resistência do ar, da velocidade gt. quais as velocidades dos corpos coincidiam. Então, no intervalo 
Passemos à verificação * da fórmula (7). Neste intuito, deve-se, de to a t b a velocidade v do primero corpo excederá a velocidade 
antes de tudo, precisar a natureza do vínculo entre a velocidade v* do segundo, isto é, v> V*. Daqui resulta que 
e a aceleração. Se Vt for a velocidade do corpo no momento t v _ mg > v* _ mg
e Vt+h a sua velocidade h segundos mais tarde (quer dizer, no b b ' 
- - Vt +h - Vt h ' I ­momento t + h),entao a razao h se c amara ace erac,ao os números v -"7: e v* -"7: permanecendo, em virtude da 
média do corpo no lapso de tempo h e se denotará por am : 
propriedade 1, positivos, dado que Vo > 7: .Das desigualdades a = Vt+h - Vt 
m h 
v - mg > v* - mg > OSe h for bastante pequeno (digamos, 0,01 seg ou ainda menor b b
em função do caráter do movimento), pode-se admitir que durante 
resulta, pela fórmula (5), que as acelerações a e a* dos corposeste intervalo a aceleração pouco variará, am pouco se distinguindo, 
são negativas e que a excede a* em valor absoluto. Isto significa por conseguinte, da aceleração at no momento t. Em outras que entre os instantes to e t I as velocidades dos corpos T e T*palavras, se a título de h se tomarem intervalos cada vez menores 
terão diminuído, o decréscimo da velocidade do primeiro excedendo(digamos, 0,1 seg; 0,01 seg; 0,001 seg e assim por diante) sem, 
o do segundo. Logo, no instante t b V será iriferior a v* (dadoporém, mudar t, o número am variará, se aproximando cada vez que em to estas velocidades coincidiam). O fato de termos chegado mais de ato Em símbolos este fato se exprime assim 
• 
a uma conclusão contradizendo a nossa hipótese prova a pro­
I· I' Vt+h - Vt at = 1m am = 1m h . priedade 3. h-O h_O PROPRIEDADE 4. Se dois corpos iguais * T e T* começarem 
O símbolo lim denota o que se chama limite da expressão à sua a cair simultaneamente tendo sido dotados das velocidades iniciais 
direita (am, no presente caso), a notação h -+ O em baixo indicando Vo e v~, respectivamente, então as suas velocidades Vt e v1 em 
que se toma o limite de am com h tendendo para zero. qualquer instante t satisfarão a relação 
Estabelecemos, assim, o vínculo entre a velocidade e a acele­ mg mg
ração. As seguintes três propriedades da velocidade do movimento v1- b v~-b 
estudado simplificarão a verificação da fórmula (7). (8) 
mg
v - mg
t Vo - b* Se esta parecer de difícil compreensão, a sua leítura poderá ser b 
omitida sem causar infelicidade ao leitor. 
• Isto é, para os quais m e b coincidem. 
16 17 
.... _."...",.. 
c~ -,~ 
Para demonstrá-lo, imaginemos um corpo T que se mova em 
função de t pela lei 
v, = qv, + (1 - q) mob ' 
onde 
mo v~-­b 
q= 
mo
vO-T 
e mostremos que a velocidade e a aceleração deste corpo virtual 
satisfarão a relação (5). A respectiva aceleração média ãm no 
intervalo de t a t + h será 
- V,+h - V, 
am = h 
[qV'+h + (1 - q)-T]-[qV,+(1 - q)-T] 
V,+h - v, = q . a , 
=q h mh 
onde am é a aceleração média do corpo T no mesmo intervalo 
de tempo. Ao se tomarem na relação ãm = q . am valores de h cada 
vez menores, ãm se aproximará da aceleração do movimento 
virtual ã, no instante t, am tendendo para a aceleração a, do corpo 
T no mesmo instante. Assim, qualquer que seja t, ã, = qa,. 
e a aplicação da relação (5) conduz a 
- b ( mo) b [ qV+(1-q)T-Tmo mo] =a=qa=-q-;n v-T =--;n 
= -! (v- 7). 
mostrando que o movimento virtual considerado satisfaz a re­
lação (5). 
O cálculo da velocidade inicial do corpo virtual T dá 
Vo = qvo + (1 - q) mo = q (vo - mo) + mo = b b b 
mo v~-­
= ~ . (vo- ":) + '; = v~. 
vO-T 
18 
Assim, a velocidade e a aceleração dos corpos T e T* satisfazem 
a equação (5), as respectivas velocidades iniciais coincidindo. Logo, 
pela propriedade 3, as velocidades vr e V, destes corpos coincidirão 
em qualquer instante t, ou seja, 
vr = qv, + (1 - q) 7. 
Por conseguinte, se obtém 
Vó _ mgmo [qV, + (1 _• vr - b - q) -T] --T q (v, _m:) b 
=q­
--"---m::-:-g­ mg
v, - mo v, - mo v'-T vO-Tb b 
provando-se a propriedade 4. 
PROPRIEDADE 5. Para quaisquer instantes t e t, valerá a relação 
mo v-mo v-mov'+t - b , b t b 
.-- (9) 
mo mo mo'VO-T vo-- vo-­b b 
onde Vo, v" v, e V'+t representam a velocidade do corpo T consideradonos instantes 0, t, t e t + t, respectivamente. 
Para mostrá-lo, observemos a queda do corpo T a partir do 
instante t. Logo, t segundos mais tarde, quer dizer, t + t segundos 
após o início do movimento, a sua velocidade será V'+t' Se tivésse­
mos, no instante t = 0, além do corpo T, lançado um segundo 
corpo semelhante T*, imprimindo-lhe uma velocidade inicial v~ 
igual a v" a sua velocidade v, no instante t seria igual a v,+" 
isto é, v~ = v'+t' Então de (8) resulta 
mo mo
• v'+t - b vt-T 
, 
mg mo 
v'-T Vo -li 
donde (v'+t -7)(vo -7) = (v, -7)(vt -7} 
Dividindo ambos os membros desta igualdade por (vo- 7y, 
obteremos a relação (9) procurada. 
19 
---. 
Tendo estabelecido a propriedade 5, passamos ao cálculo 
da expressão exata da velocidade VI' A fim de simplificar a notação, 
empregaremos a seguinte abreviação temporária 
V - 1119 
I b 
UI = --­
1119
vO-T 
Nestes termos, a fórmula (9) tomará o aspeto 
UI+.=UI·U•. (10) 
Para t = t, (10) dará, em particular, 
U21 = (u l )2. 
De modo semelhante, tomando t = 2t em (10), obtemos 
U3. = UI' U21 = UI' (ul)2 = (UI)3, 
a relação t = 3t fornecendo 
U41 =UI' U31 = UI • (UI)3 = (UI)4 
e· assim por diante. Constata-se sem dificuldade que, para 
qualquer inteiro positivo n, valerá a relação 
u'" = (UI)'" (11) 
Fazendo aqui t =.!!... seg e extraindo a raiz n-ésima, obteremos 
n 
1 
(u)n=u p •I' _ 
n 
Se, ademais, tomarmos em (11) t = 1 seg, n se tornará igual a p, 
dando 
UI' = (udP• 
Das duas últimas igualdades decorre a relação 
I' 
= (UI>".uL 
n 
Assim, dado um número racional positivo t, quer dizer, um 
número de aspeto onde p e n são inteiros positivos, então 
n 
UI = (UIY, 
20 
o que, nas notações de origem, dará 
1119 ( 1119)'1v'-T = Vl--::; , (12) 
vo-­
• 
b b 
VI é, bem entendido; a velocidade de queda no instante t = 1 sego 
Do fato da relação (12) se cumprir para qualquer valor 
racional de t decorre a sua validade para qualquer t. 
Ilustremos este fato, tomando t =Vi' seg = 1,414... sego Para os racio­
nais 1,4; 1,41; 1,414, etc., a relação (12) valerá, quer dizer, 
V!,4 -7 (VI 7 )1.4 V!,41 -7 (VI -7 )1.41 
----= ; = ;... (13) 
mg mg 1119 1119 
Vo - b Vo - b Vo - T Vo - T 
Se atribuirmos a t valores racionais cada vez mais próximos de Vi' (por 
exemplo, 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142, etc.~ o primeiro membro das igualdades 
'1119vV2-T 
se aproximará de , o segundo tendendo, de acordo com a 
Vo - 1119 
b 
d(e::i~O_~_d)'~P:~:"tiOO:",~:'~Ii.n:~::: a:~o ".n~ 
vo--;;­
1119 ( mg)V2vVí -:; = VI - "! 
vo--;;- 00--;;­
O mesmo ocorrerá, bem entendido, para qualque~ valor irracional de t,
• a relação (12) resultando verdadeira para qualquer t. 
