Limites_04

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Escola de Ciências e Tecnologia (EC&T) Cálculo I 2014.2 1 
1. Limites e continuidade 
 
1.1 Definição informal de Limites de uma função 
 
1.2 Limites de uma função e leis do limite 
 
1.3 Limites laterais. 
 
1.4 Limites que envolvem infinidade: assíntotas 
de gráficos 
 
1.5 Continuidade 
 
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O gráfico da função 𝑓(𝑥) =
5𝑥2+8𝑥−3
3𝑥2+2
 
possui a reta 𝑦 = 5/3 como uma 
assíntota horizontal em ambos os lados 
direito e esquerdo, pois 
 
 e 
2 
Assíntotas horizontais 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) =
5
3
 lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) =
5
3
 
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Assíntotas horizontais 
O gráfico da função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 possui a 
reta 𝑦 = 0 como uma assíntota 
horizontal em ambos os lados direito e 
esquerdo, pois 
 
 e lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 0 lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 0 
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EXEMPLO Encontre as assíntotas horizontais para o gráfico de 
𝑓(𝑥) =
𝑥3 − 2
|𝑥|3 + 1
 
SOLUÇÃO Calculamos os limites quando 𝑥 → ±∞ : 
Para 𝑥 ≥ 0 
Para 𝑥 < 0 
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Assíntotas horizontais 
O gráfico da função 𝑓(𝑥) =
𝑥3−2
|𝑥|3+1
 
possui as retas 𝑦 = 1 e 𝑦 = −1 como 
duas assíntotas horizontais em ambos 
os lados direito e esquerdo, pois 
 
 e lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 1 lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −1 
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EXEMPLO O eixo 𝑥 (a reta 𝑦 = 0) é uma assíntota horizontal do 
gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑥, pois 
lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥 = 0. 
𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→∞
sin(1 𝑥 ) . 
SOLUÇÃO 
Chamando 𝑡 = 1/𝑥, temos que 𝑡 → 0+ quando 𝑥 → ∞. 
Assim, 
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𝑓 𝑥 = sin(1 𝑥 ) 
lim
𝑥→∞
sin(1 𝑥 ) = 0 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→±∞
𝑥 sin(1 𝑥 ) . 
 
Calculando os limites quando 𝑥 → ∞ e 𝑥 → −∞, temos 
lim
𝑥→∞
𝑥 sen(1 𝑥 ) = lim
𝑡→0+
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
= 1 
lim
𝑥→−∞
𝑥 sen(1 𝑥 ) = lim
𝑡→0−
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
= 1 
e 
SOLUÇÃO 
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lim
𝑥→±∞
𝑥 sin(1 𝑥 ) = 1 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→0−
𝑒1/𝑥 
SOLUÇÃO Assumimos que 𝑡 = 1 𝑥 . Desse modo, 
𝑡 → −∞ quando 𝑥 → 0−. Assim, 
lim
𝑥→0−
𝑒1/𝑥 = lim
𝑡→−∞
𝑒𝑡 = 0 
 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→∞
𝑥 − 𝑥2 + 16 . 
SOLUÇÃO 
lim
𝑥→∞
𝑥 − 𝑥2 + 16 = lim
𝑥→∞
𝑥 − 𝑥2 + 16 ∙
𝑥 + 𝑥2 + 16
𝑥 + 𝑥2 + 16
 
= lim
𝑥→∞
𝑥2 − (𝑥2 + 16)
𝑥 + 𝑥2 + 16
 
= lim
𝑥→∞
−16
𝑥 + 𝑥2 + 16
 
= 0 
= lim
𝑥→∞
−16
𝑥
𝑥
𝑥 +
𝑥2
𝑥2
+
16
𝑥2
=
0
1 + 1 + 0
 
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𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2 + 16 
lim
𝑥→∞
𝑥 − 𝑥2 + 16 = 0 
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Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 2.4 
 
Questões 43-50. 
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Limites no infinito 
Observemos o comportamento da função 𝑓 𝑥 = 1/𝑥 quando 𝑥 → 0 . 
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EXEMPLO Determine e lim
𝑥→1+
1
𝑥 − 1
 lim
𝑥→1−
1
𝑥 − 1
 . 
Solução Algébrica Consideremos 𝑦 = 1 (𝑥 − 1) e seu recíproco, ou seja, 𝑦 = 𝑥 − 1. 
 
(i) Quando 𝑥 → 1+, temos que 𝑦 = 𝑥 − 1 = 0+, de modo que 𝑦 = 1 (𝑥 − 1) = ∞. 
(ii) Quando 𝑥 → 1−, temos que 𝑦 = 𝑥 − 1 = 0−, de modo que 𝑦 = 1 (𝑥 − 1) = −∞. 
 
