Aula 12 - Espaco Linha, Espaco Coluna e Espaco Nulo

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 12 - Espac¸os Vetoriais:
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Definic¸a˜o 0.1
Dada a matriz m× n
A =

a11 a12 . . . a1n
a12 a22 . . . a2n
...
... · · ·
...
am1 am2 . . . amn

os vetores em Rn
→
r1=
[
a11 a12 . . . a1n
]
→
r2=
[
a21 a22 . . . a2n
]
. . .
→
rn=
[
am1 am2 . . . amn
]
,
formados pelas linhas de A, sa˜o chamados os vetores linha de A e os vetores em Rm
→
r1=

a11
a21
. . .
am1
 →r2=

a12
a22
. . .
am2
 . . . →rn=

a1n
a2n
. . .
amn
,
formados pelas colunas de A, sa˜o chamados os vetores coluna de A.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Definic¸a˜o 0.2
Seja A uma matriz m× n, enta˜o:
O subespac¸o de Rn gerado pelos vetores-linha de A e´ chamado
espac¸o-linha de A;
O subespac¸o de Rm gerado pelos vetores-coluna de A e´ chamado
espac¸o-coluna de A;
O espac¸o-soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo de equac¸o˜es A
→
x=
→
0
(subespac¸o de Rn) e´ chamado espac¸o-nulo de A;
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Teorema 0.1
Um sistema A
→
x=
→
b de equac¸o˜es lineares e´ consistente se, e somente se
→
b
esta´ no espac¸o-coluna de A.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 4 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Demonstrac¸a˜o: Sejam A =

a11 a12 . . . a1n
a22 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 e →x=

x1
x2
...
xn
. Se
→
c1,
→
c2, . . . ,
→
cn denotam os vetores-coluna de A, enta˜o
A
→
x=

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn
. . .
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn
 = x1 →c1 +x2 →c2 + . . .+ xn →cn.
Assim, um sistema linear A
→
x=
→
b pode ser escrito como
x1
→
c1 +x2
→
c2 + . . .+ xn
→
cn=
→
b . Se o sistema e´ consistente, enta˜o existem
x1, x2, . . . , xn, isto e´, o vetor
→
b e´ uma combinac¸a˜o linear de
→
c1,
→
c2, . . . ,
→
cn.
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Exemplo 0.1
Ao resolver o sistema linear−1 3 21 2 −3
2 1 −2
x1x2
x3
 =
 1−9
−3

utilizando eliminac¸a˜o gaussiana, encontraremos x1 = 2, x2 = −1 e x3 = 3,
isto e´, o sistema e´ consistente. Ale´m disso, podemos verificar que 1−9
−3
 = 2
−11
2
−
32
1
+ 3
 2−3
−2

isto e´, o vetor
→
b e´ combinac¸a˜o linear dos vetores coluna de A (A
→
x=
→
b ).
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 6 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Em um sistema linear A
→
x=
→
b cuja soluc¸a˜o e´ expressa por
→
x=
→
x0 +c1
→
v1 +c2
→
v2 + . . . ck
→
vk (1)
temos as seguintes terminologias:
O vetor
→
x0 e´ chamado soluc¸a˜o particular de A
→
x=
→
b ;
A expressa˜o
→
x0 +c1
→
v1 +c2
→
v2 + . . . ck
→
vk e´ chamada soluc¸a˜o geral
de A
→
x=
→
b ;
A expressa˜o c1
→
v1 +c2
→
v2 + . . . ck
→
vk e´ chamada soluc¸a˜o geral de
A
→
x=
→
0 ;
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 7 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Exemplo 0.2
Expresse a soluc¸a˜o do sistema abaixo como na equac¸a˜o (1):
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1
5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Soluc¸a˜o:
A soluc¸a˜o do sistema linear do exemplo anterior e´
x1 = −3r− 4s− 2t, x2 = r, x3 = −2s, x4 = s, x5 = t, x6 = 13 . No formato
vetorial, expresso na equac¸a˜o (1), essa soluc¸a˜o pode ser escrita como
x1
x2
x3
x4
x4
x5
x6