1119 VI-­
Introduzindo a notação b = c, 
1119
vO-T 
1119
v'-T 
de (12) obteremos =é, 
1119
vO-T 
4-1113 21 
---~ 
donde 
rng (
VI =T + Vo ­
A fórmula (14) não pode ser 
o número c não tendo sido ainda 
rng) (14)Te.r 
encarada como. definitiva, 
calculado. Para encontrá-lo, 
achemos pela fórmula (14) a aceleração no instante inicial do 
movimento. A aceleração média durante o tempo inicial de queda 
h será, em virtude de (14), igual a 
rng + ch oV
_ Vh-VO b _( rng). c h -1 
am - '- - Vo b h' 
Ao fazermos tender h para zero, esta expressão nos dará ao, 
isto é, a aceleração no instante inicial: 
I. )' ( rng) c h - 1 (15)ao = Im a", = Im Vo --b '--h-' 
h ... O h ... ° 
chDenotando - 1 por x, obteremos 
ch h - 1 = x, c = 
rng)Logo, a expressão Vo - T( 
em (15) tomará o aspeto 
rng) x 
- T . log.(l + x) 
1 + x, h = 10& (1 + x). 
c
h 
- 1 
. -h- na qual se passa ao limite 
rng rng 
vo-- vO-Tb 
1 ­
logc (1 + x)
x 10gc(1 + 
Tendo observado que, ao fazermos tender h para zero, ch tenderá 
para a unidade e x = ch - 1 para zero, seremos aptos a escrever 
rng 
Vo-­
I. b ao = 1m (16) 
x ... o I 
10& (1 + x)-; 
I 
O limite da função (1 + x)X com x tendendo para zero é igual 
precisamente ao número e. Não nos ocuparemos da demonstração 
de que este limite existe, isto é, da verificação do fato que o valor 
1 
de (1 + x)-; tende para um certo número com x ...... O. Tal verificação, 
de resto elementar, pode ser encontrada em qualquer manual 
22 
de cálculo diferencial. Mencionaremos simplesmente os valores que 
I 
a expressão (1 + x)X assumirá para x = 0,1; x 0,01; x = 0,001 
e x = 0,0001 (obtidos imediatamente por meio de um mini­
computador, podem se calcular manualmente com a ajuda de 
logaritmos ou pela fórmula do binômio de Newton): 
I 
(1 + 0,1)°;1 = 1,1 10 :::::: 2,59374, 
• 1 
(1 + O,Ol)O,õl = 1,01 100 :::::: 2,70481, 
1 
(1 + 0,001)°·001 = 1,001 1000 ~ 2,71692, 
1 
(1 + 0,0001)0.0001 = 1,000110000:::::: 2,71814. 
Estes resultados ilustram o fato que com x -+ ° a expressão 
1 
(1 + x)X tende para e = 2,71.... Assim, (16) adquire o aspeto 
rng 
vO-T 
ao logc e . 
Desta igualdade e de (5), isto é, de 
ao = - ! (vo - 7). 
igualando as expressões para ao, obtemos 
rng 
Vo - T = _ !!.. (vo_rng), 
.. e m b 
donde 
.. b 
lo&e = _ m e = c b. c=e m 
b 
Substituindo finalmente, na fórmula (14), c pelo seu valor e-;, 
chegamos à relação (7) que procurávamos e, ao mesmo tempo, 
ao termo da nossa demonstração. 
4" 23 
---, 
DERIVAÇÃO 
o CONCEITO DE DERIVADA 
Como se constatou, a equação (5) admite uma solução exata. 
Se trata de uma equação que estabelece um certo vínculo entre 
a velocidade de queda v e a aceleração a que não é outra senão 
a taxa de variação no tempo desta velocidade. 
Subentende~se, ao falarmos de taxa de variação no tempo 
de uma grandeza, que esta é inconstante, variando com o tempo. 
A velocidade e a aceleração de um movimento não uniforme, 
assim como a intensidade de uma corrente eléctrica alternada 
exemplificam o conceito geral de grandeza variando em função 
do tempo ou, mais simplesmente, de função do tempo. 
Seja y uma função de tempo. É comodo denotar por Y, 
o valor que esta assume no instante t. A diferença Y,H - y, 
representará então a modificação que a variável Y sofreu no lapso 
de h segundos entre os instantes t e t + h, o quociente 
(17) 
fornecendo o acresclmo médio de Y por segundo (no intervalo 
em questão), em outras palavras, a taxa média de variação de y. 
Escolhendo h cada vez menor, obteremos valores da taxa média 
de variação sobre intervalos de tempo cada vez mais curtos, 
todos de origem em t. No limite, quer dizer, com h tendendo para 
zero, a razão (17) dará a taxa de variação da variável y no 
instante t. Como vímos, esta se denota em símbolos mediante 
Iim y,H - y, (18)
h-O h 
A expressão (18) é o que se chama de derivada de y em 
relação a t. Esta dá, como vimos, a taxa de variação de Y no 
tempo. Pode-se considerar variáveis que, em lugar de depender 
do tempo, dependem de uma variável de outro gênero. Assim, por 
exemplo, a área do círculo é função do rruo deste. Se a denotarmos 
por SR e o raio por R, teremos 
SR = 1tR 2• (19) 
Examinando a dependência entre a área do circulo e o seu raio, 
24 
chegaremos à razão que não é outra senão a taxa 
média da variação da área em função do raio. O seu limite com 
h --> O é a derivada de S com respeito a R. 
A derivada é um dos conceitos fundamentais do cálculo diferencial. 
Se a variável y depender dos valores que se atribuírem a x, 
ou seja, se y for uma função de x, a derivada de y com respeito 
a x se denota por y' ou, talvez mais freqüentemente, por 
• 
dA'ou dx y. SSlm, 
.!!L lim Y... +h - Y... 
dx h-O h ' 
onde, bem entendido, o símbolo d não se pode simplificar, este 
não sendo um multiplicador, mas servindo a denotar a operação 
de derivação, chamada igualmente de diferenciação. 
Calculando, a título de ilustração, a derivada ~~ da 
função (19), obteremos 
dS = lim SR+h - SR 1t (R + h)2 -1tR2 
h-O h h 
== Iim (21tR + 1th) 21tR, 
h-+O 
quer dizer, a derivada da área do círculo com respeito ao raio 
é igual ao comprimento da respectiva circunferência. 
O nosso segundo exemplo será o da derivada ds do caminho 
percorrido pelo tempo. Seja s, o caminho que o corpo percorreu 
antes do instante t, isto é, durante t segundos a partir do início 
do movimento. Então será a velocidade média no in­
.. tervalo entre os instantes t e t + h, o limite desta razão com 
h --> O coincidindo com a velocidade no instante t: 
r StH - S, ds 
tV h:'~ h dto 
. d . d dlJ O .Exammemos agora a enva a dt' quociente 
é a aceleração média no intervalo entre os instantes t e t + h, 
25 
"-""---l 
o seu limite dando a aceleração no instante t (sugerimos ao leitor 
que o compare com o que foi dito na pág. 16): 
1. aI = 1m 
h-O 
dv 
=-.dt 
As relações obtidas 
v 
ds (20) 
e 
a 
dv (21) 
desempenham um papel fundamental na Mecânica. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
A equação (5) que estudámos pode ser escrita, graças a (21), 
na forma 
~ = _ b (v _me) (22)dt m b' 
Esta última comporta uma única incógnita, a saber, v, não sendo, 
porém, uma equação algébrica, dado que nela ocorre a derivada 
de v. Equações deste gênero chamam-se diferenciais. A função (7) 
sendo a solução da equação diferencial (22), podemos, denotando ! por k e ": por c, formular a sequinte asserção. 
TEOREMA. A solução da equação diferencial 
dv 
- = -k (v - c) (23)dt 
dá-se pela função 
v = c + (vo c) e- kt, (24) 
onde Vo é o valor inicial (para t O, precisamente) da função v. 
A afirmação deste teorema se aplicará ulteriormente à descrição 
de outros fenômenos físicos. 
DOIS PROBLEMAS CONDUZINDO 
A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
a) Fechamento de um circuito. Consideremos um circuito 
constituído de uma bateria e de uma bobina (condutor) (fig. 2). 
