equilíbrio do corpo rígido

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Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura 
ESTÁTICA – Arquitectura – 2006/07 
6. Equilíbrio do Corpo Rígido 
6.1 Generalidades 
 
Um corpo rígido está em equilíbrio sob a acção das forças 
(aplicadas e reactivas) quando este sistema de forças é 
equivalente a zero, ou seja (vectorialmente): 
0
GG =ROM0GG =R
 
ou, na sua forma escalar 
∑ == 0MM oxRox∑ == 0FR xx
∑ == 0MM oyRoy∑ == 0FR yy
∑ == 0MM ozRoz∑ == 0FR zz
 
Devem ser considerados os efeitos das forças aplicadas no 
corpo, assim como as reacções de apoio (que funcionam, na 
generalidade dos casos como incógnitas). 
 
6.2 Sistemas de Apoio 
 
O efeito dos apoios exteriores pode ser considerado segundo 
duas perspectivas diferentes e complementares: 
• Restrição ao movimento do corpo – bloqueando um ou mais 
dos movimentos independentes (de translação e de rotação) 
que o corpo pode apresentar; 
• Incógnitas estáticas (forças e momentos) que podem ser 
parcial ou totalmente determinadas através da solução das 
equações de equilíbrio. 
 
 
 
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6.3 Diagrama de Corpo Livre 
A solução das equações de equilíbrio deve ser formulada 
considerando diagramas de corpo livre nos quais se representam 
as forças aplicadas (peso – no centro de gravidade, e outras), 
assim como as forças de reacção. 
 
No seu formato habitual, conhecem-se as forças aplicadas 
(cargas concentradas e/ou distribuídas) e determinam-se as 
incógnitas que consistem nas forças (e momentos) que traduzem 
as ligações entre as várias partes do corpo, assim como entre o 
corpo e o exterior. 
 
As equações resultantes de se considerar que o sistema de 
forças total (forças aplicadas+incógnitas/reacções) é equivalente 
a zero permitem assim o cálculo das forças de ligação (interiores 
e exteriores). 
 
 
 
 
 
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7. Estatia e Equilíbrio 
7.1 Generalidades 
 
A classificação duma estrutura em termos de estatia resulta dum 
balanço entre o número de equações de equilíbrio disponíveis e o 
número de incógnitas estáticas que surgem na sequência das 
suas ligações (exteriores e interiores). Assim, define-se o grau de 
hiperestatia α duma estrutura através de: 
 
α = número de incógnitas estáticas – número de equações de 
equilíbrio disponíveis 
 
Quando este número é nulo a estrutura diz-se isostática, quando 
é negativo a estrutura diz-se hipoestática. 
 
Numa estrutura hiperestática, o grau de hiperestatia dá-nos o 
grau de indeterminação das equações de equilíbrio. Torna-se 
então necessário formular equações adicionais (do âmbito da 
Resistência de Materiais, por exemplo). O grau de hiperestatia 
traduz também o número de ligações a mais relativamente ao 
número de ligações estritamente necessário para impedir o 
movimento da estrutura. 
 
Numa estrutura hipoestática, o grau de hipoestatia dá-nos o 
número de deslocamentos independentes que a estrutura pode 
apresentar – a estrutura é um mecanismo –. O grau de 
hipoestatia traduz também o número de ligações em falta 
relativamente ao número de ligações estritamente necessário 
para impedir o movimento da estrutura. 
 
Numa estrutura isostática as equações de equilíbrio (estáticas) 
têm uma e uma só solução. O número de ligações é o 
estritamente necessário para impedir a ocorrência de 
movimentos. 
 
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7.2 Sistemas de Ligações Exteriores – Estatia exterior αE
Sistemas de ligações exteriores: 
Figuras extraídas de Engineering Mechanics: Statics. RILEY, William F.; STURGES, 
Leroy. John Wiley and Sons, 1996. 
 
 
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Figuras extraídas de Engineering Mechanics: Statics. RILEY, William F.; STURGES, 
Leroy. John Wiley and Sons, 1996. 
 
 
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Cálculo da estatia exterior: A estatia exterior αE é determinada 
subtraindo ao número de incógnitas (reacções exteriores) o 
número de equações de equilíbrio global disponíveis (3 ou 6 
consoante se tratem de estruturas planas ou espaciais). 
 
