Dinâmica_lei_Newton

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física Teórica e Experimental
FIS0311 – Mecânica Clássica
Prof. Matthieu Castro
Dinâmica da partícula
Leis de Newton do movimento
Nos capítulos anteriores, vimos como descrever o movimento. Mas quais são as causas do 
movimento? A dinâmica estuda a relação entre o movimento e as forças que o produzem, ou seja os 
mecanismos que se aplicam a um corpo com uma certa massa para que ele sofra uma aceleração. Os 
princípios da dinâmica podem ser sintetizados em três afirmações estabelecidas por Sir Isaac 
Newton (1642-1727) em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado em 
1687. Essas três afirmações são conhecidas como as leis de Newton do movimento e descrevem o 
movimento dos corpos desde as moléculas até as galáxias com uma alta precisão.
As leis de Newton são princípios empíricos, deduzidos a partir da observação da natureza. 
Elas são o fundamento da mecânica clássica (ou mecânica newtoniana). O seu limite de valididade 
são os movimentos com velocidades próximas à velocidade da luz, para os quais a relatividade geral 
se aplica. Assim, a mecânica newtoniana é uma aproximação, um caso especial, da relatividade 
geral de Einstein para velocidade pequenas em relação à velocidade da luz. 
1. Força e interações
Em física, uma força é uma interação entre dois corpos ou entre um corpo e seu ambiente. 
Nos referimos à força que um corpo exerce sobre outro. A força é um grandeza vetorial, pois possui 
uma intensidade, o seu módulo, e uma orientação.
Existem forças de contato, como a força normal, a força de atrito, ou a força de tensão, que 
envolve o contato direto entre dois corpos, e forças de longo alcance, como a força garvitacional, 
que atuam mesmo quando os corpos estão afastados entre si. A atração gravitacional que a Terra 
exerce sobre um corpo é o seu peso.
Sendo uma grandeza vetorial, um vetor força F é descrito por sua direção e sentido em que 
ele age, e por seu módulo, que especifica a intensidade com que a força age. A unidade SI do 
módulo de uma força é o Newton (N).
Quando várias forças atuam simultaneamente em um corpo, o efeito sobre o movimento do 
corpo é o mesmo que o efeito produzido por uma única força R dada pela soma vetorial das forças 
atuando. Esse resultado denomina-se princípio da superposição das forças.
O fato que as forças se combinam seguindo a regra da soma vetorial nos permite substituir 
uma força pelos seus vetores componentes. Na figura seguinte, a força F atua sobre o corpo em um 
ponto O. Os vetores componentes de F nas direções Ox e Oy são Fx e Fy. Aplicar simultaneamente 
as forças Fx e Fy tem o efeito igual ao produzido pela força F. Qualquer força pode ser substituída 
pelos seus vetores componentes que atuam em um mesmo ponto.
 O vetor soma de todas as forças que atuam sobre um corpo se chama força resultante. Se as 
forem designadas por F1, F2, F3, e assim por diante, escrevemos a soma do seguinte modo:
R⃗=F⃗1+ F⃗2+ F⃗3+⋯=∑ F⃗
onde ∑ F⃗ é o vetor soma das forças ou vetor força resultante. Em termo dos componentes, 
temos:
Rx=∑ F x e R y=∑ F y
onde ∑ Fx é a soma das componentes x e ∑ F y é a soma das componentes y. Cada 
componente pode ser positiva ou negativa.
O módulo, a direção e o sentido da força resultante R⃗=∑ F⃗ são dados por:
R=√R x2+R y2 e θ=arctan( R yR x )
onde θ é o ângulo entre R e o eixo +Ox.
2. Primeira lei de Newton
Quando um corpo está em repouso, e se nenhuma força resultante atua nele, é fácil entender 
que esse corpo deve permanecer em repouso. O que acontece quando o corpo está em movimento e 
a força resultante sobre ele é igual a zero?