Bem que o comportamento elétrico das bobinas seja complexo, 
26 
.. 
• 
Fig. 2 
este pode, na maioria dos casos, se caracterizar pelas respectivas 
resistência ôhmica e indutância. Esquematicamente a bobina se 
representa por meio de dois elementos responsáveis pela resistência 
e pela indutância puras (fig. 3). Segundo a lei de Ohm, a queda 
de tensão ocasionada pela resistência será proporcional à intensi­
dade da corrente i, isto é, 
V=Ri, 
o coeficiente de proporcionalidade R chamando-se de resistência 
da bobina. A queda de tensão provocada pela indutância é 
proporcional à taxa de variação da corrente no tempo. Denotando 
esta última por w (grandeza que se medirá, por exemplo, em 
amperes por segundo) e o coeficiente de proporcionalidade por L, 
obteremos para este componente da queda de tensão a expressão 
V=Lw. ~ 
Bobina 
3 
27 
.,"""'"! 
"1' .r 
o número L chama-se auto-indutância da bobina. A queda de o aspeto. 
tensão total, devida à resistência e à indutância, será, por 
. E (. E) ~t
conseguinte, igual a " = li + 'o -]f e L 
v= Lw + Ri. (25) 
Admitíndo que no instante t = O, isto é, no do fechamento do 
A validade da fórmula (25) se confirma empiricamente nos casos circuito, a intensidade da corrente io era nula, obteremos a expressão 
em que a freqüência de alternação da corrente não for demasiado um tanto mais simples 
grande. Empregaremo-Ia pois correntemente. Denotemos por E 
a força eletromotriz da bateria. Podemos igualá-la, pela lei de E ( .~t)i, = R 1 - e L •KirchhotT, à queda de tensão na bobina (tendo desprezado 
a resistência interna da bateria, assim como a dos fios restantes Desta fórmula resulta que a corrente, nula no instante inicial, 
do circuito), obtendo-se a equação 
crescerá ininterruptamente aproximando-se de ! ' isto é, do valor 
E = Lw + Ri, J 
que esta teria, se a auto-indutância fosse nula, a resistência ôhmica 
ou permanecendo a mesma. (26)w= - ~ (i- !} b) Desintegração radioativa. Consideremos um pedaço de rocha 
contendo um certo número de átomos de um elemento radioativo. 
Os átomos de tais elementos se caracterizam pela sua instabilidade A asserção formulada no teorema da pág. 26 permite encontrar 
podendo se transformar em outros elementos chamados produtosa solução desta equação. De fato, se denotarmos por i/ a inten­
de desintegração. Logo, a concentração do elemento radioativo no sidade da corrente no instante t, então 
pedaço de rocha diminui com o tempo. Introduzamos o conceito 
i/H - i/ de velocidade de desintegração. Suponhamos que a rocha continha, W",= h 
no instante t, nIt gramas da substância radioativa e que h anos 
mais tarde a quantidade desta diminui, tornando-se igual a 17Ir+/tserá a taxa média de variação da corrente no intervalo entre os 
gramas. O número instantes t e t + h. Com h -+ O esta tenderá para a derivada da nIt+/t-nItintensidade da corrente em relação ao tempo no instante t: h 
I . i/H - i, di é a diminuição anual média da massa da substância considerada w= 1m =-. 
h-+O h dt 	 (expressa em gramas) durante o período escolhido e que é natural 
se chamar de velocidade média de desintegração neste período.Assim, w sendo a derivada da corrente i pelo tempo, pode-se O limite ao qual esta velocidade tenderá com h -+ O, não é outra escrever a equação (26) na forma 
senão a velocidade de desintegração no instante t. Se a denotarmos ~= _~(/_.É-) por u, teremos 
dt L R' r nltH - 17Ir dm 
u = .~IIJ h dt' 
Esta última se distingue da equação (23) unicamente pela notação 
da função incógnita, precisamente, i em lugar de v, o que é, Observemos que esta velocidade é necessariamente negativa, a massa t 
bem entendido, irrelevante. Ás constantes k e c figurando na da substância radioativa diminuindo com o tempo. 
equação (23) se atribuem, neste caso, os valores Pode-se admitir, a concentração da substância radioativa na 
rocha sendo pequena, que a velocidade de desintegração é direta­R E 
k =1:' c=]f' mente proporcional à massa da substância que o pedaço de rocha 
contém no momento dado, em outras palavras, que vale a relação 
A solução da nossa equação diferencial terá, em virtude de (24), u = -km, 
28 	 29 
r;'''' • 
onde m é a massa da substância e k, um coeficiente positivo, 
chamado constante de desimegração. 
A validade desta conjetura se justifica pelas seguintes considerações. 
Sendo válida, em virtude das leis físicas, para átomos independentes, 
o será para uma certa quantidade da substância, se o comportamento 
de cada átomo não influir ou influir insignificativamente no comportalnento 
dos demais. Nestas condições, pode-se supor que de cada grama da 
substância se desintegrará, na unidade de tempo, precisamente k gramas, 
independentemente da massa total da substância que ainda resta na rocha. 
De m gramas da substância se desintegrarão, bem entendido, km gramas. 
Para que estas condições se cumpram é necessário que as partículas 
emitidas nas desintegrações nào se captem, ou se captem muito raramente 
por outros núcleos provocando desintegrações subseqüentes. Tal reação 
em cadeia (na qual se baseia, de resto, o funcionamento de um reator 
nuclear) leva à dependência das desintegrações. Para que isto nào aconteça, 
é necessário que as partículas provenientes das desintegrações espontaneas 
se percam (na maioria dos casos), em lugar de serem captados por 
núcleos sujeitos à desintegração. Isto terá lugar, se a concentração da 
substância radiativa for ínfima,a rocha sendo quase inteiramente não 
radioativa. Então, a quase totalidade das partículas emitidas se perderá 
e a reação em cadeia será impossível. Resumindo, uma pequena concentra­
ção da substância radioativa permite encarar as desintegrações como 
independentes entre si. 
Assim, a massa da substância permanecendo não desintegrada 
satisfaz a equação diferencial 
dm 
= -km, 
que se distingue da equação (23) pela notação da função des­
conhecida m em lugar de v e pelo fato da constante c ser 
nula no presente caso.Logo, em virtude de (24), a sua solução 
terá o aspeto 
mr = moe- Itt, (27) 
onde mo é a massa da substância radioativa no instante inicial 
da observação do processo. 
EXEMPLO 5. Que tempo é necessário para que a massa de uma 
substância radioativa se reduza à metade? 
Solução. A fim de responder a esta questão, deve-se determinar 
t da equação 
kt 1 moe- = mo. 
Simplificando por mo e tomando o logaritmo, encontramos 
1 0,69
loge 2 ;:::: -k-' 
30 
o intervalo de tempo assim encontrado chama-se meia-vida 
da substância radioativa. Observemos que esta não depende da 
massa inicial da substância, dependendo apenas da constante de 
desintegração k, quer dizer, da substância em apreço. Assim, 
a meia-vida do rádio é 1590 anos, a do urânio 238, cerca de 
4,5 bilhões (4,5· 109) de anos. 
EXEMPLO 6. A fórmula (27) permite emitir conjeturas acerca 
da idade da Terra. 
Suponhamos que uma amostra de rocha extraída da Terra 
contenha, além de substâncias inertes, m gramas de uma substância 
radioativa e p gramas do seu produto de desintegração. Admitamos 
ademais que cada grama desta substância produza, uma vez 
totalmente desintegrada, r gramas do produto de desintegração. 
Daqui decorre que os p gramas do produto de desintagração terão 
resultado de gramas da substância radioativa. Então, supondo 
r 
que num certo instante o processo de desintegração na amostra 
começou sem que esta contivesse qualquer quantidade do produto 
de desintegração, poderemos concluir que a massa inicial da 
substância radioativa era m + A fim de determinar o tempo
r 
que decorreu entre o instante virtual em que o processo de 
desintegração na amostra começou e o dia de hoje, deve-se, de 
acordo com (27), resolver relativamente a t a equação 
m (m + ~ )e-kl , 
obtendo-se 
1loge (1 + r~). 
Cálculos baseados nesta fórmula e efetuados para diferentes 
rochas terrestres fornecem aproximadamente o mesmo valor de t 
de ordem de 2.109 anos. Logo, condições propícias à fixação 
do processo de desintegração descrito duram, na Terra, alguns bilhões 
de anos. É possível que antes a matéria que presentemente compõe 
a Terra estivesse num estado muito menos rígido. Tal conjetura 
explicaria os resultados descritos. 
