Aula Cálculo I - Limites e Continuidade

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Limites
Ideia:
sen 
( ) {0} e se 0????
x
f x D x
x
    
x f(x)
–0,5 0,95885
–0,01 0,99998
–0,0001 0,9999998
0,001 0,9999998
0,01 0,99998
0,5 0,95885
0
lim
( ) 1
( ) 1
x
f x
ou
f x



1
2
3
4
( ) {2} e se 2????
8
x
f x D x
x

    

x f(x)
1,5 0,378378
1,9 0,341805
1,999 0,333417
1,99999 0,333334
... ...
2,00001 0,3333325
2,001 0,33325
2,1 0,325139
2,5 0,295082
2
lim
( ) 0,33333333
1
( )
3x
f x
ou
f x



( ) 1f x x D   
x y = x – 1
2,9 1,9
2,99 1,99
2,999 1,999
2,9999 1,9999
3,0001 2,0001
3,001 2,001
3,01 2,01
3,1 2,1
3
( ) 2
lim ( ) 2
x
f x
ou
f x



 , para 1
( )
2, para 1
x x
f x D
x x

  
 
x y
0,9 0,9
0,99 0,99
0,999 0,999
0,9999 0,9999
...... ......
1,1 3,1
1,01 3,01
1,001 3,001
1,0001 3,0001
3 ( ) ?x f x  
1 ( ) ?x f x  
1
lim ( )
x
f x


2
( ) sen {0}f x D
x

   
e se 0 ?x 
x f(x)
1/2
1/4
1/10
1/100
1/10000
... ...
1
sen sen ( ) 0 se .x n n
n x
     
x f(x)
2/3
2/5
2/7
2/9
... ...
sen(2 ) 0 
sen(4 ) 0 
sen(10 ) 0 
sen(100 ) 0 
sen(10000 ) 0 
sen(3 / 2) 1 
sen(5 / 2) 1 
sen(7 / 2) 1 
sen(9 / 2) 1 
2 4 1
sen sen 1 se .
4 1 2
n
x n
n x
 
      
  
 
0
lim ( )
x
f x


3
Limites Laterais
0
lim ( )
x x
f x

O limite lateral à direita de uma função f (x), denotado por ,
é o valor para o qual a função se aproxima quando 
0 0, com .x x x x 
O limite lateral à esquerda de uma função f (x), denotado por ,
é o valor para o qual a função se aproxima quando 
0
lim ( )
x x
f x

0 0, com .x x x x 
 , para 1
( )
2, para 1
x x
f x
x x

 
 
Exemplos
1
lim ( ) 3
x
f x


1
lim ( ) 1
x
f x


4
22 , para 1
( ) 2 , para 1
 , para 1
x x
g x x
x x
  

 
 
1
lim ( ) 1
x
f x


1
lim ( ) 1
x
f x


0
lim ( )
x x
f x
 0
lim ( )
x x
f x

0
lim ( )
x x
f x

0
lim ( )
x x
f x
 0
lim ( )
x x
f x

0
lim ( )
x x
f x

1. Se os limites laterais à direita e à esquerda, e existem, são 
iguais e é um número real (finito), dizemos que o limite, existe e é igual 
ao valor dos limites laterais. 
2. Se os limites laterais à direita e à esquerda, e existem e são 
números diferentes ou é infinito, então dizemos que o limite não existe.
OBS.:
5
Exemplos
2 , para 2
( ) 3 , para 2
1 , para 2
x
f x x
x x


 
  
2
lim ( ) 1.
x
f x

 
2
lim ( ) 2.
x
f x


2
lim ( )
x
f x


2 1
( )
1
x
f x
x



1
lim ( ) 2
x
f x


1
lim ( ) 2
x
f x


1
lim ( ) 2
x
f x

 
6
1
( )f x
x

0 0
1 1
lim lim
x xx x  
   
0 0
1 1
lim lim
x xx x  
   
1
( ) senf x
x
 
  
 
0
lim ( )
x
f x


7
Propriedades
O cálculo do limite de uma função, na vizinhança de um determinado ponto (que
pertença ou não ao seu domínio), é feito a partir das seguintes propriedades:
1. , onde c = constante.
0
lim
x x
c c


