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Derivadas 
2. Derivadas 
 
2.1 Tangentes e derivadas em um ponto 
2.2 A derivada como função 
2.3 Regras de derivação 
2.4 Derivadas de funções trigonométricas 
2.5 Regra da cadeia 
2.6 Derivação implícita 
2.7 Derivadas de funções inversas e 
logarítmicas 
2.8 Funções trigonométricas inversas 
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2 
O que é o cálculo? 
 As ideias e aplicações do Cálculo estão em torno de dois 
problemas geométricos (pelo menos a maioria deles). Ambos se referem 
ao gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) . 
PROBLEMA 1 Problema das tangentes.: 
 
 Calcular o coeficiente angular da 
reta rangente ao gráfico num ponto 
dado P. 
 
 
PROBLEMA 2 Problema das áreas: 
 
 Calcular a área debaixo do gráfico, 
entre os pontos 𝒙 = 𝒂 e 𝒙 = 𝒃. 
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3 
O problema das tangentes 
Definição de reta tangente: Curvas em geral 
 Reta que intercepta a circunferência em apenas um ponto 
(ponto de tangência). 
Reta tangente 
Reta secante 
Reta que não 
intercepta a 
circunferência 
OBSERVAÇÃO.: Esta definição de reta tangente obteve sucesso ao se 
tratar circunferências e algumas outras curvas especiais. Porém, para 
curvas em geral essa definição é totalmente insatisfatória (ver exemplo 
seguinte). 
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4 
O problema das tangentes 
Definição de reta tangente: Curvas em geral 
Reta não-tangente, 
mas que a 
definição anterior 
aceitaria 
Tangente 
perfeitamente 
aceitável, mas 
que a definição 
anterior 
rejeitaria 
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5 
Retas tangentes: 
Conceito moderno (Fermat ~ 1630) 
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6 
Definição de coeficiente angular 
Desde que o 
limite exista! 
A reta tangente à curva 𝑓 em P 
é a reta que passa por P e tem 
coeficiente angular 𝑚. 
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7 
Sol.: 
1) 
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8 
2) A curva tem coeficiente angular -1/4 nos pontos (2, 1/2) 
e (-2,-1/2). 
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9 
3) Os coeficientes angulares das tangentes serão sempre negativos. 
𝑦 =
1
𝑥
 
𝑚 𝑥 = −
1
𝑥2
 
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10 
EXEMPLO Determine o coeficiente angular da curva nos 
pontos dados. Determine, então, a equação para a tangente à 
curva nesse ponto . 
16. 𝑕 𝑡 = 𝑡3 + 3𝑡 (1,4) 
18. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 (8,3) 
Ref. Thomas, seção 2.7, questão 16 e 18 
EXEMPLO Determine o coeficiente angular da curva no 
ponto correspondente ao valor de 𝑥 indicado. 
Ref. Thomas, seção 2.7, questão 22 
22. 𝑦 =
𝑥 − 1
𝑥 + 1
, 𝑥 = 0 
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11 
EXEMPLO Em quais pontos o gráfico da função 𝑔 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 
possui tangentes horizontais? 
Ref. Thomas, seção 2.7, questão 24 
EXEMPLO Determine a equação da reta que apresenta 
coeficiente angular 1/4 e que seja tangente à curva 𝑦 = 𝑥 . 
Ref. Thomas, seção 2.7, questão 26 
EXEMPLO O gráfico de 
Ref. Thomas, seção 2.7, questão 32 
𝑔 𝑥 = 
𝑥 𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
 , 𝑥 ≠ 0
0 , 𝑥 = 0
 
 possui tangente na origem? Justifique sua respostas . 
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12 
Tangentes verticais 
A curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma tangente vertical no ponto 
𝑥 = 𝑥0 se 
lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + 𝑕 − 𝑓(𝑥0)
𝑕
= ∞ 𝑜𝑢 lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + 𝑕 − 𝑓(𝑥0)
𝑕
= −∞ 
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13 
EXEMPLO Seja a curva y = 𝑓 𝑥 = 𝑥1/3. Temos então 
que em 𝑥 = 0, 
EXISTE uma tangente vertical na origem. 
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14 
EXEMPLO Seja a curva 𝑔(𝑥) = 𝑥2/3. Temos então que 
em 𝑥 = 0, 
NÃO EXISTE tangente vertical na 
origem, pois o limite é ∞ à direita e 
− ∞ à esquerda . 
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15 
EXEMPLO O gráfico de 
𝑈 𝑥 = 
0, 𝑥 < 0
1, 𝑥 ≥ 0
 