Uma das hipóteses mais plausíveis concernentes à origem 
e à idade da Terra se emeteu nos trabalhos de vários geofísicos 
soviéticos, nos de O. Schmidt, em particular. 
31 
LOGARITMOS NATURAIS 
Nas fórmulas que fornecem a solução dos nossos problemas 
figura o número e elevado a um expoente variável. Os cállijulos 
resultantes da aplicação destas fórmulas se simplificarão, se 
empregarmos logaritmos na base e. Assim, tomando o logaritmo 
de cada membro de (27) na base e e na base 10, respectivamente, 
obteremos 
loge m, = - kt + loge mo, 
19 m, = - kt 19 e + 19 mo· 
No segundo caso se impõe o cálculo de um logaritmo e uma 
multiplicação suplementares. Além disso, outros problemas, como 
os dos exemplos S e 6, conduzem a fórmulas nas quais ocorrem 
logaritmos na base e. O número e surge com freqüência em 
análise, a utilização dos logaritmos na base e resultando muito 
cômoda, sobretudo nas considerações teóricas. Os logaritmos na 
base e chamam-se naturais ou neperianos e denotam-se mediante 
o símbolo In, a expressão In x significando o mesmo que loge x. 
O vínculo entre os logaritmos decimal e natural dá-se por 
10glO x = M ·ln x, 
onde M = 10glO e ~ 0,4343. 
Esta relação se obtém tomando o logaritmo decimal dos 
membros da identidade 
1nxe = x. 
32 
OSCILAÇÕES HARMÔNICAS 
O PROPLEMA DAS PEQUENAS OSCILAÇÕES 
DO PÊNDULO 
Suponhamos que um corpo M esteja preso por um fio de 
comprimento I a um ponto fixo C. Tal sistema mecânico 
chama-se pêndulo. Por abuso de linguagem, chamaremos de 
pêndulo igualmente o próprio corpo M, o problema consistindo 
na determinação do movimento que este efetuará. Para isso, 
adotaremos algumas simplificações, admitindo que o fio que 
segura o corpo M é inestendível e sem peso. 
Consideraremos o movimento que o pêndulo M efetuará num 
plano vertical fixo passando pelo ponto de suspensão. O fio sendo 
inestendível, o corpo M descreverá um arco de circunferência 
de centro em C e raio I. O peso de um fio real pode ser 
desprezado, se for pequeno em comparação com o do corpo M. 
Nestas condições, pode-se admitir que as forças atuando sobre 
o sistema estão todas aplicadas a M. O próprio corpo M será 
idealizado como um ponto dotado de certa massa m, abstraindo-se, 
assim, das suas dimensões. Sobre M atuará, além da força de 
tensão do fio, a força de gravidade. As demais forças, entre as 
quais a da resistência do ar, se desprezarão. Pode-se imaginar 
o pêndulo suspendido num recipiente do qual se tenha pompado 
o ar. A influência exercida no movimento pela resistência do ar 
será discutida na pág. 47. 
Suponhamos que num instante dado o corpo M se encontre 
num ponto A do arco que descreve. Seja Q ponto mais baixo 
deste arco, s o comprimento do arco QA e ex o ângulo central 
L QCA medido em radianos (fig. 4). Então 
s = lex. (28) 
O arco s, assim como o ângulo ex, serão por convenção positivos, 
se A se situar à direita de Q, e negativos em caso contrário. 
Encontremos a equação a qual obedece o movimento do 
pêndulo. A diferença h = QB entre as alturas de A e de Q é igual a 
h = CQ - CB = I - I cos ex = 1(1 - cos ex) = I· 2 sen2 ~ • 
Se atribuirmos ao pêndulo em Q uma energia potencial nula, esta 
ex
energia será, em A, igual a W<P) = mgh = mg. 21 sen2 2' 
33 
'T" 
Por outro lado, a sua energia cinética é 
2 
W«) = mv 
onde v é a velocidade do corpo M. Logo, a energia total E •que 
o pêndulo possuirá em A se dará por 
2mv a.2E = 2 + 2mg/ sen (29) 
Em virtude de termos desprezado as forças de atrito e de resistência 
do ar, o pêndulo não efetuará nenhum trabalho, conservando, 
por conseguinte, uma energia E constante. 
Simplificaremos um tanto a equação (29), limitando-nos à 
consideração de pequenas oscilações do pêndulo, isto é, de 
oscilações para as quais o ângulo do maior desvio do ponto de 
equilíbrio Q é pequeno. Precisemos a noção de "pequeno ângulo". 
A solução exata da equação (29) não se expressando mediante 
funções usuais, seria conveniente substituir à equação (29) uma 
equação mais simples, cuja solução, porém, aproximasse bem 
a da equação (29). Observemos que tal simplificação não levantará 
necessariamente uma questão de princípio, a equação (29) resultando 
já de uma idealização *. A questão concernente à legitimidade 
de tal ou tal simplificação, dependerá da precisão esperada. 
A simplificação corrente consiste em substituir na equação (29) 
sen <p pelo próprio ângulo <p. Efetivamente, como resulta da 
figura 5 na qual está representado o arco A'Q'B' de uma cir­
cunferência de raio C'Q' = 1, o comprimento do segmento A'B' 
é 2 sen <p e o do arco A'B', 2<p, este se medindo em radianos. 
Da figura se vê que a diferença entre estes será tanto menor, 
quanto menor for <p. Assim, pela tabela dos senos, achamos que, 
para qualquer ângulo inferior a 0,245 radianos (~14°), a diferença 
entre 1 e sen não excederá 0,01, para ângulos menores que 10 
<p 
(~0,017 radianos) esta se tornado inferior a 0,0005. 
... Ao deduzirmos a equação (29), tínhamos desprezado a resistência 
do ar, o peso do fio, a dimensão de M, etc. 
Observemos ademais que a aplicação de uma lei física à uma situação 
real (as relações (1), (2), (3), (4), (5), (25), (29) ilustrando-o claramente) 
comporta necessariamente certas simplificações ao se abstrair de certos 
fatores pouco relevantes. Estas simplificações não diminuem, porém, 
a importância prática das leis fisicas. Assim, ao se cumprirem certas 
condições razoàveis, leis como a de Ohm ou como a segunda lei de 
Newton descreverão os fenômenos naturais com uma grande exatidão. 
34 
B~ ):fA 
h 
'A 
a a'Fig.4 Fig.5 
Substituímos pois, admitindo que as oscilações são pequenas, 
sen a. por a. na equação (29) e chegamos à equação 
2 
mv (a.)2
-2-+ 2mgl"2 = E. 
Levando em corisideração a relação (28), podemos escrevê-la na 
forma 
2mv mgs2
--+--=E2 2 
ou I 2 2 2lE 
-v +S·=-. (30) g mg 
Nesta equação ocorrem duas funções desconhecidas, a saber, 
S e v (admitimos que as constantes g, I, m, E estejam dadas). 
Esta, porém, pode ser resolvida (como a equação (5», as funções 
desconhecidas estando vinculadas pela relação (20). Empregando-a, 
transcreveremos a equação (30) na forma 
~(dS)2 + S2 = 2/E, (31) 
g dt mg 
na qual ocorre já uma única função desconhecida. Passemos à 
solução desta equação. 
Consideremos o lugar geométrico dos pontos do plano cujas 
coordenadas num sistema cartesiano são, respectivamente, s 
e Wv. Então em cada instante t a posição s e a velocidade v 
do corpo M determinarão um destes pontos, digamos N, (fig. 6) 
35 
c C' 
1. 
v 
y 
w
N 
•vlv 
x,-- ,P
.. ! 
Fig. 6 Fig. 7 
e, reciprocamente, a partir das coordenadas s e v de umW 
ponto N encontram-se a posição e a velocidade do pêndulo. 
Assim, em qualquer instante t, o estado do pêndulo M se 
representa por um certo ponto N. O comprimento do segmento 
ON se calcula facilmente pelo teorema de Pitágoras: 
2 2ON=VPN +Op2 = V~ V +S2, 
donde, em virtude de (30), ON = V: . 
Ao oscilar o pêndulo, os números s e v vanarao, provocando 
o deslocamento no plano do ponto N correspondente. A distância 
de N à origem das coordenadas permanecerá, porém, constante, 
igual precisamente a V2!. Em outras palavras, o ponto N 
percorrerá a circunferência de raio 
2 (32)R= V!, 
chamada circunferência de fase. 
