1. MHS e MHA-Relatório de Laboratório de Física Geral II

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA II
MOVIMENTO PERIÓDICO E OSCILAÇÕES.
ACADÊMICOS: MARIANA FERRAREZE CASAROTO		RA: 93352
 VINICIUS DE SOUZA PAULUS RA: 93911
 
TURMA: 33 – SALA 01		
PROFESSOR: PAULO RICARDO GARCIA FERNANDES
MARINGÁ - PARANÁ
11/11/2015
1. RESUMO:
 Foram realizados dois experimentos, Pêndulo Simples- MHS e Movimento Harmônico Amortecido- MHA. 
O primeiro experimento (Pêndulo Simples) consistiu em uma massa m suspensa por um fio inextensível, de comprimento L (com massa desprezível em relação a massa suspensa), deslocada para uma posição, onde é o ângulo que o fio faz com a vertical. A massa m foi solta fazendo com que o pêndulo oscile. Nessa parte do experimento levamos em consideração a ausência de forças dissipativas. 
Com os dados adquiridos foi possível calcular o tempo de uma oscilação completa, e também foram confeccionados dois gráficos período (T) versus Comprimento do Fio (L), os dois no papel milimetrado, sendo um deles linearizado. 
Já no segundo experimento sobre Movimento Harmônico Amortecido foi levado em consideração a atuação de forças externas no mesmo pêndulo, como a força de atrito, essas forças fazem com que a amplitude de oscilação do pêndulo simples diminua com o tempo.
Com os dados adquiridos foi possível confeccionar dois gráficos Amplitude versus Tempo, um no papel milimetrado e um no papel monolog.
2. OBJETIVO:
Os objetivos desses experimentos são observar e estudar o comportamento oscilatório em condições ideais e não ideais. No caso do MSH temos os objetivos de verificar a dependência da massa e do ângulo no movimento, obter experimentalmente a equação geral para o período de oscilação de um pêndulo simples para pequenas amplitudes, e determinar a aceleração da gravidade local. Já no MHA o objetivo principal é obter o coeficiente de resistividade (b). E aprender a confeccionar e interpretar um gráfico na escala monolog.
3. INTRODUÇÃO:
Nosso mundo está repleto de oscilações, nas quais os objetos se movem repetidamente de um lado para outro. Muitas são simplesmente curiosas ou desagradáveis, mas outras podem ser economicamente importantes ou perigosas, como por exemplo oscilações na bolsa de valores ou um guindaste descontrolado.
O estudo de movimento periódico e oscilatórios nos conduziram a uma evolução científica e tecnológica como a invenção dos relógios mecânicos,
determinação com precisão da primeira medição da aceleração gravitacional, comprovação científica da rotação da Terra entre outros. 
Neste relatório realizamos experimentos abrangendo movimentos com oscilações e periodicidade.
4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA:
4.1. Movimento Harmônico Simples- MHS: 
0
1
0
2
y
x
y
x
(Figura 1.1) Figura esquemática representando um pendulo simples com as forças que atuam no sistema (desprezando a força de atrito) em um referencial não inercial (referencial da massa suspensa)(01) e o referencial inercial, (referencial do laboratório)(02).
Um pêndulo simples se define como uma massa suspensa por um fio inextensível, de comprimento e massa desprezível em relação ao valor . Se a massa se desloca para a posição e então for liberada com velocidade inicial igual a zero o pêndulo começa a oscilar. O caminho descrito pela massa suspensa é uma trajetória circular; um arco de circunferência de raio . O período de oscilação é o tempo necessário para a massa passar duas vezes consecutivas pelo mesmo ponto.
As forças que atuam sobre o corpo são apenas duas, a tração () do fio e o peso() . Levaremos em consideração que a força de atrito da massa com o ar é desprezível.
Na imagem 4.1.1 podemos observar a direção e sentido de atuação dessas forças. A força peso pode ser decomposta em duas outras forças, uma na direção radial, que será chamada de , e a outra na direção tangencial, chamada de . Podemos facilmente perceber que o módulo das duas componentes podem ser definidas por:
 
como o modulo da força peso pode ser dada por temos que:
 
A força é uma força restauradora por sempre fazer com que o pêndulo volte para a posição de equilíbrio ().
O movimento oscilatório ocorre na direção tangencial ao arco da curva. A segunda lei de Newton permite escrever:
 
nesta direção temos somente , portanto a equação (4.3) pode ser escrita como:
 
 
A aceleração da partícula é 
como , onde nesse caso, temos que:
como é uma força restauradora, tem um sinal negativo, então:
Para oscilações pequenas temos:
Desenvolvendo o da equação ( em série de Tayor temos:
 
