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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Cieˆncia e Tecnologia Aula 17 - Espac¸o com Produto Interno: Mudanc¸a de Bases Fabiana T. Santana Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 24 Refereˆncias Bibliogra´ficas: 1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 24 Mudanc¸a de Bases No estudo de espac¸os vetoriais a mudanc¸a de uma base para outra e´ um processo comum, pois uma base que e´ conveniente para um determinado problema pode na˜o ser para outro. Uma base e´ a generalizac¸a˜o de um sistema de coordenadas para o espac¸o vetorial, por isso e´ importante conhecer as relac¸o˜es entre as coordenadas de um vetor em sistemas de coordenadas distintos. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 24 Mudanc¸a de Bases Os vetores de uma base de R2 definem eixos coordenados e escalas em R2. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 4 / 24 Mudanc¸a de Bases Ao mudarmos de uma base para outra, qual e´ a relac¸a˜o existente entre os vetores de ambas as bases? Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 5 / 24 Mudanc¸a de Bases Matrizes de Coordenadas Se S = {→v1, →v2, . . . , →vn} e´ a base de um espac¸o vetorial V e →v∈ V , enta˜o: (a) → v= k1v1 + k2v2 + . . .+ knvn. (b) ( → v )S = (k1, k2, . . . , kn) e´ o vetor de coordenadas de de → v em relac¸a˜o a` base S. (c) [ → v ]S = k1 k2 ... kn e´ a matriz de coordenadas de de →v em relac¸a˜o a` base S. . Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 6 / 24 Mudanc¸a de Bases Problema da Mudanc¸a de Base Seja V um espac¸o vetorial e B base de V . Se → v∈ V , enta˜o [→v ]B e´ a matriz de coordenadas de → v em relac¸a˜o a base B. Se for feita uma mudanc¸a da base B para a uma outra base B′, qual e´ a relac¸a˜o existente entre [ → v ]B e [ → v ]B′? Esta pergunta sera´ respondida para matrizes bidimensionais. A soluc¸a˜o para espac¸os n-dimensionais e´ similar. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 7 / 24 Mudanc¸a de Bases Sejam B = {→u1, →u2}: base velha (atual) de V B′ = { → u′1, → u′2}: nova base de V Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 8 / 24 Mudanc¸a de Bases Como B = {→u1, →u2} e´ base de V , cada vetor → u′1 e → u′2 da base nova B′ deve ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores da base B. → u′1= a → u1 +b → u2 (1) → u′2= c → u1 +d → u2 (2) Das equac¸o˜es acima temos as seguintes matrizes de coordenadas: [ → u′1]B = [ a b ] e [ → u′2]B = [ c d ] (3) Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 9 / 24 Mudanc¸a de Bases Suponha que → v= k1 → u′1 +k2 → u′2 (4) e´ um vetor qualquer em V cuja matriz de coordenadas em relac¸a˜o a base B′ e´: [ → v ]B′ = [ k1 k2 ] (5) Qual e´ a relac¸a˜o entre [ → v ]B e [ → v ]B′? Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 10 / 24 Mudanc¸a de Bases Substituindo as equac¸o˜es (1) e (2) em (4), temos: → v = k1 → u′1 +k2 → u′2 = k1(a → u1 +b → u2) + k2(c → u1 +d → u2) = (k1a+ k2c) → u1 +(k1b+ k2d) → u2 (6) A equac¸a˜o acima expressa → v como combinac¸a˜o linear dos vetores da base B. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 11 / 24 Mudanc¸a de Bases A matriz de coordenadas de → v em relac¸a˜o a` base B e´: [ → v ]B = [ k1a+ k2c k1b+ k2d ] (7) A equac¸a˜o (7) pode ser escrita como: [ → v ]B = [ a c b d ] [ k1 k2 ] ou [ → v ]B = [ a c b d ] [ → v ]B′ (8) Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 12 / 24 Mudanc¸a de Bases Logo, a matriz de coordenadas [ → v ]B e´ obtida multiplicando a matriz de coordenadas [ → v ]B′ a` esquerda pela matriz P = [ a c b d ] cujas colunas sa˜o as coordenadas dos vetores da base B′ em relac¸a˜o a` base B. A matriz P e´ conhecida por matriz de transic¸a˜o de B′ para base B. