Lista_3_Calculo_Integral

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3ª Lista de Exercícios – 2013.2 
 
 
1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo Ox, da 
região R delimitada pelos gráficos das equações dadas abaixo: 
 
 
a) y = x +1, x = 0 , x = 2 e y = 0 b) y = x e y = x2 
c) y = x2 e y = x3 d) y = 
x
1
, x = 1, x = 2, e y = 0 
e) y = x3, x = -1, x = 1, e y = 0 f)y =x2 +1, x = 0, x=2 e y=0 
g) y =
1x 
, x = 2, x = 5 e y = 0 h)y =cosx, y =senx , x=0 e x=
4
π
 
 
2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y = 2 da 
região limitada por y = 2x1 ; y = 2; 2x  e x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcular o volume gerado pela rotação da região y = 3 , 1≤ x ≤ 3 , em torno da reta y =2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcular o volume gerado pela rotação da região y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 , em torno da reta 
y =1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
z
eixo de revolução 
x
y
z
    




x
y
y = 2
y=3
x
y
z
      






x
y
y = 1
UNIFACS - Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo Integral 
Ano: 2013 
 
 
2 
2 
Obs: Não confundir o cálculo acima com o do volume gerado pela rotação da região 
determinada por y=1, y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 em torno do eixo Ox. Melhor dizendo, não 
confundir as integrais 
dx))x(g)x(f(V
b
a
2
1  
 
dx ])x(g)x(f[V
b
a
22
2  
 
 
5) Considere a região R limitada pelas curvas 
xy 
 e y = x. Dê apenas a expressão da 
integral( indicando os limites de integração), que permite calcular o volume do sólido obtido, 
nos seguintes casos: 
 
a) R gira em torno de OY; b) R gira em torno de x =  1 
 
 
6) Considere R a região limitada pela curva 
2
1 xy 
 e a reta y = 2, no 1º quadrante. Dê a 
expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o volume 
gerado pela rotação de R em torno de: 
 
a) 0Y; b) y = 3; c) x =  1 
 
 
7) Considere a região R limitada pela curva 
x
1
y 
 as retas x = 2 e y = 2. Esboce a região 
R e: 
 
a) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação deRem torno de y = 2. 
 
b) Dê a expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o 
volume gerado pela rotação de R em torno de: 
 
b1) y = 0; b2) y = 3; b3) x = 0; b4) x = 2 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
 
1) a)
u.v.
3
26π
b)
15
2π
 u.v. c)
35
2π
 u.v d)
2
π
u.v e)
7
2π
u.v f )
15
206π
u.v g)
2
15π
u.v. h)
2
π
 u.v. 
 
2) 
15
412 π
 u.v. 3) 2 u.v. 4) 
12
π37
 u.v. 5) a) V= 
 
1
0
42
dy)yy(
 b) 
 
1
0
222
dy])1y()1y[(π
 
6) a) 
  
2
1
2
1
2
dy)1y( dy)1y(
 b) 
dx]1)x2[(dx]1))1x(3[(
1
0
22
1
0
22   
 c) 
 
2
1
2
dy]1)11y[(
 
7) a) 
 )2ln8 2/15(π 
u.v. 
b1) 
 
2
2/1
2
dx)
x
1
4(π
 b2) 
 
2
2/1
2
dx)1)
x
1
3((π
 b3) 
 
2
2/1
2
dy)
y
1
4(π
 b4) 
 
2
2/1
2 dy)
y
1
2(π