Slide de aula - Unidade III

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Prof. Me. Pedro Tijunelis
UNIDADE III
Tópicos de Informática
 Círculo de raio = 1.
 O centro se situa na coordenada “0,0”, coincidindo com o cruzamento do eixo horizontal 
e do eixo vertical. 
 Como o raio vale 1, seu comprimento total é de 2* π. 
 Para ângulos positivos, percorre-se o círculo no sentido horário.
 Para ângulos negativos, percorre-se o círculo no sentido anti-horário.
 O eixo horizontal está associado ao cosseno, enquanto o vertical está associado ao seno.
Círculo trigonométrico
R=1
2° Q
3° Q 4° Q
1° Q
seno
cossenoπ
π/2
2*π
3*π/2
 Os valores de seno e cosseno são obtidos projetando nos eixos o ponto associado ao ângulo 
escolhido. No exemplo, os valores são iguais por ser um que divide o primeiro quadrante 
na metade.
 O ângulo pode então ser projetado nos demais quadrantes. Observe a alteração de sinal.
Círculo trigonométrico
π/2
π/4
2*ππ
R=1
3*π/2
medida
angular
=π/4 
R=1
π
π/2
π/4
2*π
comprimento
=π/4
3*π/2
π/6
π/2
π/6
3*π/2
7*π/6
π
5*π/6
0,5
-0,866 -0,866
-0,5
-π/6
0,707
0,707
 As funções trigonométricas caracterizam-se pela periodicidade. 
 Valores de ângulo ou comprimentos de arco não se limitam a 2*π radianos ou 360º. 
 É possível dar inúmeras voltas completas no círculo trigonométrico.
 O importante não é a quantidade de voltas, mas sim onde o ângulo termina.
 Daí, surge o conceito de ângulo “côngruo”. Por exemplo, 20º, 380º e 740º são côngruos.
 Para obter o “ângulo final” de ângulos maiores do que 360º, basta dividi-los por 360º 
(ou 2* π se o ângulo estiver em radianos) e utilizar o resto da divisão.
Ângulos côngruos
 A função tem a forma geral f(x)=sen(x), calculada em radianos.
 O domínio da função é o conjunto dos números reais: R.
 A imagem da função está restrita ao intervalo: -1 ≤ y x ≤ 1.
 A função tem período igual a 2* π.
 A função passa pela origem, já que sen(0) = 0.
 O eixo das abscissas é interceptado periodicamente a cada múltiplo inteiro de pi().
 A função é crescente no 4º e 1º quadrantes e decrescente 
no intervalo relativo ao 2º e ao 3º quadrantes.
Função seno 
1.5
1
0.5
0
-0.5
-5-10
-1
0 5 10 15
-1.5
-15
y=sen(x)
y=sen(x)
 Atenção aos valores limite e incrementos em “x”.
 Os incrementos em “x”, para uma melhor definição de gráfico, devem estar associados a pi. 
Por exemplo, pi()/10. 
 Os valores limite devem também estar associados a pi. Por exemplo: -3*pi() até 3*pi().
 A graduação no eixo das abscissas pode ser pi(), pi()/2 etc.
 Repare no gráfico que, a cada múltiplo de pi, o gráfico cruza o eixo das abscissas.
Gráfico da função seno
y=sen(x)
1.5
1
0.5
0
-1
0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.42 10.99-1.57-3.14-4.71-6.28-7.85-9.4210.99
-0.5
-1.5
 A forma y = sen(x) tem implícitos dois coeficientes que, no caso, são iguais a “1”: 
y = a*seno(b*x)  y = 1*seno(1*b)
 O coeficiente “a” está associado à amplitude e o coeficiente “b” está vinculado ao período.
 A amplitude é a distância entre o eixo horizontal e o valor máximo 
(ou o valor mínimo) da função.
 O período se apresenta sempre da mesma maneira, correspondendo a uma volta completa 
no círculo trigonométrico.