Encontremos a velocidade com que o ponto N se moverá ao 
longo da circunferência. Sendo tangente a esta última, denotemo-la 
mediante o vetor NA (fig. 7). A componente horizontal deste, 
denotada por NB, fornece a velocidade de deslocamento do 
ponto P ao longo do eixo das abscissas. A distância entre P e O 
36 
- "-"0 L i J . Laal 
sendo $, a velocidade de P será igual a ~: = v, ou seja, NB v. 
Da semelhança dos triângulos O N P e N AB decorre 
PN:OH = NB:NA ou v:NA,WV:R 
da segunda proporção resultando 
NA =R lÍuVI' 
isto é, a expressão para a velocidade de N. 
Sejam $0 e Vo respectivamente o desvio e a velocidade do 
pêndulo no momento inicial, No sendo o ponto correspondente 
da circunferência de fase. Nestas condições, o raio da circunferência 
de fase será 
VI 2 2R = g-vo + So (33) 
(ver (30) e (32», o ángulo Q>o = L XONo determinando-se da 
relação 
tg~, _ V;"
So 
(fig. 8). Num tempo t, N percorrerá com velocidade R 14 
(34) 
o 
arco de comprimento N oN = da circunferência de fase.R 14 t 
Logo, o ângulo L NoON será igual a 14t, donde (fig. 9) 
Q> = L XON = L XONo - L NoON = Q>o - V~ t. 
Daqui se encontram 
O P = Rcos Q> = Rcos ( Q>o 14t) = Rcos (14 t - Q>o). 
PN = Rsen Q> = Rsen (Q>o - 14t) = -Rsen(14 t - Q>o} 
37 
i . '2 ..' ,Ji 
y y 
----t--No 
~' 
•V1v 
xx 
Fig. 8 Fig. 9 
V
Lembrando que OP s e PN = ~ v, obtemos finalmente 
s = R cos (Vf t - <Po). 
(35) 
v = - Vf R sen (V ~ t - <Po ). 
Estas fórmulas fornecem o desvio e a velocidade do pêndulo t 
segundos após o inicio do movimento, quer dizer, resolvem 
o problema (convenientemente simplificado) do movimento do 
pêndulo. 
Vejamos alguns exemplos. 
EXEMPLO 7. Tendo-se comunicado a um pêndulo o desvio So 
à direita, este é largado sem velocidade inicial. Encontrar a 
velocidade e o desvio deste no instante t. 
Solução. Dado que neste caso R = So e <Po = 0, as fórmulas (35) 
tomam o aspeto 
s = So cos V~ t, v = Vf So sen Vf t. 
EXEMPLO 8. A um pêndulo ocupando a poslçao de equilíbrio 
Q se imprimui uma velocidade inicial vo, orientada para a direita 
(quer dizer, positiva). Encontrar o desvio e a velocidade deste em 
função de t. 
Solução. As fórmulas (33) e (34) fornecendo, neste caso, 
38 
l~ 7t
R = Vg vo, <Po = 2"' de (35) obtemos 
s = Vf 'vo cos (Vf t - ~) = Vf Vo sen Vf t, 
v= -vosen(V~ t- ~)=vocos V~ t. 
EXEMPLO 9. Encontrar as derivadas das funções sen rot ecos rot. 
Solução. Dado que v é a derivada de s com respeito a t, 
as fórmulas obtidas no exemplo 8 permitirão escrever 
:t (Vfvosen Vft) vocos V~ t, 
as do exemplo 7 fornecendo 
:t (socos Vft) = - Vfsosen V~ t. 
Se escolhermos, em particular, vo = Vf e So = 1 e denotarmos 
V~ por ro, destas fórmulas obteremos 
did sen rot = ro cos rot, dt d cos rot - ro sen rol. (36) 
EXEMPLO 10. O co-seno e o seno sendo funções periódicas, no 
fim de um lapso de tempo T, chamado período das oscilações, 
o pêndulo voltará ao seu estado inicial e o movimento prosseguirá 
se repetindo. Encontremos o período das oscilações do pêndulo. 
Solução. Ao aumentar de 27t o argumento, não mudarão os 
valores do seno e do co-seno. Logo, o período das oscilações 
do pêndulo será o intervalo de tempo T que assegurará uma 
modificação igual a 27t do argumento do seno e do co-seno 
figurando nas fórmulas (35). Em outras palavras, a diferença dos 
valores que a expressão Vf t - <Po tomará nos instantes t e t + T 
deverá ser igual a 27t: Vf (t + T) - <Po = (Vf t <po) + 27t. 
39 
- -----------
É imediato que o período será então igual a 
(37)T 21t W. 
Portanto, o movimento se repete cada T segundos, quer dizer, 
o pêndulo efetua oscilações periódicas. Durante qualquer lapso 
de tempo de comprimento T o pêndulo, como resulta das 
fórmulas (35), ocupará uma vez a sua posição extrema à direita 
(o co-seno tornando-se igual a + 1) e uma vez a posição extrema 
à esquerda (com o co-seno igual a -1). Nestes instantes de maior 
desvio a sua velocidade será, pelas mesmas fórmulas (35), nula, 
dado que o co-seno atinge os seus extremos ± 1, ao se tornar 
nulo o seno. O pêndulo será, ao contário, animado da maior 
velocidade quando passar pelo ponto Q, o seno assumindo os 
valores ± 1 e o co-seno se anulando. 
A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DAS OSCILAÇÕES 
HARMÔNICAS 
Obtivemos a nossa solução do problema do movimento do 
pêndtÍlo resolvendo a equação (30) ou, o que é o mesmo, a equação 
diferencial (31). Existe, porém, uma outra equação diferencial 
descrevendo o mesmo movimento e cuja dedução é muito simples. 
Suponhamos que o corpo M se encontre num certo instante 
em um ponto A do arco de circunferência que descreve. Decom­
ponhamos a força da gravidade mg atuando sobre o corpo em 
duas componentes, a saber, urna tangente à circunferência em A 
e outra normal a esta. A segunda componente tenderá a estender 
o fio e se compensará pela reação deste. O módulo de F, a força 
tangente implicada no movimento, será mg sen r:t. Esta força, 
estando orientada na direção de Q (fig. 10), será negativa, se r:t 
for positivo, e inversamente, isto é, F = - mg sen r:t. 
Levando em consideração que a força normal à tangente e a 
reação do fio se compensam, concluímos que F é a única força 
movendo o corpo M (ao termos desprezado a resistência do ar) 
e que, portanto, pela segunda lei de Newton, 
ma = -mg sen r:t 
ou 
a = -g senO(. 
Se nos limitarmos, como antes, ao caso de pequenas oscilações, 
poderemos, sem que isso implique um erro considerável, substituir 
sen r:t por r:t nesta equação, obtendo-se a = -gr:t 
40 
c 
cc 
Q 
Fig. 10 
e, em virtude de (28), 
g
a+Ts O. (38) 
Esta é precisamente a equação procurada. Verifiquemos que se 
- dll: . I D I - dv dstrata de uma equaçao !terencla. as re açoes a = e v = di 
decorre que se, tendo derivado uma vez o caminho s em relação 
ao tempo, quer dizer, obtendo a velocidade, derivarmos esta última, 
obteremos a aceleração. Em outras palavras, a aceleração é a 
segunda derivada do caminho s em relação ao tempo e se escreve 
d(dS)
a=di di ' 
ou 
dZs 
a = -Z' (39)dt 
a expressão~:~ ( segunda ,derivada de s por t) devendo se encarar 
como um símbolo indecomponível e não como, por exemplo, uma 
fração sujeita a simplificações ou outras operações. Graças a (39), 
constatamos que a equação (38) não é outra senão a equação 
diferencial 
dZs
-+ g (40)dt2 TS = o. 
É razoável conjeturar que a solução desta equação coincide 
com a da equação (31), ambas descrevendo a variação no tempo 
de desvio s do pêndulo e tendo sido obtidas por meio de 
simplificações semelhantes. Este fato se confirma por verificação 
41 
"rp 
direta. Assim, a solução da equação (40) se dá pela primeira das 
fórmulas (35). Mais explicitamente, a solução da equação diferencial 
(40) é 
s = R cos (V ~ t - ~o). 
onde R e ~o se determinam das fórmulas (33) e (34). Observemos, 
que, a fim de encontrar os números R e ~o, deveremos conhêcer 
o desvio e a velocidade iniciais, isto é, So e vo, ou seja, os 
valores que assumem as funções s e ~: no instante inicial. 