Ref. Thomas, seção 2.7, questão 34 
 possui uma tangente vertical no ponto (0,1)? Justifique sua 
resposta. 
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16 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 2.7 
 
Questões 11-26. 
Questões 31-34. 
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17 
Taxas de variação: derivada 
em um ponto 
• A expressão abaixo é chamada de quociente da diferença de 𝑓 em 
x0 com incremento 𝒉 (ou razão incremental). 
Se o quociente acima tiver um limite quando 𝑕 → 0, então esse limite 
passa a ter um nome e uma notação particular: 
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18 
EXEMPLO Mostre que a reta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 é sua própria reta 
tangente em qualquer ponto (𝑥0, 𝑚𝑥0 + 𝑏) . 
PROVA A inclinação da reta tangente no ponto (𝑥0, 𝑚𝑥0 + 𝑏) é 
lim
ℎ→0
𝑚 𝑥0 + 𝑕 + 𝑏 − (𝑚𝑥0 + 𝑏)
𝑕
= lim
ℎ→0
𝑚𝑥0 + 𝑚𝑕 + 𝑏 − 𝑚𝑥0 − 𝑏
𝑕
 
= lim
ℎ→0
𝑚𝑕
𝑕
= lim
ℎ→0
 𝑚 = 𝑚 
Portanto, a equação da reta tangente no ponto (𝑥0, 𝑚𝑥0 + 𝑏) é 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − (𝑚𝑥0 + 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0 + 𝑚𝑥0 + 𝑏 
𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥0 + 𝑚𝑥0 + 𝑏 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 c.q.d. 
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19 
A derivada como função 
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20 
A reta tangente que passa por (4, 2) é 𝑦 = 𝑥/4 + 1. 
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21 
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22 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.1 
 
Questões 23-26 
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23 
Exemplo 
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24 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.1 
 
Questões 1-6 
Questões 13-18 
 
 
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25 
Algumas notações para derivada de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥): 
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26 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.1 
 
Questões 7-12 
Questões 19-22 
 
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27 
Quais são as funções deriváveis? 
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28 
Exercício: 
Sol.: Vimos que a derivada da função linear 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 é 
𝑓′ 𝑥 = 𝑚, ou seja, o coeficiente angular 𝑚. Assim, à 
direita da origem temos 
À esquerda, 
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29 
 Não é possível que exista derivada na origem porque 
nela as derivadas laterais são diferentes: 
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30 
𝑦′ indefinida em 𝑥 = 0: 
derivada a direita ≠ derivada a esquerda 
Figura: A função y = 𝑥 não é derivável na origem 
onde o gráfico tem um “bico”. 
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31 
Sol.: 
Para x=0, 
Aplicando a definição para examinar se a derivada existe em x=0: 
Não há derivada 
em x=0! 
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32 
𝑦 = 𝑥 
𝑦′ =
1
2 𝑥
 
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33 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.1 
 
Questões 35-38 
Derivadas 
2. Derivadas 
 
2.1 Tangentes e derivadas em um ponto 
2.2 A derivada como função 
2.3 Regras de derivação 
2.4 Derivadas de funções trigonométricas 
2.5 Regra da cadeia 
2.6 Derivação implícita 
2.7 Derivadas de funções inversas e 
logarítmicas 
2.8 Funções trigonométricas inversas 
2.9 Linearização e diferenciais 
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35 
Regras de derivação 
1. Derivada de uma função constante 
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36 
2. Regra da potenciação para inteiros positivos 
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37 
3. Regra da multiplicação por uma constante 
Se 𝑣 é uma função derivável de 𝑥 e 𝑐 é uma constante, então 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑣 = 𝑐
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑣 = lim
ℎ→0
𝑐𝑣 𝑥 + 𝑕 − 𝑐𝑣(𝑥)
𝑕
 
