Produto escalar de dois vectores no plano e no espaço - joão cunha

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Produto escalar de dois vectores 
no plano e no espaço 
 
Documento elaborado por João Cunha 
 
Ângulo entre dois vectores 
 
Ângulo de com , ( ) , é o ângulo convexo 
definido por 2 segmentos orientados, seus 
representantes, com a mesma origem. 
 
¾ O ângulo de vectores varia de 0º a 180º ou, em 
radianos, de 0 a π . 
 
 
 
 
¾ 
¾ O ângulo de dois vectores colineares com o mesmo 
sentido é 0º (0 rad). 
 
 
¾ O ângulo de dois vectores colineares e com sentidos 
contrários é 180º (π rad). 
 
 
Produto escalar entre dois vectores 
 
 
 
 
Exemplos do cálculo do produto escalar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produto escalar expresso nas coordenadas dos 
vectores num referencial O.N. 
 
No plano: 
 
 
 
No espaço: 
 
Consequências da definição do produto escalar 
 
¾ O produto escalar entre dois vectores é um número 
real. 
¾ Se dois vectores são perpendiculares então o 
produto escalar é nulo: 
 
¾ Se o ângulo entre dois vectores é obtuso então o 
produto escalar é negativo: 
 
¾ Se o ângulo entre dois vectores é agudo então o 
produto escalar é positivo: