2. Ondas, Corda Vibrante -Relatório de Laboratório de Física Geral II

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA II
ONDAS, "CORDA" VIBRANTE
ACADÊMICOS: MARIANA FERRAREZE CASAROTO		RA: 93352
 VINICIUS DE SOUZA PAULUS RA: 93911
 
TURMA: 33 – SALA 01		
PROFESSOR: PAULO RICARDO GARCIA FERNANDES
MARINGÁ - PARANÁ
11/11/2015
RESUMO
Foi realizado um experimento vibração de ondas, com uma "corda" vibrante. 
O experimento consistiu em um fio de comprimento onde uma de suas extremidades estava presa à um auto-falante e a outra estava tensionada por uma massa. A massa variada três vezes ao decorre do experimento. 
Com os dados adquiridos foi possível calcular a velocidade de propagação da onda, densidade linear do fio, comprimento de onda e força tensora, e também foram confeccionados três gráficos, o primeiro sobre frequência versus número de ventres , o segundo sobre frequência versus o inverso do comprimento do fio de um nó ao outro e por fim o terceiro sobre o quadrado da frequência versus a força tensora .
OBJETIVOS
Os objetivos são gerar ondas estacionárias em um fio, afim de analisar a dependência da frequência de vibração do fio, com o número de ventres, comprimento de fio, tensão aplicada e obter a velocidade de propagação de uma onda em estado estacionário.
INTRODUÇÃO
O estudo das ondas é muito importante atualmente, tanto para a ciência quanto para a sociedade. Para ter uma ideia da importância das ondas no mundo moderno, basta considerar a indústria musical, toda música que escutamos, de um samba de rua a um sofisticado concerto sinfônico, envolve a produção de ondas pelos artistas e a detecção dessas ondas pela plateia. O simples fato de falar e ouvir, envolve ondas que serão produzidas ou recebidas pelas pessoas.
Em Física, ao estudarmos ondas, que são perturbações periódicas no tempo que se propagam oscilantes no espaço, consideramos as mecânicas e as eletromagnéticas. As ondas mecânicas necessitam de um meio para se propagar, já as eletromagnéticas não, estas se propagam no vácuo.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Ressonância-ondas estacionárias:
Consideremos um fio fixo nas suas extremidades e sujeita a uma tração(figura 4.1). Se excitarmos um ponto deste fio através de um vibrador de frequência, toda a extensão do fio entrará em vibração. São as chamadas Oscilações Forçadas.
Quando a frequência do vibrador for igual a uma das frequências próprias do fio, dizemos que o vibrador e o fio estão em ressonância. 
Neste caso, a amplitude de vibração do fio é máxima e formam-se ondas estacionárias.
(Figura 4.1) Figura esquemática de um fio fixo a um suporte que está acoplado a um alto falante, sujeito a uma tração causada por uma massa suspensa que passa por um suporte em forma de um L invertido.
Para que se possa colar a frequência em relação ao número de ventres, necessitamos saber como é a equação de uma onde progressiva. Esta equação (considerando a propagação na direção de x+), em termos da amplitude (, número de onda (, onde é o comprimento de onda), frequência angular e o tempo . é dada pela equação:
Uma onda estacionária se forma pela superposição de duas ondas que tenham a mesma frequência, velocidade e amplitude e que se propaguem em sentidos opostos. assim, a equação final de duas ondas superpostas 
,
levando em conta o princípio de superposição de uma onda, , e que, , temos que:
Na onda estacionária, cada ponto (cada valor de x), tem sua amplitude dada por:
Na equação (4.3) temos que a amplitude será máxima, e igual a , para:
Esses pontos são denominados de antinodos ou ventres, e estão distantes por meio comprimento de onda , Figura (4.2).
(Figura 4.2) Figura esquemática de uma onda Estacionária, onde L é o comprimento de fio, λ o comprimento de onda.