PROVA 
= 𝑐 lim
ℎ→0
𝑣 𝑥 + 𝑕 − 𝑣(𝑥)
𝑕
 
=c
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
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38 
3. Regra da multiplicação por uma constante 
EXEMPLO Calcule a derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2. 
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥2 = 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 = 3 ∙ 2𝑥2−1 = 3 ∙ 2𝑥 = 6𝑥 
Se 𝑣 é uma função derivável de 𝑥 e 𝑐 é uma constante, então 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑣 = 𝑐
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
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39 
4. Regra da derivada da soma 
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40 
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4 + 12𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4 +
𝑑
𝑑𝑥
12𝑥 = 4𝑥3 + 12 
EXEMPLO Calcule a derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 12𝑥 . 
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41 
Exercício 
A curva 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥2 + 2 tem alguma tangente horizontal? Em 
caso afirmativo, onde? 
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42 
4. Derivada da função exponencial natural 
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43 
5. Regra da derivada do produto 
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44 
5. Regra da derivada do produto 
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45 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.2 
 
Questões 13-16 
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46 
6. Regra da derivada do quociente 
/ 
Em notação de função, 
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47 
PROVA: 
Usando a propriedade do limite do quociente, encontra-se 
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48 
6. Regra da derivada do quociente 
/ 
Derivadas 
2. Derivadas 
 
2.1 Tangentes e derivadas em um ponto 
2.2 A derivada como função 
2.3 Regras de derivação 
2.4 Derivadas de funções trigonométricas 
2.5 Regra da cadeia 
2.6 Derivação implícita 
2.7 Derivadas de funções inversas e 
logarítmicas 
2.8 Funções trigonométricas inversas 
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50 
7. Regra da potenciação para inteiros negativos 
Seja 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, tal que 𝑚 > 0 𝑒 𝑛 = −𝑚 . Temos então que 
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51 
Derivadas de ordem superior 
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52 
n-ésima derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 para qualquer 𝑛 inteiro: 
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EXEMPLO Determine a primeira e a segunda derivada da 
 
função 
53 
EXEMPLO Determine a derivada da função 
Ref. Thomas, seção 3.2, questão 24 
𝑦 =
𝑥2+3𝑒𝑥
2𝑒𝑥−𝑥
 . 
Ref. Thomas, seção 3.2, questão 36 
𝑤 = 𝑒𝑧(𝑧 − 1)(𝑧2 + 1) . 
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54 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.2 
 
Questões 1-12 
Questões 17-40 (para 
derivadas gerais) 
 
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55 
Derivada de funções trigonométricas 
1. Função seno 
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56 
2. Função cosseno 
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57 
3. Outras funções básicas 
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58 
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59 
EXEMPLO Determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . Simplifique quando possível . 
Ref. Thomas, seção 3.4, questões 4 e 6 
4. 𝑦 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 −
1
𝑥2
 
6. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 sec 𝑥 
EXEMPLO Determine 𝑑𝑝 𝑑𝑞 . 
Ref. Thomas, seção 3.4, questões 22 e 24 
22. 𝑝 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑞 cos 𝑞 
24. 𝑝 =
𝑡𝑔 𝑞
1 + 𝑡𝑔 𝑞
 
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60 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.4 
 
Questões 1-26 
Derivadas 
2. Derivadas 
 
2.1 Tangentes e derivadas em um ponto 
2.2 A derivada como função 
2.3 Regras de derivação 
2.4 Derivadas de funções trigonométricas 
2.5 Regra da cadeia 
2.6 Derivação implícita 
2.7 Derivadas de funções inversas e 
logarítmicas 
2.8 Funções trigonométricas inversas 
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62 
Regra da cadeia 
PROBLEMA: Como derivar funções como 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2) 
ou 𝑦 = (3𝑥2 + 1)2? 
Primeiramente, observe que essas funções são compostas 
𝑓 ∘ 𝑔 de funções que sabemos derivar: 
 
 
 
