Aula 14 - Produtos Internos

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 14 - Espac¸o com Produto Interno:
Produtos Internos
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 19
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 19
Produtos Internos
O produto interno e´ uma func¸a˜o definida no espac¸o vetorial e e´
utilizada para definir a noc¸a˜o de comprimento, aˆngulo, distaˆncia e
ortogonalidade.
Em aulas anteriores, foi definido o produto interno euclidiano,
denotado por
→
u · →v .
Para generalizar esse conceito para um espac¸o vetorial arbitra´rio, sera´
utilizada a notac¸a˜o
〈→
u,
→
v
〉
.
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Produtos Internos
O produto interno e´ uma func¸a˜o definida no espac¸o vetorial e e´
utilizada para definir a noc¸a˜o de comprimento, aˆngulo, distaˆncia e
ortogonalidade.
Em aulas anteriores, foi definido o produto interno euclidiano,
denotado por
→
u · →v .
Para generalizar esse conceito para um espac¸o vetorial arbitra´rio, sera´
utilizada a notac¸a˜o
〈→
u,
→
v
〉
.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 19
Produtos Internos
O produto interno e´ uma func¸a˜o definida no espac¸o vetorial e e´
utilizada para definir a noc¸a˜o de comprimento, aˆngulo, distaˆncia e
ortogonalidade.
Em aulas anteriores, foi definido o produto interno euclidiano,
denotado por
→
u · →v .
Para generalizar esse conceito para um espac¸o vetorial arbitra´rio, sera´
utilizada a notac¸a˜o
〈→
u,
→
v
〉
.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 19
Produtos Internos
Definic¸a˜o 0.1
Seja V um espac¸o vetorial real. Um produto interno e´ uma func¸a˜o que
associa a cada
→
u,
→
v∈ V o nu´mero real
〈→
u,
→
v
〉
e satisfaz os seguintes
axiomas para
→
u,
→
v ,
→
w∈ V e k ∈ R:
(a)
〈→
u,
→
v
〉
=
〈→
v ,
→
u
〉
(Simetria)
(b)
〈→
u +
→
v ,
→
w
〉
=
〈→
u,
→
w
〉
+
〈→
v ,
→
w
〉
(Aditividade)
(c)
〈
k
→
u,
→
v
〉
= k
〈→
u,
→
v
〉
(Homogeneidade)
(d)
〈→
v ,
→
v
〉
≥ 0 e
〈→
v ,
→
v
〉
= 0 se, e somente se,
→
v=
→
0
(Positividade)
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Produtos Internos
Observac¸a˜o 0.1
O produto interno euclidiano, definido para
→
u= (u1, u2, . . . , un),
→
v= (v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn
por 〈→
u,
→
v
〉
=
→
u · →v= u1v1 + u2v2 + . . .+ unvn,
satisfaz os axiomas da definic¸a˜o de produto interno. Esse produto interno
tambe´m e´ conhecido por produto interno canoˆnico.
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Produtos Internos
O produto interno euclidiano e´ o produto interno mais importante de Rn,
mas na˜o e´ o u´nico.
Exemplo 0.1 (Produto Interno Euclidiano Ponderado no Rn)
Se
→
u= (u1, u2, . . . , un),
→
v= (v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn e w1, w2, . . . , wn ∈ R+,
enta˜o a fo´rmula〈→
u,
→
v
〉
= w1u1v1 + w2u2v2 + . . .+ wnunvn
define o produto interno euclidiano ponderado com pesos w1, w2, . . . , wn.
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Produtos Internos
Exemplo 0.2
Sejam
→
u= (u1, u2),
→
v= (v1, v2) ∈ R2. Mostre que o produto interno
euclidiano ponderado
〈→
u,
→
v
〉
= 3u1v1 + 2u2v2 satisfaz os quatro axiomas
de produto interno.
Soluc¸a˜o:
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Produtos Internos
Comprimento e Distaˆncia em Espac¸os com Produto Interno
Definic¸a˜o 0.2
Seja V um espac¸o com produto interno.
(a) A norma ou comprimento de um vetor
→
v∈ V , denotado por∥∥∥→v∥∥∥, e´ definido por
∥∥∥→v∥∥∥ = 〈→v ,→v〉 12
(b) A distaˆncia entre dois pontos, ou dois vetores,
→
u e
→
v ,
denotado por d(
→
u,
→
v ), e´ definida por
d(
→
u,
→
v ) =
∥∥∥→u − →v∥∥∥
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Produtos Internos
Exemplo 0.3
Para
→
u= (u1, u2, . . . , un),
→
v= (v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn, utilizando o produto
interno euclidiano, temos:
(a)
∥∥∥→u∥∥∥ = (→u · →u )1/2 =√u21 + u22 + . . . u2n
(b) d(
→
u ,
→
v ) =
∥∥∥→u − →v ∥∥∥ =√(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + . . .+ (un − vn)2
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Produtos Internos
C´ırculos Unita´rios e Esferas no Espac¸o com Produto Interno
Definic¸a˜o 0.3
Se V e´ um espac¸o vetorial com produto interno, enta˜o o conjunto dos
vetores
→
v∈ V que satisfazem ∥∥∥→v∥∥∥ = 1
e´ chamado esfera unita´ria ou enta˜o c´ırculo unita´rio de V .