 O cálculo do período da função é dado por p = 2* π / | b |.
Amplitude e período da função seno
1
0,5
-1,57
0
0 1,57 3,14 4,71 6,28-3,14-4,71
-0,5
-1
-1,5
 Observe as equações dos gráficos.
Variações de amplitude e período
-7,85 -6,28 -4,71 -3,14 -1,57
1
-1
-3
-1,570 3,14 4,71 6,28 7,85
-5
3
5
y= -4 *sen (x) y= 4 *sen (x)
Amplitude com sinal negativo
Variação de amplitude
4
3
2
1
0
0
-1
-2
-3
-4
1,57 3,14 4,71 6,28 7,85-1,57-3,14-4,71-6,28-7,85
y= sen (x) y=3* sen (x)
Variação de período
1,5
0,5
1
0
0
-0,5
-1
1,57-1,57-3,14-4,71-6,28-7,85
-1,57
3,14 4,71 6,28 7,85
y= sen (x) y= sen (0,5*x)
 A forma geral pode ser acrescida das variáveis “c” e “d”: y = c + a*seno(b*x +d). 
 O coeficiente “c” desloca o gráfico verticalmente.
 O coeficiente “d” desloca o gráfico lateralmente.
Coeficientes de deslocamento da função seno
Deslocamento vertical
2,5
2
1,5
0,5
1
0
0
-0,5
-1
-1,5
-1,57-3,14-4,71-6,28-7,85 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85
y=1 + sen(x)y= sen(x)
Deslocamento lateral
1,5
1
0,5
0
0
-0,5
-1
1,57 3,14 4,71 6,28 7,85-1,57-3,14-4,71-6,28-7,85
-1,5
y= sen(x) y= sen(1+x)
 O domínio da função é o conjunto dos números reais: R.
 A imagem da função depende da amplitude (coeficiente “a”) e do deslocamento vertical 
(coeficiente “c”).
 A periodicidade depende do valor do coeficiente “b”: p = 2* π / | b |.
 Se “c” e “d” forem iguais a zero, a função passa pela origem.
 O crescimento e o decrescimento da função dependem do sinal da amplitude “a”.
Características da função seno com coeficientes: y = c + a*seno(b*x +d) 
y= -4 *sen (x)
Amplitude com sinal negativo
5
3
1
-1-1,57-3,14-4,71-6,28-7,85 1,570 3,14 4,71 6,28 7,85
-3
-5
y= 4 *sen (x)
 Criação de gráficos.
 Variações nos coeficientes.
 Aplicações.
Vídeo 1 – Função seno 
Uma máquina que controla a qualidade de pneus de trator está posicionada conforme a figura. 
Um objeto é preso ao pneu para verificar problemas de construção. Qual das alternativas traz a 
equação que descreve o movimento do objeto na vertical? 
a) y=1,2+0,8*sen(x).
b) y=0,8+1,2*sen(x+3).
c) y=1,2+0,8*cos(x).
d) y=0,8+3*cos(x+0,8).
e) y=1,2+3*cos(x+0,8).
Interatividade
3 0,8
1
.2
0,0
Uma máquina que controla a qualidade de pneus de trator está posicionada conforme a figura. 
Um objeto é preso ao pneu para verificar problemas de construção. Qual das alternativas traz a 
equação que descreve o movimento do objeto na vertical? 
a) y=1,2+0,8*sen(x).
b) y=0,8+1,2*sen(x+3).
c) y=1,2+0,8*cos(x).
d) y=0,8+3*cos(x+0,8).
e) y=1,2+3*cos(x+0,8).
Resposta
A questão trata de deslocamento na vertical. Neste caso, a função seno 
deve ser utilizada. Deve ser considerado o deslocamento na vertical de 
1,2 (coeficiente “c”). A amplitude está associada ao raio de 0,8 
(coeficiente “a”) e o período é de 2*pi (coeficiente “b” =1). Portanto: 
y=1,2+0,8*sen(x).