 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2) 
𝑦 = 𝑓 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) e 𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 
 
𝑦 = (3𝑥2 + 1)2 
𝑦 = 𝑓 𝑢 = 𝑢2 e 𝑢 = 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 + 1 
 
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63 
Regra da cadeia 
= , 
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64 
EXEMPLO A função 𝑓 𝑥 = (3𝑥2 + 1)2 é a composta de 𝑦 = 𝑓 𝑢 = 𝑢2 
e 𝑢 = 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 + 1. Assim, 
 
 
 
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65 
EXEMPLO Derive 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2 + 𝑥) com relação a 𝑥 . 
SOLUÇÃO 
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66 
EXEMPLO Derive y = 𝑒cos 𝑥 com relação a 𝑥 . 
SOLUÇÃO 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑒cos 𝑥 = 𝑒cos 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
cos 𝑥 
 = 𝑒cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 = −𝑒cos 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 
OBSERVAÇÃO A regra da cadeia generaliza este exemplo através da 
fórmula 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑢 = 𝑒𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
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67 
EXEMPLO Derive y = 𝑒𝑘𝑥 com relação a 𝑥 . 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑘𝑥 = 𝑒k 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑘𝑥 = 𝑘𝑒𝑘𝑥 . 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑒2𝑥 = 𝑒2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
2𝑥 = 2𝑒2𝑥 . 
 
EXEMPLO Derive y = 𝑒2𝑥 com relação a 𝑥 . 
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68 
EXEMPLO Derive g(t) = 𝑡𝑎𝑛(5 − sin 2𝑡) com relação a 𝑡 . 
SOLUÇÃO 
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69 
EXEMPLO Derive 5𝑥3 − 𝑥4 7 com relação a 𝑥 . 
SOLUÇÃO 
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70 
EXEMPLO Derive 3𝑥 − 2 −1 com relação a 𝑥 . 
SOLUÇÃO 
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71EXEMPLO Derive 𝑠𝑖𝑛5𝑥 com relação a 𝑥 . 
SOLUÇÃO 
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72 
EXEMPLO Derive 𝑒 3𝑥+1 com relação a 𝑥 . 
SOLUÇÃO 
𝑑
𝑑𝑥
𝑒 3𝑥+1 = 𝑒 3𝑥+1
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 + 1 
 
= 𝑒 3𝑥+1
1
2
(3𝑥 + 1)−1/2⋅ 3 
=
3
2 3𝑥 + 1
𝑒 3𝑥+1 
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73 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.5 
 
Questões 1-66 
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ECT1113 - Cálculo I 2014.2 
74 
Derivação implícita 
• A curva 𝑥3 + 𝑦3 – 9𝑥𝑦 = 0 não 
é o gráfico de nenhuma função de 
𝑥. 
 
• Entretanto, ela pode ser dividida 
em arcos separados, que são os 
gráficos de funções de x. 
 
• A derivação implícita é a técnica 
de derivação utilizada para derivar 
uma equação 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 na qual 
não é possível colocá-la na forma 
𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
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75 
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76 
Escola de Ciências e Tecnologia 
ECT1113 - Cálculo I 2014.2 
77 
SOLUÇÃO 
EXEMPLO Determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 se 𝑥2 + 𝑦2 = 25. 
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78 
EXEMPLO Determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 se 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦). 
SOLUÇÃO 
𝑦 
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79 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.6 
 
Questões 19-36 
Escola de Ciências e Tecnologia 
ECT1113 - Cálculo I 2014.2 
80 
EXEMPLO Determine 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 se 2𝑥3 − 3𝑦2 = 8. 
SOLUÇÃO 
quando 𝑦 ≠ 0 . 
Substituindo 𝑦′ em 𝑦′′, encontra-se 
quando 𝑦 ≠ 0 . 
Escola de Ciências e Tecnologia 
ECT1113 - Cálculo I 2014.2 
81 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.6 
 