Suponha que você jogue um disco de hóquei sobre o topo de uma mesa horizontal aplicando 
sobre ele um força horizontal com sua mão. Quando você pára de empurrar, o disco não continua 
seu movimento indefinidamente; ele diminui de velocidade e pára. A primeira observação leve você 
a concluir que corpos em movimento param naturalmente e que seria necessário aplicar uma força 
para sustentar o movimento.
O x
y
FFy
Fx
θ
x
y
O F1x F2x
F1y
F2y
F1
F2
R = ∑F
Ry
Rx
Imagine agora que você empurre o disco de hóquei sobre uma superfície plana de gelo. 
Depois de parar de empurrar, o disco percorre uma distância maior que na mesa antes de parar. Em 
uma mesa com colchão de ar, o disco percorre uma distância muito maior depois de parar de 
empurrá-lo. Em cada caso, o atrito, uma força de interação entre a superfície do disco e a superfície 
sobre a qual ele desliza, é responsável pela diminuição da velocidade do disco. Caso fosse possível 
eliminar completamente o atrito, o disco continuaria se movendo indefinidamente com a mesma 
velocidade e não precisaria nenhuma força para manter esse movimento. Portanto, a primeira 
observação de que seria necessária uma força para sustentar o movimento é incorreta.
Quando a força resultante que atua sobre um corpo é igual a zero, o corpo ou permanece em 
repouso ou se move em linha reta com velocidade constante. Uma vez iniciado o movimento, não é 
necessária nenhuma força resultante para mantê-lo. Este é o enunciado da primeira lei de Newton.
Primeira lei de Newton: quando a força resultante sobre um corpo é igual a zero, ele se 
move com velocidade constante (que pode ser nula) e aceleração nula.
A tendência de um corpo em permanecer deslocando-se, uma vez iniciado o movimento, se 
chama a inércia. A primeira lei de Newton, também chamada de lei da inércia, define os sistemas 
de referência inerciais nos quais as leis da mecânica newtoniana são válidas.
Imagine um pêndulo no teto de um vagão de trem. Quando o vagão está em repouso ou se 
move com velocidade constante, o pêndulo permanece parado em relação ao vagão. A primeira lei 
de Newton é obedecida já que a força resultante no pêndulo é igual a zero. Um sistema de 
referência (no caso o vagão) para o qual a primeira lei de Newton é válida denomina-se sistema de 
referencial inercial. Quando o vagão acelera (aumenta ou diminui sua velocidade, ou faz uma 
curva), o pêndulo se desloca da marca vertical sem que nenhuma força resultante atua nele. Ele 
tende a permanecer em repouso em relação ao sistema de referência inercial da Terra. No 
referencial do vagão, a primeira lei de Newton não é mais válida, portanto o referencial do vagão 
acelerado é considerado não-inercial. Da mesma maneira, todos os referencias girantes não são 
referenciais inerciais pois possuem uma aceleração centrípeta. Assim, a Terra não é rigorosamente 
um referencial inercial, mas para movimentos em pequenas escalas espaciais e temporais, podemos 
admitir que a Terra seja, aproximadamente, um referencial inercial.
Quando temos um sistema de referência inercial A, que obedece à primeira lei de Newton, 
então qualquer segundo sistema de referência B que se move em relação a A com velocidade 
constante vB/A, também é inercial.
3. Segunda lei de Newton
O que acontece quando a força resultante que atua sobre um corpo é diferente de zero? Se 
aplicarmos uma força horizontal constante sobre um disco em movimento com atrito desprezível, na 
mesma direção e sentido em que ele se move, observamos que a velocidade do disco varia a uma 
taxa constante. Logo, se ∑F for constante e na mesma direção horizontal de v, o disco se move com 
aceleração constante, com a na mesma direção de v e ∑F. Se invertermos o sentido da força de 
modo que ∑F atue em oposição a v, o disco se move cada vez mais lentamente. A aceleração a, 
constante se ∑F for constante, ainda é na mesma direção de ∑F, na direção oposta ao movimento.
Concluímos que uma força resultante que atua sobre um corpo faz com que o corpo acelere 
na mesma direção que a força resultante.Se o módulo da força resultante for constante, o módulo 
da aceleração também é constante. Se fazermos variar o módulo da força resultante, a aceleração 
varia com a mesma proporção. O módulo da aceleração é diretamente proporcional ao módulo da 
força resultante que atua sobre o corpo.
