AD2 MEst II 2015 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AD2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2015
Profa. Ana Maria Farias
1. (a) [1,0 ponto] Determine o tamanho da amostra necessa´rio para se estimar uma pro-
porc¸a˜o p de modo que o erro cometido na estimac¸a˜o seja de, no ma´ximo, 0,12, com
probabilidade de 99%.
(b) [1,0 ponto] Como mudaria sua resposta se lhe fosse dada a informac¸a˜o de que o
verdadeiro valor de p e´, no ma´ximo, 0, 25?
Soluc¸a˜o
(a) 1− α = 0, 99⇒ z0,005 = 2, 58
� = 0, 12 = 2, 58 ×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 2, 58
0, 12
× √0, 25 ⇒ n =
(
2, 58
0, 12
)2
× 0, 25 ⇒
n ≥ 116
(b) � = 0, 12 = 2, 58 ×
√
0, 25× 0, 75
n
⇒ √n = 2, 58
0, 12
× √0, 1875 ⇒ n =
(
2, 58
0, 12
)2
×
0, 1875⇒ n ≥ 87
2. [1,0 ponto] Tendo em mente que a notac¸a˜o tn;α representa a abscissa da distribuic¸a˜o t
de Student com n graus de liberdade que deixa probabilidade α acima dela −P(t(n) >
tn;α) = α, determine os seguintes valores, com aux´ılio da tabela ao final da prova:
(a) t11;0,025
(b) t16;0,95
(c) t5;0,10
(d) t19;0,85
(e) t13;0,94
Soluc¸a˜o
(a) t11;0,025 = 2, 201
(b) t16;0,95 = −1, 746
(c) t5;0,10 = 1, 476
(d) t19;0,85 = −1, 066
(e) t13;0,94 = −1, 664
3. [1,0 ponto] Com base na tabela em anexo e nas propriedades da func¸a˜o de densidade t
de Student, determine a abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
(a) P(t(15) > t) = 0, 03
(b) P(t(18) > t) = 0, 001
(c) P(t(10) < t) = 0, 90
(d) P(t(16) < t) = 0, 005
(e) P(t(10) > t) = 0, 5
(f) P(|t(26)| > t) = 0, 02
(g) P(|t(6)| ≤ t) = 0, 90
(h) P(|t(28)| > t) = 0, 002
(i) P(|t(9)| ≤ t) = 0, 95
(j) P(|t(16)| > t) = 0, 08
Soluc¸a˜o
(a) P(t(15) > t) = 0, 03⇒ t = 2, 034
(b) P(t(18) > t) = 0, 001⇒ t = 3, 610
(c) P(t(10) < t) = 0, 90⇒ t = 1, 372
(d) P(t(16) < t) = 0, 005⇒ t = −2, 921
(e) P(t(14) > t) = 0, 5⇒ t = 0
(f) P(|t(26)| > t) = 0, 02⇒ t = 2, 479
(g) P(|t(6)| ≤ t) = 0, 90⇒ t = 1, 943
(h) P(|t(28)| > t) = 0, 002⇒ t = 3, 408
(i) P(|t(9)| ≤ t) = 0, 95⇒ t = 2, 262
(j) P(|t(16)| > t) = 0, 08⇒ t = 1, 869
4. [2,0 pontos] Em cada um dos seguintes problemas, sa˜o dadas as seguintes informac¸o˜es:
me´dia amostral, tamanho amostral, n´ıvel de confianc¸a, desvio padra˜o populacional ou
amostral. Ache o intervalo de confianc¸a apropriado para a me´dia populacional.
(a) x = 10, 3 n = 10 s = 1, 28 1− α = 90%
(b) x = 21, 2 n = 15 σ = 0, 49 1− α = 98%
(c) x = 14, 7 n = 81 s = 0, 92 1− α = 80%
(d) x = 3, 41 n = 36 σ = 0, 55 1− α = 88%
(e) x = 4, 32 n = 13 s = 0, 25 1− α = 95%
(f) x = 18, 5 n = 16 σ = 2, 32 1− α = 96%
(g) x = 1, 72 n = 14 s = 0, 31 1− α = 96%
(h) x = 24, 1 n = 29 s = 1, 86 1− α = 94%
(i) x = 18, 1 n = 17 σ = 2, 33 1− α = 94%
(j) x = 19, 3 n = 14 s = 1, 98 1− α = 88%
Soluc¸a˜o
IC : x± �
(a) t9;0,05 = 1, 833 � = 1, 833× 1, 28√
10
= 0, 74195 IC : (9, 55805 ; 11, 04195)
(b) z0,01 = 2, 33 � = 2, 33× 0, 49√
15
= 0, 29479 IC : (20, 90521 ; 21, 49479)
(c) t81;0,10 ≈ z0,10 = 1, 28 � = 1, 28×0, 92√
81
= 0, 13084 IC : (14, 56916 ; 14, 83084)
2
(d) z0,06 = 1, 55 � = 1, 55× 0, 55√
36
= 0, 14208 IC : (3, 26792 ; 3, 55208)
ou
z0,06 = 1, 56 � = 1, 56× 0, 55√
36
= 0, 143 IC : (3, 267 ; 3, 553)
ou
z0,06 = 1, 555 � = 1, 555× 0, 55√
36
= 0, 14254 IC : (3, 26746 ; 3, 55254)
(e) t12;0,025 = 2, 179 � = 2, 179× 0, 25√
13
= 0, 15109 IC : (4, 16891 ; ; 4, 47109)
(f) z0,02 = 2, 05 � = 2, 05× 2, 32√
16
= 1, 189 IC : (17, 311/, ; /, 19, 689)
(g) t13;0,02 = 2, 282 � = 2, 282× 0, 31√
14
= 0, 18907 IC : (1, 53093/, ; /, 1, 90907)
(h) t28;0,03 = 1, 960 � = 1, 960×1, 86√
29
= 0, 67697 IC : (23, 42303/, ; /, 24, 77697)
(i) z0,03 = 1, 88 � = 1, 88× 2, 33√
17
= 1, 0624 IC : (17, 0376/, ; /, 19, 1624)
(j) t13;0,06 = 1, 664 � = 1, 664×1, 98√
14
= 0, 88055 IC : (18, 41945/, ; /, 20, 18055)
5. [1,5 pontos] Em cada um dos seguintes problemas, sa˜o dadas as seguintes informac¸o˜es:
margem de erro, tamanho amostral, desvio padra˜o populacional ou amostral utilizados
na construc¸a˜o de um intervalo de confianc¸a apropriado para a me´dia de uma populac¸a˜o
normal. Determine o n´ıvel de confianc¸a correspondente.
(a) � = 2, 3509 n = 12 s = 3, 70
(b) � = 1, 3683 n = 18 σ = 2, 25
(c) � = 0, 0029 n = 25 σ = 0, 01
(d) � = 0, 1307 n = 23 s = 0, 25
(e) � = 0, 8917 n = 21 s = 1, 86
Soluc¸a˜o
� = k
dp√
n
⇒ k = � ·
√
n
dp
(a) k = 2, 3509 ·
√
12
3, 7
= 2, 201
α/2 = P(t11 > 2, 201) = 0, 025⇒ 1−α = 1− 2 · 0, 025 = 0, 95 ou 95% (Veja a Figura
1.)
(b) k = 1, 3683 ·
√
18
2, 25
= 2, 58
P(Z > 2, 58) = 0, 005⇒ 1− α = 1− 2 · 0, 005 = 0, 99 ou 99%
(c) k = 0, 0029 ·
√
25
0, 01
= 1, 45
P(Z > 1, 45) = 0, 0735⇒ 1− α = 1− 2 · 0, 0735 = 0, 8529 ou 85,29%
(d) k = 0, 1307 ·
√
23
0, 25
= 2, 507
P(t22 > 2, 507) = 0, 01⇒ 1− α = 1− 2 · 0, 01 = 0, 98 ou 98%
3
(e) k = 0, 8917 ·
√
21
1, 86
= 2, 197
P(t20 > 2, 197) = 0, 02⇒ 1− α = 1− 2 · 0, 02 = 0, 96 ou 96%
Figura 1 – Determinac¸a˜o do n´ıvel de confianc¸a – Questa˜o 5(a)
6. Diversas pol´ıticas em relac¸a˜o a`s filiais de uma rede de supermercados esta˜o associadas ao
gasto me´dio dos clientes em cada compra. Uma pesquisa em duas novas filiais revelou os
seguintes dados:
Filial Dados da amostra
Tamanho Me´dia Desvio-padra˜o
A 46 123,45 10,2
B 51 131,64 13,9
(a) [1,0 ponto] Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para o gasto me´dio dos clientes
da filial A.
(b) [1,0 ponto] Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para o gasto me´dio dos clientes
da filial B.
(c) [0,5 ponto] Ha´ alguma evideˆncia que sugira que os gastos me´dios nas duas filiais
sejam diferentes? Justifique sua resposta,certificando de indicar o reslado utilizado na
soluc¸a˜o do problema. (Dica: pense que o intervalo de confianc¸a fornece um conjunto
de valores plaus´ıveis para a quantidade me´dia sendo estimada.)
Soluc¸a˜o
Ambas as amostras sa˜o grandes; logo, podemos usar a aproximac¸a˜o normal.
1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96
(a) Filial A:
� = 1, 96 · 10, 2√
46
= 2, 9477 IC : (120, 5023 ; 126, 3977)
(b) Filial B:
� = 1, 96 · 13, 9√
51
= 3, 8149 IC : (127, 8251 ; 135, 4549)
(c) Como os dois intervalos na˜o se sobrepo˜em, ha´ ind´ıcios de diferenc¸a entre os gastos
me´dios nas duas filiais, com a filial B apresentando maiores valores.
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