=

−3r − 4s− 2t
r
−2s
s
t
1
3
 =

0
0
0
0
0
1
3

︸︷︷︸
→
x0
+ r

−3
1
0
0
0
0
+ s

−4
0
−2
1
0
0
+ t

−2
0
0
0
1
0

︸ ︷︷ ︸
→
x
O vetor
→
x0 e´ uma soluc¸a˜o particular do sistema e o vetor
→
x e´ uma soluc¸a˜o
geral do sistema homogeˆneo associado ao sistema dado.
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Base para o Espac¸o-Nulo
Teorema 0.2
As operac¸o˜es elementares sobre linhas na˜o alteram o espac¸o-nulo de uma
matriz.
Justificativa: Como as operac¸o˜es elementares sobre uma matriz
aumentada na˜o altera o espac¸o-soluc¸a˜o do sistema linear correspondente,
podemos concluir, aplicando operac¸o˜es elementares sobre linhas de A, que
o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo A
→
x=
→
0 na˜o muda.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 10 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Exemplo 0.3
Encontre uma base para o espac¸o-nulo da matriz
A =

2 2 −1 0 1
−1 −1 2 −3 1
1 1 −2 0 −1
0 0 1 1 1

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 11 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Soluc¸a˜o:
A soluc¸a˜o do sistema linear do exemplo anterior e´
x1 = −s− t, x2 = s, x3 = −t, x4 = 0, x5 = t. Esta soluc¸a˜o pode ser
expressa em forma vetorial, como na equac¸a˜o (1), da seguinte maneira:
x1
x2
x3
x4
x5
 =

−s− t
s
−t
0
t
 =

−s
s
0
0
0
+

−t
0
−t
0
t
 = s

−1
1
0
0
0

︸ ︷︷ ︸
→
v1
+t

−1
0
−1
0
1

︸ ︷︷ ︸
→
v2
Podemos ver que os vetores
→
v1 e
→
v2 geram o espac¸o-soluc¸a˜o de A
→
x=
→
0 .
Como esses vetores sa˜o linearmente independentes (verificar), uma base
para o espac¸o-nulo de A e´ {→v1, →v2}.
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Base para o Espac¸o-Linha
Teorema 0.3
As operac¸o˜es elementares sobre linhas na˜o alteram o espac¸o-linha de uma
matriz.
Teorema 0.4
Seja R uma matriz em forma escalonada por linhas, enta˜o os vetores-linha
com os pivoˆs (ou seja, os vetores-linha na˜o-nulos) formam uma base do
espac¸o-linha de R.
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Com os dois teoremas anteriores podemos concluir que para encotrar uma
base para o espac¸o-linha de uma matriz A, basta aplicar operac¸o˜es
elementares nas linhas de A reduzindo esta matriz a uma matriz
escalonada por linhas R. As linhas na˜o nulas da matriz R, que
correspondem a`s linhas que possuem pivoˆ, constituem uma base para o
espac¸o-linha de A.
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Exemplo 0.4
Encontre uma base para o espac¸o-linha da matriz
A =

1 −3 4 −2 5 4
2 −6 9 −1 8 2
2 −6 9 −1 9 7
−1 3 −4 2 −5 −4

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Soluc¸a˜o:
Aplicando operac¸o˜es elementares nas linhas de A obtemos a matriz
escalona por linhas
R =

1 −3 4 −2 5 4
0 0 1 3 −2 −6
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 0