Se denotarmos o número ro, poderemos formular-vt por 
esta afirmação do seguinte modo. 
TEOREMA. Qualquer solução da equação diferencial 
d2 s 
dt 2 + ro 2 s = O (41) 
tem o aspeto 
s = R cos (rot - ~o), (42) 
onde R e ~o se determinam a partir dos valores que assumem, 
. . .. I fi - ds 
no Instante ImCIa, as unçoes s e dto 
A equação (41) chama-se equação das oscilações harmônicas. 
Qualquer variável obedecendo à equação (41) efetua o chamado 
movimento harmônico, dado explicitamente pela fórmula (42). 
O número ro que ocorre na equação diferencial (41), assim como 
na expressão (42), é a chamada freqüência de oscilação, T = ~ 
ro 
sendo o respectivo período. Se uma variável s efetuar um movi­
mento harmônico, os seus valores se repetirão cada T segundos 
(ver o exemplo 10). 
Comparemos as equações (23) e (41). A equação (23) na qual 
ocorre apenas a primeira derivada é dita de primeira ordem. 
A equação (41) já é Um exemplo de equação diferencial de segunda 
ordem, nela ocorrendo a segunda derivada da função desconhecida. 
Observemos que para encontrar uma precisa solução da equação 
de prjmeira ordem (23), bastava conhecer o valor que a função 
procurada v assume no instante inicial. Ao contrário, para se 
encontrar uma determinada solução da equação de segunda ordem 
42 
(41) é necessário conhecer, além do valor que a própria função s 
assume no instante inicial, o valor que neste instante assume a sua 
derivada ~:. Resumindo, para resolver a nossa equação de 
primeira ordem, necessitávamos de um único número como 
condição inicial, necessitando já de dois números ao se tratar 
da equação de segunda ordem. 
Já mencionámos as razões que nos levaram a conjeturar que as 
soluções das equações (31) e (40) coincidem. Estas considerações, não 
rigorosas por si mesmas, se confirmam por cálculos formais. Mais 
precisamente, se derivarmos ambos os membros da equação (31), obteremos 
a equação (40). A passagem da equação (40) à equação (31) se efetua 
mediante a operação inversa à derivação, a saber, por meio da chamada 
. integração, conceito que não poderá ser tratado no âmbito do presente 
livro. A derivação e a integração constituem as operações fundamentais 
do Cálculo. 
O leitor poderá, porém, tendo encontrado com ajuda das fórmulas (36) 
a segunda derivada de função (42), verificar por substituição que esta 
satisfaz a equll:ção (41). 
Examinemos dois problemas de Física que conduzem a equação 
do movimento harmônico. 
O CIRCUITO OSCILATÓRIO 
Consideremos o chamado circuito oscilatório, quer dizer, 
o circuito fechado comportando um indutor e um capacitor. 
O indutor se caracteriza (ver pág. 28) pela sua indutância e sua 
resistência ôhmica. A figo 11 fornece a representação esquemática 
do circuito oscilatório. Seja q a carga elétrica do capacitor e i, 
a intencidade da corrente no circuito. Admitindo que inicialmente 
a carga elétrica do capacitor era igual a qo e a corrente no 
circuito igual a io. propomo-nos encontrar a lei de variação destas 
no tempo. Nestas condições, a queda de tensão no capacitor será 
igual a ~, onde C é a sua capacitância, a queda de tensão no 
Indutor 
,-"---
Fig. 11 
43 
indutor sendo, segundo (25), igual a Lw + Ri, onde R é a resistência 
ôhmica e L, a auto-indutância do indutor. Pela segunda lei de 
Kirchhoff, a queda de tensão total no circuito é nula, isto é, 
Lw+Ri+~ =0. (43) 
A corrente i não é outra senão a derivada de q em relação • 
a t. De fato, se os valores da carga q nos instantes t e t + h 
eram, respectivamente, q, e q,+h, então entre estes instantes 
transitou, através de qualquer seção transversal do circuito, uma 
carga igual a q,+h - q,. Daqui resulta que a corrente média neste 
lapso de tempo é igual a 
. q,+h - qt
1",=--. 
donde, passando ao limite, obtemos 
i = lim q,+h - q, =~. 
h-+O h dt 
- . dq di.. d d d . dat',Das reIaçoes I = dt e w di' Isto e, o lato e w ser a enva 
de i = :i, resulta que w é a segunda derivada de q: w = ~; . 
A equação (43) adquire, portanto, a forma 
d2q dq (44)L dt2 + R dt + C = O. 
Esta equação diferencial é mais complexa do que a equação (41~ 
nela ocorrendo, além da função desconhecida q e da sua segunda 
. d d2q .. d' d dq N-derlva a dt2 ' a pnmelra enva a dto ao nos ocuparemos, 
porém, da resolução da equação (44) no caso geral (ver a 
observação na pág. 47), nos limítando a consideração de um 
indutor cuja resistência ôhmica R é desprezível (em comparação 
com os números L e C), o que permite, portanto, omitir o termo 
R ~i da equação (44). Esta tomará então o aspeto 
L 
d
dt
2q 
2 +Cq = O, 
ou 
d2q 1 (45)dt2 + q = O. 
44 
A equação (45) determinará, obviamente, um movimento harmônico 
(cf. (41» cuja freqüência de oscilação co será igual a 
1 
co = VLC' 
o respectivo período se dando por 
T= 21tVLC. 
A solução da equação (45) terá, de acordo com (42), o aspeto 
q = R cos (k -<PO), 
. onde R e <Po calculam-se a partir das condições iniciais qo e io. 
OSCILAÇÃO DE UM CORPO SUSPENSO POR UMA MOLA 
Suponhamos que um corpo de massa m se segure por uma 
mola. A força da gravidade atuando sobre o corpo, a mola se 
distenderá de modo que a força de elasticidade compense o peso 
do corpo. Em tal estado de equilíbrio, o corpo pode permanecer 
imóv~1. Se o violarmos puxando o corpo para baixo, a força de 
elasticidade se tornará superior ao peso e, portanto, sobre o corpo 
agirá uma força orientada para cima. Se, ao contrário, tirarmos 
o corpo da posição de equilíbrio levantando-o, aparecerá uma 
resultante atuando para baixo. Assim, a resultante das forças puxará 
o corpo na direção da sua posição de equilíbrio. 
Limitar-nos-emos, para simplificar, à consideração de um 
movimento se efetuando ao longo da vertical. Denotaremos por O 
o ponto de equilíbrio, por A, a posição do corpo no instante 
considerado e por s, a distância OA. Convencionando orientar 
a vertical para baixo, s resultará positiva, se A se encontrar abaixo 
de O e negativa em caso contário. Denotemos por F a resultante 
da força da gravidade e da força de elasticidade atuando sobre 
o corpo e por S, a força de resistência do ar. Admitindo que 
não há outras forças além de D e S agindo sobre o corpo, poderemos, 
pela segunda lei de Newton, escrever 
ma'=F+S, 
onde a é a aceleração do corpo. A força F que faz voltar o corpo 
à posição de equilíbrio cresce ao crescer o desvio s do corpo em 
relação a esta posição de equilíbrio precisamente. Admitiremos 
que F é diretamente proporcional ao desvio s, isto é, igual a ks, 
45 
T 
onde k é um coeficiente de proporcionalidade, conjetura que se 
confirma empiricamente para pequenas deformações. O número k 
chama-se módulo de elasticidade da mola. Se s for positivo, A se 
situando abaixo de O, a força F estará orientada para cima, isto 
é, será negativa. Contrariamente, se s for negativo, F serápositiva. 
Em outras palavras, o sinal de F é contrário ao do desvio s, 
quer dizer, F = - ks. Admitiremos que o valor de S é igual ao .. 
adotado anteriormente (cf. (3», isto é, que S = - bv. Chegamos, 
assim, à seguinte equação do movimento do corpo 
ma = -ks - bv, 
ou 
ma + bv + ks = O. (46) 
2ds d s' l . - d'"Dado que v = e a = a u tIma equaçao a rrnbra a repre­
sentação 
d2 s ds (47)m dt2 + b di" + ks = O. 
A equação diferencial (47) é semelhante à equação (44) que 
surgiu no problema do circuito oscilatório. Não nos empenharemos 
a resolver a equação geral (47) (ver a observação na pág. 47), 
limitando-nos ao caso em que se pode desprezar a resistência do 
ar, isto é, quando b for insignificante em comparação com m e k. 