⎩⎨
⎧−=
espacial6
plano3
REα 
 
 
Casos particulares: pode acontecer que as ligações exteriores 
são em número suficiente, ou até mais do que suficiente, e a 
estrutura apresenta movimentos de corpo rígido. Diz-se então 
que a estrutura apresenta as ligações exteriores mal distribuídas 
– LEMD. 
 
Exemplos (2D): 
 Ligações concorrentes 
 ligações paralelas 
 
 
Exercício: Problema 14 (Mecânica 1, Civil, Enunciados de 
problemas) 
 
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7.3 Sistemas de Ligações Interiores – Estatia interior αI
 
Ligações interiores (tipificação): 
 
Ligação contínua entre duas ou mais barras 
 
 
 
 
 
 
 
Ligação articulada entre duas ou mais barras 
 
 
 
 
 
 
 
A classificação duma estrutura em termos da sua estatia interior 
traduz a indeterminação das equações de equilíbrio referentes 
aos diversos corpos que constituem a estrutura, assumindo que 
as forças de ligação exterior (reacções) são conhecidas. 
 
Uma forma alternativa consiste em assimilar o grau de hipostatia 
à diferença entre o número de graus de liberdade 3(C-1) e o 
número L de ligações interiores: 
 
( )1C3LI −×−=α 
 
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Casos particulares: também nas ligações interiores pode 
acontecer que, a despeito do número de ligações ser suficiente 
(ou até mais do que suficiente), a estrutura apresente 
movimentos internos. Diz-se então que a estrutura apresenta as 
ligações internas mal distribuídas – LIMD. Estes casos estão 
habitualmente associados a estruturas com uma concentração de 
ligações em determinadas regiões, e um défice destas em outras 
regiões. 
Procedimento proposto: abstrair a estrutura das suas ligações ao 
exterior; aplicar um número estritamente necessário de ligações 
ao exterior (3); se persistirem movimentos trata-se de uma 
estrutura com ligações interiores mal distribuídas (LIMD). 
Aplicável apenas quando pelos cálculos a estrutura é isostática 
ou hiperestática interior (αΙ>=0). 
Exercício: Problema 15 h) e r) (Mecânica 1, Civil, Enunciados de 
problemas). 
 
 
7.4 Estatia global αG
A estatia global obtem-se, na generalidade dos casos, através da 
soma algébrica da estatia interior com a estatia exterior. Observe-
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se, no entanto, que a hiperestatia interior nunca pode compensar 
a hipoestatia exterior. 
 
Exercício: Problema 15 (Mecânica 1, Civil, Enunciados de 
problemas) diversos 
 
 
7.5 Outros Métodos 
 
Método das estruturas arborescentes 
Consiste em, tendo por base uma estrutura sem libertações 
interiores, introduzir um determinado número C de cortes por 
forma a transformá-la num conjunto de estruturas arborescentes 
(isostáticas). Nestas condições o grau de hiperestia é αi=3C. 
 
Método misto 
Derivação do método das estruturas arborescentes em que há 
que previamente bloquear um número L de libertações interiores 
ou exteriores pré-existentes. Nestes casos tem-se αg=3C-L. 
 
Exercício: Problema 15 p) eq) (Mecânica 1, Civil, Enunciados de 
problemas) 
 
 
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Método das Estruturas Trianguladas 
Qualquer estrutura que seja construída a partir duma estrutura 
triangular básica através da adição, por fases, de conjuntos de 
duas barras e uma articulação é uma estrutura triangulada. Uma 
estrutura triangulada é interiormente isostática. Este método pode 
ainda ser utilizado para, através da comparação do número de 
barras em excesso/defeito relativamente a uma estrutura 
triangulada análoga, nos dar o grau de hiperestatia/hipoestatia 
interior. 
 
Exercício: Problema 15 g), i) e j) (Mecânica 1, Civil, Enunciados 
de problemas) 
 
 
 
 
 
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8. Estática de Estruturas 
8.1 Generalidades 
 
O objectivo da Estática de Estruturas consiste na determinação 
das forças de ligação – interiores, entre as várias partes (barras) 
e exteriores, reacções de apoio – em estruturas. Numa fase 
posterior pretende-se determinar os esforços internos (forças de 
ligação medidas num referencial solidário com a barra) ao longo 
das mesmas barras. 
 