Portanto, 
lim
𝑥→1+
1
𝑥 − 1
= ∞ 𝑒 lim
𝑥→1−
1
𝑥 − 1
= −∞ . 
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lim
𝑥→1+
1
𝑥 − 1
= ∞ 𝑒 lim
𝑥→1−
1
𝑥 − 1
= −∞ 
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EXEMPLO Determine e lim
𝑥→3+
1
𝑥 − 3
 lim
𝑥→3−
1
𝑥 − 3
 . 
Solução Algébrica Consideremos 𝑦 = 1 (𝑥 − 3) e seu recíproco, ou seja, 𝑦 = 𝑥 − 3. 
 
(i) Quando 𝑥 → 3+, temos que 𝑦 = 𝑥 − 3 = 0+, de modo que 𝑦 = 1 (𝑥 − 3) = ∞. 
(ii) Quando 𝑥 → 3−, temos que 𝑦 = 𝑥 − 3 = 0−, de modo que 𝑦 = 1 (𝑥 − 3) = −∞. 
 
Portanto, 
lim
𝑥→3
1
𝑥 − 3
= ∞ 𝑒 lim
𝑥→3
1
𝑥 − 3
= −∞ . 
Ref. Thomas, seção 2.5, questão 4 
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lim
𝑥→3+
1
𝑥 − 3
= ∞ 
 lim
𝑥→3−
1
𝑥 − 3
= −∞ 
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 3
 
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EXEMPLO Discuta o comportamento da função 
𝑓 𝑥 =
1
𝑥2
 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0 . 
SOLUÇÃO 
 Observe que a medida que 𝑥 se 
aproxima de zero (por ambos os lados), 
os valores de 1 𝑥2 são positivos e 
aumentam arbitrariamente. Isso 
significa que 
lim
𝑥→0−
1
𝑥2
= lim
𝑥→0+
1
𝑥2
= ∞ 
 
Assim, podemos afirmar que 
lim
𝑥→0
1
𝑥2
= ∞ 
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EXEMPLO Determine lim
𝑥→(−𝜋 2) 
+
sec 𝑥 . 
Ref. Thomas, seção 2.5, questão 14 
SOLUÇÃO 
 
 Temos que sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
 . 
Consideremos 𝑦 = 1 cos 𝑥 e seu recíproco, ou seja, 𝑦 = cos 𝑥. 
 
(i) Quando 𝑥 → (−𝜋 2) 
+
, temos que 𝑦 = cos 𝑥 = 0+ , de modo que 
𝑦 = 1 cos 𝑥 = ∞. 
 
Portanto, lim
𝑥→(−𝜋 2) 
+
sec 𝑥 = ∞ . 
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Assíntotas verticais 
 
 
 
 
 
• Os eixos coordenados são assíntotas 
de ambos os ramos da hipérbole y = 
1/x. 
 
 
 
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EXEMPLO Determine as assíntotas horizontais e verticais da curva 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 3
𝑥 + 2
 
SOLUÇÃO Para encontrarmos as assíntotas, reescrevemos a função racional como um 
polinômio com resto. Assim, dividindo (𝑥 + 3) por (𝑥 + 2), encontramos 
𝑥 + 3 𝑥 + 2 
1 −𝑥 − 2 
1 
Isso nos diz que 
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 3
𝑥 + 2
= 1 +
1
𝑥+2 
 
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Assíntota vertical 
 Primeiramente, temos que 𝐷𝑓 = *𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −2+. Desse modo, estamos 
interessados no comportamento da função quando 𝑥 → −2. 
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 3
𝑥 + 2
= 1 +
1
𝑥+2 
 
Consideremos 𝑦 = 1 (𝑥 + 2) e seu recíproco, ou seja, 𝑦 = 𝑥 + 2. 
 
(i) Quando 𝑥 → −2+, temos que 𝑦 = 𝑥 + 2 = 0+, de modo que 𝑦 = 1 (𝑥 + 2) = ∞. 
(ii) Quando 𝑥 → −2−, temos que 𝑦 = 𝑥 + 2 = 0−, de modo que 𝑦 = 1 (𝑥 + 2) = −∞. 
 
Desse modo, 
lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2+
𝑥 + 3
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2+
1 +
1
𝑥 + 2
= ∞ 
 
lim
𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2−
𝑥 + 3
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2−
1 +1
𝑥 + 2
= −∞ 
Portanto, existe uma assíntota vertical em 𝑥 = −2 . 
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Assíntota horizontal 
 Quando 𝑥 → ±∞, 
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 3
𝑥 + 2
= 1 +
1
𝑥+2 
 
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−∞
𝑥 + 3
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−∞
1 +
1
𝑥 + 2
= 1 
 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→∞
𝑥 + 3
𝑥 + 2
= lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥 + 2
= 1 
Portanto, existe uma assíntota horizontal em 𝑦 = 1 . 
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Sugestões de exercícios 
 
Thomas, Seção 2.5 
 
Questões 1-38.