3 0,8
1
.2
0,0
 A função tem a forma geral f(x)=cos(x), calculada em radianos.
 O domínio da função é o conjunto dos números reais: R.
 A imagem da função está restrita ao intervalo: -1 ≤ y x ≤ 1.
 A função tem período igual a 2* π.
 A função não passa pela origem, já que cos(0) = 1.
 O eixo das abscissas é interceptado em -5/2*pi, -3/2*pi, -pi/2, pi/2, 3/2*pi, 5/2*pi etc.
 A função é decrescente no 1º e 2º quadrantes e crescente no intervalo relativo ao 
3º e ao 4º quadrantes.
Função cosseno 
1.5
1
0.5
0
0
-0.5
-1
-1.57-3.14-4.71-6.28-7.85-9.42-10.99 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.42 10.99
-1.5
y= cos(x)
y= cos(x)
 Atenção aos valores limite e incrementos em “x”.
 Os incrementos em “x”, para uma melhor definição de gráfico, devem estar associados a pi. 
Por exemplo, pi()/10. 
 Os valores limite devem também estar associados a pi. Por exemplo, -3*pi() até 3*pi().
 A graduação no eixo das abscissas pode ser pi(), pi()/2 etc.
Gráfico da função cosseno
1.5
1
0.5
0
0
-0.5
-1
-1.57-3.14-4.71-6.28-7.85-9.42-10.99 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.42 10.99
-1.5
y= cos(x)
y= cos(x)
 A forma y = cos(x) tem implícitos dois coeficientes que, no caso, são iguais a “1”: 
y = a*cosseno(b*x)  y = 1*cosseno(1*b).
 O coeficiente “a” está associado à amplitude e o coeficiente “b” está vinculado ao período.
 O cálculo do período da função também é dado por p = 2* π / | b |.
Amplitude e período da função seno
1.5
1
0.5
0
0
-0.5
-1
-1.57-3.14-4.71-6.28-7.85-9.42-10.99 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.42 10.99
-1.5
y= cos(x)
y= cos(x)
 Observe os gráficos.
Comparação entre as funções seno e cosseno
1,5
1
cosseno (x) e seno (x)
y= cos(x)
0,5
0
0
-0,5
-2,57-3,14-4,71-6,28-7,85 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85
-1
-1,5
y= sen(x)
 A forma geral pode ser acrescida das variáveis “c” e “d”: y = c + a*cosseno(b*x +d). 
 O coeficiente“c” desloca o gráfico verticalmente.
 O coeficiente “d” desloca o gráfico lateralmente.
Coeficientes de deslocamento da função cosseno
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
-1,57-3,14-4,71-6,28 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85
y= 4*cos(x) y= 3*cos(2*x)
Variação de amplitude e período
-7,85
Deslocamento na vertical e na lateral
7
6
5
4
3
2
1
0
0-1
-2
-3
-4
-1,57-3,14-4,71-6,28-7,85 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85
y= 3*cos(2*x + 1)y= 2 + 4 *cos(x)
 O domínio da função é o conjunto dos números reais: R.
 A imagem da função depende da amplitude (coeficiente “a”) e do deslocamento 
vertical (coeficiente “c”).
 A periodicidade depende do valor do coeficiente “b”: p = 2* π / | b |.
 Se “c” e “d” forem iguais a zero, a função não passa pela origem.
 O crescimento e o decrescimento da função dependem do sinal da amplitude “a”.
Características da função cosseno com coeficientes: y = c + a*cos(b*x +d) 
 É preciso criar uma reta vertical no extremo direito do círculo trigonométrico.
 Para obter a tangente, basta prolongar o ângulo desejado até interceptar essa reta vertical 
recém-criada. O valor da tangente é o comprimento do segmento de reta cujos limites são o 
eixo horizontal e o cruzamento recém-obtido.
 Ângulos π/2 (90º) e 3*π/2 (270º) não possuem tangente e ângulos próximos tendem ao infinito.
