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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA
DOCENTE: PIERRE NIAU
SEGUNDA AVALIAÇÃO
2015.4
Não é permitido o uso de celular, calculadora ou qualquer coisa que não seja:
lápis, borracha e/ou caneta.
Questões com resultados JOGADOS não serão corrigidas.
1. (2,5 pontos) Dado as retas
r1 :
8<:
x = 1 + t
y = 2 + t;
z = �3 + 4t
e r2 :
�
y = �2x+ 4;
z = �2x� 1 ;
(a) calcule o ângulo entre elas,
(Solução) O menor ângulo entre as retas é obtido calculando o módulo do cosseno
do ângulo entre vetores diretores das retas. Da primeira reta obtemos
~v1 = (1; 1; 4) ;
e da segunda, a partir de dois pontos da mesma P0 (0; 4;�1) e P1 (1; 2;�3),
~v2 = P1 � P0;
= (1;�2;�2) :
Assim,
cos �r1;r2 =
j~v1 � ~v2j
j~v1j j~v2j ;
=
j(1; 1; 4) � (1;�2;�2)j
p
12 + 12 + 42
q
12 + (�2)2 + (�2)2
;
=
j1� 2� 8jp
18
p
9
;
=
9
3�p2� 3 ;
=
1p
2
;
=
p
2
2
:
Assim, �r1;r2 = 45
�.
1
(b) veri…que se são concorrentes.
(Solução) Para serem concorrentes devem ter um ponto em comúm. Notamos
que o ponto P1 da reta r2 é o ponto de referência usado na equação da reta r1,
assim eles tem esse ponto em comúm. Caso não tivéssemos notado este fato,
substituímos as equações paramétricas da reta r1 nas equações da reta r2,
2 + t = �2 (1 + t) + 4;
�3 + 4t = �2 (1 + t)� 1;
t = 0;
t = 0;
as duas equações são satisfeitas com o mesmo parâmetro, isto indica que existe
um ponto da reta r1 (obtido com o valor do parâmetro encontrado) que satisfaz
as equações da reta r2. Este ponto nada mais é do que o ponto P1 obtido acima.
As retas são concorrentes.
2. (2,5 pontos) O plano � : 3x+2y+4z = 12 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,
B e C. Calcule a volume do tetraedro limitado pelo plano � e pelos planos cartesianos.
(Solução) Os pontos que estão localizados em cima do eixo Ox têm a característica de
ter a ordenada e cota nulas (y = z = 0). Impondo essas que y = z = 0 na equação da
reta obtemos o ponto Px (4; 0; 0). De forma semelhante, obtemos os pontos Py (0; 6; 0)
e Py (0; 0; 3). O tetraedro formado pelos planos cartesianos e o plano � é de…nido pelos
vetos ~a = OPx, ~b = OPy e ~c = OPz, onde O é a origem do plano cartesiano. Estes são
dados por
~a = (4; 0; 0) ;
~b = (0; 6; 0)
~c = (0; 0; 3) :
O volume do tetraedro é dado por
VT =
1
6
VP ;
=
1
6
����~a;~b;~c���� ;
=
1
6
������
������
4 0 0
0 6 0
0 0 3
������
������ ;
=
1
6
72;
= 12 u.v.
3. (2,5 pontos) Calcule a distância entre as retas
r1 :
�
y = 2x;
z = 3
e r2 : (x; y; z) = (2;�1; 2) + t (1;�1; 3) :
2
(Solução) Começamos estudando a con…guração dos objetos. Os vetores diretores são
~v1 = (1; 2; 0) e v2 = (1;�1; 3). Como as abscissas são iguais e como não há como igualar
as outras componentes sem multiplicar os vetores então eles não são paralelos. Assim,
as retas podem ser tanto concorrentes quanto reversas. Para diferenciá-las procuramos
por pontos em comúm. Substituindo as equações da reta r2 nas equações da reta r1
obtemos
�1� t = 2 (2 + t) ;
2 + 3t = 3;
t = �5
3
;
t =
1
3
:
Como parâmetros diferentes satisfazem cada uma das equações, não há um ponto de
r2 que satisfaça as equações de r1. As retas são revesas. A distância entre as retas,
então, é dada por
d (r1; r2) =
�����!AB;~v1; ~v2����
j~v1 � ~v2j ;
onde A e B são pontos das retas r1 e r2 respectivamente. Da reta r1 temos, quando x =
0, o ponto A (0; 0; 3) e da reta r2, quando t = �1, B (1; 0;�1), assim �!AB = (1; 0;�4).
Calculamos
�����!AB;~v1; ~v2���� =
������
������
1 0 �4
1 2 0
1 �1 3
������
������ ;
= j6 + 4 + 8j ;
= 18;
e
j~v1 � ~v2j =
������
{^ |^ k^
1 2 0
1 �1 3
������ ;
=
���6{^� 3|^� 3k^��� ;
=
q
62 + (�3)2 + (�3)2;
p
36 + 9 + 9;
=
p
54;
= 3
p
6:
3
Assim,
d (r1; r2) =
18
3
p
6
;
=
6p
6
;
=
6
p
6
6
;
=
p
6 u.c.
4. (2,5 pontos) Calcule a distância entre a reta r e o plano �
r :
x� 1
2
= y + 3; z = 4;
� : x� y + z = 0:
(Solução) Começamos estudando a con…guração dos objetos. Caso a reta e o plano
forem paralelos, o vetor diretor e o vetor normal são perpendiculares e, consequente-
mente, o produto escalar entre eles é nulo. O vetor diretor e o vetor normal são dados
por
~v = (2; 1; 0) ;
~n = (1;�1; 1) ;
e
~v � ~n = 1;
eles não são paralelos, logo se interceptam. Como eles se interceptam a distância entre
eles é 0.
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