Prova 03 de Algebra Linear.

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo - CCA
Terceira prova de A´lgebra Linear
Alegre, 1 de novembro de 2012
Nome:
Justifique todas as respostas!
1. Sejam S um subespac¸o de R3, α = {v1, v2} e β = {u1, u2} bases de S, onde v1 = (1,−2, 1),
v2 = (1, 1,−2), u1 = (1, 0,−1) e u2 = (1,−1, 0).
(a) (0,5 ponto) Encontre [z]β , onde z = (2,−5/2, 1/2)
(b) (1 ponto) Encontre a matriz de mudanc¸a de base [I]
β
α .
(c) (0,5 ponto) Usando (a) e (b), encontre [z]α.
2. (2,5 pontos) Sejam α = {v1, v2, v3} uma base do R3 e T : R3 → R3 uma transformac¸a˜o
linear. Determine [T ]αα e encontre os autovalores e autovetores de T sabendo que T (v1) =
v1 − 3v3, T (v2) = 3v1 + 4v2 + 3v3 e T (v3) = v3 − 3v1. Ache a multiplicidade alge´brica e a
geome´trica de cada autovalor.
3. Seja a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 tal que T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) =
(0,−1, 0).
(a) (1 ponto) Determine T (x, y).
(b) (1 ponto) Determine Ker(T ) e Im(T ).
(c) (0,5 ponto) T e´ injetora?
(d) (0,5 ponto) Verifique neste caso o Teorema do Nu´cleo e da Imagem.
4. Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3 respecti-
vamente e
[T ]αβ =
1 01 1
0 −1

(a) (1 ponto) Ache T .
(b) (0,5 ponto) T e´ injetora?
(c) (1 ponto) Ache uma base γ de R3 tal que
[T ]αγ =
1 00 0
0 1

Boa prova!