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 13 / 24 Mudanc¸a de Bases Definic¸a˜o 0.1 Sejam B = {→u1, →u2, . . . , →un} e B′ = { → u ′ 1, → u ′ 2, . . . , → u ′ n} bases de um espac¸o vetorial V . (a) A matriz de transic¸a˜o de B′ para B (ou matriz de mudanc¸a de base) e´ definida por P = [ [ → u ′ 1]B [ → u ′ 2]B . . . [ → u ′ n]B ] (Cada [ → u′i]B sa˜o vetores-coluna.) (b) Para → v∈ V , temos a seguinte relac¸a˜o [ → v ]B = P [ → v ]B′ Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 14 / 24 Mudanc¸a de Bases Exemplo 0.1 Sejam B = {→u1, →u2} e B′ = { → u′1, → u′2} bases de R2, onde → u1= (1, 0), → u2= (0, 1), → u′1= (1, 1), → u′2= (2, 1) (a) Encontre a matriz de transic¸a˜o de B′ para B. (b) Use a equac¸a˜o [ → v ]B = P [ → v ]B′ para encontrar [ → v ]B sabendo que [ → v ]B′ = [−3 5 ] Soluc¸a˜o: Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 15 / 24 Mudanc¸a de Bases Exemplo 0.2 Sejam B = {→u1, →u2} e B′ = { → u′1, → u′2} bases de R2, onde → u1= (1, 0), → u2= (0, 1), → u′1= (1, 1), → u′2= (2, 1) (a) Seja Q a matriz de transic¸a˜o de B para B′. Encontre Q. (b) Verifique que PQ = I, onde P e´ a matriz de transic¸a˜o de B′ para B encontrada no exemplo anterior. Soluc¸a˜o: Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 16 / 24 Mudanc¸a de Bases Teorema 0.1 Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita. Se P e´ a matriz de transic¸a˜o de uma base B′ para uma base B, enta˜o (a) P e´ invert´ıvel. (b) P−1 e´ a matriz de transic¸a˜o de B para B′. (c) Para → v∈ V , temos as relac¸o˜es [ → v ]B = P [ → v ]B′ e [ → v ]B′ = P −1[ → v ]B Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 17 / 24 Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional Ao girar o sistema de coordenadas retangulares xy no sentido anti-hora´rio em torno da origem por um aˆngulo θ obtemos um novo sistema de coordenadas x′y′. Seja Q um ponto do plano. Podemos observar dois conjuntos de coordenadas para o ponto Q: as coordenadas (x, y) em relac¸a˜o ao sistema xy e as coordenadas (x′, y′)em relac¸a˜o ao sistema x′y′. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 18 / 24 Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional Sejam → u1 e → u2 vetores unita´rios ao longo dos eixos positivos x e y e → u ′ 1 e→ u ′ 2 ao longo dos eixos positivos x ′ e y′. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 19 / 24 Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional Podemos considerar esta rotac¸a˜o como uma mudanc¸a da base B = {→u1, →u2} para a base B′ = { → u ′ 1, → u ′ 2}. Assim, as coordenadas (x, y) e (x′, y′) se relacionam da seguinte maneira:[ x y ] = P [ x′ y′ ] (9) e [ x′ y′ ] = P−1 [ x y ] (10) onde P e´ a matriz de transic¸a˜o de B′ para B. Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 20 / 24 Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional A matriz P e´ dada por P = [ [u ′ 1]B [u ′ 2]B ] . Pelo gra´fico acima, temos que: P = [ cosθ −senθ senθ cosθ ] Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 21 / 24 Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional Como P e´ uma matriz ortogonal (Exemplo 0.2), P−1 = P T . Logo, P−1 = P T = [ cosθ senθ −senθ cosθ ] Pela equac¸a˜o (10), temos que[ x′ y′ ] = [ cosθ senθ −senθ cosθ ] [ x y ] que e´ equivalente a { x′ = xcosθ + ysenθ y′ = −xsenθ + ycosθ Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 22 / 24 Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional Por exemplo, se θ = pi4 , temos[ x′ y′ ] = [ 1√ 2 1√ 2 − 1√2 1√ 2 ] [ x y ] Se Q tem coordenadas (x, y) = (2,−1), apo´s a rotac¸a˜o as novas coordenadas de Q sa˜o (x′, y′) = ( 1√ 2 ,− 3√ 2 ) Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 23 / 24 Exerc´ıcios: Lista 4.1 Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 24 / 24
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