Quando o ângulo de oscilação de pêndulo é pequeno (), temos que , pois os outros termos serão menores ainda e podemos desprezá-los. dessa forma, o pêndulo descreverá oscilações harmônicas descritas pela equação diferencial:
Podemos verificar essa equação usando a função, por ser uma função oscilatória, usaremos a função cosseno por ter o mesmo comportamento, então:
pelas propriedades de diferenciação, temos que a derivada da função é:
e a segunda derivada da função é:
substituindo na :
como 
então
como 
4.2. Movimento Harmônico Amortecido- MHA:
(Figura 4.2.1) Figura esquemática representando um pendulo simples com as forças que atuam no sistema em um referencial não inercial (referencial da massa suspensa) (01) e o referencial inercial, (referencial do laboratório)(02).
No caso do MHA, consideramos o mesmo pendulo, mas agora levaremos em consideração a atuação da força de atrito (figura 4.2.1), a qual faz com que a amplitude de oscilação do pêndulo simples diminua com o tempo.
A força de atrito está relacionada neste caso com a força de arrasto dado por:
como , então: 
como vimos, a componente tangencial da força peso no pêndulo simples é dada por:
para ângulos pequenos. Substituindo na segunda lei de Newton:
assim
Definindo , e pela equação , temos a seguinte equação diferencial:
A solução para esta equação é uma função exponencial:
Podemos verificar essa equação por meio das propriedades de diferenciação, então temos que
e que,
então podemos substituir na equação , afirmando sua resposta,
Desta equação temos que a amplitude é dada por
Caso o atrito fosse nulo, então , e recairíamos na equação diferencial do MHS.
Aplicando logaritmo neperiano,ficamos com:
Portanto a inclinação da reta em papel monolog de ln A x t, nos fornece o valor de .
5. DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL
(Figura 5.1) Figura esquemática representando a montagem experimental. 01- Massa suspensa; 02- Fio de suspensão; 03- Suporte.
5.1. MATERIAIS UTILIZADOS
Foram utilizados os seguintes instrumentos em ambos os experimentos:
Massa pendular (01);
Fio de suspensão (02);
Cronômetro de mão: instrumento que mede tempo em segundos, possui a precisão de 0,1s do mostrador, somado com a precisão de quem está manuseando;
Trena: instrumento que mede comprimento em centímetros, com precisão de 0,5mm;
Fita adesiva;
Transferidor meia lua: usado para aferir a angulação () entre o fio e a vertical, possui uma precisão de 0.05 cm
Balança: instrumento utilizado para aferir a massa de objetos. A balança utilizada possui uma precisão de 1g e um desvio de 0,1g;
Suporte na parede (03): objeto utilizado para pendurar o pêndulo;
5.2. MONTAGEM EXPERIMENTAL
5.2.1 MHS
Adotou-se o comprimento de 1 metro como tamanho padrão de fio para grupos. Em uma extremidade foi fixada a massa com o valor aferido e a outra extremidade foi fixada no suporte da parede. Foi usado o orifício do suporte para controlar o comprimentodo fio e a fita adesiva para fixar seu comprimento. 
5.2.2 MHA
Foi utilizado um fio com 1 metro de comprimento para suspender a massa no suporte da parede. A partir do ponto de equilíbrio da massa suspensa, foram marcados os ângulos de 5º,10º, 15º e 20º na parede com o auxílio de um transferidos e com uma caneta de cor preta, para contrastar com a cor da parede. Também foi aferido o valor da massa e realizado o entendimento de como deveria ser utilizado o cronômetro.
5.3 DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO: 
5.3.1 MHS
O valor da massa suspensa foi aferida, assim como o comprimento do fio;
Com o transferidor foram marcadas as inclinações do fio de cada grupo;
O fio foi preso ao suporte
O comprimento do fio foi ajustado com a fita;
A massa pendular foi posicionada com a determinada angulação e foi liberada juntamente com a ativação do cronômetro;
O passo IV foi repetido com outras medidas de comprimento.
5.3.2 MHA
A massa foi suspensa com fio no suporte, e seu comprimento foi fixado com uma fita presa a parede;
Os valores das inclinações foram conferidos;
A massa pendular foi posicionada na amplitude de 20º;
O cronômetro foi acionado juntamente com a liberação da massa pendular na determinada posição;
Assim que a amplitude atingiu 15º, foi anotado o tempo com a função que trava o tempo marcado mas não para o contador;
O procedimento V foi repetido quando a amplitude atingiu 10º e 5º.
5.4 DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE
5.4.1 MHS
	L(cm)
	