Como os pivoˆs aparecem nas primeira, segunda e terceiras linhas, que sa˜o
as linhas na˜o nulas, a base para o espac¸o-linha e´ {→r1,→r2,→r3}, onde
→
r1=
[
1 −3 4 −2 5 4]
→
r2=
[
0 0 1 3 −2 −6]
→
r3=
[
0 0 0 0 1 5
]
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Base para o Espac¸o-Coluna
Teorema 0.5
Se A e R sa˜o matrizes equivalentespor linhas, enta˜o:
(a) Um conjunto qualquer de vetores-coluna de A e´ linearmente
independente se, e somente se, o conjunto de vetores-coluna
correspondente de R e´ linearmente independente.
(b) Um conjunto qualquer de vetores-coluna de A forma uma
base para o espac¸o-coluna de A se, e somente se, o conjunto
de vetores-coluna correspondente de R forma uma base do
espac¸o-coluna de R.
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Teorema 0.6
Seja R uma matriz em forma escalonada por linhas, enta˜o os
vetores-coluna que conte´m os pivoˆs dos vetores linha formam uma base do
espac¸o-coluna de R.
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Note que, pelos Teoremas 05 e 06, a matriz escalonada por linhas R,
originada de A a partir de operac¸o˜es elementares na˜o fornece os
vetores-coluna que constituem a base do espac¸o-coluna de A.
As colunas de R que conte´m pivoˆ constituem a base do espac¸o-coluna
de R.
As colunas de A correspondentes a`s posic¸o˜es dos pivoˆs encontrados
em R constituem a base do espac¸o-coluna de A.
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Exemplo 0.5
Encontre uma base para o espac¸o-coluna da matriz
A =

1 −3 4 −2 5 4
2 −6 9 −1 8 2
2 −6 9 −1 9 7
−1 3 −4 2 −5 −4

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Soluc¸a˜o:
Aplicando operac¸o˜es elementares nas linhas de A, obtemos a matriz
escalona por linhas:
R =

1 −3 4 −2 5 4
0 0 1 3 −2 −6
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 0

Como os pivoˆs aparecem nas primeira, terceira e quinta colunas de R
temos que
→
c′1=

1
0
0
0
 ,→c′2=

4
1
0
0
 ,→c′3=

5
−2
1
0

formam uma base para o espc¸o-coluna de R.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 21 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Continuac¸a˜o:
Assim, os vetores correspondentes de
A =

1 −3 4 −2 5 4
2 −6 9 −1 8 2
2 −6 9 −1 9 7
−1 3 −4 2 −5 −4

formam uma base para o espac¸o-coluna de A. Esses vetores sa˜o:
→
c1=

1
2
2
−1
 ,→c2=

4
9
9
−4
 ,→c3=

5
8
9
−5

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 22 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Exemplo 0.6
Encontre uma base para o espac¸o gerado pelos vetores→
v1= (1,−2, 0, 0, 3), →v2= (2,−5,−3,−2, 6), →v3= (0, 5, 15, 10, 0) e→
v4= (2, 6, 18, 8, 6).
Soluc¸a˜o: O espac¸o gerado por um conjunto de vetores corresponde ao
espac¸o-linha da matriz A cujas linhas sa˜o constitu´ıdas pelos vetores dados.
Logo, uma base para o espac¸o gerado pelos vetores e´ dada pela base do
espac¸o-linha da matriz A.
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Continuac¸a˜o:
Os vetores dados constituem as linhas da seguinte matriz:
A =

1 −2 0 0 3
2 −5 −3 −2 6
0 5 15 10 0
2 6 18 8 6

Aplicando operac¸o˜es elementares e reduzindo esta matriz a forma
escalonada por linhas, temos:
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Continuac¸a˜o:
R =

1 −2 0 0 3
0 1 3 2 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0

Os vetores-linha na˜o nulos constituem uma base para o espac¸o gerado
pelos vetores
→
v1,
→
v2,
→
v3 e
→
v4. Logo, a base do espac¸o gerado pelos vetores
dados e´ constitu´ıda pelos seguintes vetores:
→
w1= (1,−2, 0, 0, 3), →w2= (0, 1, 3, 2, 0) e →w3= (0, 0, 1, 10)
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Exemplo 0.7
Encontre uma base para o espac¸o-linha de A =