Questões 37-44 
Escola de Ciências e Tecnologia 
ECT1113 - Cálculo I 2014.2 
82 
Teorema: Regra da potenciação para potências racionais 
Escola de Ciências e Tecnologia 
ECT1113 - Cálculo I 2014.2 
83 
EXEMPLO Determine a derivada da função 
Ref. Thomas, seção 3.2, questão 26 
𝑟 = 2
1
𝜃
+ 𝜃 . 
Escola de Ciências e Tecnologia 
ECT1113 - Cálculo I 2014.2 
84 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.6 
 
Questões 1-18 
Derivadas 
2. Derivadas 
 
2.1 Tangentes e derivadas em um ponto 
2.2 A derivada como função 
2.3 Regras de derivação 
2.4 Derivadas de funções trigonométricas 
2.5 Regra da cadeia 
2.6 Derivação implícita 
2.7 Derivadas de funções inversas e 
logarítmicas 
2.8 Funções trigonométricas inversas 
Escola de Ciências e Tecnologia 
ECT1113 - Cálculo I 2014.2 
86 
Derivadas de inversas de 
funções deriváveis 
• A representação gráfica conjunta de uma reta e sua inversa 
mostra a simetria dos gráficos em relação à reta y = x. Os 
coeficientes angulares são recíprocos entre si. 
 
 
𝑦 =
1
2
𝑥 + 1 
 inversa de 
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87 
Derivadas de inversas de 
funções deriváveis 
• Os gráficos de funções inversas têm coeficientes angulares 
recíprocos em pontos correspondentes. 
 
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88 
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89 
Derivadas de inversas de 
funções deriváveis 
• Enquanto omitimos a prova da primeira afirmação, a segunda é 
provada da seguinte maneira: 
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90 
EXEMPLO A função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 ( 𝑥 ≥ 0 ) e sua inversa 
𝑓−1 𝑥 = 𝑥 têm derivadas 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 e 𝑓−1 ′ 𝑥 = 1 2 𝑥 . 
Observe que o Teorema 3 também fornece a mesma fórmula para a 
derivada de 𝑓−1 𝑥 : 
(𝑓−1)′ 𝑥 =
1
𝑓′(𝑓−1 𝑥 )
 
 
 
=
1
2𝑓−1 𝑥
 
=
1
2 𝑥
 
Escolhendo 𝑥 = 2, temos que 𝑓(2) = 4. O Teorema 3 diz que 𝑓′ 2 = 4 e 
𝑓−1 ′ 4 são recíprocos, ou seja, 
𝑓−1 ′ 4 =
1
𝑓′(𝑓−1(4))
=
1
𝑓′( 4)
=
1
𝑓′(2)
=
1
2𝑥
 
𝑥=2
=
1
4
. 
Em um ponto específico 
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91 
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92 
EXEMPLO Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2 . Determine o valor de 𝑑𝑓−1/𝑑𝑥 em 
𝑥 = 6 = 𝑓(2) sem determinar uma fórmula para 𝑓−1(𝑥) . 
SOLUÇÃO Usando a fórmula 
 temos que 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 
𝑥=2
= 3𝑥2 
𝑥=2
= 12 
𝑑𝑓−1
𝑑𝑥
 
𝑥=𝑓(2)
=
1
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 
𝑥=2
=
1
12
 . 
 e portanto, 
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93 
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94 
EXEMPLO A função 𝑓 𝑥 = 𝑥3/4 ( 𝑥 ≥ 0 ) e sua inversa 
𝑓−1 𝑥 = (4𝑥)1/3 têm derivadas 𝑓′ 𝑥 = 3/4 𝑥2 e 𝑓−1 ′ 𝑥 =
4 (3 (4𝑥)2
3
) . 
Observe que o Teorema 3 também fornece a mesma fórmula para a 
derivada de 𝑓−1 𝑥 : 
(𝑓−1)′ 𝑥 =
1
𝑓′(𝑓−1 𝑥 )
 
 
 
=
1
3
4 𝑓
−1 𝑥 2
 
=
1
3
4 (4𝑥)
1/3 2
=
4
3 (4𝑥)2
3
 
Escolhendo 𝑥 = 1, temos que 𝑓(1) = 1/4. O Teorema 3 diz que 𝑓′ 1 = 3/4 
e 𝑓−1 ′ 1/4 são recíprocos, ou seja, 
𝑓−1 ′
1
4
=
1
𝑓′(𝑓−1(1/4))
=
1
𝑓′(1)
=
1
3
4
𝑥2 
𝑥=1
=
4
3
. 
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95 
𝑓 𝑥 = 𝑥3/4 
𝑓−1 𝑥 = (4𝑥)1/3 
1
4
 