Massa e força:
A razão entre o módulo da força resultante ∣∑ F⃗∣ e o módulo da aceleração a é então 
constante, e denomina-se massa inercial do corpo, ou simplesmente massa m. Temos:
m=
∣∑ F⃗∣
a
 ou ∣∑ F⃗∣=m a ou a=∣∑ F⃗∣m
A massa mede quantitativamente a inércia, a característica intrínseca de um corpo a resistir a 
uma força aplicada nele, que tende a fazer variar seu movimento, produzindo uma aceleração. A 
unidade SI da massa é o quilograma (kg). Podemos então definir o newton: um newton é o valor de 
uma força que imprime a um corpo de um quilograma da massa uma aceleração de um metro por 
segundo ao quadrado. Assim:
1 newton = (1quilograma)(1 metro por segundo ao quadrado)
ou
1 N = 1 kg.m.s-2
Segunda lei de Newton:
A força resultante que atua sobre um corpo é responsável pela aceleração do corpo. Quando 
diversas forças F1, F2, F3,... são aplicadas sobre um corpo, ele terá a mesma aceleração (módulo, 
direção e sentido) que teria se atuasse sobre ele uma única força dada pela soma vetorial
F⃗1+ F⃗2+ F⃗3+⋯ . O princípio de superposição das forças vale quando a força resultante não é zero 
e o corpo possui uma aceleração.
Vimos que o módulo da força resultante que atua sobre o corpo é proporcional ao módulo da 
aceleração que ele produza, a massa do corpo sendo o fator de proporcionalidade. Também vimos 
que a força resultante possui a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração. A segunda lei de 
Newton sintetiza essas relações e resultados experimentais:
Segunda lei de Newton: quando uma força resultante externa atua sobre um corpo, ele 
se acelera. A aceleração possui a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante. O 
vetor força resultante é igual ao produto da massa do corpo pelo vetor aceleração do corpo.
∑ F⃗=m a⃗
A segunda lei de Newton é uma lei fundamental da natureza, que relaciona força e 
movimento. Ela é também chamada de lei fundamental da dinâmica.
A segunda lei de Newton é uma equação vetorial. Podemos também escrevê-la em termos 
das componentes:
∑ F x=max ;∑ F y=ma y ;∑ F z=ma z
A segunda lei de Newton refere-se a forças externas. Essas forças são exercidas por outros 
corpos existentes na vizinhança do corpo. As equações acima também são válidas apenas quando a 
massa m é constante. Finalmente, a segunda lei de Newton é válida somente em sistemas de 
referência inerciais, como no caso da primeira lei de Newton.
Exemplos:
1. Uma pessoa aplica uma força horizontal constante F, com módulo F = 130 N, sobre um 
trenó de massa m = 240 kg inicialmente em repouso. O veículo desliza então uma distância 
d = 2,3 m sem atrito sobre um lago gelado. Qual é a velocidade final do trenó? 
2. A mesma pessoa quer reverter o sentido da velocidade do trenó em 4,5 s. Que força 
constante ela deve exercer?
3. Três forças (FA = 220 N, FB e FC = 170 N) são aplicadas sobre um pneu que permanece 
parado, como indicado pela figura. O ângulo entre as forças FA e FB é de 137º e a força FC 
faz um ângulo φ com a horizontal. Qual é o módulo da força FB?
4. Forças específicas
a. Peso
O peso de um corpo é a força que atrai um corpo para o objeto astronômico mais próximo 
(no nosso caso, a Terra). É a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. 
Massa e peso se relacionam: um corpo que possui massa grande também possui peso grande.