1 −2 0 0 3
2 −5 −3 −2 6
0 5 15 10 0
2 6 18 8 6

consistindo totalmente de vetores-linha de A.
Soluc¸a˜o: Basta transpor A e, com isso, o problema de encontrar uma base
para o espac¸o-linha de A e´ convertido em encontrar uma base para o
espac¸o-coluna de AT , e por fim os vetores obtidos sa˜o transpostos para
constituir uma base para o espac¸o-linha de A.
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Continuac¸a˜o:
Transpondo A, obtemos:
AT =

1 2 0 2
−2 −5 5 6
0 −3 15 18
0 −2 10 8
3 6 0 6

Reduzindo esta matriz a forma escalonada por linhas, obtemos:
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 27 / 35
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Continuac¸a˜o:
R =

1 2 0 2
0 1 −5 −10
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0

As colunas primeira, segunda e quarta conte´m os pivoˆs e constituem a
base do espac¸o-coluna de AT . Logo, as primeira, segunda e quarta colunas
de A constituem uma base para o espac¸o coluna de A. Transpondo esses
vetores, a base do espac¸o-linha de A e´ constituida pelos vetores:
→
r1=
[
1 −2 0 0 3] ,→r2= [2 −5 −3 −2 6] ,→r4= [2 6 18 8 6]
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 28 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Exemplo 0.8
(a) Encontre um subconjunto dos vetores
→
v1= (1,−2, 0, 3), →v2= (2,−5,−3, 6), →v3= (0, 1, 3, 0), →v4=
(2,−1, 4,−7), →v5= (5,−8, 1, 2) que forma uma base para o
espac¸o gerado por estes vetores.
(b) Expresse cada vetor que na˜o esta´ na base como uma
combinac¸a˜o linear dos vetores da base.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 29 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Soluc¸a˜o:
(a) Seja A a matriz que tem
→
v1,
→
v2,
→
v3,
→
v4,
→
v5 como vetores coluna:
A =

1 2 0 2 5
−2 −5 1 −1 −8
0 −3 3 4 1
3 6 0 −7 2

A base para o subespac¸o gerado por
→
v1,
→
v2,
→
v3,
→
v4,
→
v5, constitu´ıda por um
subconjunto desses vetores, coincide com a base do espac¸o-coluna da
matriz A.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 30 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Continuac¸a˜o:
Reduzindo a matriz A por linhas temos:
R =

1 0 2 0 1
0 1 −1 0 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0

Como os pivoˆs aparecem nas primeira, segunda e quarta colunas, uma
base para o espac¸o coluna de R e´
→
w1=

1
0
0
0
 , →w2=

0
1
0
0
 e →w4=

0
0
1
0

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 31 / 35
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Continuac¸a˜o:
Consequentemente, os vetores-coluna correspondentes na matriz A
constitui a base do espac¸o-coluna de A:
→
v1=

1
−2
0
3
 , →v2=

2
−5
−3
6
 e →v4=

2
−1
4
−7

.
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Continuac¸a˜o:
(b) Primeiro, devemos expressar
→
w3 e
→
w5 como combinac¸a˜o linear de→
w1,
→
w2 e
→
w4. Para isso, expressaremos os vetores
→
w3 e
→
w5 em termos dos
vetores de subscritos menores, isto e´:
→
w3= k1
→
w1 +k2
→
w2 (2)
→
w5= c1
→
w1 +c2
→
w2 +c3
→
w4 (3)
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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Continuac¸a˜o:
Resolvendo as equac¸o˜es (2) e (3), obtemos:
→
w3= 2
→
w1 − →w2 (4)
→
w5=
→
w1 +
→
w2 +
→
w4 (5)
As equac¸o˜es (4) e (5) sa˜o chamadas equac¸o˜es de dependeˆncia, e
fornecem a seguinte informac¸a˜o:
→
v3= 2
→
v1 − →v2 (6)
→
v5=
→
v1 +
→
v2 +
→
v4 (7)
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 34 / 35
Exerc´ıcios: Lista 3.4
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 35 / 35