Também pela equação (4.3), temos que a amplitude será mínima, e igual a zero, quando,
Tais pontos denominam-se nodos, e também estão distanciados entre si por meio comprimento de onda(figura 4.2).
Imagine o alto falante da figura (4.1) vibre com uma frequencia (f) e amplitude pequena. As ondas provocadas pelo alto falante percorrem o fio (L), são invertidas pela reflexão fixa no suporte, e retornam a extremidade inicial com uma variação de fase de . Como a amplitude do alto-falante é pequena, ele reflete a onda como se fosse um suporte fixo, e a onda é novamente invertida voltando a percorrer o fio no sentido inicial.
Como as ondas incidentes e refletidas possuem a mesma frequência e se propagem em sentidos opostos, sob condições apropriadas, elas podem combinar-se produzindo ondas estacionárias. Nesse momento, o fio e o alto falante então em ressonância, sendo o comprimento (L) do fio um múltiplo inteiro de meios comprimentos de onda. Portanto, na ressonância
onde representa o número de ventres.
Isto quer dizer que, para valores diferentes de , teremos vários modos de vibração(ou ressonância) do fio.
A velocidade com a qual a onda percorre um meio é determinada pelas propriedades deste. Para o caso deum fio longo e flexível, é dada por:
sendo, F a tensão aplicada no fio, e , a densidade do fio,
O comprimento de onda de uma onda progressiva é dado pela distância entre dois máximos sucessivos, isto é, a distância em que a forma da onda se repete, num intervalo de tempo igual ao período (T). Dessa forma, a relação entre a frequência , o comprimento de onda , e a velocidade , de uma onda harmônica é dada pela equação:
Combinando as equações (4.4) (4.5) e (4.7) temos que a expressão geral para as frequências de vibrações (ou ressonância) do fio, também chamados de harmônicos é:
A equação (4.8) é conhecido como . Para , tem-se o 1º harmônico ou frequência fundamental. As outras frequências chamadas de 2º harmônico, 3º harmônico, etc..., (figura 4.3) são múltiplos da frequência fundamental, ou seja,
DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL
5.1. Materiais Utilizados
Fio: fio do tipo cordonê, utilizado para propagação das ondas geradas pelo alto-falante, usado também para suspender uma certa massa;
Massa: massas cilíndricas com gramaturas diferentes utilizadas para criar uma tensão no fio, foram usadas três massas diferentes; 
Suporte: suporte lateral em formato de L, utilizado para apoiar o fio com a massa suspensa;
Trena: instrumento que mede comprimento em centímetros, com precisão de 0,5mm, ou seja, a metade da menor medida;
Balança: instrumento utilizado para aferir a massa de objetos. A balança utilizada possui uma precisão de 1g e um desvio de 0,1g;
Auto-falante: instrumento utilizado para gerar uma frequência no fio;
Gerador de funções: instrumento utilizado para gerar diferentes tipos de ondas com diferentes frequências;
Amplificador: instrumento utilizado para amplificar as ondas;
Leitor de Frequência: instrumento acoplado ao gerador de funções que mostra a frequência da onda;
Papel de Fundo escuro: papel escuro utilizado para destacar o fio branco.
06
02
035.2. Montagem Experimental
05
04
01
(Figura 4.9) A montagem do sistema experimental está apresentada na figura esquemática (4.1). Essa é constituída por uma massa (01) suspensa por um fio (02), suporte L (03), demais massas a serem utilizadas (04) e, na outra extremidade da mesa, o alto falante (05), gerador de funções com leitor de frequência, e sobre ele o amplificador(06)
5.3. Descrição dos Experimento
Foi aferido os valores de cada massas e enumeradas.
A massa foi suspensa no fio e verificou-se todos os instrumentos;
Alinhou-se o fio a mesa, de forma que ele fique paralelo com a superfície;
Foi controlado a frequência da onda nos aparelhos;
Foi anotado os valores em uma tabela anexa mais a frente;
Foi medido o comprimento do fio;
Foi repetido o experimento para as outras massas. 