0
0lim
x x
x x


2.
3. Supondo que existam os limites , então:
0 0
lim ( ) e lim ( )
x x x x
f x L g x M
 
 
0
lim[ ( ) ( )]
x x
f x g x L M

  
0
lim[ ( ) ( )]
x x
f x g x L M

  
0
lim[ ( )]
x x
k f x k L


0
lim[ ( )] ,n n
x x
f x L n

 
0
( )
lim , 0
( )x x
f x L
M
g x M
 
, k = constante
0
lim ( ) ,nn
x x
f x L n

 
8
Exemplos: Determine os limites abaixo usando as propriedades de limites.
a) 2
1
lim (3 1)
x
x x

 
b) 4
2
1
lim 7
2x
x
x
 
  
 
c)
3
lim 3
x
x


d)
0
lim
x
x
x
e)
0
lim[ln( 1)](cos )x
x
x x e

 
f)
4
4 , se 4
lim ( ), se ( )
8 2 , se 4x
x x
f x f x
x x
  
 
 
9
Indeterminações: costuma-se dizer que são indeterminadas as seguintes 
expressões: 
0 00 ; ; ; 0 ; 0 ; 1 ;
0
   

O que significa isso? Tomemos o caso 0/0:
Sejam f e g funções tais que . Nada se pode afirmar, a priori, 
sobre o limite do quociente . 
lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x g x
 
 
( )
lim
( )x a
f x
g x
Exemplos:
1.
0
0
0 0
( ) sen lim ( ) 0
( ) lim ( ) 0
( ) sen
lim lim 1
( )
x
x
x x
f x x f x
g x x g x
f x x
g x x


 
  
  
 
x f(x) g(x)
0,2 0,198669 0,2
0,1 0,099833 0,1
0,01 0,00999 0,01
0,001 0,000999 0,001
0,0001 0,000099 0,0001
10
3
0
0
3
2
0 0 0
3 20 0 0
( ) 2 lim ( ) 0
( ) lim ( ) 0
2
( ) 2
lim lim lim4 0
( )
2
( ) 12lim lim lim
( ) 2 4
x
x
x x x
x x x
f x x f x
x
g x g x
f x x
x
xg x
x
g x
f x x x


  
  
  
  
  
   
2.
x f(x) g(x)
0,2 0,016 0,1
0,1 0,002 0,05
0,01 2×10 6 0,005
0,001 2×10 9 5×10 4
0,0001 2×10 12 5×10 5
11
2
22
2 3
lim
4 4x
x x
x
 
 

3.
 1
2
2
lim 2
1x
x
x



4. 5.
 4
2 1
lim
4 4x
x
x



3
1
1 2
lim
31x
x
x



6. 7.
2 2
0
( )
lim 2
h
x h x
x
h
 

Limites infinitos
Se o limite de f(x), quando x tende a x0 pela direita ou pela esquerda, é +∞ ou –∞,
dizemos que o limite não existe e escrevemos:
0 0
0 0
lim ( ) ou lim ( ) 
lim ( ) ou lim ( )
x x x x
x x x x
f x f x
f x f x
 
 
 
 
   
   
Limites 
infinitos
12
Exercícios: Stewart, v. 1, 7ª ed., 2.3
Ex.: 1 – 34, 41 – 50 
Observações:
( )
1) Se ( ) e ( ) 0, constante
( )
f x
f x k g x k
g x
    
O sinal (positivo ou
negativo) dependerá do
sinal de g(x) e de k. 0
1
) lim
n
x
i
x
 
3) Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:
0
, se é par1
) lim
, se é ímparnx
n
ii
nx

 

13
( )
2) Se ( ) e ( ) 0 , constante
( )
f x
f x k g x k
g x
    
Exemplos: Determine os limites abaixo usando as propriedades de limites.
1
1) ( ) ; 1 ; 1
1
f x x x
x
   