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Produtos Internos
Exemplo 0.4
Esboce o c´ırculo unita´rio num sistema de coordenadas xy em R2 usando o
produto interno euclidiano
〈→
u,
→
v
〉
= u1v1 + u2v2.
Soluc¸a˜o: Para
→
u= (x, y), temos:
Cı´rculo unita´rio∥∥∥→u∥∥∥ = 1
⇒
〈→
u,
→
u
〉
= 1
⇒
√
x2 + y2 = 1
⇒ x2 + y2 = 1
Gra´fico
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Produtos Internos
Exemplo 0.5
Esboce o c´ırculo unita´rio num sistema de coordenadas xy em R2 usando o
produto interno euclidiano ponderado
〈→
u,
→
v
〉
= 19u1v1 +
1
4u2v2.
Soluc¸a˜o: Para
→
u= (x, y), temos:
Cı´rculo unita´rio∥∥∥→u∥∥∥ = 1
⇒
〈→
u,
→
u
〉
= 1
⇒
√
x2
9
+
y2
4
= 1
⇒ x
2
32
+
y2
22
= 1
Gra´fico
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Produtos Internos
Produtos internos no espac¸o das matrizes quadradas
Exemplo 0.6
Se U e V sa˜o matrizes n× n, enta˜o a fo´rmula 〈U, V 〉 = tr(UTV ) e´ um
produto interno no espac¸o vetorial Mnn. Para U =
[
u1 u2
u3 u4
]
e
V =
[
v1 v2
v3 v4
]
, temos:
〈U, V 〉 = tr(UTV ) = tr
([
u1 u3
u2 u4
] [
v1 v2
v3 v4
])
= tr
([
u1v1 + u3v3 u1v2 + u3v4
u2v1 + u4v3 u2v2 + u4v4
])
= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4
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Produtos Internos
Produto interno no espac¸o dos polinoˆmios
Exemplo 0.7
Para
→
p= a0+a1x+ . . .+anx
n,
→
q= b0+ b1x+ . . .+ bnx
n ∈ Pn, temos que〈→
p ,
→
q
〉
= a0b0 + a1b1 + . . .+ anbn
e´ denominado produto interno canoˆnico em Pn.
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Produtos Internos
Produto interno no espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas em [a, b]
Exemplo 0.8
Para
→
f= f(x),
→
g= g(x) ∈ C[a, b], temos que〈→
f ,
→
g
〉
=
∫ b
a
f(x)g(x)d(x)
e´ um produto interno em C[a, b].
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Produtos Internos
Exemplo 0.9
Seja C[0, 2pi] o espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas em [0, 2pi] e〈→
f ,
→
g
〉
=
∫ 2pi
0
f(x)g(x)d(x) um produto interno em C[0, 2pi]. Para
→
f= cosx,
→
g= cos2x ∈ C[0, 2pi], Calcule:
(a)
〈→
f ,
→
g
〉
(b)
∥∥∥∥→f ∥∥∥∥ e ∥∥∥→g ∥∥∥
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Produtos Internos
Teorema 0.1 (Propriedades de Produto Interno)
Se
→
u,
→
v e
→
w sa˜o vetores em um espac¸o vetorial V com produto interno e
k e´ um escalar real, enta˜o:
(a)
〈→
0 ,
→
v
〉
=
〈→
v ,
→
0
〉
= 0
(b)
〈→
u,
→
v +
→
w
〉
=
〈→
u,
→
v
〉
+
〈→
u,
→
w
〉
(c)
〈
k
→
u,
→
v
〉
= k
〈→
u,
→
v
〉
(d)
〈→
u − →v ,→w
〉
=
〈→
u,
→
w
〉
−
〈→
v ,
→
w
〉
(e)
〈→
u,
→
v − →w
〉
=
〈→
u,
→
v
〉
−
〈→
u,
→
w
〉
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Produtos Internos
Exemplo 0.10
Utilize as propriedades de produto interno para simplificar a expressa˜o〈→
u −2 →v , 3 →u +4 →v
〉
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Exerc´ıcios: Lista 4.1
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