 Ângulos pertencentes ao 1º e ao 3º quadrantes têm valor de tangente positivo.
 Ângulos pertencentes ao 2º e ao 4º quadrantes têm valor de tangente negativo.
Função tangente e o círculo trigonométrico 
π/2
π
R=1
2*π
3*π/2
π/2
2*π
3*π/2
π
β
α
 O domínio da função f(x)=tan(x) é o conjunto dos números reais com exceção dos ângulos 
π/2, 3*π/2, 5*π/2 etc. Portanto: D = R - { π/2 + k* π, sendo k ∈ Z }.
 A imagem da função é R.
 A função tem período p = π. 
 A função passa pela origem, já que tan(0) = 0.
 O eixo das abscissas é interceptado periodicamente a cada múltiplo inteiro de pi().
 A função é crescente no 1º e no 3º quadrantes do círculo trigonométrico e decrescente no 2º 
e no 4º quadrantes.
Função tangente
y=tan (x)
8
6
4
2
0
0
-2
-4
-6
-8
-1,57-3,14-4,71-6,28-7,85 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85
 Atenção aos valores limite e incrementos em “x”.
 Os incrementos em “x”, para uma melhor definição de gráfico, devem estar associados a pi. 
Por exemplo, pi()/10. 
 Os valores limite devem também estar associados a pi. Por exemplo, -3*pi() até 3*pi().
 A graduação no eixo das abscissas pode ser pi(), pi()/2 etc.
 O resultado dos ângulos em que não existe tangente deve ser eliminado a fim de não 
descaracterizar o gráfico.
Gráfico da função tangente
y=tan (x)
8
6
4
2
0
0
-2
-4
-6
-8
-1,57-3,14-4,71-6,28-7,85 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85
 A forma y = tan(x) tem implícito o coeficiente relativo ao período que, no caso, é igual a “1”: 
y = a*tan(b*x)  y = 1*tan(1*x).
 O coeficiente “a” está associado com a
suavidade da curva tangente.
 O cálculo do período da função é dado 
por p = π / | b |.
Período da função tangente
30
20
10
0
1
0
-10
-20
-10
-1,57-3,14-4,71-6,28 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85-7,85
y=tan (x) y=2*tan (x) y=4*tan (x)
8
6
4
2
0
0
-2
-4
-6
-8
-6,28-7,85 -4,71 -1,57-3,14 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85
y=tan (x) t=tan (2*x)
 A forma geral pode ser acrescida das variáveis “c” e “d”: y = c + a*tan(b*x +d). 
 O coeficiente “c” desloca o gráfico verticalmente.
 O coeficiente “d” desloca o gráfico lateralmente.
Coeficientes de deslocamento da função tangente
y= tan(x) t= 2 + tan(x)
10
8
6
4
2
0
0
-1,57
-2
-4
-6
-3,14-4,71-6,28
-8
-7,85 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85
 O domínio da função é o conjunto dos números reais com exceção dos ângulos π/2, 3*π/2, 
5*π/2, vinculados ao coeficiente “b”.
 A imagem da função é R.
 O coeficiente “a” apenas altera a suavidade da curva.
 A função tem período p = π / | b |.
 O eixo das abscissas é interceptado periodicamente a cada múltiplo inteiro de pi(), sendo “d”=0.
 A função é crescente no 4º e no 1º quadrantes do círculo trigonométrico e decrescente no 2º 
e no 3º quadrantes.
Características da função tangente com coeficientes: y = c + a*tan(b*x +d) 
 Criação de gráficos.
 Variações nos coeficientes.
 Aplicações.
Vídeo 2 – Funções cosseno e tangente
Qual a equação da função periódica (sem coeficientes de deslocamento) apresentada pela 
figura? Lembre-se de que p = 2* pi / | b |.
a) y=8*sen(0,5*x).
b) y=-8*sen(2*x).
c) y=8*cos(2*x).
d) y=-8*cos(0,5*x).
e) y=8*cos(0,5*x).