Nesta condição (47) tomará o aspeto 
d2s k 
-d2 + s = O. (48)
t m 
A equação (48) é a de um movimento oscilatório harmônico com 
freqüência 
00= W 
e período 
T 21t W. 
A sua solução dá-se, segundo (42), por 
(49)s = RCOS(Wt - cpo} 
46 
onde R e CPo se calculam a partir das condicões iniciais So e vo. 
Observação. A fim de chegar à equação do movimento harmô­
nico, tínhamos, no caso do pêndulo e do corpo suspenso por uma 
mola, desprezado o atrito e a resistência do ar e desprezado 
a resistência ôhmica do circuito, no caso do circuito oscilatório. 
Estas simplificações significam fisicamente que não há perda de 
energia e permitem, do ponto de vista formal, omitir o termo 
que contém a primeira derivada. Como conseqüência resultaram 
oscilações estritamente periódicas, sem amortecimento. 
O que aconteceria se tivéssemos, nos problemas abordados, 
levado em consideração a resistência do ar ou a queda de tensão 
ocasionada pela resistência ôhmica? O que distingue, por exemplo, 
. as soluções das equações (44) e (45)? Pode-se mostrar mediante 
cálcúlos que omitiremos que a equação (44) descreverá igualmente 
um movimento oscilatório, se R não for demasiado grande. 
A amplitude das oscilações diminuirá, porém, com o tempo, se 
observando, por conseguinte, um movimento amortecido. Fisicamente 
este fenômeno se explica pela dissipação de energia gasta no 
aquecimento do condutor elétrico ou no aquecimento do ar fendido 
pelo pêndulo. Se a respectiva resistência for, porém, pequeI1a, 
o movimento, observado durante um lapso relativamente curto, 
pouco se distinguirá do movimento harmônico sem amortecimento. 
Assim, um pêndulo maciço, obrigado a oscilar com pequena 
amplitude, deverá efetuar um número considerável de oscilações, 
bem superior a 10 ou 15, para que a diminuição da amplitude 
se torne visível a olho. 
Mencionaremos, a título de ilustração, a expressão que dá 
a solução exata da equação (47). Admitamos que o coeficiente b 
que caracteriza a resistência do ar não é demasiado grande, 
precisamente, que b < 2 v;;;k. Neste caso, a solução da equação (47) 
será -~.t (Vk (b)2 )
S = Re 2... cos m - 2m t - CPo , (50) 
onde R e CPo se determinam pelas condições iniciais. Desta 
fórmula resulta imediatamente que o módulo de s tende com o 
b 
--'i 
tempo para zero graças ao fator e 2m. Na figo 12, os gráficos 
a e b são os da função (50) para diferentes valores de 2~-' 
l' b . I . .Quanto menor lor 2m-' tanto maiS ento sera o amorteCImento 
das oscilações. Convém comparar estes gráficos ao do movimento 
47 
" 
'" (ln,=O,4) 
o) 
• 
5 
b) 
c) Fig. 12 
harmônico dado por (49) e mostrado na figo 12, c (a fórmula (50) 
se transforma com 2~- = O na fórmula (49». 
Observemos que, para valores grandes de b, a saber, b > 2 y;;;k, 
a solução se dará por uma fórmula distinta de (50). Ne~te caso, 
o corpo, tendo passado ao máximo uma única vez ,pelo seu ponto 
de equilíbrio, se aproximará lentamente do ponto mencionado, 
permanecendo acima ou abaixo deste. 
48 
APLICAÇÕES SUPLEMENTARES 
DA DERIVAÇÃO 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
Diz-se que uma variável y depende ou é uma função de x, se 
a cada valor atribuído a x corresponde um e um só valor de y. 
Assim, a área do círculo é função do raio, dado que se calcula 
a partir deste. Um outro exemplo é o das funções trigonométricas 
seno, co-seno, tangente, etc., que se encaram como funções do 
,respectivo ângulo. 
Dada uma função y de x, examinemos o problema de encontrar 
o valor de x para o qual y assume o seu valor máximo. A fim 
de formulá-lo mais precisamente, necessitaremos do conceito de 
domínio de uma função que ilustraremos mediante os seguintes 
exemplos. 
Consideremos, para começar, um quilograma de água. Seja V 
o seu volume para uma pressão atmosférica normal e temperatura 
de t graus centígrados. Neste caso, V dependerá de t, isto é, será 
uma função de t. E claro que a última estara definida unicamente 
para valores de t compreendidos entre O e 100 graus, uma vez 
que sob pressão normal a água não poderá para t < 0° ou t > 100 
permanecer no estado líquido, dado que se transformará em gelo 
ou se evaporará segundo o caso. Portanto, V como função de t 
estará definida apenas para t ;;J!: Oe t ~ 100, ou seja, para O ~ t ~ 100. 
Resumindo, V está definida somente para 
O ~ t ~ 100. 
A reglao O ~ t ~ 100 é o que se chamará de domínio de V. 
Tal região chama-se intervalo, os números O ~ t ~ 100 preenchendo 
precisamente um intervalo da reta numérica. Os números O e 100 
se chamarão extremidades do intervalo, os demais pontos tais que 
O~ t ~ 100 se chamando pontos interiores. Qualquer ponto interior to 
se caracteriza pelo fato de existirem pontos do intervalo situados 
à direita e à esquerda de to. As extremidades não gozam desta 
propriedade. 
Um outro exemplo é o da intensidade da corrente i no circuito 
da figo 3, t segundos após termos fechado o interruptor. A inten­
sidade i será função de t como se mostra na pág. 29. E razoável 
examinar os valores de i apenas para t ;;J!: O, dado que para t < O 
não havia corrente, o domínio de i estando constituído, portanto, 
49 
dos pontos t ~ O. Esta região (uma semi-reta numérica) tem uma 
única extremidade, a saber, t = O, os demais pontos sendo interiores. 
Ao contrário, o dominio da função Y = sen x coincidirá com 
a reta numérica toda e não terá, portanto, nenhuma extremidade. 
Bem que existam funções com os mais variados domínios, 
examinaremos apenas casos em que estes coincidem com um 
intervalo, uma semi-reta ou o eixo numérico. 
•Voltando ao nosso problema da determinação do máximo de 
uma função, observemos, antes de tudo, que este pode, eventual­
mente, se assumir na extremidade do domínio. De fato, o volume 
V de um quilograma de água sob pressão normal será máximo, 
a água se dilatando ao aumentar a temperatura, precisamente no 
ponto t = 100°, ou seja, na extremidade do dominío de V. 
A derivada permite encontrar, em muitos casos, o máximo 
de uma função. Precisamente, vale a seguinte afirmação. 
Suponhamos que Y seja uma função de x e assuma o seu valor 
máximo num ponto x = a interior ao seu domínio. Então a derivada 
d
d~ • se anula neste ponto. 
Demostremos esta asserção. Denotemos por y", o valor de y que 
corresponde a x, este pertencendo ao domínío da função. Pela 
hipótese, o valor Ya que assume a função para x = a é máximo, 
isto é, 
Ya ~ y", (51) 
para qualquer x do domínío da função. O valor da derivada _~~ 
no ponto x = a dá-se pela relação 
dy I = lim Ya+h - Ya . (52)dx _~_ h ... O h 
Mostremos que esta é nula. 
Façamos tender h para zero atribuindo-lhe, primeiramente, 
valores positivos. O numerador Ya+h - Ya da fração cujo limite se 
toma satisfaz, graças a (51), a desigualdade Ya+h - Ya ~ O, se tendo, 
ao mesmo tempo, h > O. Logo, a fração mencionada pode ser ou 
nula ou negativa, o seu limite não podendo, por conseguinte, ser 
positivo. Assim, a derivada (52) não pode ser positiva. 
Façamos agora tender h para zero, atribuindo-lhe valores 
negativos. Então como antes, em virtude de(51), YII+h - Ya ~ O, 
* A condição desta derivada existir no ponto em questão. Existem 
funções não gozando desta propriedade. 
50 
se tendo, porém, h < O. Logo, a fração considerada e, por con­
seguinte, o seu limite (ou seja, a nossa derivada) não podem ser 
negativos. 
Assim, a derivada -~~ calculada no ponto x = a, não sendo 
nem positiva nem negativa, é nula, concluindo-se a demonstração. 
Observemos que é essencial, nesta demonstração, que o ponto a em 
questão seja um ponto interior ao domínio da função. De fato, ao 
atribuirmos a h valores tanto positivos como negativos, a + h se tornava, 
segundo o caso, superior ou inferior a a. 