1
4
 
𝑓′ 1 = 3/4 
𝑓−1 ′ 1/4 = 4/3 
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96 
Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.7 
 
Questões 1-10 
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97 
A derivada da função logaritmica natural 
ou seja, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 e 𝑓−1 𝑥 = ln 𝑥 . 
𝑓−1 ′ 𝑥 =
1
𝑓′ 𝑓−1(𝑥)
=
1
𝑒𝑥
 
𝑥=𝑓−1(𝑥)
=
1
𝑒ln 𝑥
=
1
𝑥
 
Assim, 
, 
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98 
A derivada da função logaritmica natural 
A regra da cadeia estende essa fórmula às funções positivas 𝑢(𝑥): 
𝑑
𝑑𝑥
𝑙𝑛 𝑢 =
𝑑
𝑑𝑢
𝑙𝑛 𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 , 𝑢 > 0 
 
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99 
EXEMPLO Determine as derivadas: 
 
a) 
𝑑
𝑑𝑥
ln (3𝑥) 
 
b) 
𝑑
𝑑𝑥
ln (𝑥3 + 4𝑥) 
 
c) 
𝑑
𝑑𝑥
ln |𝑥| 
 
 
 
Obs.: Para qualquer constante 𝑘, 
 
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑘𝑥 =
1
𝑥
 
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100 
Derivada de 𝑎𝑢(𝑥) 
Note que 𝑎𝑥 = 𝑒ln(𝑎
𝑥) = 𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑎. Assim, 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑎=𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑎
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑎 = 𝑎𝑥 ln 𝑎 
Se 𝑎 > 0, então 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎 
Quando 𝑎 = 𝑒, 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑒 = 𝑒𝑥 
Uma forma mais geral da derivada de uma função exponencial é 
obtida com a regra da cadeia: 
Se 𝑎 > 0, e 𝑢 é derivável em 𝑥, 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 . 
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101 
EXEMPLO Determine as derivadas: 
 
a) 
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 
 
b) 
𝑑
𝑑𝑥
5−𝑥 
 
c) 
𝑑
𝑑𝑥
4𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
 
Derivadas 
2. Derivadas 
 
2.1 Tangentes e derivadas em um ponto 
2.2 A derivada como função 
2.3 Regras de derivação 
2.4 Derivadas de funções trigonométricas 
2.5 Regra da cadeia 
2.6 Derivação implícita 
2.7 Derivadas de funções inversas e 
logarítmicas 
2.8 Funçõestrigonométricas inversas 
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103 
4. Derivada da função exponencial natural 
Reanálise do limite lim
ℎ→0
𝑎ℎ − 1
𝑕
 
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104 
Reanálise do limite lim
ℎ→0
𝑎ℎ − 1
𝑕
 
 Examinando a derivada 𝑓′(0) para funções exponenciais 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, temos que 
Esse limite fornece o coeficiente 
angular da curva 𝑎𝑥 quando ela cruza 
o eixo 𝑦 no ponto (0, 𝑦). (gráfico ao 
lado) 
𝑓′ 0 = lim
ℎ→0
𝑎0+ℎ − 𝑎0
𝑕
= lim
ℎ→0
𝑎ℎ − 1
𝑕
 
 
Sabemos que a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 dada por 𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑎𝑥+ℎ − 𝑎𝑥
𝑕
 . 
Particularmente, observe que, 
se 𝑎 = 𝑒, 
𝑓′ 0 = lim
ℎ→0
𝑒ℎ − 1
𝑕
= 1 
 
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105 
Reanálise do limite lim
ℎ→0
𝑎ℎ − 1
𝑕
 
Se , então para 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 temos 𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 de modo que em 𝑥 = 0, temos 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝑎𝑥 ln 𝑎 , 
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑥 
𝑥=0
= 𝑎0 ln 𝑎 = ln 𝑎 
Particularmente, observe que, 
se 𝑎 = 𝑒, 
ln 𝑎 = ln 𝑒 = 1 
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106 
Derivada do log𝑎 𝑢(𝑥) 
Seja o logaritmo log𝑎 𝑢(𝑥) de base arbitrária 𝑎 > 0 (e 𝑎 ≠ 1). 
 