Interatividade
Qual a equação da função periódica (sem coeficientes de deslocamento) apresentada pela 
figura? Lembre-se de que p = 2* pi / | b |.
a) y=8*sen(0,5*x).
b) y=-8*sen(2*x).
c) y=8*cos(2*x).
d) y=-8*cos(0,5*x).
e) y=8*cos(0,5*x).
Resposta
Como o gráfico não intercepta a origem, trata-se da função cosseno. A 
função decresce no primeiro quadrante, indicando amplitude positiva 
“8”. O gráfico apresenta apenas a quarta parte do período que é de pi. 
Período completo: 4*pi= 2* pi / | b |. Daí b=0,5.
 Sistema linear é um conjunto de ao menos duas equações lineares, cujas 
incógnitas têm associação. 
 A solução do sistema linear corresponde aos valores das incógnitas que satisfazem 
às relações de todas as equações do sistema.
 A equação linear é uma equação cujas variáveis, que podem ser uma ou várias, têm 
expoente igual a um, sendo que as incógnitas só podem estar combinadas com operações 
de soma e subtração.
 A forma geral de uma equação linear é “a1x1 + a2x2 + a3x3 ... = b”, em que a1, a2 e a3 são 
coeficientes, x1, x2 e x3 e b é a constante, também chamada de termo independente.
 Os sistemas lineares são chamados de homogêneos se suas 
equações tiverem todas as constantes, também chamadas de 
termos independentes, iguais a zero.
 O sistema linear é associado a uma letra 
maiúscula e um índice.
Sistemas lineares
 Sistemas lineares podem ter soluções únicas e determinadas, infinitas e indeterminadas e 
podem não ter solução. As três possibilidades são ilustradas, na ordem, na figura.
Sistemas lineares
 Métodos algébricos. 
 Métodos gráficos.
 O sistema linear precisa ter uma quantidade de equações igual 
ou superior ao número de incógnitas para que tenha solução 
possível e determinada.
Formas de resolução de sistemas lineares 
y= 10-2*x y= (8-3*x) /-2
12
10
8
6
4
2
0
0
-2
-4
-6
1 2 3 4 5 6
 São criadas, na ordem, 3 matrizes: coeficientes, variáveis e termos independentes.
 A matriz de coeficientes é utilizada para cálculo de determinantes.
Sistemas lineares em forma de matriz
 Se o determinante “D” for diferente de zero: sistema será “possível e determinado”.
 Se o determinante “D” for igual a zero, será necessário calculá-lo substituindo os índices de 
qualquer variável pelos termos independentes. 
 Se o novo determinante for igual a zero, o sistema é possível e indeterminado. Senão, o 
sistema é impossível.
 A planilha possui a 
função “matriz,determ”.
Sistemas lineares e determinantes
Sistema impossível Sistema possível e indeterminado
Sistema possível e determinadoF V
Dx = 0
D ≠ 0
F V
 Calcular o determinante do sistema e os determinantes relativos a variáveis, por exemplo, 
“a”,”b”,”c”.
 O valor de “a” é igual ao determinante do sistema / determinante “a”. 
 O valor de “b” é igual ao determinante do sistema / determinante “b”. 
Resolução dos sistemas lineares utilizando o método de Cramer
 A técnica consiste em efetuar operações entre as equações lineares de modo a anular 
gradativamente determinados elementos da matriz, a fim de torná-la triangular, e no final 
se utiliza álgebra para determinar os valores das variáveis.
 As etapas abaixo resumem a técnica.
 Multiplicar os elementos de determinada equação 
linear por um valor adequadamente definido.
 Somar ou subtrair as equações lineares.
 Ainda é possível alterar a ordem das 
equações, se conveniente.
Resolução dos sistemas lineares utilizando o método de escalonamentoSeguem exemplos:
Resolução dos sistemas lineares utilizando o método de escalonamento
O método pode ser automatizado por planilha eletrônica:
Resolução dos sistemas lineares utilizando o método de escalonamento
 Método gráfico.
