AULA-04-BASES-MATEMÁTICAS

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BASES MATEMÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 04 – INTEGRAL 
Prezado (a) aluno (a), 
 
Seguindo aos conhecimentos matemáticos e suas aplicações na 
administração, nesta aula você conhecerá as integrais, que são divididas em 
integrais definidas e indefinidas. 
Com esse aprendizado, você chegará ao excedente do consumidor e do 
produtor. que são situações que utilização da função de demanda e oferta aplicadas 
nas integrais. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 Realizar cálculos de integrais definidas e indefinidas; 
 Reconhecer integrais impróprias; 
 Realizar cálculos do excedente do consumidor e do produtor. 
 
 
 
4 INTEGRAIS 
 
Conforme Silva e Abrão (2017), com o estudo desenvolvido nas derivadas, a 
compreensão de integração de uma função será mais simples. 
Podemos dizer que a integração é a operação inversa da derivação. Desse 
modo, se tivermos em mãos um determinado custo marginal, que vimos ser 
a derivada primeira do custo total, poderemos obter a função custo total, 
desde que conheçamos os custos fixos, que tendem a ser a constante desta 
função (SILVA; ABRÃO, 2017, p. 104). 
Em outras palavras, quando integramos uma função derivada, vamos encontrar 
as possíveis primitivas da função. Observe os exemplos a seguir. 
Exemplo 01: Se 𝑦 = 2𝑥2 + 8, então, 𝑦′ = 4𝑥 
Mas as funções 𝑦1 = 2𝑥2 + 10 e 𝑦2 = 2𝑥2 + 𝐶, possuem a mesma derivada. 
Observe que, os que as difere é apenas as constantes. 
Assim, ao integrarmos a função 𝑦′ = 4𝑥, teremos 𝑦 = 2. 𝑥2 + 𝐶 
A integral é representada da seguinte forma: 
∫ 4. 𝑥. 𝑑𝑥 = 2𝑥2 + 𝐶 
Além de encontrar a função primitiva, a principal aplicação da integral é a 
obtenção de áreas, por meio da somatória sucessiva de valores de uma função, em 
um domínio considerado, em uma situação onde cada parte deste domínio tende a 
zero, de forma que o número de partes tenda ao infinito. 
A integral apresentada acima, é chamada de integral indefinida, seu resultado 
sempre será uma função, além dela, temos a integral definida, que é a responsável 
pelo cálculo de áreas, seu resultado é um valor. 
4.1 Integral indefinida 
Seja uma função 𝑓(𝑥), qualquer função 𝐹(𝑥) cuja derivada seja 𝑓(𝑥), essa é 
chamada de primitiva, em outras palavras, 𝐹(𝑥) é uma primitiva de 𝑓(𝑥), se 𝐹′(𝑥) =
𝑓(𝑥). 
Exemplo 02: Uma primitiva da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 é 𝐹(𝑥) = 𝑥², pois 𝐹′(𝑥) = 2𝑥. 
Mas essa não é a única primitiva de 𝑓(𝑥) = 2𝑥, pois, por exemplo, a função 
𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 5, essa também é uma primitiva de 𝑓(𝑥) = 2𝑥, pois 𝐹′(𝑥) = 2𝑥. 
 
 
 
É chamada de integral indefinida de 𝑓(𝑥), e indicamos pelo símbolo ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 
a uma primitiva qualquer de 𝑓(𝑥) adicionada a uma constante arbitrária 𝑐. Assim, 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐 
em que 𝐹(𝑥) é uma primitiva de 𝑓(𝑥), ou seja, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 
Assim, para o exemplo apresentado anteriormente, temos: 
∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑐 
O procedimento de determinação da integral indefinida é chamado de 
integração. 
Exemplo 03: Calcule a derivada de 
𝑥³
𝒙
 e conclua que esta função é uma 
primitiva de 𝑥² 
𝑥3
3
=
1
3
𝑥³ 
Então, 
(
𝑥3
3
) = (
1
3
𝑥3) =
3
3
𝑥2 = 𝑥² 
Logo, 
𝑥³
𝑥
 é uma primitiva de 𝑥². 
Note que, é possível obter as integrais indefinidas das principais funções 
utilizadas, que decorrem imediatamente das respectivas regras de derivação. 
I) ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐, para 𝑛 ≠ −1, pois a derivada de 
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 é 𝑥𝑛. 
II) ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐, para 𝑥 > 0, pois a derivada de ln 𝑥 é 
1
𝑥
. 
Se, 𝑥cujas 
características são: 
 𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥. 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
 
Exemplo 07: Pode-se verificar que a função, 
𝑓(𝑥) = {
𝑒−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