Temos que log𝑎 𝑥 =
ln 𝑥
ln 𝑎
 
Fórmula para mudança de 
base dos logaritmos 
Aplicando o operador 𝑑 𝑑𝑥 , temos 
𝑑
𝑑𝑥
log𝑎 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑥
ln 𝑎
 
=
1
ln 𝑎
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑥 =
1
ln 𝑎
1
𝑥
 =
1
𝑥 ln 𝑎
 
Uma forma mais geral da derivada de uma função logarítmica é 
obtida com a regra da cadeia: 
Seja 𝑢 (𝑢 > 0) uma função derivável em 𝑥, 
𝑑
𝑑𝑥
log𝑎 𝑢 =
1
𝑢 ln 𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 . 
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107 
EXEMPLO Determine as derivadas: 
a) 
𝑑
𝑑𝜃
log3 1 + 𝜃 ln 3 
 
b) 
𝑑
𝑑𝑥
(log25 𝑒
𝑥 − log5 𝑥) 
 
 
c) 
𝑑
𝑑𝑡
3 log8 log2 𝑡 
 
Ref.: Questões 67-88, Thomas seção 3.7 (11ed) 
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108 
Derivada logaritmica 
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109 
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110 
Sugestão de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.7 
 
Questões 41-54 
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111 
Prova da regra da potência 
(forma geral) 
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112 
Prova da regra da potência 
(forma geral) 
Prova 
 
• Derivar xn em relação a x resulta em 
 
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113 
Regra da potenciação (forma geral) 
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114 
EXEMPLO Derive 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑥 , 𝑥 > 0. 
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑥 = 𝑒ln 𝑥
𝑥
= 𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑥 SOLUÇÃO 
Aplicando o operador 𝑑/𝑑𝑥, obtemos 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑥 
= 𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑙𝑛 𝑥) = 𝑒𝑥𝑙𝑛 𝑥 ln 𝑥 + 𝑥 ∙
1
𝑥
 
= 𝑥𝑥 ln 𝑥 + 1 
EXEMPLO Calcule a derivada de 𝑓 𝑥 = (1 − 𝑥)𝑥 . 
 
EXEMPLO Calcule a derivada de𝑓 𝑥 = 𝑥𝑥
2−3. 
 
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115 
Sugestão de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.7 
 
Questões 89-96 
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116 
Exercícios Gerais 
 
Thomas, Seção 3.7 
 
Questões 11-40 
Questões 55-88 
 
 
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117 
Número 𝒆 expresso como 
um limite 
 
 
 
 
• Se f(x) = ln x, então f ’(x) = 1/x e, portanto, f ’(1) = 1. Mas, 
pela definição de derivada, 
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118 
Número 𝒆 expresso como 
um limite 
• Uma vez que f’(1) = 1, obtemos 
 
 
 
 
 
• Assim, fazendo a exponenciação em ambos os lados, temos 
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A fórmula está ilustrada pelo gráfico 
 
da função 𝑦 = 1 + 𝑥 1/𝑥 na figura abaixo e na tabela para 
os valores pequenos de 𝑥. Isso ilustra o fato de que, com 
precisão até a sétima casa decimal, 
119 
Derivadas 
2. Derivadas 
 
2.1 Tangentes e derivadas em um ponto 
2.2 A derivada como função 
2.3 Regras de derivação 
2.4 Derivadas de funções trigonométricas 
2.5 Regra da cadeia 
2.6 Derivação implícita 
2.7 Derivadas de funções inversas e 
logarítmicas 
2.8 Funções trigonométricas inversas 
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122 
• Encontramos a derivada de y = sen–1 x ao aplicar o Teorema 3 
com f (x) = sen x e f –1(x) = sen–1 x: 
 
