Aula 13 - Posto e Nulidade

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 13 - Espac¸os Vetoriais:
Posto e Nulidade
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 26
Posto e Nulidade
Espac¸os matriciais fundamentais de uma matriz A:
Espac¸o-linha de A
Espac¸o-coluna de A
Espac¸o-nulo de A
Espac¸o-nulo de AT
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 26
Posto e Nulidade
Teorema 0.1
Se A e´ uma matriz qualquer, enta˜o o espac¸o-linha e o espac¸o-coluna de A
teˆm a mesma dimensa˜o.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 26
Posto e Nulidade
Demonstrac¸a˜o:
Seja R a forma escalonada reduzida por linhas de A.
dim(espac¸o-linha de A)=dim(espac¸o-linha de R)
dim(espac¸o-coluna de A)=dim(espac¸o-coluna de R)
Sabemos que a dim(espac¸o-linha de R) coincide com o nu´mero de linhas
na˜o nulas e a dim(espac¸o-coluna de R) e´ o nu´mero de colunas que conte´m
pivoˆs. Como cada linha na˜o nula conte´m um pivoˆ, temos que
dim(espac¸o-linha de R) = dim(espac¸o-coluna de R)
Logo, o espac¸o-linha e o espac¸o-coluna de A teˆm a mesma dimensa˜o.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 4 / 26
Posto e Nulidade
Definic¸a˜o 0.1
Considere a matriz A. Temos as seguintes definic¸o˜es:
Posto de A - pos(A): e´ a dimensa˜o do espac¸o-linha e do
espac¸o-coluna de A.
Nulidade de A - nul(A): e´ a dimensa˜o do espac¸o-nulo de A.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 5 / 26
Posto e Nulidade
Exemplo 0.1
Encontre o posto e a nulidade da matriz

−1 2 0 4 5 −3
3 −7 2 0 1 4
2 −5 2 4 6 1
4 −9 2 −4 −4 7

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 6 / 26
Posto e Nulidade
Soluc¸a˜o:
A forma escalonada por linhas de A e´
1 −2 0 −4 −5 3
0 1 −2 −12 −16 5
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
 (1)
Como existem duas linhas na˜o nulas (ou dois pivoˆs ou dois l´ıderes), o
espac¸o-linha e o espac¸o-coluna sa˜o ambos bidimensionais, isto e´,
pos(A) = 2.
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Posto e Nulidade
Continuac¸a˜o:
A nulidade e´ a dimensa˜o do espac¸o-soluc¸a˜o de A
→
x=
→
0 . Para resolver este
sistema basta reduzir a matriz aumentada a` forma escalonada por linhas.
A matriz resultante sera´ ideˆntica a (1) com uma coluna adicional com
todas as entradas nulas. O sistema de equac¸o˜es correspondente sera´:

x1 − 4x3 − 28x4 − 37x5 + 13x6 = 0
x2 − 2x3 − 12x4 − 16x5 + 5x6 = 0
x3 = r
x4 = s
x5 = t
x6 = u
(2)
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Posto e Nulidade
Continuac¸a˜o:
Resolvendo o sistema (2), temos x1 = 4r + 28s+ 37t− 13u,
x2 = 2r + 12s+ 16t− 5u, x3 = r, x4 = s, x5 = t, x6 = u, que e´
equivalente a 
x1
x2
x3
x4
x5
x6
 = r

4
2
1
0
0
0

︸︷︷︸
→
v1
+s

28
12
0
1
0
0

︸ ︷︷ ︸
→
v2
+t

37
16
0
0
1
0

︸ ︷︷ ︸
→
v3
+u

−13
−5
0
0
0
1

︸ ︷︷ ︸
→
v4
Os vetores
→
v1,
→
v2,
→
v3,
→
v4 e
→
v5 formam uma base do espac¸o-soluc¸a˜o. Logo,
nul(A) = 4.
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Posto e Nulidade
Teorema 0.2
Se A e´ uma matriz qualquer, enta˜o pos(A) = pos(AT ).
Demonstrac¸a˜o:
pos(A) = dim(espac¸o-linha de A) = dim(espac¸o-coluna de AT ) =
pos(AT ).
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Posto e Nulidade
Teorema 0.3 (Teorema da Dimensa˜o)
Se A e´ uma matriz com n colunas, enta˜o pos(A) + nul(A) = n.
Justificativa:
(Nu´mero de linhas na˜o nulas)+(Nu´mero de varia´veis livres)=n ⇒
pos(A) + nul(A) = n.
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Posto e Nulidade
Teorema 0.4
Se A e´ uma matriz m× n, enta˜o:
(a) pos(A) = nu´mero de varia´veis l´ıderes na soluc¸a˜o de A
→
x=
→
0 .
(b) nul(A) = nu´mero de paraˆmetros na soluc¸a˜o geral de
A
→
x=
→
0 .
Obs: As varia´veis l´ıderes sa˜o aquelas que possuem pivoˆ.
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Posto e Nulidade
Se A e´ uma matriz m× n de posto r, enta˜o AT e´ uma matriz n×m de
posto r e temos as seguintes dimenso˜es para os espac¸os fundamentais:
Espac¸o-linha de A: dimensa˜o r
Espac¸o-coluna de A: dimensa˜o r
Espac¸o-nulo de A: dimensa˜o n− r
Espac¸o-nulo de AT : dimensa˜o m− r
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Posto e Nulidade
Teorema 0.5
Se A
→
x=
→
b e´ um sistema linear de m equac¸o˜es em n inco´gnitas, enta˜o as
seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) A
→
x=
→
b e´ consistente
(b)
→
b esta´ no espac¸o-coluna de A
(c) A matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [A| →b ] teˆm
o mesmo posto.
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Posto e Nulidade
Exemplo 0.2
Use o teorema anterior para mostrar que o sistema abaixo na˜o tem soluc¸a˜o
x1 − 2x2 − 3x3 + 2x4 = −4
−3x1 + 7x2 − x3 + x4 = −3
2x1 − 5x2 + 4x3 − 3x4 = 7
−3x1 + 6x2 + 9x3 − 6x4 = −1
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Posto e Nulidade
Soluc¸a˜o:
A forma escalonada por linhas da matriz aumentada e´:
A =