 
2
1
2) ( ) ; 2 ; 2
2
f x x x
x
   

2
 1
3 1
3) lim
1x
x x
x
 

5
5
4) lim
5x
x
x 


14
Limites no infinito
Dizemos que x tende ao infinito ( ou ), se x se torna um número
positivo cada vez maior, crescendo sem limite. Dizemos ainda que, x tende a menos
infinito ( ), se x é negativo e decresce sem limite.
x  x 
x 
Observação:
1 1
lim 0 e lim 0
n nx xx x   
 Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:
1
1) lim 0
1x x


Exemplos:
 
2
1
2) lim 0
2x x


15
16
2
 
3) lim (2 ) ?
x
x
 
 
2
2
3
5) lim ?
2 2 3x
x x
x x
 

 
3 24)lim ( 3 1) ?
x
x x x

   
2
3
1
6) lim ?
3 2 2x
x x
x x
 

 
17
2 1
7) lim ?
1x
x
x 



 
2
3
8) lim ?
9
x
x
e x
x





18
Obs.: Se uma função tem um limite, ele geralmente pode ser encontrado. Contudo,
existem funções para as quais é bastante complicado determinar o valor do limite.
Nesse caso, se você dispuser de um programa gráfico, esboce o gráfico da função e
verifique, a partir dele, se a função tem um limite ou não.
Exemplos:
0
1
lim ln ?
x
x
x
 
    
 
0
1
lim ln
x
x
x
 
   
 
19
1 1
0 0
lim 0; limx x
x x
x x
  
  0 0
1
lim 1 ;
1 1
lim 1 1; lim 1
x
x
x x
x x
e
x
x x 

 
 
  
 
   
       
   
20
1
lim 1x
x
x


Teorema do Confronto (Teorema do Sanduiche)
Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo a,
exceto possivelmente em a, e se
então .
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x L g x
 
 
lim ( )
x a
h x L


Exemplo: 2
0
1
lim sen ?
x
x
x
 
 
 
1
1 sen 1, 1 sen 1
x
            
 
Solução: Sabemos que 
Multiplicando a desigualdade por x2 (positivo), teremos:2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
2
0
1 1 1
sen lim( ) lim sen lim 0 lim sen 0
1
lim sen 0
x x x x
x
x x x x x x x
x x x
x
x
   

     
              
     
 
  
 21
lim ( ) 0 e é limitada lim ( ) ( ) 0
x a x a
x x
f x g f x g x
 
 
   
Corolário:
Exemplo anterior: 2
0
1
lim sen 0
x
x
x
 
 
 
0
limitada
Exemplo 2:
cos 1
lim lim cos 0
x x
x
x
x x 
 
0
limitada
22
lim ( ) e é limitada lim ( ) ( )
x a x a
x x
f x g f x g x
 
 
     
Resultado 
análogo:
Exemplo1:
 lim 4 cos
x
x x

  

limitada
Exemplo2:
1 1
lim ln 0
x x x
 
 
 
limitada
1
1 0 1x
x
   
23

Exercícios: Cálculo A, 6ª ed.
Ex.: 3.13
Continuidade
Conceito
Gráfico:
De maneira informal, uma 
função contínua é uma 
função que não apresenta 
interrupção – ou seja, uma 
função que tem um gráfico 
que pode ser desenhado sem 
tirar o lápis do papel 24
 
 
 
 
 
contínua
contínua
descontínuadescontínua
descontínua
descontínua
 
2
2 e lim ( ) 7
x
g g x

  
 
2
2 5 e lim ( ) 7
x
h h x

   
   
2
lim e 2 2
x
p x p

  
 
2
2 e lim ( )
x
q q x

 
25
 
 
 
 
 
2
2
lim 7 (2)
lim 2 (2)
x
x
f x f
r x r


  
  
CONCLUINDO: Dizemos então que uma função é contínua em um ponto x = a
se a seguinte condição está satisfeita:
 y f x
   lim
x a
f x f a


Definição: Uma função f, definida num intervalo aberto ]a,b[ contendo o ponto x0, é dita
contínua em x0, se as três condições abaixo forem satisfeitas:
(i) Existe f (x0).
(ii) Existe o limite
(iii) 
0
0lim ( ) ( ).
x x
f x f x


0
lim ( ).
x x
f x

26
Exemplo 1. Trace o gráfico da função e determine os valores de x para os quais
ela não é contínua.
Solução
0 0
lim ( ) 1 e lim ( ) 1
x x
f x f x
  