	
	
	
	
	6,25
	15,50
	15,69
	15,65
	15,50
	15,50
	91,00
	18,88
	18,66
	18,88
	18,88
	19,97
	100,00
	19,75
	19,84
	19,69
	19,69
	19,65
	116,00
	21,19
	21,47
	21,32
	21,41
	21,41
	130,00
	22,88
	22,53
	22,67
	22,47
	22,53
	Ɵ = 10º
	M = 18,67g
(tabela 1.1) - Dados experimentais de tempo, amplitude e massa do grupo 1.
	L(cm)
	(s)
	
	
	
	
	70,00
	16,97
	16,28
	16,28
	16,39
	16,31
	85,00
	17,91
	17,90
	17,90
	17,87
	18,00
	100,00
	19,47
	19,47
	19,47
	19,41
	19,34
	115,00
	20,82
	20,88
	20,88
	20,81
	20,57
	130,00
	22,87
	22,81
	22,81
	22,75
	22,85
	Ɵ = 5º
	M = 91,40g
(tabela 1.2) - Dados experimentais de tempo, amplitude e massa do grupo 2.
	L(cm)
	(s)
	
	
	
	
	70,00
	16,40
	16,90
	17,10
	16,60
	17,00
	80,00
	18,50
	18,70
	18,00
	18,30
	17,80
	100,00
	19,90
	20,00
	20,20
	19,17
	20,12
	110,00
	21,00
	20,75
	21,50
	20,75
	20,53
	120,00
	21,87
	22,00
	21,47
	21,62
	21,48
	Ɵ = 15,00º
	M = 50,0g
(tabela 1.3) - Dados experimentais de tempo, amplitude e massa do grupo 3.
5.4.2 MHA
	A (graus) = Ɵ(º)
	t (minutos e segundos)
	20,0
	0,00
	15,0
	0:48,92
	10,0
	3:36,24
	5,0
	7:30,11
	M = 97,05g
	L(m) = 1,11
(tabela 2.1) - Dados experimentais de amplitude e tempo do grupo 1.
5.5 INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS
5.5.1 MHS
Com os dados obtidos é possível encontrar o período médio de cada comprimento, fazendo a média das medidas e em seguida dividir pelo número de oscilações, sendo que os valores obtidos se referem ao número de 10 oscilações. 
	L(cm)
	
	
	62,50
	15,57
	1,56
	91,00
	19,05
	1,91
	100,00
	19,72
	1,97
	116,00
	21,36
	2,14
	130,00
	22,62
	2,26
	Ɵ = 10,00º
	M = 18,67g
(Tabela 3.1)- Interpretação dos dados da tabela (1.1)
	L(cm)
	
	
	70,00
	16,45
	1,64
	85,00
	17,90
	1,79
	100,00
	19,43
	1,94
	115,00
	20,86
	2,09
	130,00
	22,82
	2,28
	Ɵ = 5,00º
	M = 91,40g
(Tabela 3.2)- Interpretação dos dados da tabela (1.2)
	L(cm)
	