5.4. Dados Obtidos Experimentalmente(Tabela 5.4) Apresenta-se os dados obtidos no experimento das frequências de ressonância para os números de ventre variando de 1 a 10 formadas para cada massa suspensa, o valor da massa do fio, comprimento do fio, e comprimento de um nó ao outro (nó fixo).
5.5. Interpretação dos Resultados
Pela equação (4.6) podemos medir a densidade do fio de tal modo que:
5.5.1. Dependência da frequência de ressonância com o número de ventres (modo de vibração)
A partir dos dados da tabela (5.4) podemos confeccionar um gráfico Frequência versus Número de ventres.
Gráfico 5.1.1
´
(gráfico 5.1.1)- Gráfico frequência versus número de ventres. Não foi possível representar o desvio no gráfico pois o desvio no eixo y é muito pequeno, sendo ele de .
5.5.2. Dependência da frequência de ressonância com o comprimento do fio
A partir dos dados coletados foi possível confeccionar três tabelas anexas a seguir, nelas então os dados da frequência e do seguimento do fio que corresponde a cada ventre.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(tabela 5.5.2.1) Apresenta-se os dados obtidos no experimento das frequências de ressonância e do comprimento de um nó ao outro.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(tabela 5.5.2.3) Apresenta-se os dados obtidos no experimento das frequências de ressonância e do comprimento de um nó ao outro.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(tabela 5.5.2.4) Apresenta-se os dados obtidos no experimento das frequências de ressonância e do comprimento de um nó ao outro.
Gráfico 5.1.2A partir das tabelas (5.5.2.2) (5. 5.2.3) e (5.5.2.4) foi possível confeccionar um gráfico 
(gráfico 5.1.2)- Gráfico frequência versus número de ventres. Não foi possível representar o desvio no gráfico pois o desvio é muito pequeno, sendo ele de em y e em x.
5.5.3. Dependência da frequência de ressonância com a força tensora
A partir dos dados coletados foi possível confeccionar uma tabela anexa a seguir, nela está os dados da frequência e da força tensora.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(tabela 5.5.3) Apresenta-se os dados obtidos no experimento das frequências de ressonância e da força tensora.
(gráfico 5.1.3)- Gráfico frequência ao quadrado versus força. Não foi possível representar o desvio no gráfico pois o desvio é muito pequeno, sendo ele de em y e em x
ANÁLISES DOS RESULTADOS
6.1. Dependência da frequência de ressonância com o número de ventres.
Utilizando os dados da tabela (5.4) podemos encontrar uma equação para cada reta de cada experimento do gráfico (5.1.1).
Na linearização uma reta que pode ser expressa como uma equação genérica do tipo:
então, encontramos os seguintes valores para A e B, utilizando uma calculadora CASIO fx-82MS:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(tabela 6.1) tabela representando o coeficiente angular e linear do gráfico .
A partir desses resultados concluímos que a equação de cada reta obtida é:
Podemos calcular o coeficiente angular a partir da derivada parcial da em relação ao número de ventres.
Temos então que:
Para primeira massa temos que,
Para a segunda massa,
Para a terceira massa,
Nota-se que o coeficiente angular é aproximadamente igual a metade do segundo harmônico. Podemos perceber então que fisicamente o coeficiente angular corresponde ao primeiro harmônico. Fazendo a análise dimensional podemos notar que a dimensão do coeficiente angular é assim como esperado.
Ao analisar a dependência da frequência com o número de ventres encontramos valores diferentes para um mesmo coeficiente angular, podemos assim calcular o erro percentual do experimento.
Para a primeira massa o erro percentual foi de 12%. Para a segunda massa obteve-se 9,7% de erro. Por fim para a terceira massa o erro percentual foi de 6,5%. 