  
Portanto, não existe o limite 
0 
lim ( ).
x
f x

Exemplo 2. Verifique, sem esboçar o gráfico, se a função f é contínua em x = 3, onde:
3 4 , para 3
( )
3 2 , para 3
x x
f x
x x
 
 
 
Solução
(i) Existe
 3 3 3 4 5.f    
   
   
3 3
3 3
lim lim 3 4 5
lim lim 3 2 3
x x
x x
f x x
f x x
 
 
 
 
  
   
(ii)
3
lim ( )
x
f x


f não é contínua em x = 3.
( )
x
f x
x

Logo, f não é contínua em x = 0.
27
Observações:
1. Se uma função não é contínua em um ponto x0, dizemos que ela é descontínua neste
ponto.
2. Se f é uma função definida em [a,b], dizemos que f é contínua em x = a, se
e, que f é contínua em x = b, se .
+ 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 
lim ( ) ( )
x b
f x f b


Exemplo 3. Verifique a continuidade da função f em x = 0 e x = 2, onde:
 , para 0 2
( )
3 , para 2 
x x
f x
x
 
 

0 0
) (0) 0
) lim ( ) lim 0
x x
i f
ii f x x
  

 
2 2
) (2) 3
) lim ( ) lim 2
x x
i f
ii f x x
  

 
f é contínua em x = 0
f não é contínua em x = 2
28
Continuidade em Intervalos
 Uma função f é dita contínua em um intervalo aberto ]a,b[ se for contínua em todos os
valores de x pertencentes a esse intervalo.
 Uma função f é dita contínua no intervalo fechado [a,b] se for contínua no aberto ]a,b[ e, 
além disso, 
lim ( ) ( )
x a
f x f a

e lim ( ) ( )
x b
f x f b


Pergunta: como verificar se uma função é contínua em um intervalo, se ele contém infinitos
pontos?
Resposta: utilizar-se de propriedades.
Propriedades
1. Toda função polinomial é contínua em todos os reais.
2. Toda função racional – função definida como o quociente de duas funções polinomiais – é
contínua em todo o seu domínio. Ou, dito de outra maneira, uma função racional é contínua
em qualquer intervalo no qual seu denominador não se anula.
29
3. As funções f(x) = sen x e f(x) = cos x são contínuas para todo número real x.
4. A função exponencial f(x) = ax, a > 0, a 1, é contínua para todo número real x.
5. Se f e g são funções contínuas em um ponto x0, então:
i) f + g é contínua em x0;
ii) f – g é contínua em x0;
iii) f g é contínua em x0;
iv) f / g é contínua em x0, desde que g(x0) 0.
6. Sejam f e g funções tais que e g é contínua em x0. Então
0
lim ( )
x x
f x b


0 0
lim [ ( )] lim ( )
x x x x
g f x g f x
 
 

  
7. Se f é contínua em x0 e g é contínua em f (x0), então a função composta (g o f ) é 
contínua em x0.
8. Seja y = f (x) definida e contínua em um intervalo real I. Seja J = Im(f ). Se f admite uma
função inversa então f –1 é contínua em todos os pontos de J.1 : ,f J I 
30
Exemplo 1. Investigue a continuidade das funções abaixo:
2ln 1
) ( )
sen
x x
a f x
x
 

Portanto, f é contínua em
* *{ : , }x x k k   
31
ln : inversa de , que é contínuaxx e 2: inversa de , que é contínuay y
contínua em D
contínua
contínua
2 1: polinomialx 
sen x
2 1 : composta de contínuasx 
contínua
2ln 1 : diferença de contínuasx x 
contínua
f (x) : quociente de contínuas contínua em D
contínua em D
*

{ : , }x x k k   
32
 ) ( ) tg expc x t t t t  
{ : , }
2
t t k k

    
contínua em 
2 2 8
se 4
) ( ) 4
3 se 4
x x
x
d h x x
x
  

  
 
contínua em
) ( ) 3 2 1e y x x  
contínua em 
{4}
2
arctg
) ( )
2
x
b g x
x x

 
contínua em
{ 1,2} 