Sequência de Fibonacci

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Sequência de Fibonacci
Lorena Garcia, Renato Peregrino, Thiago Tatagiba
A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci (contração do italiano filius Bonacci), que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos, a partir desta
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CRESCIMENTO DE UMA POPULAÇÃO IDEALIZADA DE COELHOS
no primeiro mês nasce apenas um casal,
casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,
não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo,
todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
os coelhos nunca morrem.
No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci (1202) de Leonardo Fibonacci,[6] embora ela já tivesse sido descrita por gregos eindianos.[7] [8] [9] Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos. Os números descrevem o número de casais na população de coelhos depois de n meses se for suposto que:
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Origens mais antigas
Yupana (em quíchua, "instrumento de contagem"): calculadora usada pelos incas, possivelmente baseada nos números de Fibonacci
Yupana (em quíchua, "instrumento de contagem"): calculadora usada pelos incas, possivelmente baseada nos números de Fibonacci
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Definição
É uma sucessão de números que, misteriosamente, aparece em muitos fenômenos da natureza. Descrita no final do século 12 pelo italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois números anteriores. Portanto, depois de 0 e 1, vêm 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
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Fn=Fn-1 + Fn-2
F1=1 e F2 =1
SEQUÊNCIA
VALORES INICIAIS
Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo F1= 1:
Fn=Fn-1 + Fn-2
e valores iniciais
F1=1 e F2 =1
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Função geradora
Achando o Enésimo Número
Número de Ouro
(Phi) Φ
Ou aproximadamente:
 1,61803398874989
A divisão de F(n) por F(n - 1), para n > 1, tende a Φ à medida que n aumenta, por exemplo:
Se dividirmos F(2) por F(1) vamos obter 2, que nem chega a lembrar o numero Φ:
Se considerarmos um n um pouco maior, como por exemplo 15, vamos obter aproximadamente 1,618037135 que é um valor que já nos mostra para qual valor estamos caminhando:
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A fórmula de Binet
A fórmula de Binet pode ser utilizada para o cálculo do n-ésimo número da sequência de Fibonacci:
Vamos calcular F(21) sabendo que é igual a 10946:
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Abordagem Recursiva	
Função fib(n)
	se (n < 2) então
		retorne n
	caso contrário
		retorne fib(n-1) + fib(n-2)
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Abordagem interativa
Função fib(n)
	i=1
	j=0
	para k de 1 até n faça
		t=i+j
		i=j
		j=t
	retorne j
Aplicações e Aparições
CONCHA DO CARAMUJO
Cada novo pedacinho tem a dimensão da somados dois antecessores
CAMALEÃO
Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas da espiral de Fibonacci
ELEFANTE
Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do processo, adivinhe qual seria o formato?
GIRASSOL
Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de espirais: geralmente, 21 no sentido horário e 34 no anti-horário
PINHA
As sementes crescem e se organizam em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13 no anti-horário
POEMA CONTADINHO
Acharam o “número de ouro” até na razão entre as estrofes maiores e menores da Ilíada, épico de Homero sobre os últimos dias da Guerra de Troia
A BELEZA DESCRITA EM NÚMEROS
A “Proporção de ouro” aparece tanto em seres vivos quanto em criações humanas. Na matemática, a razão dourada é representada pela letra grega phi: φ
PARTENON
Os gregos já conheciam a proporção, embora não a fórmula para defini-la. A largura e a altura da fachada deste templo do século V a.C. estão na proporção de 1 para 1,618
ARTES
Esse recurso matemático também foi uma das principais marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre elementos do rosto
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AS GRANDES PIRÂMIDES
Mais um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível imediatamente acima. Em algumas, as câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura
OBJETOS DO COTIDIANO
Vários formatos de cartão de crédito já foram testados. O que se sagrou favorito do público têm laterais na razão de ouro. Fotos e jornais também costumam adotá-la
ROSTO
Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão da distância entre o centro da boca e o “terceiro olho” pela distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618
CORPO
Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em torno de 1,618
MÃOS
Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as articulações se relacionam na razão áurea
Música Usando Fibonacci
Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão e Celesta de Béla Bartók.
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