 Método de Cramer.
 Escalonamento.
 Aplicações.
Vídeo 3 – Sistemas lineares
Uma empresa está equipada com máquinas que podem produzir diferentes produtos. A tabela 
apresenta a quantidade de produtos fabricados por cada máquina no mês passado. Determine 
o tempo de fabricação de cada produto. Assinale a alternativa que apresenta o intervalo da 
soma dos três tempos encontrados.
a) > 0 e 5 e 8 e 12 e 15 e 0 e 5 e 8 e 12 e 15 e '", "Cadastro")
sobrenome = InputBox("Digite seu sobrenome --> ")
idade = InputBox("Forneça sua idade --> ")
nome = InputBox("Digite seu nome --> '", "Cadastro")
 Os programas podem ser desenvolvidos em forma de fluxograma ou pseudocódigo para 
posteriormente se transformarem em “linhas de código”, digitadas no ambiente adequado, 
respeitando a sintaxe da linguagem de programação.
Formas de desenvolver programas
início
Fim
x = 5*b x = 3* a
a, b > valor, x
a,b
a>b
F V
PROGRAMA PROGRAMA4 
VAR 
DECLARE a, b, x INTEIRO; 
INÍCIO 
LEIA a, b; 
SE (a>b) ENTÃO
x:=3*a; 
ESCREVA NA PLANILHA a;
SENÃO 
X:=5*b; 
ESCREVA NA PLANILHA b;
FIM_SE 
ESCREVA NA PLANILHA a, b e x; 
FIM_PROGRAMA4. 
Sub programa4 ()
Dim a, b, x As Single
a = Input.Box("Diqit.e o primeiro número --> ")
b = Input.Box("Digit.e o segundo número --> ")
if a > b Then
x = 3 * a: Cells(4, 2) = a
Else
x = 5 * b: Cells(4, 2) = b
End If
Cells(2, 2) = a: Cells(3, 2) = b
Cells(5, 2) = x
End Sub
 Também chamada de “Tomada de decisão”.
 Tem como símbolo um losango.
 Verifica um argumento ou responde a uma pergunta.
 Se a resposta for verdadeira, executa determinado procedimento. Se a resposta for falsa, 
executa outro procedimento.
Estrutura condicional
If a > b Then
X = 3 * a: Cells(4, 2) = a
Else
X = 5 * b: Cells(4, 2) = b
End If
Procedimento 2 Procedimento 1
Condição
F V
 São também chamadas de “loops”.
 Controlam a entrada de variáveis, de respostas de perguntas a fim de continuar ou não a 
execução do programa, além de repetir procedimentos.
 O laço “for” estabelece um valor inicial para uma variável, compara esta variável a alguma 
referência e também altera o valor da variável antes do laço ser novamente executado.
Laços ou estruturas de repetição – for
célula (A, linha)=nome
nome
linha=linha+1
Para aux=1 até
n passo 1 faça
F V
For aux = 1 To n Step 1
nome = InputBox("Digite o nome --> “)
linha = linha + 1
Cells(linha, 1) = nome
Next aux
 O laço “while” verifica a condição de determinada variável para sair ou continuar a repetição. 
Dentro da repetição, a variável precisa sofrer alteração.
Laços ou estruturas de repetição – while
célula (A, linha)=nome
nome
aux=aux+1 linha=linha+1
enquanto
aux ")
aux = aux + 1: linha = linha + l
Cells(linha, 1) = nome
Wend
 Ambiente de programação.
 Estrutura do programa.
 Condicional e laços de repetição.
 Aplicações.
Vídeo 4 – Noções de programação
Observe o fluxograma e assinale a alternativa que apresenta o valor final de x.
a) 14.
b) 36.
c) 58.
d) 94.
e) 246.
Interatividade
Observe o fluxograma e assinale a alternativa que apresenta o valor final de x.
a) 14.
b) 36.
c) 58.
d) 94.
e) 246.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!