Exercícios de somatório e produtório

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EST 105 - Exerc´ıcios de Somato´rio e Produto´rio 1
1 (II/2001). Sabendo-se que
n∑
x=1
x =
n(1 + n)
2
, calcule
200∑
x=1
(x− 100)
2
.
2 (II/2001). A variaˆncia (S2) de uma amostra com n observac¸o˜es de uma varia´vel
aleato´ria X pode ser definida por,
S2X =
1
n− 1
n∑
i=1
(
Xi −X
)2
(1)
Pede-se:
a. Utilize propriedades de somato´rio na equac¸a˜o (1) para obter a fo´rmula dada por,
S2X =
1
n− 1
[
n∑
i=1
X2i −
(
∑n
i=1 Xi)
2
n
]
b. Seja Yi = KXi, em que K e´ uma constante qualquer. Utilize propriedades de
somato´rio na equac¸a˜o (1) para mostrar que S2Y = K
2S2X .
3 (I/2002). Considere os seguintes valores Xi e Yi
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Xi 2 5 7 9 8 6 4 5 2 10
Yi 1 5 7 2 4 4 6 6 8 8
Calcule:
[a.]
10∑
i=1
(
Xi −X
)2
9
[b.]
10∑
i=1
[(
Xi −X
) (
Yi − Y
)]
[c.]
6∏
i = 1
i 6= 2, 3
(
Xi − Yi
2
)
4. Verifique por induc¸a˜o matema´tica que
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
5 (II/2002). Dados
5∑
i=1
Xi = 2, 6
5∑
i=1
X2i = 1, 84 e
8∑
j=3
Yj = 11
8∑
j=3
Y 2j = 31
Calcule
5∑
i=1
8∑
j=3
(2Xi − Yj)
2.
1Exerc´ıcios das avaliac¸o˜es dos semestres indicados. Conte´m 20 exerc´ıcios em pa´ginas numeradas
de 1 a 6.
1
6 (I/2003). Utilize as propriedades para calcular os somato´rios e produto´rios a
seguir:
a. Dado que
n∑
i=1
i =
n(n + 1)
2
e tambe´m
n∑
i=1
i2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
calcule,
20∑
x=1
x 6=2,4
x(x + 1)
b.
3∑
i=1
2∏
j=1
i2j−1
c. Se
3∑
i=1
Xi = 6,
3∑
i=1
X2i = 20,
2∑
j=1
Yj = 4 e
2∑
j=1
Y 2j = 10 calcule,
3∑
i=1
2∑
j=1
[
(Xi − 2)(Yj − 1)
2
]
d.
5∏
k=1
(k + 1)
2
7 (I/2003). Considere os elementos aij da matriz A, com i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2, 3, 4, 5
para indicar o elemento da i-e´sima linha e j-e´sima coluna,
A =


−1 17 9 −2 3
3 13 10 2 6
11 −9 0 −3 2
−6 −8 1 4 5


calcule: a.
3∑
i=1
ai2 b.
4∑
i=1
i6=2
5∑
j=2
j 6=4
aij c.
4∏
i=1
2ai4
8 (II/2003). Utilize propriedades de somato´rio e produto´rio.
a. Calcule
20∑
i=1
10∑
j=1
3 (Xi − Yj) dados
20∑
i=1
Xi = 20 e
10∑
j=1
Yj = 5.
b. Calcule
3∑
i=1
4∑
j=1
(Yij − 8)
2, considerando-se a seguinte notac¸a˜o: Yi. =
4∑
j=1
Yij e Y
2
i. =
4∑
j=1
Y 2ij com,
Y1. = 30, Y2. = 32, Y3. = 38, e Y
2
1. = 225, Y
2
2. = 256, Y
2
3. = 360
2
c. Calcule
5∏
x=1
x 6=3
(x− 3)2
2
9 (II/2003). Considere os seguintes valores,
m = 50 n = 30 k = 3
m∑
j=1
Yj = 80
n∑
i=1
Xi = 100
n∑
i=1
X2i = 600
Aplique propriedades de somato´rio e utilize os valores informados para calcular:
m∑
j=1
n∑
i=1
Yj (Xi − k)
2
10 (I/2004) Utilize as propriedades de somato´rio e produto´rio e os valores a seguir.
3∑
i=1
X1i = 6
3∑
i=1
X2i = 8
5∑
j=1
Y1j = 10
5∑
j=1
Y2j = 12.
Calcule,
a.
2∑
k=1

 3∑
i=1
5∑
j=1
(Xki − 3) (Ykj − 2)