No formato convencional conhecem-se as acções (cargas 
concentradas, cargas distribuídas, etc.) e pretende-se determinar 
as forças de ligação (incógnitas). 
 
 
8.2 Forças de ligação interiores e exteriores 
 
As forças de ligação exteriores são as reacções de apoio e a sua 
natureza (componentes) depende do tipo de apoio. 
 
As forças de ligação interiores são exercidas entre as várias 
partes da estrutura. No caso mais geral da ligação entre barras, 
podemos ter ligações articuladas ou ligações contínuas. As 
ligações articuladas pressupõem duas forças independentes e as 
ligações contínuas têm em acréscimo um momento. 
 
 
 
 
 
 
 
Ligação articulada Ligação contínua 
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8.3 Estruturas articuladas – métodos dos nós e das secções 
 
Treliças – estruturas articuladas com barras rectas e com as 
cargas aplicadas nos nós. 
 
Há, genericamente, dois métodos de análise: 
• Método dos nós – impor progressivamente o equilíbrio dos 
nós sob acção das forças transmitidas pelas barras e 
aplicadas nos nós (em cada passo há que garantir que o 
número de incógnitas não é superior a 2, no caso plano). 
• Método das secções – seccionar a estrutura e impor o 
equilíbrio de uma das sub-estruturas seccionada (3 equações 
de equilíbrio no caso plano. 
 
 
Ponte 
 
Cobertura 
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Exercício: Problema 22 (Mecânica 1, Civil, Enunciados de 
problemas) 
 
 
 
 
Exercício: Problema 24 (Mecânica 1, Civil, Enunciados de 
problemas) 
 
 
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8.4 Estruturas reticuladas – reacções de apoio 
 
Estrutura reticulada – estrutura constituída por barras rectas 
(por exemplo pórtico). As ligações interiores entre as barras 
podem ser contínuas ou articuladas. As forças (ou cargas 
distribuídas podem estar aplicadas nas barras ou nos nós). 
 
Cálculo de reacções 
Estrutura exteriormente isostática (αE=0) 
Impor as 3 (plano) equações de equilíbrio exterior e determinar as 
reacções e apoio. Exemplos: 
A B
 
 
 
 
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Estrutura exteriormente hiperestática (αE>0) 
Impor as 3 (plano) equações de equilíbrio exterior. Torna-se 
necessário escrever αE equações de equilíbrio interiores. 
Exemplos: 
A B CD
 
 
 
 
 
 
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8.5 Estruturas reticuladas – forças de ligação interiores 
 
Estrutura reticulada – estrutura constituída por barras rectas 
(por exemplo pórtico). As ligações interiores entre as barras 
podem ser contínuas ou articuladas. As forças (ou cargas 
distribuídas podem estar aplicadas nas barras ou nos nós). 
 
Exercício: Exame 25/07/2003 
 
 
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Procedimento sugerido: 
1. Classificar a estrutura do ponto de vista da sua estatia exterior 
(+1), interior (-1) e global (0). 
2. Substituir cargas distribuídas pelas suas resultantes (carga de 
10 kN/m na barra BI é substituída por uma carga concentrada de 
20 kN a ½ altura). 
3. Impor as 3 equações de equilíbrio exterior (insuficientes para 
calcular as reacções porque a estrutura é exteriormente 
hiperestática do 1º grau). 
4. Impor uma equação de equilíbrio interior expressa em termos 
das reacções exteriores (por exemplo, equilíbrio de momentos à 
esquerda de E). 
5. Resolver o sistema de 4 equações a 4 incógnitas e determinar 
reacções exteriores. 
6. Traçar os diagramas de corpo livre das várias sub-estruturas. 
7. Impor para cada sub-estrutura as equações de equilíbrio e 
determinar as forças de ligação interiores. 
 
A
B
5 kN
20 kN 20 kN
H
F
EC
D
I
G
20 kN
E
HA
VA
HE
VE
HE
VE VF
HF
MF
VF
HF
MF
VB
HB
MB
20 kN
 
	Método das estruturas arborescentes
	Método misto
	Método das Estruturas Trianguladas