1 −2 −3 2 −4
−3 7 −1 1 −3
2 −5 4 −3 7
−3 6 9 −6 −1
 ∼ . . . ∼

1 −2 −3 2 −4
0 1 −10 7 −15
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
 = R
Note que o posto da matriz dos coeficientes e´ 2 e o posto da matriz
aumentada e´ 3. Como os postos da matriz dos coeficientes e da matriz
aumentada sa˜o diferentes, o sistema e´ inconsistente.
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Posto e Nulidade
Teorema 0.6
Se Ax = b e´ um sistema linear de m equac¸o˜es em n inco´gnitas, enta˜o as
seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) Ax = b e´ consistente para qualquer matriz b de tamanho
m× 1.
(b) Os vetores-coluna de A geram Rm.
(c) pos(A) = m.
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Posto e Nulidade
Sistema Linear Sobredeterminado: Sistema linear com mais
equac¸o˜es do que inco´gnitas. Os vetores-coluna de A na˜o geram Rm.
Exemplo 0.3
Encontre as condic¸o˜es para b1, b2, b3, b4 e b5 para as quais o sistema
abaixo seja consistente: 
x1 − 2x2 = b1
x1 − x2 = b2
x1 + x2 = b3
x1 + 2x2 = b4
x1 + 3x2 = b5
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 18 / 26
Posto e Nulidade
Soluc¸a˜o:
Como o sistema e´ sobredeterminado, ele na˜o pode ser consistente para
todos os valores de b1, b2, b3, b4 e b5. As condic¸o˜es para que o sistema seja
consistente sa˜o obtidas aplicando a eliminac¸a˜o Gaussiana.
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Posto e Nulidade
Continuac¸a˜o:
Aplicando a eliminac¸a˜o gaussiana na matriz aumentada temos:
1 −2 b1
1 −1 b2
1 1 b3
1 2 b4
1 3 b5
 ∼ . . . ∼

1 −2 b1
0 1 b2 − b1
0 0 2b1 − 3b2 + b3
0 0 3b1 − 4b2 + b4
0 0 4b1 − 5b2 + b5

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Posto e Nulidade
Continuac¸a˜o:
Assim, o sistema e´ consistente se, e somente se, b1, b2, b3, b4 e b5
satisfazerm as condic¸o˜es:
2b1 − 3b2 + b3 = 0
3b1 − 4b2 + b4 = 0
4b1 − 5b2 + b5 = 0
Resolvendo o sistema linear homogeˆneo, obtemos:
b1 = 5r − 4s, b2 = 4r − 3s, b3 = 2r − s, b4 = r, b5 = s, onde r e s sa˜o
paraˆmetros reais.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 21 / 26
Posto e Nulidade
Continuac¸a˜o:
Novamente, vamos aplicar a eliminac¸a˜o gaussiana na matriz aumentada do
sistema anterior:2 −3 1 0 0 03 −4 0 1 0 0
4 −5 0 0 1 0
 ∼
1 2/3 1/2 0 0 00 1 −3 2 0 0
0 0 1 −2 1 0

Resolvendo o sistema correspondente a` matriz escalonada,
b1 − (3/2)b2 + (1/2)b3 = 0
b2 − 3b3 + 2b4 = 0
b3 − 2b4 + b5 = 0
b4 = r
b5 = s
obtemos: b1 = 5r − 4s, b2 = 4r − 3s, b3 = 2r − s, b4 = r, b5 = s, onde r e s sa˜o
paraˆmetros reais.
Fabiana T. SantanaUFRN-ECT A´lgebra Linear 22 / 26
Posto e Nulidade
Teorema 0.7
Se A
→
x=
→
b e´ um sistema linear consistente de m equac¸o˜es em n
inco´gnitas e se A tem posto r, enta˜o a soluc¸a˜o geral do sistema conte´m
n− r paraˆmetros.
Exemplo 0.4
Se A e´ uma matriz 5× 7 de posto 4 e se Ax = b e´ um sistema linear
consistente, enta˜o a soluc¸a˜o geral do sistema conte´m 7-4=3 paraˆmetros.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 23 / 26
Posto e Nulidade
Teorema 0.8
Se A e´ uma matriz m× n, enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) A
→
x=
→
0 possui somente a soluc¸a˜o trivial.
(b) Os vetores-coluna de A sa˜o linearmente independentes.
(c) A
→
x=
→
b tem no ma´ximo uma soluc¸a˜o para cada matriz
→
b de
tamanho m× 1.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 24 / 26
Posto e Nulidade
Sistema Linear Subdeterminado: Sistema linear com mais
inco´gnitas do que equac¸o˜es. Logo, possui infinitas soluc¸o˜es.
Exemplo 0.5
Se A e´ uma matriz 5× 7, enta˜o o sistema linear A →x=→b e´
subdeterminado para cada matriz
→
b de tamanho 7× 1. Assim, A →x=
→
b
deve ser consistente para algum
→
b e, para cada um destes
→
b , a soluc¸a˜o
geral deve ter 7− r paraˆmetros, onde r e´ o posto de A.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 25 / 26
Exerc´ıcios: Lista 3.5
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 26 / 26