.
b.
2∑
i=1
3∏
k=1
(
2k − 1
)
i
c.
5∑
i=1
6∑
j=4
(2i− 3j)2
11 (II/2004). Considere as seguintes somas:
10∑
j=1
Yj = 8 e
20∑
i=3
i6=5,9,11
Xi = 20.
Calcule :
20∑
i=3
i6=5,9,11
10∑
j=1
(Xi + Yj − 2).
3
12 (II/2004). Dados os seguintes valores e as respectivas somas,
X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 X5 = 10 −→
∑
X = 30
∑
X2 = 220
Y1 = 1 Y2 = 3 Y3 = 5 Y4 = 7 Y5 = 9
Y6 = 11 Y7 = 13 Y8 = 15 Y9 = 17 Y10 = 19 −→
∑
Y = 100
∑
Y 2 = 1330
Z1 = 12 Z2 = 20 Z3 = 30 Z4 = 40 −→
∑
Z = 102
∑
Z2 = 3044
Calcule:
5∑
i=1
10∑
j=1
4∑
k=1
[
(Xi − Yj)
2 − Zk
]
.
13 (II/2004). Calcule:
3∏
k=1
(3k − 1) k3.
14 (I/2005). Utilize as propriedades de somato´rio e produto´rio .
a.
20∑
i=1
50∑
j=1
[(Xi − 2) (Yj − 3) + Zij] ;
20∑
i=1
Xi = 80,
50∑
j=1
Yj = 30,
20∑
i=1
50∑
j=1
Zij = 5520.
b.
60∑
i=1
12∑
k=5
(Zk − 5)
2 ;
12∑
k=5
Z2k = 412 e
12∑
k=5
Zk = 60.
c.
5∏
k=1
(
2k + 2
2
)
.
15 (II/2005). Utilize as propriedades de somato´rio e produto´rio , dado:
n = 50,
n∑
i=1
Xi = 20,
n∑
i=1
X2i = 285 e e ≈ 2, 7183 (base do logar´ıtmo neperiano)
a.
n∏
i=1
{e(2Xi+5−X
2
i )}.
b.
3∑
k=1
n∑
i=1
[
(Xi − 2)
2
]
.
16 (I/2006). Utilize as propriedades de somato´rio e produto´rio.
4
a.
5∏
k=1
(
2k−1
2
)
.
b.
5∑
j=1
8∑
k=2
k 6=3
[(k − 3) (j + 1)].
c.
3∑
k=1
2∑
j=1
10∑
i=1
[
(2Xi − 1)
2 − 15
]
, dado
10∑
i=1
Xi = 15 e
10∑
i=1
X2i = 50.
17. Seja SQD(a) =
n∑
i=1
(Xi − a)
2 , 0 < a < ∞. Mostre por propriedades de
somato´rio que,
mina SQD(a) = SQD(X)
18 (II/2006). Calcule:
a.
6∏
x=2
(
x2 − 2x + 1
x2 − 1
)
.
b.
11∑
k=9
6∑
x=1
x 6=4,5
[(x− 1) (x + 1)− k].
19 (I/2007). Dados os seguintes somato´rios,
50∑
i=1
Xi = 100
50∑
i=1
X2i = 125
12∑
j=5
Yj = 18
25∑
k = 3
k 6= 6, 10, 12
Zk = 22
calcule:
50∑
i=1
12∑
j=5
25∑
k=3
k 6=6,10,12
[
(Xi − 2)
2 − Yj Zk
]
.
20 (II/2007). Calcule os itens abaixo sabendo-se que,
20∑
i=1
Xi = 11 ,
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
e
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
a.
4∑
k=1
20∏
i=1
(
k2Xi−1
)
.
b.
2∏
k=1
4∑
x=1
(
k2x−2
)
.
5
c.
60∑
x=1
{(x− 1)2 − 1161}.
RESPOSTAS
1. 50
2. a.
∑ (
X −X
)2
=
∑
X2 − 2X
∑
X + nX
2
=
∑
X2 − 2nX
2
+ nX
2
= . . ..
b. S2Y =
1
n−1
∑(
Y − Y
)2
= 1
n−1
∑(
KX −KX
)2
= . . ..
3. a. ≈ 7, 51 b. 4, 2 c. ≈ 3, 5
4. Verifique que para n = 2 e´ verdadeiro e assuma que para n e´ verdadeiro e enta˜o
prove que para n + 1 tambe´m e´!
5. 24
∑
X2 − 4
∑
X
∑
Y + 5
∑
Y 2 = 84, 76.
6. a. 3054 b. 98
c.
∑
X
∑
Y 2−2
∑
X
∑
Y +2
∑
X−6
∑
Y 2+12
∑
Y−12 = 0 d. 6!/32 = 22, 5
7. a. 21 b. 20 c. 2
8. a. 300 b. 9 c. 1
9. 21600
10. a. -2 b. 189 c. 1425
11. 10
∑
X + 15
∑
Y − 10.15.2 = 20.
12. 10.4
∑
X2 − 2.4
∑
X
∑
Y + 5.4
∑
Y 2 − 5.10
∑
Z = 6300.
13. 2.40.216 = 17280.
14. a.
∑
X
∑
Y − 2.20
∑
Y − 3.50
∑
X + 6.20.50 +
∑∑
Z = 720 b. 60{
∑
Z2 −
10
∑
Z + 8.25} = 720 c. 6! = 720.
15. a. e5 ≈ 148, 41 b. 1215
16. a. 32 b. 280 c. 0
17. basta mostrar que
∑
(X − a)2 =
∑
(X −X)2 + n(X − a)2.
18. a. 1/21 b. 18.
19. =20000-64000+32000-19800= - 31800
20. a. 30 b. 4× 85 = 340 c. 550
6