6.2. Dependência da frequência de ressonância com o comprimento do fio
Utilizando os dados das tabelas (5.5.2.1), (5.5.2.2) e (5.5.2.3) podemos encontrar uma equação para da cada reta do gráfico (5.1.2).
Assim como no tópico anterior,
encontramos os seguintes valores para A e B, utilizando uma calculadora CASIO fx-82MS:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(tabela 6.1) tabela representando o coeficiente angular e linear do gráfico .
A partir desses resultados concluímos que a equação de cada reta obtida é:
Assim como no item anterior, podemos calcular a derivada parcial da e obter o coeficiente angular da reta. Nesse caso foi feito a derivada parcial de em relação a, sendo a frequência e o comprimento do fio de um ventre. Então temos que,
como 
como 
 
portanto
Assim temos que os coeficientes angulares teóricos para da uma das retas será,
O coeficiente angular nesse caso está relacionada com a velocidade de propagação da onda. Fazendo a análise dimensional notamos que a unidade de medida do coeficiente angular é , já que,
então o coeficiente angular dessa reta representa metade da velocidade de propagação d onda.
Podemos analisar os resultados obtido experimentalmente e os resultados teóricos obtidos pela derivada, calculando assim o erro percentual. Para a o erro foi de 13%, para foi de 10,39%, e para foi de 6,7%.
A partir da equação (4.5) podemos calcular a velocidade de propagação da onda para cada massa,
Podemos também, calcular a velocidade de propagação da onda utilizando a equação (4.7), assim podemos calcular a velocidade para cada frequência diferente e calcular a média aritmética.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
(Tabela 6.2) Tabela representando a velocidade para cada frequência em relação as massas.
Pelo coeficiente angular temos que a velocidade de propagação da onda é de,
Podemos fazer o erro percentual da velocidade calculada pelo coeficiente angular em relação as velocidades calculadas de forma teórica.
Temos assim que,
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Podemos notar então que a equação (4.7) tem mais precisão para calcular a velocidade de propagação da onda.
6.3. Dependência da frequência de ressonância com a força tensora	
Utilizando os dados da tabela (5.5.3) podemos encontrar a equação da reta, encontramos os seguintes valores para A e B, utilizando uma calculadora CASIO fx-82MS:
	
	
	
	
A partir desses resultados concluímos que a equação da reta obtida é:
O constante de proporcionalidade nesse caso está relacionada com o numero de ventres, a densidade e o comprimento do fio, sendo essa relação de,
Fazendo a análise dimensional nesse caso notamos que a unidade de medida do coeficiente angular é .
O erro percentual nesse caso é de 
6.4. Análises gerais
A partir da equação (4.8) podemos calcular a frequência e comparar com os resultados obtidos experimentalmente, obtendo assim o desvio percentual do experimento.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
CONCLUSÕES 
Nesse experimento conseguimos alcançar nossos objetivos, que são gerar ondas estacionárias em um fio, afim de analisar a dependência da frequência de vibração do fio, com o número de ventres, comprimento de fio, tensão aplicada e obter a velocidade de propagaçãode uma onda em estado estacionário.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Manual de Laboratório - Física Experimental I- Hatsumi Mukai e Paulo R.G. Fernandes - 2015.
[2] Fundamentos de Física II - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - Halliday & Resnick - 8ª Edição
[3] Curso de Física Básica- Mecânica- H. Moysés Nussenzveig- 3ª Edição.
[4] http://abordagempolicial.com/2010/03/especial-armas-de-fogo-%E2%80%93-bala-projetil-municao-cartucho/; página visitada em 14/11/2015 às 00:50
[5] http://www.repel.com.br/automotivo/alto-falante-1100w-rms-15sw3a-tornado.html ;dia página visitada em 14/11/2015 às 00:50
[6] http://www.fernandojaeger.com.br/fj/category/mesas/; página visitada em 14/11/2015 às 00:50