	
	70,00
	16,80
	1,68
	80,00
	18,26
	1,83
	100,00
	19,99
	2,00
	110,00
	20,97
	2,10
	120,00
	21,68
	2,17
	Ɵ = 15,00º
	M = 50,00g
(Tabela 3.3)- Interpretação dos dados da tabela (1.3)
A partir desses dados foi possível confeccionar dois gráficos (gráfico 1.1 e gráfico 1.2, anexos nesse relatório) mostrando a dependência do período e do comprimento do fio.
O gráfico 1.1, feito no papel milimetrado, nos permite estudar o comportamento dele como uma função polinomial . O gráfico 1.2 linearizado elevando as coordenadas do comprimento do fio a 0,5, para estudar seu comportamento como reta. Os valores obtidos para cada experimento estão nas tabelas 3.4, 
3.5 e 3.6
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(Tabela 3.4)- Linearização dos dados obtidos pelo grupo 1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(Tabela 3.5)- Linearização dos dados obtidos pelo grupo 2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(Tabela 3.6)- Linearização dos dados obtidos pelo grupo 3
Os três grupos aferiram o período do pendulo quando comprimento do fio era 100 cm e as massas e ângulos diferentes entre si. Podemos observar que os resultados foram praticamente os mesmos (1,97; 1,94 e 2,00), com uma imprecisão de algumas casas decimais.
 Pela equação podemos observar que o período (T) não depende do ângulo e nem da massa, apenas da gravidade e do comprimento do fio. A pequena diferença entre os valores obtidos são variações do experimento,essa variação pode ter ocorrido por diversos motivos, entre eles estão: o atrito com o ar que, apesar de ser desconsiderado nesse experimento, continua influenciando nos resultados; erros de arredondamento; imprecisão da marcação do tempo pelo cronometro manual, etc.
5.5.2 MHA
Com os dados obtidos foi possível calcular o espaço percorrido pela massa suspensa, 
	A (graus) = Ɵ(º)
	A(cm)
	t(s)
	20,00
	22,20
	0,00
	15,00
	16,70
	48,92
	10,00
	11,10
	216,24
	5,00
	5,55
	470,11
(tabela 4.1)- Interpretação dos dados da tabela (2.1)
A partir desses dados foi possível confeccionar dois gráficos (gráfico 2.1 e gráfico 2.2, anexos nesse relatório) mostrando a dependência da amplitude e do tempo.
O gráfico 2.1, feito no papel milimetrado, nos permite estudar o comportamento dele como uma função exponencial. O gráfico 2.2 foi linearizado no papel monolog, para estudar seu comportamento como reta.
A inclinação da reta nesse experimento representa a sua velocidade angular, que diminui exponencialmente em relação ao tempo.
6. ANÁLISE DOS RESULTADOS
6.1 MHS
É sabido que os resultados obtidos do experimento seriam diferentes dos obtidos pela equação em questão, pelo simples fato de que é impossível eliminar por completo os fatores que comprometem os resultados. 
Utilizando os dados das tabelas 1.1, 1.2 e 1.3 podemos encontrar uma equação para da cada curva de cada experimento.
Uma curva genérica pode ser expressa como 
então, encontramos os seguintes valores para A e B (constantes experimentas), utilizando uma calculadora CASIO fx-82MS:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
A partir desses resultados concluímos que a equação de cada curva obtida é:
Na linearização teremos outra equação genérica, uma reta que pode ser expressa como:
então, encontramos os seguintes valores para A e B (constantes experimentas), utilizando uma calculadora CASIO fx-82MS:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
A partir desses resultados concluímos que a equação de cada reta obtida é:
A partir dos dados obtidos e da equação podemos calcular o valor da aceleração da gravidade em Maringá. Podemos isolar na equação e substituir T e L pelos valores obtidos experimentalmente. Então:
Gravidade pelos valores do grupo 1: 
Gravidade pelos valores do grupo 2:
Gravidade pelos valores do grupo 3:
A gravidade em Maringá pode ser calculada a partir da equação dada pela National Physical Laboratory,
onde A e B são constantes experimentais, e , é o valor da Latitude e o valor da altitude local acima do nível do mar.
A Latitude de Maringá é e a altitude é 
Assim podemos concluir que a gravidade em Maringá é de,
6.2 MHA	
Utilizando os dados das tabelas 2.1 podemos encontrar uma equação para a curva do experimento.
Uma curva genérica pode ser expressacomo 
mas utilizaremos uma expressão para a função exponencial pois essa se encaixa melhor no comportamento do gráfico, então temos:
então, encontramos os seguintes valores para A e B (constantes experimentas), utilizando uma calculadora CASIO fx-82MS:
A equação da curva é:
Notemos que o valor é próximo do valor da maior amplitude do pendulo, 20°. E que o valor de faz com que a amplitude diminua exponencialmente com o tempo. Logo o B é uma constante que dificulta o movimento.
Se compararmos com a equação obtida teoricamente, temos que:
Portanto,
como foi definido anteriormente 
Já que a massa é , então a viscosidade do ar será:
podemos comparar com os resultados tabelados para a viscosidade do ar:
7. CONCLUSÕES
Concluímos por meio deste experimento que no MHS o período não é influenciado pela massa e pelo ângulo do pêndulo, apenas pelo comprimento do fio e pela gravidade.
	Já que, a aceleração da gravidade em Maringá é e o valor obtido pela equação (6.1.1) foi de: , para o grupo 1; , para o grupo 2; e para o grupo 3, podemos dizer que o desvio percentual do experimento de MHS de cada grupo equivale à: 
grupo 1: 13,5%
grupo 2: 12,9%
grupo 3: 8,9%
Concluímos que a massa influência no movimento harmônico apenas quando levamos em conta a força de atrito do ar, como no MHA.
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Manual de Laboratório - Física Experimental I- Hatsumi Mukai e Paulo R.G. Fernandes - 2015.
[2] Fundamentos de Física II - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - Halliday & Resnick - 8ª Edição
[3] Só física - http://www.sofisica.com.br/ Acessado no dia 08/11/2015.
[4] Curso de Física Básica- Mecânica- H. Moysés Nussenzveig- 3ª Edição.
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