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Disciplina: Cálculo de Várias Variáveis
 
 Professora: Maria Fernanda Donnard Carneiro
 
Máximos e mínimos de funções de várias variáveis
Parte I
Extremos de uma função de várias variáveis
Pontos críticos de uma função de várias variáveis
Definição
	Seja a função z = f (x,y) definida num conjunto aberto. Um ponto , 
desse conjunto é um ponto crítico de f se as derivadas parciais 
 e 
 são iguais a zero ou se f não é diferenciável em 
. 
Exemplo 1: Determine os pontos críticos da função 
.
Exemplo 2: Determine os pontos críticos da função 
OBS: Esse teorema não fornece uma condição suficiente para a existência de um extremo, ou seja, se as derivadas parciais de 1ª ordem de uma função z = f(x,y) anulam-se no ponto
 , não implica que esse ponto é um extremo dessa função. 
Exemplo 3 : Dada a função 
, cujo gráfico é dado ao lado, determine os seus pontos críticos. 
Parte II
Classificando os pontos críticos: Teste da derivada segunda
Matriz Hessiana 
Proposição: 
	Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de 1ª e 2ª ordens são contínuas e suponhamos que 
 seja um ponto crítico de f. Seja H(x,y) o determinante
Temos:
Se 
 e 
, então 
 é um ponto de mínimo local de f.
Se 
 e 
, então 
 é um ponto de máximo local de f.
Se 
 então 
 não é exatamente um extremante local. Nesse caso, 
 é um ponto de sela.
Se 
, nada se pode afirmar. O ponto
 pode ser um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Exemplo 4 : Classificar os pontos críticos da função 
 do exemplo 1.
Exemplo 5 : Mostrar que 
 tem mínimo local em (1,1).
 Exemplo 6: Encontre e classifique os pontos críticos da função 
 (Thomas pag 267)
OBS
	TEOREMA 1: Seja 
 , onde a, ,b, c, d, e, g sã constantes.. Então, se 
 for extremante local de f (mínimo local ou mínimo global), ele será um extremante global.
Exercícios da parte II
	Determine e classifique, quando possível, os pontos críticos das seguintes funções
 Resposta: Pontos de sela =>(1, -1) e (-1, 1); Ponto de máximo=>(-1, -1); Ponto de mínimo=>(1,1) 
Resposta: Pontos críticos: 
 (0,1) e 
. Ponto de máximo=> Não existe ; Ponto de mínimo=> 
 e 
. Ponto de sela: Não existe
Resposta: Ponto crítico: (-2, -2) é um máximo local. Não existem outros pontos críticos.
Resposta: Pontos críticos: (2,0) e (-2,0). Ponto de máximo local: (2,0) . Ponto de sela: (-2.0)
Resposta: Pontos críticos: (0,0) e (2,-2). Ponto de mínimo local: (2,-2). Ponto de sela: (0,0).
Parte III
Aplicações em problemas
Exemplo 7: Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por: 
. Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o lucro. Determine, também, esse lucro. 
Exemplo 8: O único supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado 30 centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado 40 centavos a garrafa. O dono do supermercado estima que, se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional, venderá 70 – 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x -7y garrafas da marca nacional por dia. Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro?
Exemplo 9 : Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 m³ e com a menor área de superfície possível? 
Exercícios parte III
	2) Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y . Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários p1 e p2 , respectivamente, que dependem de x e y conforme equações: p1 = 120 -2x e p2 = 200 - y . O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por C = x² + 2y² +2xy . Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo?
Resposta: (10, 30) =>3.600
5) Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume dado terá a menor área de superfície se for cúbica.
3) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 8 m³ e com a menor área de superfície possível?
4) Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z , uma empresa utiliza dois fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y . Os preços unitários dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada por 
. Determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo?
 Resposta: (15,8; 20,4) => 1.576,20 
5) Um fabricante que é um monopolista fabrica dois tipos de lâmpadas. De sua experiência, o fabricante determinou que se x lâmpadas do primeiro tipo e y lâmpadas do segundo tipo forem feitas, cada uma delas poderá ser vendida pelos valores (100-2x) e (125-3y), respectivamente. O custo de fabricação de x lâmpadas do primeiro tipo e y lâmpadas do segundo tipo é de (12x +11y +4xy). Quantas lâmpadas de cada tipo devem ser produzidas para que ele obtenha o lucro máximo, e qual é o lucro máximo?
Resposta: (9,13) => 1.137
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