Se, por acaso, a. for uma extremidade do domínio, a este pertencerão 
ou apenas pontos situados à direita de a, ou apenas os situados 
à esquerda, a demonstração deixando de ser válida. 
. A questão concernente ao estabelecimento do mínimo de uma 
função (em vez do máximo) conduz a considerações semelhantes 
e a um resultado afirmando que num ponto de mínimo que for 
interior ao domínío de uma função a derivada desta se anula. 
Reunindo os casos de máximo e de mínimo, obteremos o seguinte 
resultado que se deve a Fermat·. 
TEOREMA. Se uma função assumir o valor máximo (ou mínimo) 
num ponto interior ao seu domínio. então a sua derivada se anulará 
neste ponto. 
Neste teorema se baseia a determinação do máximo e do 
mínimo de funções por meio da derivação. Assim, o ponto no 
qual a função assume o seu valor máximo (ou minimo) deve ser 
escolhido entre as extremidades do domínío e os pontos interiores 
a este nos quais a derivada se anula. 
EXEMPLO 11. Suponhamos que um aparelho elétrico, digamos, 
de aquecimento, esteja ligado a urna bateria de força eletromotriz 
E e resistência interna r. Estabelecer a resistência do aparelho que 
lhe permitirá consumir a maior energia. 
Solução. Se denotarmos a resistência do aparelho por R, a 
resistência total do circuito será R + r, donde a corrente que 
circulará se dá por 
. E 
1= -.--. 
R+ r 
A potência consumida pelo aparelho sendo W = j2R, teremos 
E2R 
 (53)W= (R + r)2' 
Logo, o problema consiste em encontrar o valor de R para o qual 
* Matemático francês do século XVII. 
51 
r" 
a função W definida pela fórmula (53) assume o seu máximo. 
O dominio da função W coincide com a semi-reta R ~ O, 
a resistência de um condutor não podendo ser negativa. Encon­
. d dWtremos a denva a dR: 
E 2 (R + h) E2R 
dW = Iim (R + h + r)2 - (R"+r)2 
dR n-+O h 
= Iim E2 [(R + h)(R + r)2 - R (R + h + r)2] 
11-+0 h(R + h + r)2 (R + r)2 
2 R2 r2 R 2 . r - Rh - r - R
-hm - - ___ 
- 11-+0 (R + h + r)2 (R +r)2 - (R + rt - (R + r)3 . 
. d dW.. ~Para que a denva a dR ' Isto e, a ramo 
r R 
se anule, é necessário que se anule o numerador, quer dizer, que 
R r. 
Logo, a potência W poderá assumir o seu maior valor seja 
em R = r, seja na extremidade R O do seu domínio. No ponto 
R O, porém, a potência é nula, isto é, assume o seu valor mínimo 
e não máximo. Logo, este máximo pode se assumir eventualmente 
apenas em R = r, isto é, quando a resistência do aparelho for 
igual à da bateria. 
Tendo estabelecido unicamente a possibilidade de que a potência 
seja máxima para R = r, resta verificar se esta assume de fato 
o seu valor máximo em R = r. 
Efetivamente, a potência W é nula para R = O e se torna 
arbitrariamente pequena ao crescer a resistência R, dado que 
o mesmo vale para o corrente i, uma vez que a queda de tensão 
no aparelho não excede E. Daqui resulta que a potência deverá 
necessariamente ser máxima para um certo valor (não demasiado 
grande) de R. Do fato desta poder assumir tal valor apenas em 
R = r, decorre que este é precisamente o ponto procurado. 
EXEMPLO 12. Achar as dimensões do cilíndro de- menor super­
fície cujo volume é V. 
Solução. Denotemos por R o raio da base do cilíndro e por 
h, a sua altura. Então 
v = 1tR2h, 
52 
donde V 
h = 1tR2 . 
A superfície do cilindro sendo S = 21tR2 + 21tRh, teremos 
2V 
S = 21tR2 + R' (54) 
O problema consiste em encontrar R para o qual S, que é função 
de R, assume o menor valor. Encontremos a derivada ~!: 
2
" dS . [21t(R + h)2 + R ~hJ-[21tR + 2:J 
-=hm = dR 11-+0 h 
2 2Vh 
. 21t (2Rh + h ) - R (R + h) 
= hm ------:-----.::.----':.... 
11-+0 h 
. r ] 2V2V
=1~ 41tR + 27th - R (R + h) = 41tR -]i2' 
3 
Igualando a derivada ~! a zero, encontramos R ~, donde 
3 3 
4 
h= V =V; =2 ~=2R. 
Logo, a altura do cilindro deve ser igual ao seu diâmetro. 
A fim de mostrar que esta relação determina de fato o cilindro 
de menor superfície possível, observemos que esta superfície será, 
para valores grandes de R, igualmente grande, em virtude do 
crescimento do primeiro termo da expressão (54) de S. Ao contrário, 
ao diminuir R, o mesmo acontecerá em virtude do crescimento 
do segundo termo. Logo, para um certo R, nem demasiado grande, 
nem demasiado pequeno, S deverá assumir o seu valor minimo. 
A derivada ~! se anulando, porém, unicamente para o valor 
encontrado de R, a este corresponde, de fato, a menor superfície 
do cilindro. 
Contentaremo-nos com estes exemplos. Uma grande variedade de 
exercícios deste gênero se propõe nos manuais de Cálculo. Pode-se sugerir 
ao leitor que resolva alguns deles, a condição de que não omita a fase 
53 
x 
.,..' 
final, a saber, a verificação do fato que no ponto encontrado ocorre 
o máximo ou o mínimo segundo o caso. Nos manuais de Cálculo, 
dão-se critérios de verificação mais elaborados. Ademais, formulam-se 
regras de cálculo de derivadas. Tendo presumido que o leitor as desconhece" 
fomos obrigados a calcular as nossas derivadas diretamente a partir'pa 
definição geral. 
o TRAÇADO DE TANGENTES 
Seja L uma curva e Mo, um certo ponto desta. Examinemos 
a questão do traçado da tangente a L em Mo. Precisemos, antes 
de tudo, a definição de tangente. Toda reta, denotemo-la por MoM, 
que passar por Mo e um outro ponto qualquer da curva M, será 
obviamente uma secante. Se M, permanecendo sobre L, tender para 
Mo (na figo 13 se ilustram as posições consecutivas M, M', M", ... 
do ponto M~ a secante efetuará um movimento giratório em torno 
de Mo. Se a secante MoM tender, M se aproximando de Mo, para 
uma certa reta MoK, então esta reta limite se chamará tangente 
a Lem Mo-
Se L estiver compreendida no plano com um sistema de coor­
denadas dado, então a cada ponto M de L corresponderão a sua 
abscissa x e ordenada y. Denotemos por a abscissa de Mo (fig. 14) 
e por h, o comprimento do segmento NoN. A abscissa de M será 
então igual a a + h. Denotemos por Y.. a ordenada de Mo e por 
Y.. +Ir a de M. O comprimento do segmento MP então se expressará 
por 
MP = MN - PN = MN - MoNo =Y..+Ir - Y.., 
donde resulta 
MP MP Y.. +II - Y.. (55)tgLPMoM= MoP = NoN = h 
Denotemos por a o ângulo PMoK, a saber, a ângulo entre o eixo 
das abscissas e a tangente. Então, ao M se aproximar de Mo, 
Fig. 13 
54 
Fig. 14 
isto é, ao tender para zero o comprimento do segmento N oN = h, 
o ângulo PMoM e a sua tangente tenderão respectivamente para 
a e tg a. Assim, passando ao limite na relação (55) com h -+ 0, 
obtemos 
tg a = lim Ya+ll - Y,a = dy 
n-'O h dx 
Resumindo, a tangente trigonométrica do ângulo que uma tangente 
faz com o eixo das abscissas é igual ti derivada da ordenada Y em 
relação à abscissa x no ponto x = a da curva em que esta tangente 
está traçada. 
EXEMPLO 13. Consideremos a senóide (fig. 15), isto é, a curva 
cuja equação em coordenadas cartesianas é 
Y = senx. 
Construir a tangente a esta curva num ponto Mo de abscissa a. 
O coeficiente angular da tangente será, como vimos, igual a 
tga = .dy I = ~sen = cosa 
dx %=a dx 
y 
Fig. 15 
55 
x 
.,..---...,. 
(ver (36». Logo, a fim de construir a tangente, deve-se calcular 
cos a (o que é facil