Um corpo em queda livre possui uma aceleração igual a g, e de acordo com a segunda lei de 
Newton uma força deve produzir essa aceleração. Quando um corpo de 1 kg cai com aceleração 
igual a 9,8 m/s², a força necessária possui o seguinte módulo:
F = ma = (1 kg)(9,8 m/s²) = 9,8 kg.m/s² = 9,8 N
A força que faz o corpo acelerar de cima para baixo é o peso do corpo. Qualquer corpo de 
massa m possui um peso de módulo P dado por:
P = mg
O peso de um corpo é uma força, uma grandeza vetorial, que podemos escrever:
P = mg
O peso é medido em relação a um referencial inercial.
FA
FC
FB
137º
φ
b. Força normal
Quando um corpo pressiona uma superfície, ele experimenta uma força perpendicular a esta 
e exercida pela superfície. É a força normal N. Se a superfície é horizontal, e corpo em repouso 
sobre essa superfície, a força normal tem módulo igual ao módulo do peso do corpo, mesma direção 
e sentido oposto ao peso:
Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical y:
∑ F y=N−m g=ma y=0 → N=m g
c. Atrito
Se tentarmos deslizar um corpo sobre uma superfície, o movimento é dificultado pelo 
contato entre o corpo e a superfície. Essa resistência ao movimento exercida pela superfície sobre o 
corpo é devido a força de atrito f. Essa força tem sempre direção paralela à superfície e sentido 
contrário ao movimento.
d. Tensão
Quando uma corda, cabo, ou assemelhado, presa a um corpo, é esticado, ela sofre uma força 
de tensão T. Em seguida, a corda exerce também sobre o corpo, no ponto de conexão, uma força de 
tensão, de mesmo módulo, mesma direção, e sentido oposto, se considerada sem massa e não-
extensível.
Exemplo:
 Um carrinho, de peso P = 7,0.105 N, é puxado sobre um deslocamento sem atrito d = 10m, 
por uma pessoa de massa m = 80 kg, por meio de uma corda fazendo um ângulo de θ = 30º com a 
horizontal. A pessoa exerce uma força de tensão T igual a 2,5 vezes o peso do seu corpo. Qual é a 
velocidade final do carrinho? E se θ = 0º?
5. Terceira lei de Newton
Uma força atuando sobre um corpo é sempre o resultado de uma interação com outro corpo, 
de modo que as forças sempre ocorrem em pares. Quando um martelo exerce uma força sobre um 
prego, o prego também exerce uma força sobre o martelo. A força que um corpo exerce sobre um 
outro corpo é igual e contrária à força que esse outro corpo exerce sobre o primeiro. Quando dois 
P
N
y
vf
corpos interagem, as duas forças decorrentes da interação possuem sempre o mesmo módulo e a 
mesma direção, mas sentidos opostos. Esse resultado é a terceira lei de Newton.
Terceira lei de Newton: a toda ação corresponde sempre uma reação de igual 
magnitude e de sentido contrário.
Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B (uma 'ação'), então, o corpo B 
exerce uma força sobre o corpo A (uma 'reação'). Essas duas forças têm o mesmo módulo e a 
mesma direção, mas possuem sentidos contrários, tais que:
F⃗A→B=−F⃗B→A 
A 'ação' F⃗A→B e a 'reação' F⃗B→ A formam um par de ação e reação, e a terceira lei de 
Newton é também chamada de lei da ação e reação. Mas isso não significa nenhuma relação de 
causa e efeito entre as duas forças. Qualquer uma das duas forças pode ser considerada como a 
'ação' ou como a 'reação'. Um par de ação e reação pode ser tanto forças de contato, presentes 
enquanto os dois corpos se tocam, quanto forças de longo alcance que não necessitam do contato 
físico entre os corpos, como no caso da atração gravitacional.
Satélite em órbita:
A força FT→S exercida pela Terra sobre o satélite pela atração gravitacional forma um par de 
ação e reação com a força FS→T que atua sobre a Terra devido à atração gravitacional do satélite.
F⃗T→S=−F⃗S→T
M T a⃗T=−mS a⃗S
a⃗T=−
mS
M T
a⃗S
Em termos dos módulos, temos: aT=
mS
M T
aS
Como M T≫mS então aT≪1 , a aceleração da Terra devido à atração gravitacional do satélite é 
desprezível.
T
S
FS→T
FT→S