Gabarito 2a avaliação NB006-AB

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NB006 – Probabilidade e Estatística 
GABARITO 
2ª Avaliação – 20/06/2015 – 10:00h 
Renan Ralpe Sthel Duque 
Nota: 
 
 
 
1ª Questão (40 pontos): Um dado é viciado de forma que a probabilidade de ocorrência do 
valor 1 após um lançamento é 3 vezes maior do que a probabilidade de ocorrência de qualquer 
outro valor.. Pede-se: 
 
a) (10 pontos) Qual é a pontuação média obtida após um grande número de lançamentos? 
 
X )(xf X 
1 x3 
2 x 
3 x 
4 x 
5 x 
6 x 
 
8
1
18
=
=
x
x
 
875,2
8
2323][
6543231)(][
6
1
==⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑
=
xXE
xxxxxxxfxXE
x
X
 
 
b) (10 pontos) Qual é a variância e o desvio padrão da pontuação obtida após um grande 
número de lançamentos? 
 
625,11
8
9393][
3625169431)(][
2
6
1
2
==⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=∑
=
xXE
xxxxxxxfxXE
x
X
 
 
{ } 36,3)875,2(625,11][][ 2222 =−=−= XEXEXσ 
 
83,136,3 ==Xσ 
 
c) (10 pontos) Se este dado é lançado 6 vezes, qual é a probabilidade de aparecer um 
resultado menor do que 5 em 4 lançamentos? 
 
Sucesso: ocorrência de um resultado menor que 5. Probabilidade:
4
3
8
66 ==⋅= xp . 
Falha: ocorrência de um resultado maior ou igual a 5. Probabilidade: 
4
1
=q . 
6=n lançamentos. 
 
A probabilidade de 4 sucessos é dada por: 
 
%66,292966,0
4
1
4
3
!2!4
!456
4
1
4
3
4
6]4[
2424
==





⋅





⋅
⋅⋅
=





⋅





⋅





==XP 
 
d) (10 pontos) Se este dado é lançado 100 vezes, qual é a probabilidade de aparecer o 
resultado 1 mais do que 35 vezes? 
 
Sucesso: ocorrência do resultado 1. Probabilidade:
8
33 =⋅= xp . 
Falha: ocorrência dos demais resultados. Probabilidade: 
8
5
=q . 
100=n lançamentos. 
 
O problema pede a probabilidade ]10035[ << XP . Utilizando a distribuição Gaussiana 
para aproximar este cálculo, tem-se: 
 
5,37
8
3100][ =⋅=⋅= pnXE 84,4
8
5
8
3100 =⋅⋅=⋅⋅= qpnXσ 
 
Padronizando os valores: 
 
52,0
84,4
5,3735
1 −=
−
=Z 97,12
84,4
5,37100
2 =
−
=Z 
 
%85,69%15,30%100)52,0(1]97,1252,0[]10035[ =−=−=<<−=<< QZPXP 
 
2ª Questão (20 pontos): Uma variável aleatória contínua X possui função característica 
dada por jw
jw
e2,01
e8,0)(
−
=Ψ jwX . Para esta variável aleatória, determine ]520[ −XE . 
 ( ) ( )
( )2jw
jwjwjwjw
e2,01
e2,0e8,0e2,01e8,0
−
−⋅−−⋅
=
jj
dw
d Xψ
 
 
( ) ( )
( ) ( ) j
jjjjj
dw
d
w
X 25,1
64,0
8,0
8,0
16,08,08,0
2,01
2,08,02,018,0
22
0
==
+⋅
=
−
−⋅−−⋅
=
=
ψ
 
 
25,125,1][
0
=⋅−=−=
=
jj
dw
djXE
w
Xψ
 
 
20525525,1205][20]520[ =−=−⋅=−=− XEXE 
 
 
3ª Questão (40 pontos): Um importante fator no combustível sólido de um míssil é a 
distribuição do tamanho de partículas. Problemas significativos podem ocorrer se o 
tamanho das partículas for muito grande. Admita que o combustível é produzido por duas 
empresas diferentes. A variável aleatória contínua X representa o tamanho da partícula (em 
micrometros) do combustível produzido pela primeira empresa e a variável aleatória 
contínua Y representa o mesmo para o combustível produzido pela segunda empresa. Dos 
dados de produção obtidos no passado, foi determinado que a função de distribuição 
cumulativa conjunta de X e Y é caracterizada por: 
 











−⋅





−
=
,0
,
1111),( 43 yxyxFXY 
contrário caso
1 ,1 ≥≥ yx
 
 
Pede-se: 
 
a) (10 pontos) A função de distribuição cumulativa do tamanho das partículas X do 
combustível produzido pela primeira empresa. 
 
),()( ∞= xFxF XYX 
 











−
=
,0
,
11)( 3xxFX 
contrário caso
1≥x
 
 
 
b) (10 pontos) A função densidade de probabilidade do tamanho das partículas X do 
combustível produzido pela primeira empresa. 
 



 ≥
==
contrário caso 0
1 3)()( 4 xxxFdx
d
xf XX 
 
 
c) (10 pontos) O valor médio do tamanho das partículas X do combustível produzido pela 
primeira empresa. 
 
 
∫∫
∞ ∞
−
∞
=
−
==⋅=
1 1
2
3
1
4 m 2
3
2
333][ µ
x
dxxdx
x
xXE 
 
 
 
d) (10 pontos) O desvio padrão do tamanho das partículas X do combustível produzido 
pela primeira empresa. 
 
∫∫
∞ ∞
−
∞
=
−
==⋅=
1
2
1
2
1
4
22 m)( 3333][ µ
x
dxxdx
x
xXE 
 
{ } 2222 m)( 
4
3
4
93][][ µσ =−=−= XEXEX 
 
m 
2
3 µσ =X