 
 
 
 
 
• Se u é uma função derivável de x com |u| < 1, aplicamos a regra 
da cadeia para obter 
Derivada de y = sen–1 u 
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123 
Derivada do arco seno 
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124 
• Encontramos a derivada de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠−1𝑥 ao aplicar o Teorema 3 
com 𝑓 (𝑥) = cos 𝑥 e𝑓−1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1𝑥: 
 
 
 
 
 
 
 
• Se u é uma função derivável de x com |u| < 1, aplicamos a regra 
da cadeia para obter 
Derivada de y = cos–1 u 
𝑓−1
′
𝑥 =
1
𝑓′(𝑓−1(𝑥))
 
=
1
−𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠−1𝑥)
 
= −
1
1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑐𝑜𝑠−1𝑥)
 
= −
1
1 − 𝑥2
 
𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 = 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠−1𝑢 = −
1
1 − 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 , 𝑢 < 1 . 
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125 
EXEMPLO Determine a derivada de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠−1
1
𝑥
. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠−1
1
𝑥
= −
1
1 −
1
𝑥
2
𝑑
𝑑𝑥
1
𝑥
 
= −
−
1
𝑥2
1 −
1
𝑥2
=
1
𝑥2 1 −
1
𝑥2
 
 
Ref.: Questão 50, Thomas seção 3.8 (11ed) 
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126 
• Encontramos a derivada de 𝑦 = 𝑡𝑔−1𝑥 ao aplicar o Teorema 3 
com 𝑓 (𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 e𝑓−1 𝑥 = 𝑡𝑔−1𝑥: 
 
 
 
 
 
 
 
• Se u é uma função derivável de x, aplicamos a regra da cadeia 
para obter 
Derivada de y = tg–1 u 
𝑓−1
′
𝑥 =
1
𝑓′(𝑓−1(𝑥))
 
=
1
𝑠𝑒𝑐2 (𝑡𝑔−1𝑥)
 
=
1
1 + 𝑡𝑔2(𝑡𝑔−1𝑥)
 
=
1
1 + 𝑥2
 
𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 
𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥 
𝑡𝑔 𝑡𝑔−1𝑥 = 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑡𝑔−1𝑢 =
1
1 + 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 . 
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127 
Derivada do arco tangente 
𝑑
𝑑𝑥
𝑡𝑔−1𝑢 =
1
1 + 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 . 
𝑑
𝑑𝑥
𝑡𝑔−1 𝑥 =
1
1 + ( 𝑥)2
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 
EXEMPLO Determine a derivada de 𝑦 = 𝑡𝑔−1 𝑥, tal que 𝑥 ≥ 0. 
=
1
1 + 𝑥
 
1
2 𝑥
 
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128 
• Encontramos a derivada de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐−1𝑥 ao aplicar o Teorema 3 
com 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 e𝑓−1 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐−1𝑥: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se 𝑢 é uma função derivável de 𝑥 (com 𝑢 > 1), aplicamos a 
regra da cadeia para obter 
Derivada de y = sec–1 u 
𝑓−1
′
𝑥 =
1
𝑓′(𝑓−1(𝑥))
 
=
1
𝑠𝑒𝑐 (𝑠𝑒𝑐−1𝑥) ∙ 𝑡𝑔(𝑠𝑒𝑐−1𝑥)
 
= ±
1
𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑠𝑒𝑐−1𝑥 − 1
 
=±
1
𝑥 𝑥2 − 1
 
𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 (𝑥) ∙ 𝑡𝑔(𝑥) 
𝑡𝑔 𝑥 = ± 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 
𝑠𝑒𝑐 𝑠𝑒𝑐−1𝑥 = 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐−1𝑢 =
1
|𝑢| 𝑢2 − 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 . 
=
1
|𝑥| 𝑥2 − 1
 𝑂 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎 
𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 " ± “ . 
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129 
Derivada do arco secante 
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130 
Derivadas das funções 
trigonométricas inversas 
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131 
Sugestão de exercícios 
 
Thomas, Seção 3.8 
 
Questões 49-70 
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132 
APLICAÇÕES DAS 
DERIVADAS